基于高斯copula相关随机场的部分材料因子方法对边坡 design 的概率分析

《Computers and Geotechnics》：Probabilistic analysis of slopes designed by the partial material factor approach considering Gaussian copula-based cross-correlated random fields

　　李玉婷|陈晓斌|王银生|何鹏鹏|吴洪刚
中南大学土木工程学院，长沙410075，中国

**摘要**
传统的边坡设计采用单一安全系数方法时，由于土壤的空间变异性，相同的安全部系数往往会导致不同的可靠性水平。这一限制同样适用于部分因子设计方法。此外，在传统实践中，土壤性质（如粘聚力和摩擦角）之间的相关系数常常被忽视。为了解决这些问题，本研究将copula理论与随机有限元方法结合在一起，利用部分因子设计方法的框架构建了能够捕捉土壤参数之间非线性依赖性的相关随机场。以排水边坡为例，探讨了空间变异性以及c′和?′之间的相关性对概率边坡设计的影响。结果表明，校准后的设计边坡高度大致遵循对数正态分布；较强的负相关性虽然减少了分散性，但增加了设计结果的偏差。失效概率和校准后的设计高度对非线性相关性的敏感性高于对空间变异性的敏感性。对于中等相关性ρc′,?′=-0.4和ν?′=0.10，满足10^-3的容许失效概率所需的部分材料因子为1.55。与传统的Pearson相关性假设相比，基于高斯copula的依赖结构导致的部分因子设计要求显著更高（例如，当ρc′,?′=-0.8时，失效概率高出两个数量级）。这突显了忽略非线性依赖性可能导致设计保守性不足的风险。

**引言**
忽略土壤固有的空间变异性（这是不确定性的一个关键来源）可能会导致对边坡稳定性的高估，从而导致设计过于保守（例如，Guo等，2024年；Qu等，2024年）。在边坡可靠性分析中，通常使用随机场理论来描述和模拟土壤的固有权空间变异性。其基本原理是将空间域离散为多个单元格，每个单元格中的土壤性质用随机变量表示，以模拟空间变化的参数分布。生成的随机场通常与其他稳定性分析方法结合使用，以评估边坡稳定性。基于这一概念，Griffiths和Fenton（2004年）将随机场建模与概率边坡分析和有限元方法结合起来，开发了随机有限元方法（RFEM），该方法明确考虑了土壤的空间变异性。该方法避免了关于失效表面形状和位置的先验假设，从而能够识别空间非均匀土壤中最弱的失效路径。近年来，该方法已被广泛用于边坡可靠性分析（例如，Huang等，2010年；Zhu等，2017a年；Wu等，2024年；Yazdi和Moss，2024年）。除了RFEM之外，其他先进的随机数值方法（如随机材料点方法（例如，Qu等，2021年）和随机平滑粒子流体动力学（例如，Fang等，2024年）也越来越多地应用于边坡可靠性分析中。

除了随机场描述的土壤参数的空间自相关性外，许多研究还发现了不同土壤参数之间的显著相关性（例如，Cho和Park，2010年；Wu，2015年；Chen等，2019年）。忽视这种相关性可能会导致边坡可靠性评估、基础沉降预测（例如，Griffiths和Fenton，2008年）和隧道涌浪预测（例如，Zhang等，2021年）出现较大误差。相关性系数通常用于量化不同土壤参数之间的依赖性（例如，Cherubini，2000年；Fenton和Griffiths，2003年；Addis等，2023年）。然而，相关性系数仅能捕捉线性依赖性，而土壤参数之间经常观察到非线性关系（例如，粘聚力-摩擦角、水力传导率-压缩指数）。此外，由于现场数据有限，通常只能识别土壤参数的边际分布和相关系数，而联合累积分布函数（CDF）或概率密度函数（PDF）仍然未知，无法唯一确定联合概率分布。为了解决这些限制，copula函数被引入到岩土工程研究中，用于连接已知的边际分布并描述多变量参数之间的非线性依赖性。例如，Li等人（2013年）利用copula函数构建了桩载-位移关系的联合概率分布。Zhu等人（2017b年）应用高斯copula、t分布和Frank copula来模拟边坡可靠性分析中粘聚力、摩擦角和单位重量之间的依赖性。Ng等人（2024年）使用基于copula的随机场来模拟垃圾填埋场覆盖层设计中D10和D60之间的依赖性。Bao等人（2025年）开发了一种基于D-vine copula的多变量联合分布，用于研究海洋软土中的参数（如含水量、密度和孔隙率）之间的依赖性。Xu和Liu（2025年）通过结合多重响应表面方法和子集模拟，系统分析了非高斯copula依赖结构对边坡安全系数、临界滑移面和失效概率的影响。

作为完全概率方法的替代方案，部分因子方法（例如，CEN（欧洲标准化委员会），2004年；Potts和Zdravkovic，2012年；Li等人，2023年）被认为是一种简化的基于可靠性的设计格式。它在保持代数设计检查的简便性的同时，能够产生大致符合目标安全水平要求的设计。这种方法分别考虑了土壤参数和荷载的不确定性，代表了传统的全局安全系数方法和完全基于可靠性的设计之间的折中（He等人，2023a年）。通过选择适当的部分材料因子，可以实现更经济和一致的边坡设计。然而，这种方法没有考虑土壤的空间变异性，其在不同条件下始终达到目标安全水平的能力需要进一步研究。尽管取得了这些进展，现有研究主要集中在完全概率框架内评估边坡可靠性或失效概率。土壤空间变异性和非线性参数依赖性对基于部分因子的边坡设计的影响仍然很大程度上未被探索。特别是，尚不清楚在不明确考虑空间变异性和相关性的情况下，校准的部分材料因子是否能够在实际土壤条件下始终达到目标安全水平。为了解决这些差距，本研究将基于高斯copula的相关随机场模型嵌入到RFEM中，建立了基于可靠性的部分材料因子校准框架。该框架不仅关注失效概率估计，还评估剪切强度的空间变异性和非线性相关性对基于部分因子的边坡设计的一致性和稳健性的影响。结果为在空间变异性土壤条件下改进简化设计方法提供了实用指导。

**部分内容**
**copula理论用于模拟依赖结构**
copula理论将多变量联合概率分布函数表示为相应的一维边际分布函数和copula函数的组合。copula函数同时包含了相关系数和依赖结构，从而表征了边际分布之间的强度和依赖性质。根据copula理论，n个相关随机变量X1,X2,?的联合累积分布函数为……

**随机土壤模型**
本研究采用Mohr-Coulomb（M-C）失效准则来描述排水土壤条件，该准则由有效粘聚力c′和有效摩擦角?′表征。c′和?′均被视为随机变量。由于对数正态分布严格非负且易于转换为正态分布的随机场，假设c′遵循均值为μc′、标准差为σc′的对数正态分布。累积分布函数和……

**边坡设计**
本研究考虑了一个挖掘边坡，假设土壤自重是唯一的影响因素。应用部分因子方法来验证以下不等式，满足该不等式表示边坡安全：
?M?Rc′?γc′,tan-1tan??′γ?′?γWM?Wγ
其中M?R是设计边坡的抵抗力矩，它是特征粘聚力c′?和摩擦角?′?的函数；M?W是由土壤自重引起的特征驱动力矩，与总单位重量γ成比例……

**使用RFEM进行失效概率估计**
一旦使用公式（16）获得设计边坡高度，下一步就是评估设计边坡是否失效。使用Fortran77语言开发了一个内部RFEM程序“rslope2dl”，用于考虑基于高斯copula的相关随机土壤性质来估计设计边坡的可靠性。该程序采用弹性-完全塑性应力-应变本构模型和M-C失效准则。塑性应力重分布使用粘弹性算法进行……

**示例说明**
在本研究中，假设c′的均值为μc′=26 kPa，νc′=0.3，以代表典型中间范围（例如，L?nsivaara等，2021年）。摩擦角假设在20°到40°之间变化（例如，Phoon和Kulhawy，1999年），得到平均值μ?′=30°。相应标准差分别为σ?′?1.5°、3.0°和4.5°，对应s=0.964、2.067和3.508（即ν?′=σ?′/μ?′=0.05、0.10和0.15）（He等人，2024年），这与Duncan提供的范围一致……

**结果与讨论**
图4显示了使用高斯copula结构（ρc′,?′=-0.5，即θ=-0.512和ν?′=0.10）生成的76,800个c′和?′的模拟实现值。可以看出，模拟数据紧密遵循等值线，从中心向外分散并逐渐减小，表明高斯copula能够准确捕捉规定的依赖结构。此外，10–50 kPa范围内的模拟粘聚力值遵循对数正态分布……

**结论**
本研究基于高斯copula结构开发了一个相关随机场模型，并利用RFEM在部分因子设计框架内概率校准边坡可靠性的部分材料因子。研究了高斯copula中c′和?′之间的相关性对估计失效概率的影响。此外，将基于高斯copula的结构的设计与使用简单Pearson的相关设计进行了比较……

**CRediT作者贡献声明**
李玉婷：撰写——原始草稿、可视化、软件、形式分析。
陈晓斌：撰写——审阅与编辑、监督、概念化。
王银生：撰写——审阅与编辑、监督、资金获取。
何鹏鹏：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、概念化。
吴洪刚：撰写——审阅与编辑、监督。

**资助**
本工作得到了中国铁路集团有限公司科学技术研究与发展计划的支持[项目编号2022-Major Project-07]。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能会影响本文工作的财务利益或个人关系。

**致谢**
第二作者感谢中国铁路集团有限公司科学技术研究与发展计划（2022-Major Project-07）的财务支持。