基于流量平衡指数的方法评估供暖网络中流量分配的平衡程度 孙冰、 李继刚、 李文豪、 史永江

《Buildings》：A Flow Balance Index-Based Method for Evaluating the Balance Degree of Flow Allocation in Heating Networks Bing Sun, Jigang Li, Wenhao Li and Yongjiang Shi

　　摘要：为了解决区域供暖系统中流量分配不均这一关键问题，本文提出了一种基于流量平衡指数（Flow Balance Index）的新型系统评估框架。该方法将整个网络中用户的离散实际流量转化为连续的、标准化的流量分配曲线。通过分析该曲线的几何凹性，可以直观地捕捉系统整体的不平衡程度，并通过计算流量平衡指数进一步对其进行定量表示。该方法的主要创新之处在于，它从局部的、基于点的偏差度量方法，转变为通过计算分配偏差面积来进行全局的、数学上的流量分配平衡量化。为了验证该方法的有效性，构建了一个参数化的分支供暖网络，模拟了理想平衡、轻微不平衡和严重不平衡三种情况。在这些模拟场景中，计算出的流量平衡指数分别给出了0.16、0.46和0.91的值。结果表明，该方法既提供了直观的识别工具，也为精细的流量调节策略提供了一个客观的、不受尺度影响的定量目标。

1. 引言
长期以来，供暖系统中的水力不平衡一直被视为供暖行业面临的最紧迫的运营挑战之一。具体来说，水力不平衡是指用户的实际接收流量与其设计热需求之间存在显著偏差的现象。这一复杂的物理过程由多种相互作用的因素驱动。从根本上讲，从流体动力学的角度来看，它源于管道网络上可用压头的空间分布不均[1,2]，这导致靠近热源的用户容易接收到过量流量，而远离热源的终端用户则遭受严重的流量不足。此外，这种固有的结构不平衡还经常受到外部热动态和人为因素的加剧，包括建筑围护结构差异[3]、室外温度的动态变化以及不当或延迟的运行和维护策略[4]。尽管在网络设计方法[5]和流量调节策略[6]方面已经发展了几十年，这一现象在实际运营中仍然普遍存在[7]。流量分配不均——定义为实际流量与其设计值的偏差[8]——不仅降低了供暖服务质量，还会导致大量的能源浪费[9]。
近年来，解决区域供暖网络中的水力不平衡问题已成为研究的重点，推动了多个研究领域的显著进展。在系统状态监测和评估方面，现有研究主要依赖于SCADA（监控控制和数据采集）数据的统计分析[10]，使用传统的基于点的指标，如流量偏差比和水力不平衡指数[11]。在智能预测控制方面，为了提高客户热负荷控制的精度，研究人员提出了结合组控制水力平衡模型的先进的信息器基模型预测控制（MPC）框架[12]。此外，从动态调节和数学优化的角度来看，还开发了新的智能供暖方法，专注于按需优化水力平衡，以提高次级网络的能源效率[13]。同时，非线性编程也被引入作为一种新的理论方法，用于解决网络内的复杂水力动态不平衡问题[14]。然而，尽管在本地SCADA监测、预测算法和智能控制策略方面取得了这些先进进展，但在宏观评估维度上仍存在方法上的空白。现有研究要么依赖于本质上是“以节点为中心”的统计指标[15,16,17]，要么专注于有针对性的算法控制行动，它们从根本上缺乏一个统一的、无量纲的几何度量标准，无法宏观量化整个网络的流量分布不均程度。由于这些先进方法将用户流量视为碎片化的数据点，在应用这些高级调节策略之前和之后评估连续的、系统级的分配模式仍然具有挑战性。因此，开发一个宏观指标——如本文提出的流量平衡指数——以几何方式映射整体流量分配模式是迫切需要的。
鉴于这些限制，本文提出了一种基于统计理论和几何表示的新识别和评估方法。该方法的核心思想是通过流量平衡指数来量化流量分配的全局状态。它不是将用户流量视为孤立的数据点，而是将离散的流量数据转化为连续的几何轨迹，即流量分配曲线。这种表示方式提供了用户之间流量分布的直观和系统级的描述，从而能够更全面地评估供暖网络中的流量分配平衡[18]。

2. 供暖网络流量分配平衡度的评估方法
为了定量评估供暖网络中流量分配的整体平衡度，本节开发了一种基于流量平衡指数的识别方法。在构建评估模型时，考虑了由于建筑面积差异导致用户设计热负荷的异质性。为了解决这个问题，引入了无限小元素的概念，以建立供暖系统的等效表示。系统中的每个供暖对象被视为由无限多个无限小元素组成的连续体，每个元素被视为一个单独的用户。在假设每个无限小用户的热需求指数相同的情况下，它们相应的设计流量相等。因此，在完全平衡的流量分配状态下，每个无限小用户（以下简称为“用户”）应接收到相同的設計流量。
该方法的核心逻辑是从统计角度制定的。首先，将所有用户的实际流量数据按升序排序并标准化，然后将其映射到一个具有明确物理意义的连续几何轨迹上，即流量分配曲线。在此基础上，通过量化实际流量分配曲线与代表“按需分配”的理想流量平衡线之间的几何偏差，直观地描述了用户之间的流量分布情况。这种偏差被定义为曲线凹形部分所围成的面积。最后，将几何偏差转换为0到1之间的标量指标，即流量平衡指数。指数值越大，表示实际流量分配与理想状态的偏差越大，从而表明供暖网络中的流量分配不平衡程度越高。
为了清晰地说明所提出评估方法的基本原理和闭环调节工作流程，图1中呈现了一个全面的系统框架。该框架包括四个相互连接的阶段：（1）从运行中的供暖网络连续获取数据；（2）通过升序排序和无量纲标准化进行数据预处理；（3）流量分配的几何表示；（4）闭环决策的阈值评估。如图所示，动态计算的流量平衡指数作为一个关键的反馈指标。如果指数超过安全阈值，则会触发有针对性的策略调节，形成连续的闭环控制策略，直到系统恢复到平衡状态。每个阶段的详细数学表达式将在以下小节中详细说明。图1. 基于流量平衡指数的闭环调节策略流程图。

2.1. 数据统计处理和坐标系建立
2.1.1. 数据获取和预处理
流量分配曲线的构建基于实际用户流量数据的采样和统计处理。考虑到建筑围护结构的热惯性[19]对短期流量波动的平滑作用[20]，本研究采用了30分钟的采样间隔。这个时间尺度有效地过滤掉了由阀门调节等短期干扰引起的高频噪声，同时仍然捕捉到了中期和长期因素（包括室外温度变化）对流量分布的影响。
对于由??个用户组成的供暖网络，在给定采样时刻第i个用户的实际流量表示为qi。原始测量流量数据通常是无序的。为了从这些分散的测量数据中提取有意义的统计信息，应用了升序排序步骤作为预处理步骤。通过引入顺序统计，将原始数据集从最小值重新排列为最大值，得到有序序列??(1) ≤??(2) ≤… ≤??(??)。应该注意的是，有序序列开头的用户通常是位于远离热源的终端用户，这些地方的管道阻力相对较高，因此它们接收的流量低于其设计值，处于流量不足状态。相反，序列末尾的用户通常位于靠近热源的位置，经历较低的水力阻力，倾向于接收到超过其设计值的流量，处于流量过剩状态。这种基于流量的重新排序过程有效地将供暖网络的复杂物理拓扑结构映射到流量状态空间的一维序列中，从而为评估网络的全局流量分布特性提供了基础。

2.1.2. 建立标准化笛卡尔坐标系
为了消除不同供暖系统之间用户人口规模和流量大小的差异，并实现标准化的跨系统评估，构建了一个标准化的笛卡尔坐标系。首先，对有序的流量序列进行了无量纲化处理。水平轴定义为累积用户比例，表示有序序列中前i个用户相对于网络总用户数的比例。对于第i个有序用户，累积用户比例定义为：
????=????,???=1,2,…,??
该坐标不仅仅是一个统计累积百分比；它还代表了流量分布的有序空间展开。随着水平坐标从0增加到1，相应的点反映了用户从流量不足区域（实际流量低于设计值，通常远离热源）逐渐过渡到流量过剩区域（实际流量高于设计值，通常靠近热源）的过程。
其次，垂直轴定义为累积流量比例，表示前i个用户的总流量与整个网络总流量的比率。累积流量比例定义为：
????=??∑??=1??(??)????
通过将离散流量值转换为累积比例，垂直坐标定量描述了特定比例用户实际占用的总系统流量份额。在这个标准化的坐标系中，任何供暖网络的流量分配状态都被映射到一个从(0,0)开始、终止于(1,1)的连续轨迹上，从而实现了不同系统间流量分配行为的统一几何表示。

2.2. 几何特征化和评估基准
基于标准化的笛卡尔坐标系，供暖网络中流量分配状态的有效识别和定量评估从根本上依赖于建立适当的比较基准。这些基准包括两个互补的部分：评估对象和参考标准。前者由实际流量分配曲线表示，反映了网络的当前运营流量分布；后者由两条限制参考线定义——流量平衡线和极端流量集中线——分别划定了网络的最佳和最差流量分配状态的运营边界。这三条曲线各自具有不同的物理含义，共同构成了所提出评估框架的特征轨迹。通过分析这些轨迹在坐标平面内的相对位置和几何差异，可以直观且系统地揭示实际流量分布与理想按需分配状态的偏差程度。

2.2.1. 特征轨迹线的定义
(1) 流量平衡线
流量平衡线对应于供暖系统的设计运行条件，在这种条件下，每个用户接收的实际流量等于其设计流量。在这种理想状态下，任意前i个用户的累积实际流量完全等于相同用户的累积设计流量。因此，累积流量比例与累积用户比例保持了严格的线性关系，可以表示为：
??=??,???∈[0,1]
如图2所示，流量平衡线由连接原点(0,0)和终点(1,1)的对角线表示，斜率为1。在这种条件下，加热网络处于理想的流量分配状态，既没有终端用户因流量不足而影响供暖质量，也没有靠近热源的用户经历过量流量导致不必要的能源消耗。图2显示了流量分配曲线。区域A和区域B分别代表流量分配偏差区和实际分配平衡区。对角虚线表示流量平衡线，而沿着边界（y = 0和x = 1）的虚线表示极端流量集中线。极端流量集中线表征了加热网络中流量分配不平衡的极限情况。“集中”一词在这里用来描述严重的液压不平衡的物理极限状态，即几乎所有系统流量都被靠近热源的少数用户垄断，而远端用户的流量接近于零。在这种情况下，流体质量在网络拓扑的前端极度集中。因此，随着累积用户比例从0增加到1，在大部分区间内累积流量比例几乎保持为零，只有接近上限时才出现从0到1的阶跃式增加。这种极限行为可以表示为：y={0, 0≤x<1, x=1。在笛卡尔坐标平面上，这条线（图2）由一条从原点沿着x轴水平延伸到(1,0)的多段线表示，然后垂直上升到终点(1,1)。

实际流量分配曲线是通过依次连接从测量用户流量数据中得到的标准化坐标点来构建的。其几何形状位于流量平衡线和极端流量集中线之间，反映了加热网络在运行条件下的实际流量分配状态。曲线的凹性根本源于网络内部水力阻力的空间非均匀性。位于顺序前面的用户，即流量不足的用户，实际获得的流量低于其设计值。因此，他们对总流量的贡献有限，导致曲线的初始切线斜率显著小于1。随着用户索引的增加，曲线逐渐过渡到实际流量接近或超过设计值的用户，使斜率逐渐增加并趋近于1，在这一点上曲线局部切线于流量平衡线。在序列的尾部，流量过剩的用户获得的流量远高于设计值，导致累积流量迅速增加，局部斜率远超过1。这种斜率的非线性演变——从平缓到陡峭——在几何意义上形成了一个向下凹的弧线，直观地展示了靠近热源的供应过剩和终端供应不足的不平衡模式。

在流量分配曲线图中，由对角线和x轴围成的三角形区域（表示为????）被定义为理想分配参考区。该区域代表了在完美平衡的流量分配状态下的总累积分配能力。由实际流量分配曲线和x轴围成的区域（表示为????）被定义为实际分配平衡区，它表征了系统在当前运行条件下实际实现的分配公平性份额。由流量平衡线和实际流量分配曲线之间的区域（表示为????）被定义为流量分配偏差区。从物理角度来看，区域??并不表示水力意义上的流量损失；相反，它量化了由于热源附近供应过剩和远端终端供应不足而引起的流量空间分布的不匹配程度。因为区域??和??在基准域????内是严格互补的，所以区域??的比例增加意味着实际分配平衡区??被压缩得更厉害。因此，????的比例越大，表示加热网络中的液压不平衡程度越严重。

尽管流量分配曲线的凹性可以直观地反映加热网络的流量分配状态，但仍需要一个标量指标作为流量调节策略的客观函数。因此，本节引入了一个称为流量平衡指数的定量指标。

在本研究中，流量平衡指数被提出作为量化加热网络流量分配不平衡程度的核心指标。该指数的公式直接来自于之前定义的三个特征区域的物理解释。具体来说，流量分配偏差区代表实际流量分布与理想平衡状态之间的累积偏差，而理想分配参考区代表在完全平衡条件下满足所有用户所需的理论基准。这两个区域的比例构成了定量指数。从几何角度来看，流量分配偏差区对应于流量平衡线和实际流量分配曲线之间的区域。设实际流量分配曲线的函数形式为y = f(x)，其中x ∈ [0,1]。偏差区域????的面积为：∫_(0^1) (x - f(x)) dx。因为实际流量分配曲线是一个满足边界约束的凹函数，所以在区间[0,1]内被积函数始终是非负的，从而确保了积分值的非负性。理想分配参考区对应于由流量平衡线和极端流量集中线围成的右三角形区域。其面积为???? = 1/2 * Δx。

基于上述定义，流量平衡指数I被定义为：I = ???? / ???? = ∫_(0^1) (x - f(x)) dx。当流量平衡指数接近0时，实际流量分配曲线趋近于流量平衡线，表明加热网络处于平衡的流量分配状态。相反，当流量平衡指数接近1时，实际流量分配曲线趋向于极端流量集中线，对应于网络中严重的液压不平衡状态。

首先，流量平衡指数是一个无量纲量。这种尺度独立性从根本上是由构建坐标系统时使用的标准化过程保证的。因为水平轴（累积用户比例）和垂直轴（累积流量比例）都在区间[0, 1]内有严格的范围限制，无论加热网络包含几十个用户还是数万个用户，它们在几何上都被投影到相同的单位正方形域上。这种数学公式确保了指数评估的是流量分配的相对不平等，而不是绝对的流量亏损。因此，它本质上去除了绝对用户数量、网络规模和总流量大小的影响，使得不同服务面积、容量和结构规模的加热系统之间可以直接进行比较。其次，流量平衡指数的值范围严格限制在[0, 1]之间。接近0的值表示流量分配更加平衡，系统运行更接近设计条件；而接近1的值表示不平衡更加严重。这种有界且单调的特性使指数直观且便于实际应用。在现实世界运行中，可以根据工程经验或设计标准定义流量平衡指数的阈值区间。更重要的是，流量平衡指数捕捉了加热网络中流量分配的总体特征。与仅反映单个回路水力状态的局部用户基流量偏差不同，流量平衡指数的计算结合了整个网络中所有用户的流量信息。通过排序和累积处理，离散和分散的测量数据被转换为一个单一的、有序的全球指标。这种转换隐含地考虑了网络拓扑效应。加热网络本质上是强耦合的流体分配系统[21]，其中单个回路的调整往往会引起其他回路的流量波动[22]。它们的运行状态持续受到随机室外温度变化、建筑物外围的热惯性和网络内部传输延迟的综合影响。流量平衡指数通过实际流量分配曲线的几何特征捕捉了这种全局耦合效应对流量分配模式的影响。

在本节中，通过数值模拟和统计分析的结合构建了一组数值案例研究，以验证所提出的评估方法对加热网络流量分配平衡的有效性[23]。应当注意的是，本节的主要目的是从理论上验证流量平衡指数在其整个测量范围内（从理想平衡到极端不平衡）的数学机制和敏感性。因为实际的运行中的加热网络通常在狭窄且相对稳定的操作范围内工作，因此，本研究构建了一个参数化的、典型的多层次分支加热网络，而不是使用单一的实际数据集——后者只能代表有限的运行状态。这种方法允许精确控制扰动参数，从而能够在完全相同的拓扑上系统地模拟各种运行条件，从而可靠地证明指数的全范围有效性。关于案例构建，基于分支加热网络的典型结构特性开发了一个具有多层次网络拓扑的液压数值模拟框架。网络拓扑是使用递归算法生成的，其几何和水力特性由层级数量、分支因子和管道直径缩放系数参数化。这种方法实现了管道段阻力的工程一致分布[24]。在流量分配机制方面，通过引入层级依赖的截断参数和分支扰动因子，实现了不同不平衡程度的受控模拟。为了保证计算效率同时保留主要的水力特性，水力耦合过程被适当简化[25]。管道阻力使用达西-魏斯巴赫方程[26]描述，在二次阻力假设[27]下，网络运行被近似为准稳态流量分配问题[28]。这些处理方法使得能够高效生成具有不同不平衡特征的大量流量分配场景，为指数验证提供了稳定的数据基础。

在数据处理和指数计算阶段，基于第2节中提出的理论框架开发了一个与分析工作流程一致的工作流程。该流程首先对用户流量率进行排序和标准化，将离散的流量数据转换为标准化坐标平面上的流量分配曲线。随后，应用数值积分计算实际流量分配曲线与理想平衡线之间的面积差异，从而得到流量平衡指数。同时，分析了流量分配曲线的形状和相关统计特征，以实现直观的可视化和对不同运行条件下网络整体流量分配状态的定量评估。通过上述案例构建和数据处理程序，所提出的流量分配平衡评估方法被转换为一个可再现和可验证的数值实验框架。在接下来的章节中，将进一步研究具体案例，系统地分析指数在区分不同不平衡程度和表征整个网络全球流量分配模式方面的适用性和有效性。

为了构建一个代表性的加热网络数值模拟环境，该模型采用了递归生成的多层树状分支网络结构。这种结构旨在模拟典型加热系统的完整水力分配网络，从热源出口通过主干管道和次级分支逐步延伸到终端用户。(1) 多层分支拓扑架构。分支网络是加热系统中最常见的拓扑形式。在该模型中，网络的生成深度（即层级数量）设置为??，每个节点的分支数量设置为??。生成过程从热源作为根节点开始，按照深度优先原则向下递归扩展。在每个层级，管道从上游层级延伸出来，负责将流入的流体分配到下一级的分支。这种递归结构在物理上对应于供暖系统中常见的“主干管–支管–服务管”的层级配置。在当前的案例研究中，选择了特定的??和??值来构建一个包含30个关键节点的典型分支供暖网络（见图3）。图3展示了用于仿真的分形分支供暖网络的示意图。

(2) 网络几何参数的层级缩放。在实际工程设计中，随着网络层级的增加，每个管道段输送的流量逐渐减小。为了保持内部流速在经济上可行的范围内，管道直径从上游到下游相应减小。同时，随着网络向终端用户延伸，服务的供暖面积通常会减少，导致管道段的控制长度也呈现减少趋势。为了再现这些工程特性，每个层级管道段的几何参数是通过指数缩放和随机扰动的结合来定义的。第k层管道段的长度Lk和直径Dk遵循以下关系：{Lk = Lb·??kL·??/L·??k = dB·??k·??·??/??}，其中Lk和Dk表示第k层（k = 0）主干管的参考长度和参考直径，代表热源出口处的初始设计参数。参数α和β分别是长度缩放系数和直径缩放系数（0 < ?? < 1），它们决定了网络几何尺寸随着层次增加而呈指数级减小。变量k表示当前管道段的层级（k = 0, 1, …, 4）。

(3) 工程非均匀性的随机模拟。尽管理想的层级缩放结构反映了网络设计的宏观规则，但生成过于规则和标准化的网络将无法捕捉到实际工程系统中存在的固有非均匀性。因此，在几何参数生成公式中引入了随机扰动因子??L和??D。假设??L和??D都遵循对数正态分布。引入这些随机变量的物理意义是为了模拟工程现实情况，如不等的路线布局、非标准的管道段以及施工偏差，这些都是实践中常见的现象。这种处理确保了生成的网络数据在宏观层面上符合水力设计原则，同时保持了足够的微观变异性，从而能够在非理想和复杂的网络拓扑下有效验证所提出的流量平衡指数。

3.1.2 供暖网络中层级流量分配机制的模拟
为了验证所提出的流量平衡识别方法在不同运行条件下的有效性，需要构建一个数值案例框架，能够再现从理想流量分配到严重不平衡流量分配的完整流量分配状态谱。目前的模型不是追求对特定供暖网络的高精度微观建模，而是遵循分支网络的宏观流体分配原则，并建立了一个自上而下的、层级递归的流量分配算法。该机制模拟了流体从热源产生并通过多个网络层级逐步分配到终端用户的完整物理过程。在供暖网络的实际运行中，总体流量分配是一个沿着网络层级逐步展开的分配过程。当流体从上游层级输送到当前层级的节点时，流量分配主要受节点的设计流量目标与当前水力条件的相互作用控制。在当前模型中，这一过程通过两个耦合的物理机制来描述。首先，在供暖网络的设计阶段，每个节点的流量分配比率根据其分配的热负荷（即设计流量）来确定。在理想的水力平衡条件下，网络中的摩擦和局部阻力差异可以通过阀门调节来补偿，使每个用户获得的实际流量等于设计值。然而，在调节无效或不完整的情况下，流体运动遵循流体力学中的最小阻力原则。靠近热源的节点具有更高的可用压力头，因此积聚的摩擦损失较小，从而在获取流量方面具有固有的水力优势。为了再现这一物理现象，在基线设计流量上叠加了基于每个用户层级位置的液压不平衡加权因子。该机制模拟了由于缺乏有效调节而导致的靠近热源的用户溢流行为，以及远离热源的用户所经历的相应压力不足和流量短缺。通过调整不平衡加权参数，模型能够生成符合工程实践的特征流量分配数据。

3.1.3 随机扰动和运行条件设计
如果供暖网络中的用户流量数据仅基于理想的工程设计假设生成，那么得到的数据将表现出过于规则的模式，无法反映实际工程系统中常见的随机误差和水力不平衡现象。为了解决这个问题，在当前的流量分配过程中引入了两个关键控制参数：层级不平衡权重和分支分散系数。这两个参数从两个正交维度对网络流量分配施加了物理上一致的随机扰动，即拓扑层级间的垂直差异和平行分支间的水平差异。层级不平衡权重用于量化由于网络内传输距离差异引起的流量分配不平等。从物理角度来看，该参数模拟了上游节点（靠近热源的用户）由于可用压力头的优势而获得超过其设计值的流量比率的现象，从而导致下游节点（远离热源的用户）获得的流量低于其设计流量比率。这个权重的变化直接决定了网络内的流量分配是否保持平衡。当层级不平衡权重设置为ω = 0时，系统表示一个理想状态，即所有层级的流量都严格按照设计要求分配。随着ω的增加，上游节点的水力优势变得越来越明显，表现为靠近热源的节点实际流量显著增加，而下游节点由于上游过量分配而流量相应减少。通过调整这个参数，模型能够生成从全局平衡流量分配到靠近端部的溢流和终端流量不足的各种水力不平衡状态。

水平不平衡参数κ表征了同一分支层级内平行环路之间的水力阻力差异，并与流量分配的均匀性程度呈正相关。当κ被赋予较大值时，平行分支的阻力高度一致，流量在它们之间几乎均匀分配，代表经过精细初始平衡后的网络状态。当κ减小时，随机分布的方差显著增加，导致平行分支之间的流量分配不平等现象加剧，再现了实际供暖网络中常见的不平衡现象。基于这两个核心参数的联合调节，设计了三种具有不同不平衡严重程度的代表性运行条件，以构建用于验证所提出的流量分配平衡指数的测试数据集，如表1所示。

表1. 案例研究运行条件的参数设置
根据模型中采用的概率分配机制和层级加权机制，水平不平衡参数κ和层级不平衡权重ω的数学含义和参数选择原则如下进行量化解释。

(1) 水平不平衡参数κ的定量含义
考虑一个分成m个平行下游分支的节点。这些分支之间的流量分配比例向量表示为?? = (p1, …, pn)，其中∑i=1的pn = pn。分支的设计流量比例被视为预期分配，定义为：??i = Qd·e·si，∑j=1的Qd·e·sj。在本研究中，平行流量分配的不确定性使用狄利克雷分布进行建模：?? ~ Dir(??1, …, ??m)，其中??i = ??i，?? > 0。根据狄利克雷分布的性质，有以下关系成立：??[i]=??i，Var[i] = ??i·(1 ? ??i)?+1，Cov[i, j] = ???i·??j?+1·(i ≠ j)。这里，??i不是独立指定的参数，而是由设计比例??i和分散强度??共同决定的。由于∑??i = ??，参数κ控制了分配的总体波动水平。因此，κ是一个无量纲的分散控制参数：较大的κ导致较小的方差，平行分配更接近均匀分布；较小的κ则显著增加分散，使得少数分支获得不成比例的高流量成为可能。因此，当κ = 100.0时，Var[i] ≈ ??i·(1 ? ??i)/101，表示在精细初始调节后的几乎水力平衡的平行系统。当κ = 3.0时，Var[i] ≈ ??i·(1 ? ??i)/4，产生了在工程实践中常见的轻微分配不均匀性，用于测试所提出指数的敏感性。当κ = 1.2时，Var[i] ≈ ??i·(1 ? ??i)/2.2，分散显著增加，能够构建严重不平衡的平行分配场景。选择略大于1的值是为了避免接近单一分支主导的退化情况，否则可能导致终端流量消失和数值不稳定。

(2) 层级不平衡权重ω的定量含义
引入层级不平衡权重ω是为了表征在层级流量分配过程中靠近热源的可用压力头优势的放大强度。设网络中所有用户的集合为N。第n个用户位于第kn层级，其中kn = 1表示最接近热源的用户，较大的kn值表示用户逐渐接近终端。设K表示网络中的最大层级数量。为了将层级优势表示为一个可控的无量纲偏差——可以解释为分配规则向靠近热源的用户倾斜的系统性趋势——引入了一个层级加权因子??(kn) = exp[??(1 ? knL)]。根据这个定义，用于递归分配的层级偏好目标份额定义为：??u(kn) = Qd·e·sn，∑j∈N的Qd·e·sj·??(kj)，其中U表示终端用户（或热负荷节点）的集合；u表示当前正在评估的用户；v是用于在分母求和中遍历集合N的索引变量；Qd·e·sv是第v个用户的设定流量；kn是第v个用户所在的层级；??(kj)是相应的层级加权因子。显然，当?? = 0时，加权因子满足??(kn) ≡ 1，流量严格按照设计值分配，对应于水力平衡状态。当?? > 0时，靠近热源的用户具有较大的??(kn)值，因此在归一化后获得更高的归一化份额，反映了靠近端部的溢流和远端流量不足的垂直极化现象。因此，当?? = 0时，没有引入层级偏好，形成理想的平衡参考状态。当?? = 0.1时，应用了弱的指数加权（(exp(0.1Δ) ≈ 1 + 0.1Δ)），只引入了轻微的靠近热源的偏好，以模拟 commonly observation到的不完全调节条件。当?? = 30时，强烈的指数放大作用使得上游层级在归一化后占据主导地位，能够构建严重不平衡的垂直分配场景。这种配置确保了流量平衡指数高值范围的覆盖，并使其能够验证其在整个测量范围内的区分能力。在三种运行条件下的流量分配曲线形态

三组运行条件数据经过处理后，得到的流量分配曲线在图4中进行了比较。如图4所示，可以看到随着运行条件严峻程度的增加，曲线形态的演变非常明显。

(1) 情况A（理想平衡）。在情况A中，流量分配曲线几乎与流量平衡线重合，并表现出明显的线性特征。这种数学形式直观地表明网络处于理想的流量分配平衡状态。在参数设置方面，层次不平衡权重被设置为ω = 0，水平不平衡参数被设置为κ = 100.0。在这种条件下，网络中所有用户的实际流量与其设计值非常接近。设计这个案例是为了验证在理想平衡条件下流量平衡指数是否能够接近于零。

(2) 情况B（轻微不平衡）。在情况B中，流量分配曲线略微向下凹陷，并且与流量平衡线有适度的偏差。参数设置对应于非零的层次不平衡权重和适度的水平不平衡参数，表示网络经历了部分调节但仍然受到调节精度的限制。在这种条件下，靠近源头的用户经历了轻微的流量过剩，平行分支之间存在正常的阻力差异。设计这个案例是为了验证所提出的评估指数是否能够敏感地捕捉到小的流量偏差，从而评估该指数的敏感性。

(3) 情况C（严重不平衡）。在情况C中，通过大幅增加层次不平衡权重（ω = 30）和显著降低水平不平衡参数（κ = 1.2）来模拟严重的故障条件。在这种极端条件下，流量分配曲线呈现出“L形”扭曲，特征是最初的几乎是水平的部分，随后是急剧增加的末端部分。这种曲线形状直观地反映了严重不平衡的模式，即大多数用户遭受严重的流量不足，而非常少数的靠近源头的用户占据了系统的大部分流量。设计这个案例是为了测试该指数在极端数据分布下的定量识别能力，并确保该指数在其整个测量范围内保持良好的区分能力。

3.3 指数有效性和敏感性的验证

为了验证所提出的流量平衡指数是否能够定量表征供暖网络中的水力不平衡程度，计算了之前构建的三种代表性运行条件下的指数值，即情况A（理想平衡）、情况B（轻微不平衡）和情况C（严重不平衡）。计算结果总结在表2中。

表2. 不同运行条件下的流量平衡指数值。验证指数有效性的主要标准是它对系统恶化方向的正确响应。计算结果显示，随着网络的物理运行状态从理想平衡恶化到严重不平衡，流量平衡指数呈现出单调递增的趋势。这种数值演变从根本上反映了靠近源头的用户利用其可用的压力头优势，逐渐夺取下游用户的流量的现象。流量分配越不均匀，这种“强者愈强、弱者愈弱”的极化效应就越明显。在流量分配曲线中，这种极端的流量集中表现为向下凹陷程度的增加。在情况A中，流量分布相对均匀，曲线接近流量平衡线（45°对角线）。相比之下，在情况C中，大量流量集中在少数靠近源头的节点中，导致初始段的曲线斜率接近于零，而末端段的曲线斜率接近于无穷大。因此，形成了明显的流量分配偏差区域。由于流量平衡指数直接定义为流量分配偏差区域与理想分配参考区域之间的比率，供暖网络中的水力不平衡程度通过偏差区域的相对大小得到定量反映，并最终映射为指数值的增加。

4. 讨论

4.1 流量分配平衡指数的一般适用性

本研究提出的流量平衡指数是基于测量的用户侧流量数据构建的，旨在宏观评估供暖网络的整体流量分配状态。因为该指数直接从用户流量测量值计算得出，并反映了用户级别的聚合分配结果，即使在缺乏高保真水力模型或网络拓扑参数不完整的情况下，它仍然有效。这一特性使其能够在广泛的实际场景中应用，包括运行状态监控、调节策略的比较评估以及多个供暖系统之间的运行状态横向比较。从评估规模的角度来看，所提出的指数是一个系统级别的统计指标。通过将所有用户的流量偏差映射到流量分配曲线上，并通过积分面积测量来量化与平衡线的偏差，该指数提供了整个网络流量分配全局偏差的紧凑表示。作为一种无量纲指标，它进一步减轻了系统规模（如用户数量）的影响，从而实现了系统间的可比性。应当注意的是，该指数特别适合于评估整体平衡情况和比较趋势，而不是诊断局部的水力问题。

在实践中，运营者可以通过将指数阈值映射到室内温度目标上来使用这个指数进行连续的、基于反馈的调节。作为一个“经验法则”，当流量不足的用户温度下降到设计温度以下时计算出的指数值作为“不平衡触发器”或安全上限。在运行过程中，如果计算出的指数保持在安全阈值范围内，不需要进行网络干预。然而，一旦指数超过这个限制，就必须启动有针对性的阀门调整。然后迭代重新计算指数以监测系统的响应，直到值返回到安全范围内。最终，当调节成功将所有处于不利位置的回路恢复到设计温度时，相应的指数定义了系统的“理想阈值”。虽然通用的数值标准需要进一步验证，但这种闭环、温度映射方法有效地将抽象的水力指数转化为可操作的运行指南。

4.2 局限性和未来扩展

尽管所提出的流量平衡指数在表征供暖网络的流量分配状态方面非常有效，但它也存在一些局限性。首先，作为一个统计指标，它缺乏明确的空间定位能力。虽然它可以量化不平衡的严重程度，但它不能直接识别导致不平衡的具体管段或区域，也无法区分偏差主要是由靠近源头的过量供应还是终端阻塞引起的。其次，当前的公式基于所有微小用户具有相同的热指标（即相同的设计流量）的假设，并且尚未考虑异质设计流量的加权机制。当用户设计流量之间存在显著差异时，在相同设计流量假设下构建流量分配曲线可能会引入偏差并降低评估准确性。因此，该方法目前更适用于设计流量已知并且可以作为标准化基线的系统。第三，尽管数值案例研究纳入了空间和结构随机性——例如不平等的路由布局、非标准的管段和阻力差异——来模拟某些工程不均匀性，但当前模型将网络运行近似为准稳态流量分配问题。因此，它并没有完全捕捉到现场运行的高度动态和复杂现实。实际的时间变量，如快速变化的用户需求、多年运行中的管道老化以及特定的非线性阀特性，并没有被明确建模。

未来的研究将集中在四个主要方向上：

(1) 将图论方法和GIS信息结合起来，将统计异常与网络空间结构关联起来，从而实现对不平衡区域或故障点的可追溯定位，并为生成有针对性的调节策略提供基础。

(2) 将开发一个包含设计负荷（或设计流量）加权的修正模型，以更准确地隔离由水力因素引起的不平衡效应。

(3) 将建立工程标准和分级标准，以定义流量平衡指数的合理容忍区间和触发阈值，临界值通过综合考虑技术经济性能和不同运行场景下的用户热舒适度反馈来确定。

(4) 将进一步探索使用流量平衡指数作为目标函数的调节方法，以指导阀门调整和系统运行优化，最终实现供暖网络中流量分配的智能控制。

(5) 将开发水力模型，以研究在动态现场干扰下流量平衡指数的时间演变，从而将波动的用户热需求、设备老化和复杂的阀门调节的影响纳入评估框架。

(6) 在一个大规模的实际区域供暖项目中使用真实数据部署和验证所提出的指数，将是我们近期工作的主要重点。

5. 结论

(1) 为了解决供暖网络运行中普遍存在的流量分配不平衡问题，本研究提出了一种基于流量分配曲线的流量平衡评估方法，并通过数值案例研究验证了其有效性。结果表明，所提出的方法仅使用用户侧测量的流量数据就能定量识别全局流量分配状态。

(2) 通过标准化用户流量并构建流量分配曲线，可以直观地表示不同运行条件下用户之间的流量分布特征。曲线与理想平衡线的偏差程度与系统中的水力不平衡程度一致，可用于表征整体不平衡的严重程度。

(3) 提出了一种基于实际分配曲线与理想平衡线之间偏差区域的流量平衡指数，以实现流量分配状态的无量纲、系统范围的定量评估。数值结果表明，该指数对增加的不平衡程度呈现出单调响应，并能有效区分不同不平衡强度的运行条件。

(4) 与基于局部参数的评估方法相比，所提出的指标框架强调了多用户流量偏差在系统级别的累积效应。它促进了从局部监控到整体运行状态评估的转变，并为流量调节策略的制定和性能评估提供了定量基础。