潜在数据同化方法在高效精确的地下水建模中的应用

《Water Resources Research》：Latent Data Assimilation for Efficient and Accurate Groundwater Modeling

　　摘要

由于模型结构、参数的异质性以及初始条件的不确定性，地下水模型的预测结果往往不准确，这导致在模拟过程中错误逐渐累积。传统的数据同化（DA）在高维系统中面临严重的计算挑战，因为需要反转大型协方差矩阵，代价高昂。此外，对背景误差和观测误差统计的估计不准确也会引入进一步的偏差。为了解决这些问题，我们开发并评估了一个集成框架，该框架将计算效率高的深度学习替代模型与潜在数据同化（LDA）相结合，以快速进行预测并准确修正模拟结果。该框架采用降维技术，特别是适当正交分解（POD），将高维物理状态投影到低维潜在空间中，然后在该降维空间中使用集合卡尔曼滤波器（EnKF）进行数据同化。结果表明，POD能够有效地表示模拟浓度场和插值观测数据。在潜在空间中运行的EnKF显著减少了预测误差。LDA框架的主要优势包括：通过低维潜在变量使稀疏观测数据能够有效影响全局状态更新；与传统物理空间DA相比，实现了更高的准确性，同时所需的观测数据量显著减少；并且在降维过程中自然过滤了初始条件中的高频噪声。综上所述，LDA成为一种强大且计算效率高的方法，用于提高复杂高维地下水系统的预测准确性并管理不确定性。

1 引言

物理过程的时空预测，如地下水溶质传输建模，在地球科学中起着关键作用（Enaet Hossain等人，2024；Okasaki等人，2022；Waldowski等人，2023）。然而，其准确性通常受到多种不确定性的限制。模型结构偏差、关键参数（例如水力传导率）的空间异质性以及初始条件的不确定性共同引入了误差，这些误差在迭代模拟过程中会累积并放大，导致与实际过程的显著偏差（Jiang等人，2024；Lan等人，2023；Li等人，2020）。数据同化（DA）通过融合模型预测（背景）与观测数据，提供了一种有效的方法来修正模型状态，从而提高预测准确性（Arcucci等人，2023）。然而，当应用于高维状态预测问题时，传统DA面临重大的计算和存储挑战。为了解决这个问题，本文提出了潜在数据同化（LDA）。LDA将计算密集型的DA步骤从原始的高维物理空间转移到低维潜在空间，为复杂系统的实时分析和预测提供了可行的途径。许多高维物理系统中动态过程的演化具有低维表示，这意味着它们的核心动态可以通过相对较少的变量来捕捉，为LDA提供了新的途径。LDA的主要优势体现在几个方面（Akbari等人，2023；Cheng, Prentice等人，2022；Chen等人，2024；Li等人，2024）。首先，它显著提高了计算效率：在低维空间中进行操作大大减少了对计算资源和存储的需求，使得处理更大规模的问题或更快的同化周期成为可能（Peyron等人，2021；Zhuang等人，2022）。其次，在潜在空间中进行同化可以提高DA算法本身的性能，例如，通过更可靠地估计误差统计（如协方差），从而提高同化准确性（Cheng, Chen等人，2022）。此外，潜在空间变量通常代表系统的整体结构或关键变化模式。这一特点使得LDA在整合空间稀疏观测信息时具有明显优势（Mucke等人，2024；J. Zhang, Zhang等人，2024）。具体来说，有限的观测数据可能不足以直接约束高维物理场，但它们通常足以有效约束这些表征整个系统状态的低维变量，从而实现对整个系统状态的有效修正。LDA的成功实施依赖于两个关键技术要素：一种是能够高效捕捉系统主导动态的降维方法；另一种是将稀疏观测数据一致且有效地整合到潜在空间的方法。构建一个有效表示高维物理场的低维潜在空间是LDA的核心步骤之一。这一过程通常涉及从数值模拟生成的大量系统状态快照中学习适当的降维映射。已经提出了多种降维技术，并得到了广泛应用（Jia等人，2022；X. Zhang, Jiang等人，2024）。其中，适当正交分解（POD）可以从数据中提取最优正交基，以捕捉主导变化模式。其理论上的清晰性和强烈的物理可解释性使其得到广泛采用（Callaham等人，2022；Lu等人，2019；Maulik等人，2021），尽管其线性假设限制了其表示强非线性特征的能力（Stanko等人，2016；Ushijima & Yeh，2017）。一旦选择了降维映射，LDA框架还必须有效地整合稀疏观测信息。一种常见的策略是使用空间插值方法，如Voronoi镶嵌（Lévy & Liu，2010），来构建全场的伪观测场。为了确保潜在空间内的背景状态和观测数据之间的一致性，然后使用应用于物理场的相同降维方法压缩该插值场。这个过程确保背景和观测信息最终都编码在同一潜在空间坐标系统中，为后续的DA更新奠定了基础。在数据同化领域，集合卡尔曼滤波器（EnKF）是一种广泛使用的方法（Hilliard & Farazmand，2025；Tang等人，2024）。EnKF利用一组状态动态估计背景误差协方差，然后计算卡尔曼增益以顺序更新集合成员。它的优势在于其自然能够处理非线性模型，而无需进行导数计算（Chaudhuri等人，2018；Xu & Gómez-Hernández，2016）。尽管EnKF在各种应用中取得了显著的 success，但直接应用于高维系统时仍然计算成本高昂。LDA通过在显著低维的潜在空间中操作，提供了一种解决方案。当在潜在空间中应用时，EnKF操作于低维潜在状态向量集合。这不仅大幅减少了存储和计算需求，更重要的是，降维使得即使在集合成员数量有限的情况下也能更稳健地估计误差协方差。这有助于有效减轻虚假相关性并加速卡尔曼增量的计算。LDA的一个核心贡献是提供了一个计算上可行且可能提高性能的操作环境，基于系统内在动态的低维潜在表示。尽管在潜在空间中进行DA显著提高了计算效率，但用于生成背景预测的前向模型过程仍可能是整个同化周期中的主要计算瓶颈，特别是当模型本身计算成本很高时。为了进一步提高LDA的计算性能，用替代模型替换数值前向模型是一种有效的策略（Guo等人，2024；Pan等人，2019；Shen，2018）。近年来，深度神经网络模型在构建模拟复杂系统动态的替代模型方面展现了强大潜力（Hagan & Menhaj，1994；Lecun等人，2015）。这些数据驱动模型可以学习代表系统状态随时间演变的映射，提供比传统数值求解器更快速的预测（Mo等人，2019，2020；Zheng等人，2023）。将替代模型整合到LDA框架中为复杂高维系统中的实时预测和同化提供了强大的技术途径。替代模型的应用显著加速了前向预测。然而，这种改进不可避免地会引入模型误差，因为替代模型的简化性质。LDA的一个关键优势是它不仅可以利用替代模型进行快速预测，还可以有效校准系统状态，从而减轻模型简化的不确定性。虽然参数估计仍然是地下水建模的中心目标，但由于地下异质性和数据稀疏性，逆问题本质上是病态的，即使采用先进的反演技术也会产生残余不确定性。这些不确定性会导致模型预测随时间偏离真实状态。在这个背景下，提出的LDA框架并不是作为参数估计的替代品，而是作为修正状态的补充机制。通过直接更新状态，LDA有效地纠正了由不完美参数和前向模型引起的偏差累积，从而确保了管理所需的可靠性。在本研究中，为了解决动态模拟中的预测不确定性和传统DA方法的计算限制，我们开发、实现了并系统评估了一个集成的LDA框架。该框架旨在通过同化稀疏和不确定的观测数据来有效修正替代模型的快速预测。具体来说，我们使用POD作为核心降维技术。对于稀疏观测数据，我们使用Voronoi镶嵌对其进行空间化，然后应用降维将其转换到与状态相同的潜在空间。随后，在潜在空间内，我们实施EnKF进行DA。通过全面的性能评估，我们展示了集成方法在显著提高计算效率的同时增强预测准确性的相对优势和实际适用性。本文的结构如下：第2节介绍了地下水流动和溶质传输的控制方程，并提出了方法，包括LDA框架、深度学习替代模型、降维技术和DA算法。第3节通过两个代表性案例评估了所提出的框架。最后，在第4节和第5节中，我们总结了主要发现，并讨论了LDA框架对未来研究和实际应用的影响。

2 方法

2.1 地下水建模的控制方程

在本研究中，我们关注稳态地下水流动条件下的溶质传输模型。溶质传输模型包括平流和扩散作为主要传输机制，而分子扩散和化学反应被忽略。稳态地下水流动的控制方程表示如下：

(1)

溶质传输的控制方程为：

(2)

其中 () 是水力传导率，() 是水头，() 是有效孔隙度，() 是时间，α () 是扩散张量，它由速度、纵向、横向和垂直扩散率共同决定。() 是源或汇项的流速，() 是源或汇项的浓度。这些方程通过达西定律联系在一起。地下水流动和溶质传输方程分别使用MODFLOW6（Langevin等人，2017）和MT3DMS（Zheng & Wang，1999）模拟器进行数值求解。

2.2 地下水建模的潜在数据同化框架

在本节中，我们详细介绍了LDA框架的具体实现。该框架协同结合了计算效率高的替代模型（第2.3节）进行前向预测，降维技术（第2.4节）通过Voronoi插值压缩进行状态和观测数据处理，以及潜在空间内的DA算法（第2.5节）。总体目标是利用替代建模和潜在空间操作的计算优势，使用稀疏观测数据准确修正模型预测。我们概述了实施LDA的程序，整个工作流程在图1中以视觉形式表示。图1展示了传统数据同化（a）和潜在数据同化（b）框架在时间 t 的工作流程图。其中 () 是水力传导率，() 是分析浓度，() 是下一时间的预测浓度，() 是观测运算符，() 是离散观测数据，() 是预测潜在代码，() 是插值观测场，() 是观测到的潜在代码，() 是分析潜在代码，() 是下一时间的分析浓度。传统DA框架（图1a）将稀疏观测数据与模型预测相结合，在高维系统中产生最优状态估计。这种技术通常依赖于前向模型来预测时间上的集合，并根据观测数据更新它们以最小化误差。然而，它在复杂系统中经常面临计算挑战，主要是由于维数的诅咒：在同化过程中计算巨大的状态和协方差矩阵非常昂贵，估计可靠的误差统计通常需要大量集合。相比之下，LDA框架（图1b）利用前向模型模拟一组物理状态，生成的预测随后被压缩到低维潜在空间。同时，稀疏的物理观测数据被插值并编码到相同的潜在空间中。随后，DA算法完全在潜在空间内进行，修正潜在状态集合。最终，更新的潜在分析集合提供了修正的状态估计。LDA的关键优势在于使用这些高度紧凑的组件更新潜在状态集合。降维将计算密集型的分析步骤转变为密集矩阵运算，即使集合规模较小也能够实现稳健的误差协方差估计。具体程序如下所述，为算法1。算法1：地下水建模中的潜在数据同化

输入：
- 时间的物理分析集合：
- 时间的离散观测值：
- 水力传导率：
- 正向模型：
- 编码器函数：
- 解码器函数：
- 集合规模：
- 潜在观测算子：
- 潜在观测误差协方差：

输出：
- 时间的物理分析集合：

步骤：
1. 预测步骤
- 对于...进行以下操作：
- 使用正向模型进行预测：
- 将预测值编码到潜在空间：
- 结束循环

2. 观测值处理步骤
- 插值离散观测值：
- 将观测值编码到潜在空间：

3. 分析步骤
- 计算潜在背景均值：
- 计算潜在背景协方差：
- 计算卡尔曼增益：
- 从...中采样观测扰动：
- 对于...进行以下操作：
- 更新潜在状态：
- 结束循环

4. 解码步骤
- 对于...进行以下操作：
- 将潜在分析结果解码回物理空间：
- 结束循环

5. 返回分析集合：

2.3 深度学习替代模型
在本研究中，我们使用U-Net架构（Lauzon, 2024）来构建一个计算效率高的替代模型，用于模拟地下水污染物传输。U-Net最初是为医学图像分割开发的，是一种卷积神经网络（CNN）架构，在各种图像到图像的转换任务中表现出很强的适应性。U-Net具有对称的编码器-解码器结构。编码器逐步降低输入的分辨率以捕获多尺度空间特征，而解码器则提升这些特征以重建输出。U-Net的一个关键特征是它使用了跳跃连接，这些连接直接将编码器的特征图与相应的解码器层连接起来。这些连接有助于保留高分辨率的空间信息，从而更好地恢复原始输入的细节，这对于准确预测地下水系统中污染物的详细空间分布至关重要。如图2所示，该模型以水力传导率和当前浓度为输入，预测下一个时间点的浓度。这种关系可以表示为：

(3)其中n是模拟中的总应力周期数。

图2展示了用于自回归地下水溶质传输建模的U-Net替代模型示意图。模型输入是水力传导率和浓度，输出是下一个时间点的浓度，采用迭代预测的方式。为了模拟污染物传输的时间演化，U-Net以自回归的方式运行。在这种配置下，模型在时间步骤中迭代生成预测结果，每个步骤的输出作为下一步的输入。这种自回归方法使网络能够有效捕捉污染物迁移的时间依赖动态，从而提高预测的时间一致性和整体准确性。

2.4 降维方法
降维是所提出的LDA框架的核心组成部分，直接针对模拟中的浓度和观测值。通过将高维状态投影到低维子空间，我们在大幅减少计算和资源需求的同时，保留了有效同化所需的主要动态特征。这个过程本质上涉及到表示精度和维度之间的权衡。在本研究中，采用适当正交分解（POD）作为线性降维技术。其核心目标是从高维系统状态的集合中提取一组最优的正交模式，捕捉主要的空间模式。如图3所示，这些模式通过对由模拟状态向量排列成列形成的快照矩阵进行奇异值分解来计算。矩阵的列是正交模式，其中d是完整状态的维度，n是模拟状态的数量。对角矩阵包含了按非递增顺序排列的奇异值，这些奇异值量化了每个相应模式所捕获的能量。降维是通过选择前d列来实现的（其中d
适当正交分解（pod）将收集的快照分解为不同的频率分量。编码器通过保留前d个最具能量的空间模式来构建，这些模式用于压缩数据以获得代码。解码器执行这种投影的逆操作，利用相同的模式集将代码恢复为原始数据的近似值。pod建立了高维物理状态与其低维潜在状态之间的编码和解码的线性变换。使用ρ表示编码算子，ψ表示解码算子，这些变换定义如下：编码：通过将完整状态投影到降维基上来获得潜在状态；解码：从潜在状态重建完整状态的近似值。

在lda框架内，pod在同化周期中的频繁投影和重建步骤中提供了计算效率的优势。此外，得到的模式在物理上是可解释的，提供了对潜在空间中表示的主要动态的宝贵洞察。然而，pod的一个主要限制是其固有的线性。如果底层动态表现出强烈的非线性，这可能会限制其准确表示系统状态的能力。此外，捕获复杂的动态过程可能需要保留大量的模式，这可能会降低在显著降低的潜在空间中操作的期望计算优势。

2.5 潜在空间中的集合卡尔曼滤波器
数据同化将观测值与模型预测相结合，以产生系统状态的改进估计。在lda框架内，这种集成是在上述部分描述的pod降维得到的低维潜在空间内进行的。在本研究中，我们关注的方法是集合卡尔曼滤波器（enkf）。enkf是一种顺序蒙特卡洛方法，它使用状态向量的集合来近似系统状态的概率分布。在lda中，enkf直接作用于低维潜在状态向量。在每次同化时，enkf过程包括预测和分析两个步骤：
预测步骤：一组潜在状态向量，代表在潜在空间中的背景预测分布。这是通过将编码器应用于物理状态集合的每个成员来实现的。分析步骤：使用也转换为潜在空间的观测信息来更新潜在背景集合的每个成员。第i个集合成员的更新遵循以下公式：

(4)其中θ_i是更新后的分析潜在状态；v_i是潜在空间中的对角矩阵观测算子；ε_i是扰动观测噪声。k_i是潜在空间中的背景误差协方差矩阵。卡尔曼增益k_i是从集合中动态计算得到的。

此外，潜在观测误差协方差矩阵σ_i对lda框架的性能至关重要。与物理空间不同，σ_i是一个密集且复杂的矩阵。由于潜在观测值是通过voronoi插值和随后的pod投影获得的，它包含了物理观测噪声的累积误差、插值误差和pod截断误差。直接定量分析σ_i相当具有挑战性。因此，我们采用数据驱动的统计估计方法来近似其结构。假设误差统计是时间不变的，基底协方差矩阵c_i是通过计算编码观测值y_i与投影的真实状态yi之间的残差协方差来计算的，n是训练快照的数量。

然而，直接应用σ_i通常会导致滤波器发散，因为潜在空间中的不平衡非常显著。由于pod的固有特性，状态的方差随着模式指数的增加而急剧减小。因此，对于较高阶的模式，统计误差方差往往超过模拟方差。在这些条件下，σ_i趋于零，导致滤波器拒绝更新。为了解决这个问题，我们引入了一个缩放因子λ来规范化σ_i。通过设置λ，我们有效地平衡了潜在空间的尺度。这允许enkf利用观测值稳健地校正状态。

在潜在空间内，降维导致参与σ_i计算的协方差矩阵显著减小。这种低维度使得从集合中获得更可靠的协方差估计成为可能，有效地缓解了在高维设置中常见的虚假相关性问题。因此，σ_i的计算和应用速度显著加快。得到的分析集合代表了潜在空间中的更新状态估计分布，可以直接在下一个预测步骤中继续使用，或者解码回物理域。

3 应用
3.1 二维和三维边界释放溶质传输模型
在本研究中，我们考虑了污染物从边界源连续释放到含水层的过程。如图4a所示，二维（2-d）情况域网格被均匀划分为l×l的网格；如图4c所示，三维（3-d）情况域网格被均匀划分为l×l×l的网格。左侧的污染物边界以恒定速率5 (m/l3/t)释放。总模拟时间为12 (t)，分为12个应力周期。有效孔隙率为p。扩散率设置为：纵向d (l)、横向e (l)和垂直方向f (l)。左右边界假设为恒定水头边界，水头分别为2 (l)和0 (l)。上下边界为不流动边界。图4展示了研究案例的参考水力传导率。(a)和(c)是2-d和3-d情况下的真实水力传导率，作为基准 truth。(b)和(d)是包含了误差的相应水力传导率，突出显示了与真实分布的偏差，并有助于评估动态模拟中的误差累积。水力传导率是通过顺序高斯模拟生成的，假设其服从对数正态分布，均值和方差分别为μ和σ。相关长度为6.0 (l)，变异图类型为高斯型。为了在反映现场监测约束的条件下评估该框架，浓度观测值在一系列固定空间位置生成，采样过程包含了随机变异性以模拟真实世界的监测噪声。

3.2 模型误差累积和观测不确定性
使用u-net替代模型对地下水污染物传输进行的前向模拟本质上包含来自多个来源的不准确性。如图4和5中的比较分析所示，预测与真实状态的偏差来自三个主要来源。首先，相对于真实场地的异质水力传导率的误差引入了传输速度的不准确性。其次，初始浓度状态的不确定性为模拟提供了错误的起始条件。第三，u-net模型本身在推广到与其训练数据集不同的水力传导率时会产生近似误差。这些因素共同导致了模拟与真实状态之间的偏差。图5展示了研究案例的参考初始条件。(a)和(c)是2-d和3-d情况下的真实初始浓度，作为基准 truth。(b)和(d)是包含了误差的相应初始浓度，突出显示了与真实分布的偏差，并有助于评估动态模拟中的误差累积。此外，预测准确性的关键挑战不仅来自于这些单独的误差源，还来自于它们在整个迭代模拟过程中的累积和交互效应。由于每个时间步的预测直接依赖于前一步计算的状态，早期引入的误差不仅会被保持，而且会积极传播并可能放大。这种累积意味着即使在单一步中的微小不准确性也会在应力周期中积累，导致最终预测的羽流位置、形状和浓度水平出现显著偏差。量化这种累积误差是必要的，因为它为评估da的校正能力提供了基准。本研究中的浓度测量是通过在固定位置随机采样来进行的。在这些稀疏的、嘈杂的点测量数据被lda框架中的降维编码器处理之前，必须将其转换为空间连续场。然而，这种转换不可避免地会引入误差，意味着最终用于同化更新的观测值本身就是一个不完美的表示。 适当正交分解（pod）将收集的快照分解为不同的频率分量。编码器通过保留前d个最具能量的空间模式来构建，这些模式用于压缩数据以获得代码。解码器执行这种投影的逆操作，利用相同的模式集将代码恢复为原始数据的近似值。pod建立了高维物理状态与其低维潜在状态之间的编码和解码的线性变换。使用ρ表示编码算子，ψ表示解码算子，这些变换定义如下：编码：通过将完整状态投影到降维基上来获得潜在状态；解码：从潜在状态重建完整状态的近似值。 在lda框架内，pod在同化周期中的频繁投影和重建步骤中提供了计算效率的优势。此外，得到的模式在物理上是可解释的，提供了对潜在空间中表示的主要动态的宝贵洞察。然而，pod的一个主要限制是其固有的线性。如果底层动态表现出强烈的非线性，这可能会限制其准确表示系统状态的能力。此外，捕获复杂的动态过程可能需要保留大量的模式，这可能会降低在显著降低的潜在空间中操作的期望计算优势。 2.5 潜在空间中的集合卡尔曼滤波器 数据同化将观测值与模型预测相结合，以产生系统状态的改进估计。在lda框架内，这种集成是在上述部分描述的pod降维得到的低维潜在空间内进行的。在本研究中，我们关注的方法是集合卡尔曼滤波器（enkf）。enkf是一种顺序蒙特卡洛方法，它使用状态向量的集合来近似系统状态的概率分布。在lda中，enkf直接作用于低维潜在状态向量。在每次同化时，enkf过程包括预测和分析两个步骤： 预测步骤：一组潜在状态向量，代表在潜在空间中的背景预测分布。这是通过将编码器应用于物理状态集合的每个成员来实现的。分析步骤：使用也转换为潜在空间的观测信息来更新潜在背景集合的每个成员。第i个集合成员的更新遵循以下公式： (4)其中θ_i是更新后的分析潜在状态；v_i是潜在空间中的对角矩阵观测算子；ε_i是扰动观测噪声。k_i是潜在空间中的背景误差协方差矩阵。卡尔曼增益k_i是从集合中动态计算得到的。 此外，潜在观测误差协方差矩阵σ_i对lda框架的性能至关重要。与物理空间不同，σ_i是一个密集且复杂的矩阵。由于潜在观测值是通过voronoi插值和随后的pod投影获得的，它包含了物理观测噪声的累积误差、插值误差和pod截断误差。直接定量分析σ_i相当具有挑战性。因此，我们采用数据驱动的统计估计方法来近似其结构。假设误差统计是时间不变的，基底协方差矩阵c_i是通过计算编码观测值y_i与投影的真实状态yi之间的残差协方差来计算的，n是训练快照的数量。 然而，直接应用σ_i通常会导致滤波器发散，因为潜在空间中的不平衡非常显著。由于pod的固有特性，状态的方差随着模式指数的增加而急剧减小。因此，对于较高阶的模式，统计误差方差往往超过模拟方差。在这些条件下，σ_i趋于零，导致滤波器拒绝更新。为了解决这个问题，我们引入了一个缩放因子λ来规范化σ_i。通过设置λ，我们有效地平衡了潜在空间的尺度。这允许enkf利用观测值稳健地校正状态。 在潜在空间内，降维导致参与σ_i计算的协方差矩阵显著减小。这种低维度使得从集合中获得更可靠的协方差估计成为可能，有效地缓解了在高维设置中常见的虚假相关性问题。因此，σ_i的计算和应用速度显著加快。得到的分析集合代表了潜在空间中的更新状态估计分布，可以直接在下一个预测步骤中继续使用，或者解码回物理域。 3 应用 3.1 二维和三维边界释放溶质传输模型 在本研究中，我们考虑了污染物从边界源连续释放到含水层的过程。如图4a所示，二维（2-d）情况域网格被均匀划分为l×l的网格；如图4c所示，三维（3-d）情况域网格被均匀划分为l×l×l的网格。左侧的污染物边界以恒定速率5 (m l3 t)释放。总模拟时间为12 (t)，分为12个应力周期。有效孔隙率为p。扩散率设置为：纵向d (l)、横向e (l)和垂直方向f (l)。左右边界假设为恒定水头边界，水头分别为2 (l)和0 (l)。上下边界为不流动边界。图4展示了研究案例的参考水力传导率。(a)和(c)是2-d和3-d情况下的真实水力传导率，作为基准 truth。(b)和(d)是包含了误差的相应水力传导率，突出显示了与真实分布的偏差，并有助于评估动态模拟中的误差累积。水力传导率是通过顺序高斯模拟生成的，假设其服从对数正态分布，均值和方差分别为μ和σ。相关长度为6.0 (l)，变异图类型为高斯型。为了在反映现场监测约束的条件下评估该框架，浓度观测值在一系列固定空间位置生成，采样过程包含了随机变异性以模拟真实世界的监测噪声。 3.2 模型误差累积和观测不确定性 使用u-net替代模型对地下水污染物传输进行的前向模拟本质上包含来自多个来源的不准确性。如图4和5中的比较分析所示，预测与真实状态的偏差来自三个主要来源。首先，相对于真实场地的异质水力传导率的误差引入了传输速度的不准确性。其次，初始浓度状态的不确定性为模拟提供了错误的起始条件。第三，u-net模型本身在推广到与其训练数据集不同的水力传导率时会产生近似误差。这些因素共同导致了模拟与真实状态之间的偏差。图5展示了研究案例的参考初始条件。(a)和(c)是2-d和3-d情况下的真实初始浓度，作为基准>
适当正交分解（pod）将收集的快照分解为不同的频率分量。编码器通过保留前d个最具能量的空间模式来构建，这些模式用于压缩数据以获得代码。解码器执行这种投影的逆操作，利用相同的模式集将代码恢复为原始数据的近似值。pod建立了高维物理状态与其低维潜在状态之间的编码和解码的线性变换。使用ρ表示编码算子，ψ表示解码算子，这些变换定义如下：编码：通过将完整状态投影到降维基上来获得潜在状态；解码：从潜在状态重建完整状态的近似值。

在lda框架内，pod在同化周期中的频繁投影和重建步骤中提供了计算效率的优势。此外，得到的模式在物理上是可解释的，提供了对潜在空间中表示的主要动态的宝贵洞察。然而，pod的一个主要限制是其固有的线性。如果底层动态表现出强烈的非线性，这可能会限制其准确表示系统状态的能力。此外，捕获复杂的动态过程可能需要保留大量的模式，这可能会降低在显著降低的潜在空间中操作的期望计算优势。

2.5 潜在空间中的集合卡尔曼滤波器
数据同化将观测值与模型预测相结合，以产生系统状态的改进估计。在lda框架内，这种集成是在上述部分描述的pod降维得到的低维潜在空间内进行的。在本研究中，我们关注的方法是集合卡尔曼滤波器（enkf）。enkf是一种顺序蒙特卡洛方法，它使用状态向量的集合来近似系统状态的概率分布。在lda中，enkf直接作用于低维潜在状态向量。在每次同化时，enkf过程包括预测和分析两个步骤：
预测步骤：一组潜在状态向量，代表在潜在空间中的背景预测分布。这是通过将编码器应用于物理状态集合的每个成员来实现的。分析步骤：使用也转换为潜在空间的观测信息来更新潜在背景集合的每个成员。第i个集合成员的更新遵循以下公式：

(4)其中θ_i是更新后的分析潜在状态；v_i是潜在空间中的对角矩阵观测算子；ε_i是扰动观测噪声。k_i是潜在空间中的背景误差协方差矩阵。卡尔曼增益k_i是从集合中动态计算得到的。

此外，潜在观测误差协方差矩阵σ_i对lda框架的性能至关重要。与物理空间不同，σ_i是一个密集且复杂的矩阵。由于潜在观测值是通过voronoi插值和随后的pod投影获得的，它包含了物理观测噪声的累积误差、插值误差和pod截断误差。直接定量分析σ_i相当具有挑战性。因此，我们采用数据驱动的统计估计方法来近似其结构。假设误差统计是时间不变的，基底协方差矩阵c_i是通过计算编码观测值y_i与投影的真实状态yi之间的残差协方差来计算的，n是训练快照的数量。

然而，直接应用σ_i通常会导致滤波器发散，因为潜在空间中的不平衡非常显著。由于pod的固有特性，状态的方差随着模式指数的增加而急剧减小。因此，对于较高阶的模式，统计误差方差往往超过模拟方差。在这些条件下，σ_i趋于零，导致滤波器拒绝更新。为了解决这个问题，我们引入了一个缩放因子λ来规范化σ_i。通过设置λ，我们有效地平衡了潜在空间的尺度。这允许enkf利用观测值稳健地校正状态。

在潜在空间内，降维导致参与σ_i计算的协方差矩阵显著减小。这种低维度使得从集合中获得更可靠的协方差估计成为可能，有效地缓解了在高维设置中常见的虚假相关性问题。因此，σ_i的计算和应用速度显著加快。得到的分析集合代表了潜在空间中的更新状态估计分布，可以直接在下一个预测步骤中继续使用，或者解码回物理域。

3 应用
3.1 二维和三维边界释放溶质传输模型
在本研究中，我们考虑了污染物从边界源连续释放到含水层的过程。如图4a所示，二维（2-d）情况域网格被均匀划分为l×l的网格；如图4c所示，三维（3-d）情况域网格被均匀划分为l×l×l的网格。左侧的污染物边界以恒定速率5 (m/l3/t)释放。总模拟时间为12 (t)，分为12个应力周期。有效孔隙率为p。扩散率设置为：纵向d (l)、横向e (l)和垂直方向f (l)。左右边界假设为恒定水头边界，水头分别为2 (l)和0 (l)。上下边界为不流动边界。图4展示了研究案例的参考水力传导率。(a)和(c)是2-d和3-d情况下的真实水力传导率，作为基准 truth。(b)和(d)是包含了误差的相应水力传导率，突出显示了与真实分布的偏差，并有助于评估动态模拟中的误差累积。水力传导率是通过顺序高斯模拟生成的，假设其服从对数正态分布，均值和方差分别为μ和σ。相关长度为6.0 (l)，变异图类型为高斯型。为了在反映现场监测约束的条件下评估该框架，浓度观测值在一系列固定空间位置生成，采样过程包含了随机变异性以模拟真实世界的监测噪声。

3.2 模型误差累积和观测不确定性
使用u-net替代模型对地下水污染物传输进行的前向模拟本质上包含来自多个来源的不准确性。如图4和5中的比较分析所示，预测与真实状态的偏差来自三个主要来源。首先，相对于真实场地的异质水力传导率的误差引入了传输速度的不准确性。其次，初始浓度状态的不确定性为模拟提供了错误的起始条件。第三，u-net模型本身在推广到与其训练数据集不同的水力传导率时会产生近似误差。这些因素共同导致了模拟与真实状态之间的偏差。图5展示了研究案例的参考初始条件。(a)和(c)是2-d和3-d情况下的真实初始浓度，作为基准 truth。(b)和(d)是包含了误差的相应初始浓度，突出显示了与真实分布的偏差，并有助于评估动态模拟中的误差累积。此外，预测准确性的关键挑战不仅来自于这些单独的误差源，还来自于它们在整个迭代模拟过程中的累积和交互效应。由于每个时间步的预测直接依赖于前一步计算的状态，早期引入的误差不仅会被保持，而且会积极传播并可能放大。这种累积意味着即使在单一步中的微小不准确性也会在应力周期中积累，导致最终预测的羽流位置、形状和浓度水平出现显著偏差。量化这种累积误差是必要的，因为它为评估da的校正能力提供了基准。本研究中的浓度测量是通过在固定位置随机采样来进行的。在这些稀疏的、嘈杂的点测量数据被lda框架中的降维编码器处理之前，必须将其转换为空间连续场。然而，这种转换不可避免地会引入误差，意味着最终用于同化更新的观测值本身就是一个不完美的表示。>这种观测表示误差来源于三个不同的方面。首先是与观测点本身相关的测量误差，这反映了仪器的限制，通常被建模为随机噪声。第二个来源是空间插值误差。Voronoi镶嵌插值将点数据扩展到一个全场的、分段常数表示中。这种方法无法准确捕捉到稀疏观测点之间真实浓度的可能平滑变化。最后，第三个来源是降维误差。当插值的观测场被投影到低维POD模式上时，场的某些组成部分会被过滤掉。因此，在同化过程中的观测表示是真实状态、测量噪声以及由空间化和压缩过程引入的显著误差的复合体。尽管最近邻Voronoi分配本身会引入空间表示误差，但生成这种全场观测在LDA框架中起着关键作用。它为降维编码器提供了所需的输入格式。这种一致的处理方式确保了观测信息，尽管涉及空间化过程中的近似，仍能被投影到与背景相同的潜在空间坐标系统中，从而在同化步骤中实现一致的更新。

3.3 评估标准

为了定量评估替代模型和同化结果的准确性，使用了三个指标：均方误差（MSE）、结构相似性指数（SSIM）（Zhou等人，2004年）和归一化均方根误差（NRMSE）。MSE衡量参考浓度场和同化浓度场之间的平均平方差：

（9）其中 是参考值， 是同化值。SSIM量化两个空间场之间的感知结构相似性：

（10）其中 和 分别表示均值和方差。 是 和 之间的协方差。 和 是两个用于确保数值稳定性的常数。NRMSE通过参考数据的范围提供了一个尺度不变的误差度量：

（11）其中 和 分别是参考值的最大值和最小值。总之，较低的MSE和NRMSE值以及接近1.0的SSIM值表示更好的结果。

4 结果与讨论

4.1 降维与模型性能

LDA框架的有效性从根本上依赖于降维技术准确表示模型背景状态和潜在空间中处理后的观测数据的能力。在这里，我们评估了POD的特性，特别关注其模式的物理解释以及截断维度（保留的模式数量）对整体DA结果的影响。POD模式是从4000个不同水力传导率场模拟出的浓度快照构建的，确保这些模式能够捕捉到广泛的潜在系统行为。图6展示了2D和3D情况下前三个主要POD模式的空间结构。这些模式对应于与潜在平流-扩散动力学相关且可物理解释的大尺度模式。第一个模式始终捕捉系统的最显著特征，通常代表时间平均的羽流形状及其主要迁移路径。后续模式代表了与主要结构显著偏离的情况，例如羽流扩散的主轴或其路径的蜿蜒。更高阶的模式负责表示越来越精细的空间细节和较少的动态变化，包括局部浓度波动。这些正交模式共同构成了一个最优的低秩表示，用于近似系统行为。

4.2 潜在数据同化结果

在本节中，我们评估了在基于POD的降维空间中实施DA的LDA框架的性能。主要目标是评估其在使用稀疏和噪声观测数据纠正预测方面的有效性，从而量化LDA对地下水建模的好处。对2D和3D情况分别进行了分析。为了严格测试LDA的纠正能力和鲁棒性，在模型输入中引入了显著的不确定性。具体来说，如图4和图5所示，高斯噪声的均值为0，标准差为1.0，被添加到水力传导率的对数和初始浓度状态中，以建立校正的基线。观测数据在30个随机位置合成生成，每个测量值都伴随着均值为0、标准差为0.2的独立高斯噪声。需要注意的是，这些特定的误差提供了一个标准的测试环境。所提出的LDA框架是一种通用方法，不受这些假设的限制。对于2D情况，输入和模型不确定性的累积效应导致相对于真实状态的均方误差（MSE）为0.162。这个值代表了在实施LDA校正之前整个集合和模拟期间的预测状态的平均误差。EnKF使用了1000个集合的大小进行应用。潜在观测误差协方差矩阵 是使用2000个浓度快照统计估计的。对于每个数据，计算编码观测值与其对应的真实潜在状态之间的残差。这种数据驱动的方法可以避免误差结构的过度简化，使得能够捕捉到由观测误差和插值过程引起的相关性和表示误差。此外，由于观测数据被处理并完全投影到潜在空间中，观测算子 减少到了一个单位矩阵。这大大简化了其结构，并增强了从集合中估计的鲁棒性，使得卡尔曼增益的计算和随后的同化更新在这些条件下都高效且数值稳定。应用LDA后，时间平均MSE急剧下降到0.029，误差减少了大约82.1%。对于计算更密集的3D情况也进行了类似的评估，未经校正的模型的时间平均MSE为0.082。使用LDA后，MSE降低到0.026，误差减少了68.3%。如图8和图9所示，2D和3D情况下的空间误差分布表明LDA有效地纠正了大尺度羽流的结构、位置和幅度。残差误差主要局限于高浓度梯度或细微尺度的局部区域。这些局部不准确性可以归因于框架中固有的几个因素。基于Voronoi的稀疏观测插值平滑了精细的空间细节，这意味着观测本身缺乏高保真的局部信息来约束这些特征。此外，尽管POD截断对于整个场是最优的，但它本质上过滤掉了完美重建复杂局部变化所需的更高阶模式。尽管存在这些小的局部不准确性，LDA结果对于2D和3D模拟都显示出模型不确定性的显著和有效减少。

4.3 与传统的物理数据同化的比较

为了全面评估所提出的LDA框架的优势，我们将其性能与直接在高维物理空间中操作的传统DA方法进行了基准测试。这种比较主要关注与观测数据需求相关的效率增益以及LDA在处理噪声初始条件时的固有能力优势。如图11所示，尽管传统物理空间DA的准确性随着观测点数量的增加而提高，但其误差曲线开始趋于平稳，与LDA相比留下了显著的准确性差距。这种差距仅通过增加观测点数量是无法弥补的，这表明传统DA算法在高维物理空间应用时的一个根本局限性。

为了彻底评估所提出的LDA框架的优势，我们将其性能与直接在高维物理空间中操作的传统DA方法进行了基准测试。这种比较主要关注与观测数据需求相关的效率提升以及LDA在处理噪声初始条件时的固有能力优势。如图11所示，尽管传统物理空间DA的准确性随着观测点数量的增加而提高，但其误差曲线开始趋于平稳，与LDA相比仍存在显著的准确性差距。这种差距仅通过增加观测点数量是无法弥补的，特别是在高观测误差条件下。相反，即使观测网络密集，也无法完全补偿高测量误差的限制效应。总体而言，结果表明观测误差对同化准确性的影响大于观测点数量，这突出了测量质量在LDA框架中的重要性。

4.3 与传统物理数据同化的比较

为了全面评估所提出的LDA框架的优势，我们将其性能与直接在高维物理空间中操作的传统DA方法进行了基准测试。这种比较主要关注与观测数据需求相关的效率提升以及LDA在处理噪声初始条件时的固有能力优势。如图11所示，尽管传统物理空间DA的准确性随着观测点数量的增加而提高，但其误差曲线开始趋于平稳，与LDA相比仍存在显著的准确性差距。这种差距仅通过增加观测点数量是无法弥补的，这表明传统DA算法在高维物理空间应用时的一个根本局限性。除了与观测效率相关的优势外，LDA框架在减轻初始条件噪声或不确定性影响方面也具有固有的优势。作为LDA组成部分的降维步骤本身就起到了过滤作用。当初始状态包含高频噪声时，这些成分在编码投影到潜在空间过程中会被减弱。随后从潜在空间重建出的初始状态就抑制了这种噪声。这种过滤效果在图12中通过可视化展示，该图比较了POD编码后解码的结果与原始含噪声场的情况。定量评估进一步支持了这一观点：将重建的初始场与参考初始条件进行比较，2-D情况下的MSE值为0.104，3-D情况下的MSE值为0.129，而原始含噪声场的MSE值分别为0.537和0.523。虽然传统的物理数据同化（DA）方法需要处理初始状态中的全部噪声，但LDA方法从一开始就能处理一个更干净、经过预过滤的初始条件表示。这种固有的噪声过滤特性可以提高同化过程的稳定性和加速收敛速度，尤其是在初始状态高度不确定的情景中。

图12展示了2-D（a）和3-D（c）情况下初始条件的误差，以及经过适当正交分解（POD）重建后的初始条件误差（2-D（b）和3-D（d）情况。

**5 结论**

在这项研究中，我们针对地下水流建模中预测高维时空过程的需求，提出了计算效率高且准确的方法，因为模型结构、参数和初始条件中的不确定性带来了重大挑战。我们开发并系统评估了一个集成框架，该框架将深度学习替代模型与LDA相结合，利用稀疏观测数据有效校正模型状态。主要的创新在于LDA框架的构建，它提供了一种提高预测准确性和同化效率的新方法。在LDA框架中，我们使用U-Net替代模型快速生成浓度预测，然后利用降维技术将这些状态预测投影到维度显著降低的潜在空间中。同时，稀疏观测数据通过Voronoi镶嵌在空间上进行插值，随后也被投影到潜在空间中。接下来，整个数据同化（DA）过程完全在这个降维后的潜在空间内进行。这一步使得编码的背景预测与观测信息能够高效融合，从而产生更新的潜在状态估计。最终，通过将潜在状态解码回物理域来重建修正后的高维浓度。结果证明了LDA框架的有效性和独特优势。降维方法POD能够显著降低维度，特别是在重建处理过的观测数据和推广到未见条件时。在潜在空间内，EnKF成功同化了观测数据以校正模型预测。重要的是，LDA框架展示了诸多优势，其准确性可与物理DA方法相媲美，但所需的观测点更少。此外，降维步骤本身就能过滤初始条件中的高频噪声，这比传统DA方法具有额外的优势。尽管取得了这些有希望的结果，当前框架仍存在局限性。整体准确性在很大程度上取决于替代模型的保真度和泛化能力；通过物理信息丰富的神经网络或更好地捕捉长期依赖性的架构来改进替代模型，可能会进一步提高性能。尽管POD在这里表现良好，但其线性限制可能适用于强非线性传输动力学，因此有必要探索非线性或自适应的降维技术。另外，使用Voronoi镶嵌进行观测处理相对简单，探索更复杂的观测操作器，可能会使点数据更直接地在潜在空间中被同化，从而提高准确性。总之，我们证实了LDA框架在处理复杂的高维地下水传输问题时的重要价值，尤其是在不确定性和计算限制条件下。LDA框架提供了一种计算可行且数据高效的途径，显著提高了预测准确性。其主要优势包括大幅减少观测数据需求和固有的噪声过滤能力，强调了其在水文地质学中的实际应用价值，包括操作预测、不确定性量化和监测策略优化。继续专注于组件改进和实际应用验证，有望进一步巩固这种方法的影响力。

**致谢**

本研究得到了中国国家自然科学基金（U21A2004）和中国国家自然科学基金（42450248）的资助。我们特别感谢审稿人、副编辑和编辑提出的建设性和有见地的建议，这些建议大大提高了我们工作的质量。

**利益冲突**

作者声明与本研究无关的利益冲突。

**附录A：深度学习替代模型性能**

在这项研究中，CNN（U-Net）深度学习模型使用PyTorch进行训练，网络在NVIDIA GeForce RTX 4060 Ti GPU上运行。U-Net基于CNN架构构建，所有层使用ReLU作为激活函数。训练采用Adam优化器，学习率为0.0001，共进行200个周期。训练和测试数据集分别包含3,000个和300个样本，批量大小为25。采用了标准的U-Net架构，首先进行四次下采样，然后进行四次上采样并连接属性，最后输出结果。在准确的水力传导率和初始条件下，使用标准指标评估定量误差。在前向模型中，2-D模拟的MSE值为0.001，3-D模拟的MSE值为0.002，表明预测状态与真实状态之间的偏差很小。SSIM在2-D和3-D模拟中的值均为0.999，显示了浓度的高结构保真度（见图A1和A2）。

**附录B：不确定性下的前向模型预测**

不确定性通过模型误差、水力传导率和初始条件引入，前向模型预测作为基准进行评估。这个基准用于量化这些不确定性对预测准确性的影响。在这些不确定条件下，2-D模拟中的MSE为0.162，3-D模拟中的MSE为0.082，显示出与理想情况相比偏差有所增加，这是由于引入的不确定性所致。SSIM在2-D和3-D模拟中的值分别为0.957和0.970，表明尽管引入了误差，预测场保持了结构完整性，尽管细节有所退化（见图B1和B2）。

**数据可用性声明**

本研究使用的数据和代码可在Liu（2026）中找到。