针对广泛分级的颗粒土，结合颗粒断裂特性，发展了精细的本构建模方法

《Computers and Geotechnics》：Refined constitutive modelling of widely graded granular soils incorporating fractional particle breakage

　　王超 | ?邹金峰 | 朱一川 | 王雷 | 李亮
中南大学土木工程学院，中国长沙410075

摘要
准确确定双线浅层圆形隧道周围塑性带的分布模式对于识别周围岩石的不稳定性机制和优化隧道设计至关重要。本研究提出了一种基于莫尔-库仑屈服准则的弹塑性分析方法，用于描述在浅层开挖的双线圆形隧道周围的塑性带。通过共形变换，开发了一种新的映射函数，将包含两个相互对称的任意形状孔洞的半无限平面转换为同心三圆域。建立了地面边界处的应力和位移平衡方程，并考虑了单位重量效应，推导出周围岩石中弹性应力组合和塑性应力分量的理论解。通过沿着弹塑性界面的应力连续性条件和地面处的平衡条件，建立了一个以未知映射函数系数为设计变量的非线性方程组。利用差分演化算法求解这些系数，得到了描述塑性带的封闭形式解。该方法的有效性通过应力连续性检验、位移边界条件检验以及与数值模拟的比较得到了验证。参数分析表明，塑性带的分布与隧道中心深度、隧道半径、单位重量和侧向压力系数呈正相关，而与粘聚力和内摩擦角呈负相关。所提出的方法为双线浅埋隧道项目的设计优化和施工参数选择提供了可靠的理论指导。

引言
双线隧道是地下工程中一种重要的结构形式，广泛应用于交通基础设施建设，包括高速公路、铁路和地铁。隧道开挖不可避免地会导致地面损失，从而破坏周围岩石体的原始应力平衡，导致隧道周边逐渐形成塑性带。塑性带的形成改变了双线浅层隧道周围岩石的应力和位移场，对岩石体稳定性产生不利影响。特别是对于浅埋隧道，拱顶部分靠近地面；因此，塑性带的发展会引起地面沉降。这种现象在双线隧道配置中尤为关键。因此，准确分析双线浅埋隧道周围塑性带的分布特征对于优化此类结构的工程设计和施工规划至关重要。

许多研究调查了在平面应力或平面应变条件下双线圆形隧道周围塑性带的二维变形模式。基于各种屈服准则，已经开发出双线圆形隧道周围弹塑性界面的解析解，包括Hoek-Brown（Yang和Zhang，2017；Yang和Wang，2018；Park，2023；Jiang等人，2025）、Mohr-Coulomb（Zou等人，2018；Li和Yang，2019；Wang等人，2025）、Drucker-Prager（Cai等人，2022；Huang等人，2025）等。这些发现进一步丰富了计算浅埋隧道周围岩石体中塑性带的理论框架。然而，双线隧道配置中的隧道间相互作用引入了与单线隧道不同的力学行为和变形模式。因此，现有的单线隧道理论不能直接应用于分析双线浅埋隧道周围的塑性带。尽管使用有限元方法的数值模拟可以有效确定双线浅埋隧道周围的塑性带，但数值解的局限性阻碍了塑性带分布模式的功能性表达的发展。因此，仍需要合适的解析解来描述双线浅埋隧道中塑性带的发展趋势。主要的理论分析方法包括双极坐标系方法（Zou等人，2018；Massinas和Sakellariou，2009）、塑性增量法（Zou等人，2019）、复变量法（Xu等人，2017；Wang等人，2018；Wang等人，2018；Zhang等人，2018；Wang等人，2025）和能量守恒原理（Liu等人，2020）。然而，双线隧道配置中的隧道间相互作用在周围岩石体中产生了与单线隧道不同的力学性质和行为模式。目前用于确定双线浅埋隧道周围塑性带的主要方法包括能量法、Schwarz交替法和复变量法。其中，能量法的应用主要集中在分析双线浅埋隧道中周围岩石和隧道面的稳定性（Zhang等人，2014；Yang和Zhang，2018）。关于塑性带的计算，只有Liu等人（2020）提出了一种基于能量的预测方法，用于预测单线圆形隧道的体积损失比和塑性带尺寸，而目前尚未实现对双线浅埋隧道周围塑性带的有效解。关于Schwarz交替法和复变量法，许多研究将这些方法结合起来分析双线圆形隧道。Wang等人（2018）提出了一种结合这些方法预测周围岩石的弹性应力和位移的新方法。随后，Wang等人（2020）、Zhang等人（2020）、Zeng等人（2021）、Lin等人（2021）、Lin等人（2021）、Yang等人（2021）以及Jain和Kumar（2024）分别应用了类似的方法来研究地面运动、重力作用下的地面变形、受附加荷载影响的周围岩石的应力和位移、浮力效应和隧道面等效三维效应下的周围岩石的应力和位移、地震体力作用下的非均匀变形以及粘弹性基础中的隧道间相互作用。然而，Schwarz交替法通常收敛速度较慢，并且计算难度较大，限制了其实际工程应用。更严重的是，这些方法仅提供了应力和位移的弹性解，未能有效解决塑性带的问题或描述双线圆形隧道周围弹塑性界面的形状和尺寸。尽管Zeng和Lu（2019）提出了一种将带有双面圆形孔的无限平面域转换为环形域的映射函数，Ma等人（2020a）推导了双线圆形隧道在无限平面中的塑性带的弹塑性解，但该解仅适用于深隧道。由于双线浅埋隧道周围的塑性带问题是半无限平面中的平面应变问题，现有方法无法有效描述塑性带的分布模式。尽管如此，这些研究为简化边界应力条件提供了理论基础。考虑到重力应力释放所带来的复杂性，本研究采用了差分演化算法来解决这个非线性弹塑性问题。

本研究解决了确定双线浅埋隧道周围封闭塑性带的形状和尺寸的平面应变问题。基于莫尔-库仑屈服准则，提出了一种描述双线浅埋隧道周围塑性带的解析弹塑性方法。该方法有效地避免了与Schwarz交替法、双极坐标系方法和有限差分法相关的复杂迭代解、推导和数值建模过程。此外，它显著优化了双线浅埋隧道周围塑性带的封闭形式解，并提高了计算精度，从而为双线浅埋隧道周围岩石的弹塑性分析计算提供了坚实的理论基础。总结来说，本研究的亮点包括：（1）提出了一种映射函数，该函数基于共形映射将包含两个相互对称的任意形状孔洞的半无限平面转换为同心三圆域。（2）建立了双线浅埋隧道周围弹性应力的半解析解。（3）基于莫尔-库仑屈服准则，建立了双线浅埋隧道周围塑性应力的半解析解。（4）提出了在周围岩石单位重量影响下双线浅埋隧道周围塑性带的弹塑性理论解。

**部分摘录**
**边界条件和基本假设**
如图1所示，双线平行圆形隧道位于半无限且均匀各向同性的平面中，隧道中心深度为h，双线圆形隧道之间的中心距离为s。地面未施加额外荷载。周围岩石的单位重量、泊松比、粘聚力、内摩擦角、弹性模量和侧向压力系数分别表示为γ0、μ、c、φ、E和ε。

图1显示了双线浅层圆形隧道关于y轴的对称性；因此，采用共形变换来推导适用于确定双线浅层隧道周围塑性带的映射函数。如图6所示，通过四个映射步骤，物理平面（z平面）中左右隧道周围塑性带的外部域被映射到计算平面（ζ平面）中的同心三圆域中。

**周围岩石的应力和位移解**
根据图1所示的双线圆形隧道开挖前后左右隧道边界和地面边界处的应力，Strack和Verruijt（2002）给出了双线圆形隧道开挖后周围岩石的应力函数φ1(z)和ψ1(z)：
φ1(z) = -Χ/iY + 2πκ + 1/κ·ln(z -zcˉ + ln(z -zc) + φ0
ψ1(z) = X - iY + 2πκ + 1/κ·ln(z -zcˉ + κ·ln(z -zc) + φ0

**建立双线圆形隧道周围弹塑性界面的应力连续性方程**
基于本研究中对理想弹塑性周围岩石的假设，左右浅层隧道周围弹塑性界面的应力连续性条件可以表示为：
σxe + σye = σxp + σyp = σrj′p
σye - σxe = 2iτxy
ye = σyp - σxp + 2iτx
yp = σθjp - σrj′p + 2iτrj′
θjpe - 2iθj

根据方程（42）和（43），可以得到左右浅层隧道周围弹塑性界面的弹性应力组合：
σxe + σye = 2 - i·γ0·r0·2κ + 1/κ·ω·σ + ih
2 - d2

**方法验证**
为了验证所提出的弹塑性分析方法的合理性，我们构建了表2所示的案例研究。根据图8中的计算流程图，我们可以求解映射函数的系数R、Ck、d和s0，并得到塑性带的解，如表3所示。表3显示，随着k的增加，Ck的值逐渐趋近于零，表明求解的映射函数收敛。根据表2和表3，我们可以……

**参数分析和讨论**
以表2中的合理性验证案例作为基准，使用所提出的方法分析了隧道设计因素（如双线圆形隧道之间的中心距离s、隧道中心深度h和隧道半径r0）、周围岩石的材料属性（如单位重量γ0、粘聚力c和内摩擦角φ）以及周围岩石的侧向压力系数ε）对塑性带的影响。

**局限性**
根据本研究中的基本假设、推导和讨论，用于描述双线圆形隧道周围塑性带的弹塑性分析方法存在以下局限性：
所提出的方法为双线浅埋隧道中周围岩石的塑性带提供了最优解。然而，当双线浅埋隧道之间的中心距离较小时或它们的半径较大时，可能会出现塑性带……

**结论**
本研究提出了一种弹塑性分析方法，用于描述在浅层开挖的双线圆形隧道周围的塑性带，考虑了周围岩石单位重量的影响。主要贡献包括：
1. 开发了一种新的映射函数，通过共形变换将包含两个相互对称的任意形状孔洞的半无限平面转换为同心三圆域。
2. 推导了……

**作者贡献声明**
王超：写作 - 审稿与编辑、撰写 - 原稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。
邹金峰：写作 - 审稿与编辑、监督、资源获取、方法论、资金获取、数据管理、概念化。
朱一川：写作 - 审稿与编辑、验证、监督、软件、形式分析、数据管理、概念化。雷王：撰写、审稿与编辑；调查；利益冲突声明
作者声明他们没有已知的、可能影响到本文研究内容的财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家重点研发计划（项目编号：2017YFB1201200）、江西省交通运输科技项目（项目编号：2021C0002）、湖南省交通运输科技项目（项目编号：202238、202303）以及南昌轨道交通集团2020年度研究计划（项目编号：2020HGKYB002）的财政支持。