在平面多块域上使用光滑混合度样条的等几何配置方法

《Computers & Mathematics with Applications》：Isogeometric collocation with smooth mixed degree splines over planar multi-patch domains

　　马里奥·卡普尔（Mario Kapl）|阿尔亚扎什·科斯马奇（Alja? Kosma?）|维托·维特里赫（Vito Vitrih）
奥地利维拉赫（Villach）卡林西亚应用科技大学（Carinthia University of Applied Sciences）工程与信息技术系

**摘要**
我们提出了一种新颖的等几何配置方法，用于求解平面双线性参数化多面体几何形状上的泊松方程和双调和方程。该方法依赖于对Cs-光滑混合度等几何样条空间的改进构造[1]，分别适用于泊松方程和双调和方程中的s=2和s=4情况。这种改进的样条空间在多面体域内的所有位置都具有最小的可能度数p=s+1，除了内边缘和顶点附近的小邻域外，在这些地方需要度数p=2s+1。与使用具有相同高度数p=2s+1的Cs-光滑样条空间[2]相比，这种方法能够以更少的自由度数求解偏微分方程（PDEs）。为了使用这种光滑混合度样条函数进行等几何配置，我们引入并研究了两种不同的配置点集：首先是标准Greville点的推广——混合度Greville点集，其次是所谓的混合度超收敛点。该配置方法进一步扩展到了类双线性Gs多面体参数化[3]，从而能够对具有曲线边界的多面体域进行建模，并通过多个数值示例进行了验证。

**1. 引言**
等几何分析[4]、[5]、[6]是一种通过使用与CAD模型相同的B样条或NURBS函数进行数值模拟来求解偏微分方程（PDE）的方法。特别是对于复杂域，CAD模型通常是一个由四边形样条块组成的非结构化网格[7]、[8]，这些样条块可能具有非平凡的顶点，即顶点的度数不为四。为了在这样的多面体样条几何形状上求解高阶PDE，需要一个光滑的样条空间来描述PDE的数值解。

在通过Galerkin方法求解PDE时，人们用其弱形式替换了PDE的强形式（即原始形式）。这允许使用平滑度较低的样条空间，但代价是矩阵组装成本较高，以及可能存在的数值积分一致性和鲁棒性问题，因此可能需要考虑其他方法。一种替代方法是使用配置方法求解给定的PDE强形式，这种方法不需要数值积分，因此矩阵组装速度显著加快。然而，配置方法需要更高平滑度的样条空间（因此需要更高阶的函数），例如对于二阶PDE（如泊松方程）需要C2-光滑函数[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]，对于四阶PDE（如双调和方程和Kirchhoff板问题）需要C4-光滑函数[12]、[16]、[17]、[18]、[19]。

精确的Cs-光滑（s≥1）等几何样条空间在多面体域上的研究和构造最初是针对s=1的情况开始的。现有方法可以根据所使用的多面体样条几何类型进行分类，例如在非平凡顶点附近具有奇点的C1-光滑多面体参数化[20]、[21]、[22]；在非平凡顶点附近具有G1-光滑顶点的C1-光滑参数化[23]、[24]、[25]、[26]；以及一般的G1-光滑、规则多面体参数化[27]、[28]、[29]、[30]，这些参数化通常基于特定的几何形状（如双线性[31]、[32]）或AS-G1多面体参数化[33]、[34]、[35]、[36]。对于进行等几何配置所需的更高平滑度s≥2的扩展，主要针对第三种方法进行研究，并首先考虑了s=2的情况[3]、[37]、[38]、[39]，随后在Kapl和Vitrih的工作[2]中将其推广到任意平滑度s≥1的情况。

Cs-光滑等几何多面体样条空间[2]的构造适用于平面双线性参数化的多面体域，也适用于更复杂的类双线性Gs多面体参数化[3]，从而能够对具有曲线边界的多面体域进行建模。Cs-光滑多面体样条空间的一个优点是其最优逼近特性，这一点通过L2逼近在1≤s≤4的情况下得到了数值验证[2]，并通过等几何配置求解s=2和s=4的泊松方程和双调和方程得到了证明[13]、[17]。然而，Cs-光滑样条空间的一个缺点是需要相当高的样条度数p，即p≥2s+1，从而导致涉及的自由度数较多。

为了解决这个问题，在[1]中开发了一种Cs-光滑混合度和规则性的等几何样条空间，适用于平面双线性和类双线性Gs多面体几何形状，并已用于通过Galerkin方法求解高阶PDE（如双调和方程和三调和方程）。所提出的Cs-光滑混合度和规则性样条空间仅在多面体域的边缘和顶点附近的小邻域内需要高度数p=2s+1，在单个样条的内部则可以使用最小的可能度数p=s+1，从而与样条空间[2]相比，能够以更少的自由度数求解PDE。

在本文中，我们的目标是通过显著减少自由度数来实现多面体等几何配置，与在[13]和[17]中使用的样条空间相比。为此，我们将开发一种配置方法，该方法采用Cs-光滑混合度样条空间，这是Cs-光滑混合度和规则性等几何样条空间[1]的改进版本，仅在内部边缘和顶点度数大于1的地方需要高样条度数p=2s+1，这样可以在保证h-可细化样条空间构造的同时，进一步减少需要高度数p=2s+1的位置。更具体地说，所开发的等几何配置方法将能够使用主要为C2-光滑的样条（在多面体域的大部分区域为3度，在少数区域为5度）来求解泊松方程，而Kapl和Vitrih[13]中使用的是C2-光滑的5度样条。对于双调和方程，新配置方法将允许使用主要为C4-光滑的样条（在多面体域的大部分区域为5度，在少数区域为9度）来求解四阶PDE，而技术[17]则需要在所有地方使用9度样条。

为了使用生成的Cs-光滑混合度等几何样条空间进行等几何配置，将开发并研究两种不同的新型配置点集：首先是标准Greville点的推广——混合度Greville点，其次是所谓的混合度超收敛点。多个数值示例将展示新配置方法在求解具有C2和C4-光滑函数的多面体域上的泊松方程和双调和方程时的潜力，这些函数的度数通常较低，因此与使用具有相同高度数p=2s+1的Cs-光滑样条空间相比，所需的自由度数显著减少。对于本文研究的多面体域，使用混合度Greville点和混合度超收敛点将导致一个略微过定的线性系统，该系统将通过最小二乘法求解。基于一个两块面的示例，我们将提出一种技术，通过选择合适的混合度超收敛点子集来强制得到一个方形的线性系统（如同单块面情况）。

本文的其余部分组织如下：第2节将回顾使用C2和C4-光滑有限离散化样条空间求解泊松方程和双调和方程的基本概念。第3节将介绍所使用的Cs-光滑、s=2,4等几何离散化样条空间，该空间是在所有位置都具有最小可能度数p=s+1的混合度Cs-光滑样条空间，除了内边缘和顶点附近的小邻域外，这些地方的度数需要为p=2s+1。第4节将介绍两种可能的配置点选择：混合度Greville点和混合度超收敛点。第5节将通过多个数值示例研究h-细化下的收敛行为，针对L2范数和Hm-半范数（1≤m≤s，s=2,4），并展示我们的配置方法求解泊松方程和双调和方程的能力。最后，第6节将总结结果并提出一些可能的进一步研究方向。

**2. 多面体等几何配置方法**
在本节中，我们将介绍用于通过C2和C4-光滑等几何离散化样条空间求解平面多面体域上的泊松方程和双调和方程的等几何配置方法。在此之前，我们将描述所考虑的平面多面体域的配置。

**多面体配置**
我们假设Ω?R2是一个开放的平面域，其闭包Ω?可以描述为开放的四边形块Ω(i)（i∈IΩ）、开放边缘Γ(i)（i∈IΓ）和顶点Ξ(i)（i∈IΞ）的不相交并集，参见图1。此外，我们假设任意两个块的闭包要么没有交集，要么恰好有一个公共顶点，要么共享整个公共边缘，并且每个块都由一个双线性、双射且规则的几何映射F(i)参数化，即Ω(i)?=F(i)([0,1]2)，其中F(i):[0,1]2→R2，ξ=(ξ?,ξ?)?F(i)(ξ)=F(i)(ξ?,ξ?)，i∈IΩ。

之后，区分内边缘和边界边缘以及内顶点和边界顶点是很重要的。因此，索引集IΓ和IΞ也分别分为IΓ=IΓI∪˙IΓB和IΞ=IΞI∪˙IΞB，其中I表示内部，B表示边界。

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**图1.** 两块面域Ω?（左）和三块面域Ω?（右）的示例，包括块Ω(i)及其相关的几何映射F(i)、边缘Γ(i)（紫色）和顶点Ξ(i)（蓝色），其中x?(i)=F(i)(ξ?,0)和x?(i)=F(i)(0,ξ?)。

**泊松方程的等几何配置**
设g:Ω→R，g?:?Ω→R是足够光滑的函数。我们感兴趣的是找到u:Ω?→R，u∈C2(Ω?)，它强烈满足泊松方程：
Δu(x)=g(x)，x∈Ω，
以及
u(x)=g?(x)，x∈?Ω。

通过遵循多面体等几何配置方法[13]，我们将计算解u的C2-光滑近似uh∈Wh2，其中Wh2表示包含C2-光滑函数的有限维离散化样条空间，h表示选定的网格大小。为此，我们需要一组全局配置点yj，j∈J，这些点进一步分为内部配置点yjI，j∈JI，和边界配置点yjB，j∈JB。将这些点代入(1)中，我们得到：
Δuh(yjI)=g(yjI)，j∈JI，
以及
uh(yjB)=g?(yjB)，j∈JB。

为了使用等几何方法求解问题(2)，首先需要将全局配置点yj，j∈J，表示为局部坐标：
ζjI=(F(ιj))?1(yjI)，j∈JI，
和
ζjB=(F(ιj))?1(yjB)，j∈JB，
其中
(3)
ιj:=min{i∈IΩ，yj∈Ω(i)?}。

有了局部配置点ζjI和ζjB，方程(2)可以转换为：
(4)
1|detJF(ιj)(ζjI)|(?°(N(ιj)(ξ)?(uh(F(ιj)(ξ)))|ξ=ζjI=g(F(ιj)(ζjI))，j∈JI，
uh(F(ιj)(ζjB))=g?(F(ιj)(ζjB))，j∈JB，
其中
(5)
N(ιj)(ξ)=|detJF(ιj)(ξ)|(JF(ιj)(ξ))?T(JF(ιj)(ξ))?1，
JF(ιj)是几何映射F(ιj)的雅可比矩阵。这意味着一个关于未知系数ci的线性系统，uh=∑i∈Ici?i∈Wh2，其中I={0,1,…,dimWh2?1}，{?i}i∈I是Wh2的一个基，这样的基将在第3.2节中介绍。

**双调和方程的等几何配置**
让我们回顾一下前一段中泊松方程方法的推广到双调和方程配置方法[17]。现在的目标是找到u:Ω?→R，u∈C?(Ω?)，它满足双调和方程：
Δ2u(x)=g(x)，x∈Ω，
以及
u(x)=g?(x)，?nu(x)=g?(x)，x∈?Ω，
以强形式表示，其中g:Ω?→R和g?，g?:?Ω→R是足够光滑的函数，n是外法向量。更准确地说，我们想要得到精确解u的C4-光滑近似uh∈Wh4，其中Wh4现在表示包含C4-光滑函数的有限维离散化样条空间。将全局内部配置点yjI（j∈JI）和全局边界配置点yjB（j∈JB）插入到（6）中，我们得到（7）Δ2uh(yjI)=g(yjI)，j∈JI，以及uh(yjB)=g1(yjB)，?nuh(yjB)=g2(yjB)，j∈JB。然后，使用相应的全局内部和边界局部配置点ζjI（j∈JI）和ζjB（j∈JB），方程（7）可以转换为（[17]，[40]）：(8)1|detJF(ιj)(ζjI)|?°(N(ιj)(ξ)?(1|detJF(ιj)(ξ)|?°(N(ιj)(ξ)?(uh(F(ιj)(ξ))))))|ξ=ζjI=g(F(ιj)(ζjI))，j∈JI，uh(F(ιj)(ζjB))=g1(F(ιj)(ζjB))，j∈JB，〈n(F(ιj)(ξ))，(JF(ιj)(ξ))?1?uh(F(ιj)(ξ))〉|ξ=ζjB=g2(F(ιj)(ζjB))，j∈JB，其中函数N(ιj)在方程（5）中给出，JF(ιj)是几何映射F(ιj)的雅可比矩阵。这再次导致了一个关于未知系数ci的线性系统，uh=∑i∈Ici?i∈Wh4，其中I={0,1,…,dimWh4?1}，且{?i}i∈I是Wh4的一个基，这样的一个基将在第3.2节中介绍。

配置点的分离
将全局配置点集yj（j∈J）直接分为内部配置点yjI（j∈JI）和边界配置点yjB（j∈JB）的方法是，将所有位于域边界?Ω上的全局配置点作为边界配置点，将剩余的点作为内部配置点。然而，这种方法在泊松方程的情况下效果很好，而对于双调和方程，即使在单贴片情况下也会导致过度确定的线性系统，因为我们将有太多的配置点。因此，在双调和方程的情况下，我们将遵循[17]、[19]、[41]中使用的分离技术。这将导致单贴片情况下的线性系统是方形的，而在多贴片情况下则是略微过度确定的线性系统。
下面，我们将在第3节中介绍一个特定的Cs-光滑混合度等几何多贴片离散化样条空间的构造，这是Cs-光滑混合度和规则性样条空间[1]的一个变体，并将用于s=2和s=4的情况，以执行等几何配置，以解决多个多贴片域上的泊松方程和双调和方程，参见第5节。为此，我们将在第4节中进一步描述两组特定的配置点，即混合度Greville点和混合度超收敛点。

3. 光滑混合度等几何离散化样条空间
我们将介绍一个特定的Cs-光滑混合度等几何样条空间，该空间定义在一个双线性参数化的平面多贴片域上，其构造的动机来自于Cs-光滑混合度和规则性样条空间[1]的设计。这些混合度样条空间是“标准”Cs-光滑样条空间[2]的一个很好的替代品，后者要求在整个多贴片域上的度数为p=2s+1，而我们将这个高度在域的大部分区域降低到最小可能的p=s+1。具体来说，所提出的Cs-光滑混合度样条空间仅在贴片内部边缘和度数大于一的顶点的小邻域内具有高样条度数p=2s+1，因此与混合度样条空间[1]相比，它进一步减少了高度数的部分。在贴片内部边缘和度数大于一的顶点的小邻域内使用高样条度数p=2s+1是为了确保通过保证沿内部边缘的迹和导数的拉回直到s阶都是多项式来构建h-可细化样条空间，参见[2]。

3.1. [0, 1]2上的混合度基础样条空间
Cs-光滑混合度等几何样条空间的构造将基于使用[0, 1]2上的适当混合度基础样条空间来定义单个贴片上的函数。在介绍这个混合度基础样条空间之前，我们将介绍一些所需的符号。首先，我们用Sh(p,p),(r,r)([0,1]2)=Shp,r([0,1]2)表示张量积样条空间Shp,r([0,1])?Shp,r([0,1])，其中Shp,r([0,1])是在单位区间[0,1]上的单变量样条空间，度数为p，规则性为r，网格大小为h=1k+1，具有均匀的开结向量(t0p,r,…,t2p+k(p?r)+1p,r)，其中k个内部结ik+1，i=1,…,k，重数为p?r。其次，样条空间Shp,r([0,1])和Shp,r([0,1]2)的B样条基分别用Njp,r和Nj1,j2p,r表示，其中j,j1,j2=0,1,…,np?1，np=dimShp,r([0,1])=p+1+k(p?r)。
目标是使用[1]中混合度基础空间Sh(p1,p2),s([0,1]2)的修改版本，该版本一方面包括在多贴片域Ω￣的内部边缘对应的[0, 1]2边界部分具有θ≤s阶导数为零的p1=s+1度的样条函数，另一方面包括支持仅包含在[0, 1]2同一边界部分的p2=2s+1度的样条函数。这与[1]不同，在[1]中，混合度基础样条空间Sh(p1,p2),s([0,1]2在[0, 1]2的所有边界附近都具有p2=2s+1度的样条函数，无论[0, 1]2的边界边缘是否对应于多贴片域Ω￣的内部边缘。下面，我们将简要描述修改后的混合度基础样条空间Sh(p1,p2),s([0,1]2的构造，参见图2，并将在附录A中提供详细构造：
• 我们从样条空间Shp1,s([0,1]2中的B样条Nj1,j2p1,s开始，这些样条在[0, 1]2边界对应于多贴片域Ω￣的内部边缘的部分具有θ≤s阶导数为零。我们用S1([0,1]2表示由这些B样条张成的子空间。
• 在下一步中，我们添加来自样条空间Shp2,s([0,1]2中的B样条Nj1,j2p2,s，这些样条在[0, 1]2边界的同一部分具有非零的θ≤s阶导数。这些函数张成了子空间S2([0,1]2。
• 最后，为了确保基础样条空间Sh(p1,p2),s([0,1]2的完整性，我们在截断它们（在一个或两个方向上）相对于样条空间Shp2,s([0,1]2之后，添加了一些之前从样条空间Shp1,s([0,1]2中移除的B样条，使得它们的θ≤s阶导数在[0, 1]2边界对应于多贴片域Ω￣的内部边缘的部分为零。因此，N￣ip1,s表示Nip1,s=∑j=0np2?1μj(i)Njp2,s的单变量截断，定义为N￣ip1,s=∑j=s+1np2?s?2μj(i)Njp2,s，i=0,1,…,np1?1，μj(i)∈R，μj(i)≥0。这些双变量截断的B样条张成了子空间S￣1([0,1]2。

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图2. 对于s=2和k=8，空间Sh(s+1,2s+1),s([0,1]2的所有基函数极值的位置。空间Sh(p1,p2),s([0,1]2的五种不同变体取决于[0, 1]2中对应于多贴片域Ω￣的内部边缘的边的数量和位置。蓝色、绿色和红色点分别对应于空间S1([0,1]2)、S￣1([0,1]2和S2([0,1]2中的函数。虚线灰色线条表示子域[h,1?h]2的边界。
由此我们得到完整的混合度基础样条空间Sh(p1,p2),s([0,1]2，作为直和：(9)Sh(p1,p2),s([0,1]2)=S1([0,1]2)⊕S￣1([0,1]2)⊕S2([0,1]2)，其中子空间S1([0,1]2、S￣1([0,1]2和S2([0,1]2的详细描述基于[0, 1]2中对应于Ω￣的内部边缘的边的数量和位置，包括五种可能的情况，即四个、三个相邻的、两个相对的或仅一个内部边缘，并在附录A中明确给出。图2展示了五种可能的Sh(p1,p2),s([0,1]2空间变体的所有基函数极值的位置。注意，在[1]中，混合度基础空间Sh(p1,p2),s([0,1]2与第一个变体相同，即对于四个内部边缘的情况，并且在[1]中总是使用的，无论内部边缘的数量如何。与此工作不同，在这里，所有五种混合度基础空间Sh(p1,p2),s([0,1]2都将用于在第3.2节中构建Cs-光滑混合度等几何样条空间。
可以证明（参见[1]），空间S1([0,1]2、S￣1([0,1]2和S2([0,1]2的所有基函数都是线性独立的，因此构成了完整空间Sh(p1,p2),s([0,1]2的基。它们具有局部支持，是非负的，并且构成单位分割。此外（参见附录A），我们可以推导出空间Sh(p1,p2),s([0,1]2的一般维度公式：设E, 1≤E≤4，V, 0≤V≤2，分别是[0, 1]2中对应于多贴片域Ω￣的内部边缘和边界顶点的边和顶点的数量。那么(10)dimSh(p1,p2),s([0,1]2)=(k+2)2+((2+2E)k+(12?E?2V))s+(Ek+(5?V))s2。

3.2. Cs-光滑混合度离散化样条空间
我们将描述将在第2节中用作等几何配置方法的离散化空间的Cs-光滑混合度等几何样条空间的构造。生成的样条空间将是样条空间[1]的改编版本，旨在进一步减少高阶p2=2s+1函数的出现次数。与[1]中所有边和顶点附近都有高阶p2=2s+1函数的情况不同，改编后的样条空间仅在所有内部边缘和度数大于一的顶点的邻域内具有高阶p2=2s+1函数，这样仍然需要高阶p2=2s+1以确保生成的样条空间是h-可细化的。样条空间的构造将基于在前一小节中介绍的混合度基础样条空间的应用，并将允许与使用[1]特别是使用[2]相比，进一步减少执行等几何配置所需的自由度数量，[2]仅包含高阶p2=2s+1函数，参见[13]、[17]。
对于每个内部边缘Γ(i)，i∈IΓI，其中Γ(i)￣=Ω(i0)￣∩Ω(i1)￣，i0,i1∈IΩ，假设F(i0)(0,ξ)=F(i1)(0,ξ)，ξ∈[0, 1]，如图1（左）所示，我们定义样条函数f?(i,τ)：[0,1]→R，τ∈{i0, i1}，如下：f?(i,τ)(ξ)=(α(i,τ)(ξ))???1?(?°F(τ))(0,ξ)?∑j=0??1(?j)(β(i,τ)(ξ)α(i,τ)(ξ))??j???jfj(i,τ)(ξ)，?=0,…,s，其中α(i,τ)和β(i,τ)是线性多项式函数（称为粘合函数），定义为α(i,τ)(ξ)=λdetJF(τ)(0,ξ)和β(i,τ)(ξ)=?1F(τ)(0,ξ)·?2F(τ)(0,ξ)∥?2F(τ)(0,ξ)∥2，其中JF(τ)是F(τ)的雅可比矩阵，λ=argminλ>0(∑j=01∥α(i,ij)+(?1)j∥L22)，参见[39]。然后，我们定义一个在多贴片域Ω￣上的Cs-光滑等几何样条函数的特定空间，其混合度为(p1, p2)，规则性为s，表示为Ws，如下：Ws={?∈L2(Ω￣)：?°F(i)∈Sh(p1,p2),s([0,1]2)，i∈IΩ，f?(i,i0)=f?(i,i1)，?=0,…,s，i∈IΓI，i0,i1∈IΩ，f?(i)∈Shp2??,2s??([0,1])，?=0,…,s，i∈IΓI，其中f?(i)表示在内部边缘Γ(i)处?的特定阶数?的导数，参见[2]。样条空间Ws可以像[1]中那样构造为与各个贴片Ω(i)，i∈IΩ，边缘Γ(i)，i∈IΓ，和顶点Ξ(i)，i∈IΞ相关联的较小子空间的直和，即Ws=(?i∈IΩWΩ(i)s)⊕(?i∈IΓWΓ(i)s)⊕(?i∈IΞWΞ(i)s，不同之处在于对于Sh(p1,p2),s([0,1]2，使用了前一小节中描述的修改后的混合度基础样条。为了简化符号，让我们定义三个运算符?Ω(i)：Sh(p1,p2),s([0,1]2)→Ws，?Γ(i):Sh(p1,p2),s([0,1]2)×Sh(p1,p2),s([0,1]2)→Ws和?Ξ(i):∏ρ=0νi?1Sh(p1,p2),s→Ws，如下：?Ω(i)(S)(x)={(S°(F(i))?1)(x)如果x∈Ω(i)￣，0如果x∈Ω￣?Ω(i)￣，?Γ(i)(S0,S1)(x)={(Sρ°(F(iρ))?1)(x)如果x∈Ω(iρ)￣，ρ=0,1，否则，?Ξ(i)(S0,…,Sνi?1)(x)={(Sρ°(F(iρ))?1)(x)如果x∈Ω(iρ)￣，ρ=0,1,…,νi?1，否则，其中Γ(i)￣=Ω(i0)￣∩Ω(i1)￣，i∈IΓI，i0,i1∈IΩ，Ξ(i)=∩ρ=0νi?1Ω(iρ)￣，i∈IΞI。接下来，我们将描述单个子空间的设计，这些子空间将作为相应基函数的张成。

3.2.1. 贴片子空间WΩ(i)s
我们必须根据多贴片域Ω￣中包含的内部边缘的数量来区分不同的情况。构造取决于Ω(i)￣中是否包含四个、三个、两个相邻的、两个相对的或仅一个内部边缘。四个内部边缘的情况已经在[1]中描述过，而所有其他情况——都是对四个内部边缘情况的修改——将在下面新介绍，这些修改是为了尽可能减少函数在多贴片域Ω￣边界附近的度数，使其为p1=s+1，从而减少自由度的数量。

四个内部边缘
贴片子空间WΩ(i)s定义为WΩ(i)s=span{?Ω(i)(Nj1,j2p1,s)|j1,j2=s+1,…,np1?s?2}⊕span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=1,…,s,np1?s?1,…,np1?2;j2=1,…,np1?2};span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=s+1,…,np1?s?2;j2=1,…,np1?2};span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=s+1,…,np1?s?2;j2=1,…,np1?2}。

三个内部边缘
假设内部边缘位于左侧、底部和顶部，则子空间WΩ(i)s定义为WΩ(i)s=span{?Ω(i)(Nj1,j2p1,s)|j1,j2=s+1,…,np1?s?2}⊕span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=1,…,s;j2=1,…,np1?2};span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=s+1,…,np1?s?2;j2=1,…,np1?2}。

两个相邻的内部边缘
假设左侧和底部边缘是两个内部边缘，则WΩ(i)s定义为WΩ(i)s=span{?Ω(i)(Nj1,j2p1,s)|j1,j2=s+1,…,np1?s?2}⊕span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=1,…,np1?2};span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=s+1,…,np1?2;j2=1,…,np1?2}。

一个内部边缘
假设底部边缘是唯一的一个内部边缘，则WΩ(i)s定义为WΩ(i)s=span{?Ω(i)(Nj1,j2p1,s)|j1,j2=s+1,…,np1?2};span{?Ω(i)(Nj1,j2p1,s)|j1=s+1,…,np1?2};span{?Ω(i)(N￣j1p1,sN￣j2p1,s)|j1=s+1,…,np1?2}。

注意，贴片子空间WΩ(i)s的构造与[1]中的四个内部边缘的情况相同，而在所有其他情况下都不同。边缘子空间 WΓ(i)s

让我们从构建内边缘 Γ(i) 的边缘子空间 WΓ(i)s 开始，其中 i∈IΓI，且 Γ(i)￣=Ω(i0)￣∩Ω(i1)￣，i0,i1∈IΩ，假设 F(i0)(0,ξ)=F(i1)(0,ξ)，ξ?∈?[0, 1]，参见图 1（左侧）。这个子空间已经在 [1]、[2] 中描述过，这里再次提及是为了完整性。它的生成方式为：

WΓ(i)s=span{?Γ(i)(fΓ(i);j1,j2(i0),fΓ(i);j1,j2(i1))|j2=2s+1?j1,…,k(j1+1);j1=0,…,s}，

其中样条函数为：

(11)fΓ(i);j1,j2(τ)(ξ1,ξ2)=γj1∑?=j1s(?j1)(β(τ)(ξ2))??j1(α(τ)(ξ2))j1???j1(Nj2p2?j1,2s?j1(ξ2))M?p2,s(ξ1)，

其中 γj1=h?j1∏ρ=0j1?1(p2?ρ) 且 M?p2,s(ξ)=∑j=?s(j?)h?∏ρ=0??1(p2?ρ)Njp2,s(ξ)，?=0,1,…,s。

对于边界边缘 Γ(i)，i∈IΓB，且 Γ(i)￣?Ω(i0)￣，i0∈IΩ，我们假设其闭包 Γ(i)￣ 由 F(i0)({0}×[0,1]) 给出。边界边缘子空间 WΓ(i)s 的构建取决于 Γ(i)￣ 是否包含两个、一个或没有边界顶点 Ξ(i)，i∈IΞB，且顶点的补片度为 1。在所有情况下，这与 Kapl 等人 [1] 中的构建方法不同，在那里边界处使用的是较高的样条度 p2=2s+1 而不是这里的 p1=s+1。

- 如果有两个边界顶点，补片度为 1，则边缘子空间 WΓ(i)s 为：
WΓ(i)s=span{?Ω(i0)(Nj1,j2p1,s)|j2=2s+1?j1,…,np1+j1?(2s+2);j1=0,1,…,s}。

- 如果有一个边界顶点，补片度为 1，则边缘子空间 WΓ(i)s 为：
WΓ(i)s=span{?Ω(i0)(Nj1,j2p1,s)|j2=2s+1?j1,…,np1?s?2;j1=0,1,…,s}。

- 如果没有边界顶点，补片度为 1，则边缘子空间 WΓ(i)s 为：
WΓ(i)s=span{?Ω(i0)(Nj1,j2p1,s)|j2=s+1,…,np1?s?2;j1=0,1,…,s}。

3.2.3 顶点子空间 WΞ(i)s

我们用 νi 表示顶点 Ξ(i) 的补片度，i∈IΞ。顶点子空间 WΞ(i)s 的构建取决于 Ξ(i) 是内边缘还是边界边缘。首先简要回顾 Ξ(i) 是内边缘的情况，即 i∈IΞI，假设顶点 Ξ(i) 周围的所有补片 Ω(iρ)，ρ=0,1,…,νi?1，如图 1（右侧）所示进行参数化，即 Ξ(i)=∩ρ=0νi?1Ω(iρ)￣，并将公共边 Ω(iρ)￣∩Ω(iρ+1)￣，ρ=0,1,…,νi?1，重新标记为 Γ(iρ+1)，其中 ρ 取模 νi。然后，顶点子空间 WΞ(i)s 定义为函数 ?Ξ(i)(F0,…,Fνi?1) 的张成空间，其中：

(12)fiρΓ(iρ+τ)(ξ1,ξ2)=∑j1=0s∑j2=02s?j1aj1,j2Γ(iρ+τ)fΓ(iρ+τ);j1,j2(iρ)(ξ2?τ,ξ1+τ)，aj1,j2Γ(iρ+τ)∈R，τ=0,1，

以及样条函数 fΓ(iρ+τ);j1,j2(iρ)，τ=0,1，如 (11) 所示。由此，等几何函数 ?Ξ(i)(F0,…,Fνi?1) 通过选择系数 aj1,j2Γ(iρ+τ) 和 aj1,j2(iρ) 来确定，这些系数构成了齐次线性系统

(14)?1?1?2?2(fiρΓ(iρ+1)?fiρΓ(iρ))(0)=0 和 ?1?1?2?2(fiρΓ(iρ+1)?fiρΩ(iρ))(0)=0 的核的基础，对于 0?≤??1, ?2?≤?s 且 ρ=0,1,…,νi?1。在第 5 节的示例中，我们将使用最小确定集的概念来构建 (14) 的核的基础，参见 [38]、[42]。

现在假设 Ξ(i) 是边界边缘，即 i∈IΞB，并且两个边界边分别标记为 Γ(i0) 和 Γ(iνi)。边界顶点子空间 WΞ(i)s 的构建取决于边界顶点 Ξ(i) 的补片度 νi 是否大于或等于 3，即 νi=2 或 νi=1：

- 如果补片度 νi ≥ 3，则顶点子空间 WΞ(i)s 的构建与内边缘的情况相同，不同之处在于 (13) 中的函数 fΓ(i0);j1,j2(i0) 和 fΓ(ivi);j1,j2(ivi?1) 分别是标准 B-样条 Nj1,j2p2,s（对于 j1,j2=0,1,…,s）和样条 Nj1p1,sN￣j2?sp1,s（对于 j1=0,1,…,s?1 和 j2=s+1,…,2s?1）。

- 如果补片度 νi = 2，则顶点子空间 WΞ(i)s 为：
WΞ(i)s=span{?Ω(i0)(Nj1,j2p1,s)|j2=2s+1?j1,…,np1?s?2;j1=0,1,…,s}⊕span{?Ω(i0)(Nj1p1,sN￣j2p1,s)|j2=np1?s?1,…,np1+j1?s?2;j1=1,…,s}。

- 如果没有边界顶点，补片度 νi = 1，则顶点子空间 WΞ(i)s 为：
WΞ(i)s=span{?Ω(i0)(Nj1,j2p1,s)|j2=s+1,…,np1?s?2;j1=0,1,…,s}⊕span{?Ω(i0)(Nj1p1,sN￣j2p1,s)|j2=s+1?j1,…,s,np1?s?1,…,np1+j1?s?2;j1=1,…,s}。

3.2.3 顶点子空间 WΞ(i)s

让我们用 νi 表示顶点 Ξ(i) 的补片度，i∈IΞ。顶点子空间 WΞ(i)s 的构建取决于 Ξ(i) 是内边缘还是边界边缘。首先简要回顾 Ξ(i) 是内边缘的情况，即 i∈IΞI，假设顶点 Ξ(i) 周围的所有补片 Ω(iρ)，ρ=0,1,…,νi?1，如图 1（右侧）所示进行参数化，并将公共边 Ω(iρ)￣∩Ω(iρ+1)￣，ρ=0,1,…,νi?1，重新标记为 Γ(iρ+1），其中 ρ 取模 νi。然后，顶点子空间 WΞ(i)s 定义为函数 ?Ξ(i)(F0,…,Fνi?1) 的张成空间，其中：

(13)fiρΓ(iρ+τ)(ξ1,ξ2)=∑j1=0s∑j2=02s?j1aj1,j2Γ(iρ+τ)fΓ(iρ+τ);j1,j2(iρ)(ξ2?τ,ξ1+τ)，aj1,j2Γ(iρ+τ)∈R，τ=0,1，

以及样条函数 fΓ(iρ+τ);j1,j2(iρ)，τ=0,1，如 (11) 所示。由此，等几何函数 ?Ξ(i)(F0,…,Fνi?1) 通过选择系数 aj1,j2Γ(iρ+τ) 和 aj1,j2(iρ) 来确定，这些系数构成了齐次线性系统

(14)?1?1?2?2(fiρΓ(iρ+1)?fiρΓ(iρ))(0)=0 和 ?1?1?2?2(fiρΓ(iρ+1)?fiρΩ(iρ))(0)=0 的核的基础，对于 0?≤??1, ?2?≤?s 且 ρ=0,1,…,νi?1。在第 5 节的示例中，我们将使用最小确定集的概念来构建 (14) 的核的基础，参见 [38]、[42]。

现在假设 Ξ(i) 是边界边缘，即 i∈IΞB，并且两个边界边分别标记为 Γ(i0) 和 Γ(iνi)。边界顶点子空间 WΞ(i)s 的构建取决于边界顶点 Ξ(i) 的补片度 νi 是否大于或等于 3，即 νi=2 或 νi=1：

- 如果补片度 νi ≥ 3，则顶点子空间 WΞ(i)s 的构建与内边缘的情况相同，不同之处在于 (13) 中的函数 fΓ(i0);j1,j2(i0) 和 fΓ(ivi);j1,j2(ivi?1) 分别是标准 B-样条 Nj1,j2p2,s（对于 j1,j2=0,1,…,s）和样条 Nj1p1,sN￣j2?sp1,s（对于 j1=0,1,…,s?1 和 j2=s+1,…,2s?1）。

- 如果补片度 νi = 2，则假设 Ξ(i)=F(i0)(0)=F(i1)(0)，i0,i1∈IΩ，且公共边 Ω(i0)￣∩Ω(i1)￣ 由 Γ(j0)￣ 表示，j0∈IΓI，并且两个补片 Ω(i0) 和 Ω(i1) 如图 1（左侧）所示进行参数化，则顶点子空间 WΞ(i)s 直接定义为：
WΞ(i)s=span{??Ξ(i);j1,j2|j1=0,1,…,3s;j2={0,1,…,2s?j1 如果 j1≤2s；0,1,…,3s?j1 如果 j1>2s}，

其中等几何函数 ??Ξ(i);j1,j2 分别为：

?Γ(j0)(fΓ(j0);j1,j2(i0),fΓ(j0);j1,j2(i1)) 如果 j1=0,…,s
?Ω(i0)(N￣j1?sp1,sNj2p1,s) 如果 j1=s+1,…,2s
?Ω(i1)(N￣j1?2sp1,sNj2p1,s) 如果 j1=2s+1,…,3s。

- 如果补片度 νi = 1，则顶点子空间 WΞ(i)s 简单定义为：
WΞ(i)s=span{?Ω(i0)(Nj1,j2p1,s)|j1,j2=0,1,…,2s;j1+j2≤2s}。

注意，顶点子空间 WΞ(i)s 的构建与 [1] 中的构建相同，除了边界顶点 Ξ(i) 的补片度 νi=1 的情况。

回想一下，提出的 Cs-光滑混合度样条空间 Ws 仅在内边缘和补片度大于一的顶点附近具有较高的样条度 p2=2s+1，因此与 [1] 中的混合度样条空间相比，减少了高阶部分。为了描述提出的 Cs-光滑混合度样条空间 Ws 与 [1] 中使用的 Cs-光滑混合度样条空间相比的维度降低，我们必须观察基础样条空间 Sh(p1,p2),s([0,1]2) 的维度公式 (10)。提出的 Cs-光滑混合度样条空间 Ws 的维度降低是由于在边界边缘 Γ(i) 的情况下边缘子空间 WΓ(i)s 的维度降低，在边界顶点 Ξ(i) 的情况下顶点子空间 WΞ(i)s 的维度降低。设 N(E,V) 表示具有 E 个内边缘和 V 个补片度为 1 的边界顶点的边界补片的数量，1?≤?E?≤?3，0?≤?V?≤?2。通过简单的计算可以得出维度降低（即自由度的降低）等于

(ks(s+2)?s)(N(3,0)+2N(2,1)+2N(2,0)+3N(1,2))+s(s+2)(N(2,1)+2N(1,2))。

此外，与 [2] 中使用的样条空间 Ws 相比，由于 [IΩ] 中的补片子空间 WΩ(i)s 的维度降低，维度降低进一步增加。为了选择适当的超收敛点子集用于空间 Sh9,4([0,1]2) 在子域 [0,1]2?[h,1?h]2 上，我们首先再次构建空间 Sh9,4([0,1]) 的超收敛点簇集，并添加 [0,1] 的边界点，如 [17, 图 3] 中所述。这样，我们再次得到 s+1+s2=7 个超收敛点，分别位于区间 [0, h] 和 [1?h,1] 上，这与混合度 Greville 点的情况相同。最后，我们构建这些点的张量积，并选择那些对应于空间 S2([0,1]2) 和 S￣1([0,1]2) 的基函数的点，见图 4（右侧）。与上面类似，这涵盖了 [0, 1]2 的所有边都对应于多补丁域 Ω￣ 的内部边的情况。对于所有其他情况，我们遵循图 2.5 中的概念。

基于几个示例，我们将展示我们的等几何配置方法在求解平面多补丁域上的泊松方程和双调和方程时的潜力，并进一步研究这两种配置点（即混合度 Greville 点和混合度超收敛点）在 h-细化下的收敛性。数值示例是使用编程语言和软件环境 Matlab 构建的。在所有示例（示例 1–4）中，泊松方程和双调和方程的右侧将通过精确解 (18) u(x1,x2)=cos(x1)sin(x2) 获得。我们将使用 C2 和 C4 光滑的等几何样条空间 W2 和 W4，其网格大小为 h=1/2i, i=3,…,6，分别表示为 Wh2 和 Wh4，作为计算泊松方程 (1) 和双调和方程 (6) 解的 C2 光滑和 C4 光滑近似的离散化空间。通过计算相对于 L2-范数和 H1-半范数的相对误差，以及相对于 Hm-半范数的等价范数（参见 [40]），2?≤?m?≤?s, s=2,4，即 (19)∥u?uh∥L2∥u∥L2,|u?uh|H1|u|H1,∥Δu?Δuh∥L2∥Δu∥L2,∥?(Δu)??(Δuh)∥L2∥?(Δu)∥L2,∥Δ2u?Δ2uh∥L2∥Δ2u∥L2，来评估获得的近似解 uh∈Whs 的质量。

在示例 1 和 2 中，我们首先考虑三个双线性参数化的（多补丁）域。第一个是一个双线性单补丁域（域 A），见图 5（左侧），其顶点为 (20)Ξ0=(3/4,3/4),Ξ1=(15/4,9/4),Ξ2=(21/2,27/10),Ξ3=(33)。第二个域也将在示例 3 中使用，它是一个双线性三补丁域（域 B），具有七个顶点 Ξ0=(1,28),Ξ1=(14,44/5),Ξ2=(6,1/5,10,9/10),Ξ3=(10,91/10),Ξ4=(8,7/10,36/5),Ξ5=(11,1/10,6),Ξ6=(7,1/5,13/2)，这些顶点定义了各个补丁 Ω(i) 的参数化 F(i) 为 (21)F(i)(ξ)=Ξ0(1?ξ1)(1?ξ2)+Ξ2i+1(1?ξ1)ξ2+Ξ2i+2ξ1ξ2+Ξ2i+3ξ1(1?ξ2),i=0,1,2，其中 Ξ7???Ξ1，见图 5（中间）。第三个双线性多补丁域（域 C）是图 5（右侧）中可视化的五补丁纸平面域，它由十一个点 Ξ0=(14/5,3),Ξ1=(31/10,4),Ξ2=(14/5,26/5),Ξ3=(5/2,4),Ξ4=(17/5),Ξ5=(11),Ξ6=(17/10,9/10),Ξ7=(14/5,11/10),Ξ8=(39/10,9/10),Ξ9=(23/5,1),Ξ10=(23/5,7/5) 决定，并且各个补丁 Ω(i)￣ 的参数化 F(i) 为 (22)F(i)(ξ)=Ξ0(1?ξ1)(1?ξ2)+Ξ2i+1(1?ξ1)ξ2+Ξ2i+2ξ1ξ2+Ξ2i+3ξ1(1?ξ2),i=0,…,4，其中 Ξ11???Ξ1。

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图 5. 上行：左图为双线性单补丁域 A（见 (20)），中图为双线性三补丁域 B（见 (21)），右图为双线性五补丁域 C（见 (22)）。下行：三个多补丁域以及精确解 (18)。

此外，在示例 1 和 2 中，我们还将分别在所谓的类双线性 Gs 多补丁几何结构 [2], [3] 上求解泊松方程和双调和方程。这类多补丁参数化对于每个内部边 Γ(i), i∈IΓI（其中 Γ(i)￣=Ω(i0)￣∩Ω(i1)￣, i0,i1∈IΩ），类似于双线性多补丁域，具有线性粘合函数 α(i,τ), β(i,τ), τ?∈?{i0, i1}，但与双线性多补丁域不同的是，它还允许对具有曲线边界的多补丁域进行建模。更准确地说，如果对于任意两个相邻的补丁 Ω(i0) 和 Ω(i1), i0,i1∈IΩ，其中内部边 Γ(i)￣=Ω(i0)￣∩Ω(i1)￣，并且相应的几何映射 F(i0) 和 F(i1) 如图 1（左侧）所示，存在线性函数 α(i,τ), β(i,τ), τ?∈?{i0, i1}，使得 F?(i,i0)(ξ)=F?(i,i1)(ξ)=:F?(i)(ξ),?=0,1,…,s，则称该多补丁参数化为类双线性 Gs。具体来说，F?(i,τ)(ξ)=(α(i,τ)(ξ))???1?F(τ)(0,ξ)?∑j=0??1(?j)(β(i,τ)(ξ)α(i,τ)(ξ))??j???jFj(i,τ)(ξ),τ∈{i0,i1}。

详细来说，第一个超出双线性（多补丁）域的域将是二次多项式单补丁域（域 D），见图 6（左侧），其参数化为 (23)F(ξ)=∑j1,j2=02cj1,j2Nj1,j22,2(ξ)，其中 c0,0=(18/5,36/5),c0,1=(63/5),c0,2=(42/5,36/5),c1,0=(21/5,6),c1,1=(66),c1,2=(39/5,6),c2,0=(18/5,24/5),c2,1=(621/5),c2,2=(42/5,24/5)。这个域显然是 Gs-光滑的，因为它没有内部边。第二个域将是图 6（中间）中展示的类双线性 G2 三补丁域（域 E），其中各个补丁由空间 S1/43,2([0,1]2)×S1/43,2([0,1]2) 的三次几何映射给出，参数化为 (24)F(i)(ξ)=∑j1,j2=06cj1,j2(i)Nj1,j23,2(ξ),i=0,1,2，控制点 cj1,j2(i) 如 [1, 表 1] 中所述。作为第三个超出双线性多补丁域的域，我们将考虑图 6（右侧）中展示的类双线性 G4 五补丁域（域 F），它代表了一个可能的螺旋旋钮星形域。这样的域不仅设计吸引人，而且由于其形状可以产生较大的扭矩。各个补丁由空间 S1/45,4([0,1]2)×S1/45,4([0,1]2) 的五次几何映射给出，参数化为 (25)F(i)(ξ)=∑j1,j2=08cj1,j2(i)Nj1,j25,4(ξ),i=0,…,4，控制点 cj1,j2(i) 列在附录 B 中。

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图 6. 上行：左图为二次多项式单补丁域 D（见 (23)），中图为类双线性 G2 三补丁域 E（见 (24），右图为类双线性 G4 五补丁域 F（见 (25）。下行：三个多补丁域以及精确解 (18)。

在示例 4 中，我们将处理一个双线性两补丁域（域 G）。该域将由顶点 (26)Ξ0=(33),Ξ1=(36),Ξ2=(16),Ξ3=(11),Ξ4=(71),Ξ5=(73) 给出，并将代表一个 L 形域，见图 7。在示例 1 和 2 中，我们将选择第 4 节中描述的混合度 Greville 点和混合度超收敛点，并进一步执行第 2 节中解释的将配置点分为内部配置点和边界配置点的分离。这导致在单补丁域（域 A 和 D）的情况下产生一个线性方程组，在多补丁域（域 B–C 和 E–F）的情况下产生一个略微过定的线性方程组。在示例 3 中，我们将展示我们的方法如何从施加狄利克雷（固定）边界条件（参见方程 (1) 和 (6)）扩展到在泊松方程的情况下使用混合狄利克雷和诺伊曼边界条件，在双调和方程的情况下使用混合固定和简支边界条件，并将基于双线性三补丁域 B 证明我们的方法也适用于这些类型的边界条件。因此，可以使用与示例 1 和 2 中相同的配置点集，这将再次导致一个略微过定的线性方程组。在示例 4 中，我们将提出一种策略，从第 4.2 节中选择合适的混合度超收敛配置点子集，即使在多补丁情况下也能产生一个线性方程组。更具体地说，我们将研究基于 L 形域 G 的两个补丁域的情况，并将比较使用两组不同的超收敛配置点得到的泊松方程和双调和方程的数值结果，这两组配置点仍然导致略微过定的线性方程组。将多补丁域扩展到具有特殊顶点的情况超出了本文的范围，将在未来的工作中考虑。

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图 7. 左图为 L 形域 G（见 (26），右图为该域以及精确解 (18)。

请注意，下面所有示例（示例 1–4）中的略微过定的线性方程组将通过最小二乘法求解。

示例 1
在这个示例中，我们使用基于混合度底层样条空间 Sh(3,5),2([0,1]2) 的 C2-光滑离散化空间 Wh2 在域 A–F 上求解泊松方程。对于单补丁域 A 和 D，我们将所有四个边界边视为内部边，以便也需要使用混合度底层样条空间。使用混合度 Greville 点和混合度超收敛点得到的相对误差 (19) 关于 L2、H1 和 H2-（半）范数的结果分别在图 8 中为双线性多补丁域 A–C 和图 9 中为域 D–F 可视化。

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图 8. 示例 1. 使用基于混合度底层样条空间 Sh(3,5),2([0,1]2) 的 C2-光滑离散化空间 Wh2 在双线性多补丁域 A、B 和 C 上求解泊松方程 (1) 得到的相对误差 (19) 关于 L2-范数和 H1 以及 H2-半范数的图。

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图 9. 示例 1. 使用基于混合度底层样条空间 Sh(3,5),2([0,1]2) 的 C2-光滑离散化空间 Wh2 在域 D、E 和 F 上求解泊松方程 (1) 得到的相对误差 (19) 关于 L2-范数和 H1 以及 H2-半范数的图。

虽然在混合度 Greville 配置点的情况下，数值结果表明所有六个考虑的域的收敛阶数均为 O(hp1?1)=O(h2) 对于 L2、H1 和 H2-（半）范数，但在混合度超收敛点的情况下，数值结果表明对于单补丁域 A 和 D，收敛阶数分别为 O(hp1+1)=O(h4), O(hp1)=O(h3) 和 O(hp1?1)=O(h2) 对于 L2、H1 和 H2-（半）范数，而对于多补丁域 B、C、E 和 F，收敛阶数分别为 O(hp1)=O(h3),O(hp1)=O(h3) 和 O(hp1?1)=O(h2) 对于 L2、H1 和 H2-（半）范数。如所见，与混合度 Greville 配置点相比，混合度超收敛点的阶数在 L2-范数和 H1-半范数方面更高。此外，请注意，在单补丁域中，超收敛点的 L2 范数阶数高于多补丁域的情况，这已在 [13] 中观察到。

示例 2
现在我们将在三个双线性多补丁域 A–C（见图 10）以及二次多项式单补丁域 D 和类双线性 G4 多补丁域 F（见图 11）上求解双调和方程。为此，我们使用基于混合度底层样条空间 Sh(5,9),4([0,1]2) 的 C4-光滑离散化空间 Wh4。使用混合度 Greville 点和混合度超收敛点得到的相对误差 (19) 关于 L2 和 Hm-（半）范数（m=1,…,4）的结果分别显示在图 10 和图 11 中。在混合 Greville 配置点的情况下，数值结果表明所有五个考虑的域的收敛阶数为 O(hp1?3)=O(h2) 对于 L2 范数。在混合度超收敛点的情况下，数值结果表明对于两个单补丁域，即域 A 和 D，收敛阶数为 O(hp1?1)=O(h4) 对于 L2、H1 和 H2-（半）范数，以及 O(hp1?2)=O(h3) 和 O(hp1?3)=O(h2) 对于 H3 和 H4-（半）范数。此外，对于剩余的多补丁域，即域 B、C 和 F，误差图表明对于所有（半）范数（H4-半范数除外），收敛阶数为 O(hp1?2)=O(h3）。再次注意，多补丁域的较低阶数可能是预期的，如 [13] 中所述。

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图 10. 示例 2. 使用基于混合度底层样条空间 Sh(5,9),4([0,1]2) 的 C4-光滑离散化空间 Wh4 在双线性多补丁域 A、B 和 C 上求解双调和方程 (6) 得到的相对误差 (19) 关于 L2-范数和 H1、H2、H3 和 H4-半范数的图。

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图 11. 使用基于混合度底层样条空间 Sh(5,9),4([0,1]2) 的 C4-光滑离散化空间 Wh4 在域 D 和 F 上求解双调和方程 (6) 得到的相对误差 (19) 关于 L2-范数和 H1、H2、H3 和 H4-半范数的图。

示例 3
现在我们将我们的方法从在泊松方程 (1) 和双调和方程 (6) 中使用狄利克雷（固定）边界条件扩展到在泊松方程的情况下使用混合狄利克雷和诺伊曼边界条件，在双调和方程的情况下使用混合固定和简支边界条件。为此，我们将研究以下泊松方程和双调和方程的问题：
(27)Δu(x)=g(x),x∈Ω，
其中 u(x)=g1(x),x∈?Ω1,?nu(x)=g2(x),x∈?Ω2，
以及
(28)Δ2u(x)=g(x),x∈Ω，
其中 u(x)=g1(x),x∈?Ω,?nu(x)=g2(x),x∈?Ω1,
Δu(x)=g3(x),x∈?Ω2，
其中 ?Ω1∪?Ω2=?Ω，并且 g:Ω→R, g1,g2,g3:?Ω→R 是足够光滑的函数。我们将考虑双线性三块域B，并使用与示例1和2中相同的配置点集，即第4节中介绍的混合度Greville点和混合度超收敛点。此外，我们将使用基于混合度底层样条空间Sh(3,5),2([0,1]2)和Sh(5,9),4([0,1]2)的C2和C4光滑离散化空间Wh2和Wh4来处理泊松方程(27)和双调和方程(28)。泊松方程(27)的相对误差(19)相对于L2、H1和H2-(半)范数的结果如图12所示。与示例1类似，我们得到混合度Greville配置点的收敛阶数为L2、H1和H2-(半)范数的O(h2)，而对于混合度超收敛点，其收敛阶数分别为L2、H1和H2-(半)范数的O(h3)、O(h3)和O(h2)。下载：下载高分辨率图像（296KB）下载：下载全尺寸图像图12. 示例3. 域B及其配置点，其中蓝色点和红色圆分别代表方程(27)中的第一和第二边界条件（左图）。通过使用基于混合度底层样条空间Sh(3,5),2([0,1]2)的C2光滑离散化空间Wh2在域B上求解泊松方程(27)，计算得到的相对误差(19)相对于L2范数以及H1和H2半范数的图表。双调和方程(28)的相对误差(19)相对于L2和Hm-(半)范数（m=1,...,4）的结果在图13中可视化。与示例2类似，我们得到混合Greville配置点的收敛阶数为L2和所有Hm-(半)范数的O(h2)，而对于混合超收敛点，其收敛阶数为L2和所有(半)范数的O(h3)，除了H4半范数为O(h2)。下载：下载高分辨率图像（546KB）下载：下载全尺寸图像图13. 示例3. 域B及其配置点，其中蓝色点、红色圆和紫色圆分别代表方程(28)中的第一、第二和第三边界条件（左上图）。通过使用基于混合度底层样条空间Sh(5,9),4([0,1]2)的C4光滑离散化空间Wh4在域B上求解双调和方程(28)，计算得到的相对误差(19)相对于L2范数以及H1、H2、H3和H4半范数的图表。示例4给定L形域G，我们研究了三组不同的混合度超收敛配置点，以通过我们的等几何配置方法求解该双线性两块域上的泊松方程和双调和方程。第一组（集合1）仅由第4.2节中描述的混合超收敛点组成。对于第二组配置点（集合2），我们在内边缘保持相同的配置点（图14和图15中的蓝色配置点），而对于内边缘及其两侧的s个相邻列，我们选择沿着内边缘方向的单变量聚集超收敛配置点，这些配置点对应于具有最大规则性的底层样条空间，即Sh2s+1??,2s??([0,1])，?=0,...,s，s=2,4。这些超收敛点在参考区间[?1,1]上的跨度对于泊松方程（s=2）和双调和方程（s=4）分别在表1中给出，参见[18]。下载：下载高分辨率图像（608KB）下载：下载全尺寸图像图14. 示例4. 在内边缘附近的不同混合度超收敛点集（对于h=116）用于泊松方程。集合1显示在左上角，而集合2（红色和白色点）和集合3（仅红色点）显示在左下角。在右列中，我们可视化了这些点（上面的集合1和下面的集合3）在L形域G上的应用。表1. 示例4. 对于样条空间Sh2s+1??,2s??([0,1])，?=0,...,s，在每个节点跨度上的超收敛点，用于泊松方程（s=2）和双调和方程（s=4）。聚类方式与第4.2节中的类似，参见图14（左下角）和图15（左下角）中的泊松方程和双调和方程（两种情况中的红色和白色点）。这组点的数量已经比集合1少得多，但相应的线性系统仍然略微过定，见表2和表3。表2. 示例4. 对于所有三种不同的超收敛配置点集（集合1-3）在L形域G上求解泊松方程时获得的线性系统的维度（4）以及相对于L2范数、H1和H2半范数的数值误差。最后一列表示系统矩阵的条件数κ，计算为最大奇异值与最小奇异值之比。空单元格空单元格空单元格维度L2误差H1误差H2误差κ泊松方程h=116集合1939×7444.7·10?51.8·10?43.5·10?31.3·104集合2804×7445.2·10?52.0·10?43.6·10?31.7·104集合3744×7441.2·10?43.2·10?44.6·10?32.4·102h=132集合12875×24883.0·10?61.9·10?58.8·10?45.3·104集合22596×24886.3·10?62.2·10?58.9·10?46.9·10?4集合32488×24882.0·10?54.5·10?51.1·10?37.0·102h=164集合19819×90483.7·10?72.3·10?62.2·10?42.4·105集合29252×90489.6·10?72.8·10?62.2·10?43.2·10?43表3. 示例4. 对于所有三种不同的混合度超收敛配置点集（集合1-3）在L形域G上求解双调和方程时获得的线性系统的维度（8）以及相对于L2范数、H1,...,H4半范数的数值误差。最后一列表示系统矩阵的条件数κ，计算为最大奇异值与最小奇异值之比。空单元格空单元格空单元格维度L2误差H1误差H2误差H3误差H4误差κ双调和方程h=116集合11597×9551.8·10?52.9·10?55.4·10?53.0·10?43.5·10?32.0·109集合21064×9553.0·10?54.8·10?58.5·10?56.4·10?41.6·10?23.5·108集合3955×9551.0·10?42.0·10?47.7·10?43.0·10?24.3·10?11.3·109h=132集合14145×28591.4·10?62.2·10?64.1·10?62.6·10?57.7·10?41.2·1011集合23048×28592.4·10?63.8·10?66.7·10?65.6·10?52.9·10?32.4·1010集合32859×28591.1·10?52.0·10?55.0·10?52.5·10?36.0·10?22.2·109h=164集合112305×97391.0·10?71.6·10?72.9·10?72.5·10?61.8·10?47.1·1012集合210088×97391.7·10?72.7·10?74.7·10?73.9·10?63.6·10?41.4·10?1012集合39739×97391.3·10?62.6·10?65.2·10?62.0·10?41.0·10?21.5·1010我们在表2和表3中比较了在L形域G上求解泊松方程（精确解为18）时获得的线性系统（4）的维度、系统矩阵的条件数κ（计算为最大奇异值与最小奇异值之比）以及相对于L2范数、H1和H2半范数的数值误差，以及对于双调和方程，分别相对于L2范数、H1,...,H4半范数的数值误差。第三组配置点（集合3）是通过交替选择集合2中内边缘两侧的s个相邻列的合适子集得到的，参见图14（下图）和图15（下图），分别用于泊松方程和双调和方程（两种情况中均为仅红色点）。6. 结论我们提出了一种新的方法，通过等几何配置在平面双线性参数化多块域上求解泊松方程和双调和方程的强形式。我们进一步基于示例将这种方法扩展到类似双线性的Gs多块几何体情况，这也允许对曲线边界进行建模。所提出的等几何配置方法基于使用修改版的Cs光滑混合度等几何样条空间[1]，其中在多块域的每个节点跨度上使用最小可能的度数p=s+1，除了内边缘附近和块度数大于一的顶点附近需要使用度数p=2s+1。通过这种方式，与[13]和[17]中用于求解泊松方程和双调和方程的技术相比，可以显著减少自由度的数量，因为在[13]和[17]中需要在整个多块域上使用高度数p=2s+1。对于配置点的选择，我们引入并研究了两种不同的新配置点集，即混合度Greville点和混合度超收敛点。我们在单块域和多块域上对这两种配置点进行了数值研究，研究了它们相对于L2范数以及（等价的）Hm半范数（1≤m≤s，s=2,4）的收敛行为。通常，多块情况下的配置点数量大于离散化空间的维度，因此需要使用最小二乘法来求解得到的线性系统。因此，我们基于两块域的示例提出了一种策略，选择合适的混合度超收敛配置点子集，也应用于多块情况，特别是本工作中的两块情况，以获得一个方形的线性系统，并避免使用最小二乘法进行求解。一个开放的问题是将所提出的策略推广到具有特殊顶点的多块域。此外，研究其他应用，如Kirchhoff板或Kirchhoff-Love壳问题、将我们的方法扩展到多块表面或多块体积，以及研究和开发适当的自适应等几何配置方法，可能是有趣的研究课题。