一种用于Oseen方程的三层CIP-VEM方法

《Computers & Mathematics with Applications》：A three-level CIP-VEM approach for the Oseen equation

　　M. Trezzi
米兰比可卡大学数学与应用系，Via Roberto Cozzi 55 - 20125 米兰，意大利

**摘要**
我们研究了一种用于Oseen问题的虚拟元素方法。在平流主导的情况下，该方法通过对流项的三级跳跃来实现稳定性。为了分析该方法，我们证明了虚拟势空间的具体估计。最后，我们证明了所提出方法在平流主导极限下的稳定性，并推导出了速度和压力的h-版本误差估计。

**1. 引言**
本文旨在介绍一种用于Oseen问题（Navier-Stokes方程的线性化版本）的虚拟元素方法（VEM），该方法即使在平流主导的情况下也能保持稳定性。众所周知，当扩散系数相对于平流参数较小时，如果Péclet数不够小，标准数值方案会产生不满意的解。
VEM于2013年首次提出[1]，是对经典有限元方法（FEM）在求解偏微分方程（PDEs）方面的改进。其最吸引人的特点之一是能够处理复杂的多边形/多面体网格，允许每个元素采用任意形状。这种灵活性在解决涉及复杂几何形状的机械问题时特别有利；参见[2]和[3]及其引用文献。由于VEM能够处理复杂的域几何形状并且在数值模拟中具有鲁棒性，因此已广泛应用于结构力学、流体动力学和地球物理学等领域。VEM中的“虚拟”一词表明它不需要显式知道基函数；相反，只需要某些信息就可以构建刚度矩阵。
在[4]、[5]中，作者提出了一种用于Stokes方程的VEM方法，该方法通过在局部空间定义中包含虚拟速度的散度来实现无散度条件。然而，这一要求并未完全消除速度误差分析中的压力依赖性，因此该方法不能被视为严格意义上的压力鲁棒。压力对速度误差仍有残余依赖性，这源于用于近似右侧的多项式投影。因此，虽然该方案没有实现与压力的完全解耦，但实际上它有效地中和了压力的影响，使其贡献变得微不足道。在[6]、[7]中提出了完全压力鲁棒的VEM方法。这些方法的显著优势在于保证了压力鲁棒性；尽管如此，它们的构建需要将多边形三角剖分，并将其插值到Raviart–Thomas多项式空间中，这在某种程度上偏离了纯多边形方法的哲学。
在[8]中还提出了一种在双曲极限下保持稳定的Oseen问题的VEM方法。为了实现稳定性，该方法引入了类似SUPG（流线迎风Petrov-Galerkin）的局部项用于涡度方程以及一个跳跃项。在[9]中首次提出了具有CIP（连续内部惩罚）稳定性的Oseen方程的FEM方法。然而，这种方法的缺点在于它不是压力鲁棒的，这意味着速度的误差估计依赖于压力。为了解决这个问题，在[10]中引入了一种具有三级CIP稳定性的压力鲁棒FEM方法。
在[10]的基础上，我们尝试开发一种仅通过应用于网格骨架的跳跃算子来实现稳定性的VEM方法，并在[11]中完成了分析。该方法通过三级CIP形式控制((?u)β的跳跃的多项式部分。具体来说，我们控制了 (?u)β 的跳跃、(?u)β 的旋度的跳跃以及 (?u)β 的旋度的梯度的跳跃。这里，我们考虑的是应用于向量值函数 scurl(v) 的标量旋度：
curl(v) = ?v2/?x - ?v1/?y。其中 v1 和 v2 表示向量值函数 v 的两个分量。需要指出的是，正如VEM上下文中典型的那样，我们控制这些量的多项式投影，而其余部分则由稳定项控制。

**2. 模型问题**
给定一个多边形且简单连通的域 Ω?R2 和边界 Γ，我们考虑具有齐次Dirichlet边界条件的稳态Oseen方程：
(1) {find(u,p)
使得：
?νdiv(?(u)) + (?u)β + σu - ?p = 0
在 Ω 内，
div(u) = 0
在 Γ 上，
u = 0。
?(u) 是对称梯度算子，定义为 ?u + ?Tu2。
参数 ν、σ ∈ R+ 分别代表扩散系数和反应系数。传递平流场 β ∈ [W∞1(Ω)]2 是一个足够平滑的向量值函数，满足 div(β) = 0。最后，载荷项 f 假设为 f ∈ [L2(Ω)]2。
我们引入了空间 V(Ω): = [H?1(Ω)]2 和 Q(Ω): = L?2(Ω) = {v ∈ L2(Ω) | (v,1) = 0}。
问题 (1) 的一个可能的变分表述为：
(2) {find(u,p) ∈ V(Ω) × Q(Ω)
使得：
A(u,v) + c(u,v) + b(v,p) = F(v)
对所有 v ∈ V(Ω)，b(u,q) = 0 对所有 q ∈ Q(Ω)，
其中双线性形式定义为：
A(·,·): V(Ω) × V(Ω) → R，
A(u,v) = ν∫Ω ?(u):?(v)dΩ + σ∫Ω u·vdΩ，
? ≠ 0，
b(·,·): V(Ω) × Q(Ω) → R，
b(v,q) = ∫Ω qdiv(v)dΩ，
c(·,·): V(Ω) × V(Ω) → R，
c(u,v) = ∫Ω [(?u)β]·vdΩ，
F: V(Ω) → R 是 [L2(Ω)]2 内积。
我们还定义了双线性形式：
K(·,·): (Ω) × V(Ω) → R，
K(u,v): = A(u,v) + c(u,v)。
由于假设 div(β) = 0 并通过分部积分，我们可以说明双线性形式 c(·,·) 是斜对称的。因此，它等价于其斜对称部分 cskew(u,v) = 1/2(c(u,v) - c(v,u) = c(u,v) 对所有 u,v ∈ V(Ω)。
引入空间 Z(Ω): = {v ∈ V(Ω) | div(v) = 0}，我们可以将问题 (1) 重新表述为压力独立的形式：
(4) {find(u ∈ Z(Ω))
使得：
A(u,v) + c(u,v) = (f,v) 对所有 v ∈ Z(Ω)。
这种新的表述对理论分析很有用，但由于难以识别无散度函数，实际实现并不实用。由于 Ω 是一个具有Lipschitz边界的平滑且简单连通的域，我们可以将一个无散度函数 v ∈ Z(Ω) 与势 φ 关联起来，使得 curl(φ) = (?φ/?y, ??φ/?x)T = v。因此，我们引入了一个对方法分析有用的空间。我们定义流函数空间为：
(5) Φ(Ω): = {φ ∈ H2(Ω) | φ|Γ = ?φ|Γ·n = 0}。
由于这个空间的规则性高于速度空间，可以预期流场 curl(φ) 与虚拟元素空间之间的距离不仅由 curl((?u)β) 的跳跃控制，还由其梯度的跳跃控制。这一观察为在方法公式中包含额外的两级跳跃项提供了直观的解释。

**3. 方法**
**3.1. 网格假设**
在本节中，我们介绍了与将考虑的域 Ω 的分解相关的符号和假设。我们考虑了一组由不重叠（开放）多边形 E ∈ Ωh 组成的域 Ω 的分解 {Ωh}。这里，h 表示 Ωh 中元素的最大直径，hE 是元素 E ∈ Ωh 的直径。我们假设 {Ωh} 满足以下假设：
(A1) 网格假设。
存在一个正常数 ?，使得对于任何 E ∈ {Ωh}：
• E 相对于半径大于或等于 ?hE 的球 BE 是星形的，
• E 的任何边 e 的长度大于或等于 ?hE。
从现在开始，我们用 |E| 和 nE 分别表示多边形 E 的面积和单位外法线。边 e ? ?E 的单位法线的限制表示为 ne，而切线单位向量表示为 te。镶嵌 Ωh 的边集表示为 Eh。该集合分为内部边和边界边 Eh = Eh∩?E。
给定一个内部边 e ? ?E ∩ ?K 对于 E，K ∈ Ωh，我们为足够平滑的函数 w 定义跳跃算子：
[[w]]e = lims→0 w(x ? snE) + w(x ? snK)。
如果 e 是边界边，我们设置 [[w]]e = w。当上下文明确时，我们省略下标 e。让我们介绍一些稍后会有用的基本空间。给定两个正整数 n 和 m，以及 p ∈ [0,+∞]，对于任何 E ∈ Ωh，我们定义：
• Pn(E): E 上度数小于或等于 n 的多项式集（P?1(E) = {0}），
• Pn(Ωh): = {q ∈ L2(Ω) | q|E ∈ Pn(E) 对所有 E ∈ Ωh}，
• Wpm(Ωh): = {v ∈ L2(Ω) | v|E ∈ Wpm(E) 对所有 E ∈ Ωh}，
并配备了断裂范数和半范数 ∥v∥Wpm(Ωh)p := ∑E∈Ωh∥v∥Wpm(Ωh)p，
|v|Wpm(Ωh)p := ∑E∈Ωh|v|Wpm(Ωh)p，
如果 1≤p<∞，
∥v∥Wpm(Ωh): = maxE∈Ωh∥v∥Wpm(Ωh)，
|v|Wpm(Ωh): = maxE∈Ωh|v|Wpm(Ωh)，
如果 p=∞，
∥v∥m,Ωh2 := ∥v∥Wpm(Ωh)2。
如果 D 表示上述空间之一，[D]l 表示 D 对 l 维向量值函数的扩展。给定一个元素 E ∈ Ωh，我们还引入了以下多项式投影，它们在任何VEM实现中都是必不可少的：
• L2-投影 Πn0,E: [L2(E)]2 → [Pn(E)]2，定义为 ∫Eqn·(v ? Πn0,E)v)dE = 0 对所有 v ∈ [L2(E)]2；
Πn?,E: [H?(E)]2 → [Pn(E)]2，定义为 {∫E?qn·?(v ? Πn?,Ev)dE = 0 对所有 v ∈ H?(E) 和 qn ∈ Pn(E)，P0(v ? Πn?,Ev) = 0，其中 P0:[H?(E)]2 → R2 是任何映射到常数的投影算子。
我们用 Πk0 表示通过将局部投影粘合在一起获得的全局版本的 Πk0,E。在下文中，我们将频繁使用以下引理 [8], [16]。

**3.2. 虚拟元素空间**
给定一个整数 k ≥ 2 和一个元素 E ∈ Ωh，我们引入了增强型虚拟元素 [17] 空间：
(7) Vhk(E): = {vh ∈ [H?(E)]2
满足：
(i) Δvh + ?s ∈ x⊥Pk?1(E)，
对于某些 s ∈ L?2(E)，
(ii) div(vh) ∈ Pk?1(E)，
(iii) vh | e ∈ [Pk(e)]2，对于所有 e ∈ ?E，
以及 vh | ?E ∈ [C?(?E)]2，
(iv) (vh ? Πk?,E)vh,x⊥p^k?1) = 0，
对于所有 p^k?1 ∈ P^k?1/k?3(E)。
其中向量 x⊥ 定义为 x⊥: = [x?; ?x?]T。我们考虑以下线性算子集作为空间 Vhk(E) 的自由度（DoFs）：
• vh 在多边形 E 的顶点处的逐点值，
• vh 在每个边 e ? ?E 的 k?1 个高斯-洛巴托（Gauss-Lobatto）积分点的逐点值，
• vh 的矩：
1|E| ∫E vh·m⊥(x ?xEhE)αdE | α| ≤ k?3，其中 m⊥ := 1/hE(x2?x?,E,?x?+x?,E)，
• div(vh) 的矩：
∫E div(vh)(x ?xEhE)αdE | 0<|α| ≤ k?1。
通过将局部空间 Vhk(Ωh) = {vh ∈ V(Ω) | vh|E ∈ Vhk(E) 对所有 E ∈ Ωh} 粘合在一起，得到速度的全局空间。
在 [4] 中证明了对于 k ≥ 2，对 [Vhk(Ωh),Qhk(Ωh)] 的耦合是 inf-sup 稳定的。它满足：
supvh∈Vhk(Ωh)b(vh,qh) ∥?vh∥0，Ωh ≥ κ^ ∥qh∥0，Ωh ?qh∈Qhk(Ωh)，其中 κ^ 是不依赖于网格大小 h 的 inf-sup 常数。现在我们引入离散核 Zh(Ωh): = {vh ∈ Vhk(Ωh) | b(vh,qh) = 0 对所有 qh∈Qhk(Ωh)}。
由于 (7) 中的性质 (ii)，以下包含关系成立：
Zh(Ωh) ? Z(Ω)。这意味着离散核中的虚拟函数是无散度的。现在我们构造离散流函数空间 [17]：
Φhk(E): = {φ ∈ [H?(E)]2
满足：
(i) Δ2φ ∈ Pk?1(E)，
(ii) φ | e ∈ Pk+1(e)，对于所有 e ∈ ?E，
以及 vh | ?E ∈ C?(?E)，
(iii) ?φ | e ∈ [Pk(e)]2，对于所有 e ∈ ?E，
以及 ?vh | ?E ∈ [C?(?E)]2，
(iv) (curl(φ) ? Πk?,Ecurl(φ),x⊥p^k?1) = 0，对于所有 p^k?1 ∈ P^k?1/k?3(E)。
以及相应的全局空间 Φhk(Ωh): = {φ ∈ Φ(Ω) | φ|E ∈ Φhk(E) 对所有 E ∈ Ωh}，其连续对应物在 (5) 中定义。以下线性算子集是空间 Φhk(E) 的 DoFs：
• φ 在多边形 E 的顶点处的逐点值，
• φ 在每个边 e 的 k?2 个不同点处的逐点值，
• ?φ/?n 在每个边 e 的 k?1 个不同点处的逐点值，
• curl(φ) 的矩：
∫E curl(φ)·m⊥pk?3dE 对所有 pk?3 ∈ Pk?3(E)。
前四种 DoFs 与元素的边界相关，并在具有共同边或顶点的元素之间共享，而最后一种 DoFs 仅与单个元素相关。我们已经构造了 (6) 的一个精确子复形。最后，我们从 [8] 中回顾了空间 Vhk(Ωh) 和 Φhk(Ωh) 的两个近似结果。
**3.3. 近似**
在假设 (A1) 下，对于任何 v ∈ V(Ω) ∩ [Hs+1(Ωh)]2，存在 v?I ∈ Vhk(Ωh)，使得对于所有 E ∈ Ωh，
∥v ? v?I∥0，E+hE∥?(v ? v?I)∥0，E ? hEs+1|v|s+1,E，
其中 0 < s ≤ k。
**3.4. Φhk(Ωh) 的近似性质**
在假设 (A1) 下，对于任何 φ ∈ Φ(Ω) ∩ Hs+2(Ωh)，存在 φ?I ∈ Φhk(Ωh)，使得对于所有 E ∈ Ωh 都有：
∥φ ? φ?I∥0，E+hE|φ?φ?I|1，E+hE2|φ?φ?I|0，E ? hEs+2|φ|s+2,E，
其中 0 < s ≤ k。虚拟元素形式和离散问题
本节旨在构建第2节中介绍的形式的可计算对应物。我们回顾一下，第2节中介绍的形式可以通过将积分限制在元素E∈Ωh来分解为局部贡献，即：
EhA(u,v)=:∑E∈ΩhAE(u,v),
cskew(u,v)=:∑E∈Ωhcskew,E(u,v),
b(v,q)=:∑E∈ΩhbE(v,q),
F(v)=:∑E∈ΩhFE(v)。
双线性形式AE(·, ·)通过AhE(·,·)离散化，定义为
AhE(uh,vh):=ν∫EΠk?10,E?(uh):Πk?10,E?(vh)dE+σ∫EΠk0,Euh·Πk0,EvhdE+(ν+σhE2)ShE((I?Πk0,E)uh,(I?Πk0,E)vh)，
其中ShE(·,·):Vhk(E)×Vhk(E)→R是一个VEM稳定项，满足α*∥?vh∥0,E≤ShE(vh,vh)≤α*∥?vh∥0,E?vh∈Vhk(E)∩ker(Πk0,E)，
α*和α*是两个常数。对流项被chE(·, ·)替代，定义为
chE(uh,vh):=∫E[(Πk0,E?uh)β]·Πk0,EvhdE。
我们考虑这个双线性形式的斜部分
cskew,E(uh,vh)=:12(chE(uh,vh)?chE(vh,uh))。
为了在对流主导的情况下稳定方法，我们在方法的公式中引入了一个三级CIP项。首先，我们引入算子
(Bv)|E:=curl((?u)β)?E∈Ωh，
定义为
JhE(uh,vh):=∑i=13δiJhE,i(uh,vh)+δhEShE((I?Πk0,E)uh,(I?Πk0,E)vh)，
其中δ=max{δ1,δ2,δ3}，
JhE,1(uh,vh):=12∫?E/ΓhE2[[(?Πk0uh)β·tE]][[(?Πk0eh)β·tE]]ds,
JhE,2(uh,vh):=12∫?E/ΓhE4[[BΠk0uh]][[BΠk0vh]]ds,
JhE,3(uh,vh):=12∫?E/ΓhE6[[?BΠk0uh]][[?BΠk0eh)]ds。
由于Vhk(Ωh)的自由度，不需要对b(·, ·)进行离散化。
现在我们引入局部双线性形式
(8)KhE(uh,vh):=AhE(uh,vh)+chskew,E(uh,vh)+JhE(uh,vh)。
右侧通过FhE(vh):=∫Ef·Πk0,EvhdE离散化。
我们通过对所有多边形E∈Ωh求和来引入双线性形式的全局版本
Ah(uh,vh):=∑E∈ΩhAhE(u,vh),
chskew(uh,vh):=∑E∈Ωhchskew,E(u,vh),
Jh(uh,vh):=∑E∈ΩhJhE(uh,vh),
Fh(vh):=∑E∈ΩhFhE(vh),
Kh(uh,vh):=∑E∈ΩhKhE(uh,vh)。
离散问题表示为
(9){find(uh,ph)∈[Vhk(Ωh),Qhk(Ωh)]
使得：
Kh(uh,vh)+b(vh,ph)=Fh(vh)?vh∈Vhk(Ωh),
b(uh,qh)=0?qh∈Qhk(Ωh)，
或者，用无散度公式表示为
{finduh∈Zh(Ωh)}
使得：
Kh(uh,vh)=Fh(vh)?vh∈Zh(Ωh)。
注释3.1
如果问题(2)的解满足 (?u)β∈H52+ε(Ω)，则对于所有内部边e∈Eho，有
[[(?u)β·tE]]e=[[Bu]]e=[[?Bu]]e=0。
4. 理论分析
4.1. 初步结果
在这里，我们提出一些初步结果，这些结果将有助于分析该方法。我们从以下两个众所周知的结果开始：
命题4.1 跟迹不等式
在假设(A1)下，对于所有v∈H1(E)，我们有
∥v∥0,?E?hE?12∥vh∥0,E+hE12|vh|1,E?E∈Ωh，
或者等价地
∥v∥0,?E?hE?12∥vh∥0,E12(∥vh∥0,E+hE|vh|1,E)12?E∈Ωh。
命题4.2 Poicarè-Friedrichs, [18]
在假设(A1)下，对于所有v∈H1(E)，我们有
∥v∥L2(E)≤hE?1|∫Evdx|+hE|v|H1(E)?E∈Ωh，
并且
∥v∥L2(E)≤|∫?Evds|+hE|v|H1(E)?E∈Ωh，
此外，我们需要对空间Φhk(Ωh)进行以下逆估计。这些结果最初在[19]中得到证明。这里，我们提出了一种不同的证明方法，类似于[14]中的逆估计。
命题4.3 (H2(E)?H1(E)) 在网格假设(A1)下，我们有
|φh|2,E?hE?1|φh|1,E?φh∈Φhk(Ωh)。
证明
由于我们处于二维空间，函数的旋度的范数等同于梯度的范数。因此我们有
|φh|2,E≈|curl(φh)|1,E。
由于域是单连通的，我们有curl(φh)=vh对于某些vh∈Vhk(Ωh)。这给出
|φh|2,E≈|vh|1,E。
现在，我们使用定理2.1在[20]和ShE(·,·):Vhk(E)×Vhk(E)→R，其中ShE(·,·)满足α*∥?vh∥0,E≤ShE(vh,vh)≤α*∥?vh∥0,E?vh∈Vhk(E)∩ker(Πk0,E)，其中α*和α*是两个常数。对流项被chE(·, ·)替换，定义为
chE(uh,vh):=∫E[(Πk0,E?uh)β]·Πk0,EvhdE。
我们考虑这个双线性形式的斜部分
chskew,E(uh,vh):=12(chE(uh,vh)?chE(vh,uh))。
为了在对流主导的情况下稳定方法，我们在方法的公式中引入了一个三级CIP项。首先，我们引入算子
(Bv)|E:=curl((?v)β)?E∈Ωh，
定义为
JhE(uh,vh):=∑i=13δiJhE,i(uh,vh)+δhEShE((I?Πk0,E)uh,(I?Πk0,E)vh)，
其中δ=max{δ1,δ2,δ3}，
JhE,1(uh,vh):=12∫?E/ΓhE2[[(?Πk0uh)β·tE]][[(?Πk0eh)β·tE]]ds,
JhE,2(uh,vh):=12∫?E/ΓhE4[[BΠk0uh]][[BΠk0vh]]ds,
JhE,3(uh,vh):=12∫?E/ΓhE6[[?BΠk0uh]][[?BΠk0eh]]ds。
由于Vhk(Ωh)的自由度，没有必要引入b(·, ·)的离散化。
现在我们引入局部双线性形式
(8)KhE(uh,vh):=AhE(uh,vh)+chskew,E(uh,vh)+JhE(uh,vh)。
右侧通过FhE(vh):=∫Ef·Πk0,EvhdE离散化。
我们通过对所有多边形E∈Ωh求和来引入双线性形式的全局版本
Ah(uh,vh):=∑E∈ΩhAhE(uh),
chskew(uh,vh):=∑E∈Ωhchskew,E(uh,vh),
Jh(uh,vh):=∑E∈ΩhJhE(uh),
Fh(vh):=∑E∈ΩhFhE(vh),
Kh(uh,vh):=∑E∈ΩhKhE(uh)。
离散问题表示为
(9){find(uh,ph)∈[Vhk(Ωh),Qhk(Ωh)]
使得：
Kh(uh,vh)+b(vh,ph)=Fh(vh)?vh∈Vhk(Ωh),
b(uh,qh)=0?qh∈Qhk(Ωh)，
或者，用无散度公式表示为
{finduh∈Zh(Ωh)}
使得：
Kh(uh,vh)=Fh(vh)?vh∈Zh(Ωh)。
注释3.1
如果问题(2)的解满足 (?u)β∈H52+ε(Ω)，那么对于所有内部边e∈Eho，有
[[(?u)β·tE]]e=[[Bu]]e=[[?Bu]]e=0。压力误差分析
设 \( p \) 和 \( p_h \) 分别为问题 (2) 和 (9) 解的压力分量。设 \( p_{\pi} \) 满足 \( p_{\pi}|E := \Pi_k^{-10} \), \( E_p \forall E \in \Omega_h \)。注意到由于 \( (p,1) \Omega = 0 \)，我们有 \( (p_{\pi},1) \Omega = 0 \)。实际上 \( (p_{\pi},1) \Omega = \sum_{E \in \Omega_h}(p_{\pi},1)E = \sum_{E \in \Omega_h}(\Pi_k^{-10}E_p,1)E = \sum_{E \in \Omega_h}(p,1)E = 0 \)。由于我们已经证明 \( p_{\pi} \in Q_{hk}(\Omega_h) \)，利用 inf-sup 条件 (3.2)，存在 \( w_p \in V_{hk}(\Omega_h) \) 使得 \( (19)b(w_p,p_h-p_{\pi})\|_{\nabla w_p}\|_0,\Omega \geq \kappa^* \|p_h-p_{\pi}\|_0,\Omega \)，并且不失一般性，我们可以假设 \( \|_{\nabla w_p}\|_0,\Omega = 1 \)。如同在命题 4.8 中所做的那样，我们引入以下对压力场的误差估计：

**命题 4.9**
设 \( (u, p) \) 为连续问题 (2) 的解，\( (u_h, p_h) \) 为离散问题 (9) 的解。则有 \( \|p-p_h\|_0,\Omega \leq \|p-p_{\pi}\|_0,\Omega + \xi_f + \xi_A + \xi_c + \xi_j \)，其中
\( \xi_f := |F(w_p)-F_h(w_p)| \), \( \xi_A := |A(u,w_p)-A_h(u,I,w_p)| \), \( \xi_c := |cs_k^{ew}(u,w_p)-c_h^{ew}(u,I,w_p)| \), \( \xi_J := |J_h(u,I,w_p)| \)。

**证明**
使用三角不等式，我们有 \( \|p-p_h\|_0,\Omega \leq \|p-p_{\pi}\|_0,\Omega + \|p_{\pi}-p_h\|_0,\Omega \)。由于 \( p_{\pi} \in Q_{hk}(\Omega_h) \)，根据 inf-sup 条件 (3.2)，存在 \( w_p \in V_{hk}(\Omega_h) \) 使得 \( (19)b(w_p,p_h-p_{\pi})\|_{\nabla w_p}\|_0,\Omega \geq \kappa^* \|p_h-p_{\pi}\|_0,\Omega \)，并且不失一般性，我们可以假设 \( \|_{\nabla w_p}\|_0,\Omega = 1 \)。