在简化的车辆模型上，通过壁面解析的大涡模拟技术对车顶扩展结构（或扰流板）进行贝叶斯优化

《Journal of Fluid Mechanics》：Bayesian optimisation of a roof extension/spoiler on a simplified vehicle, employing wall-resolved large eddy simulation

　　摘要：本文采用高保真壁面解析的大涡模拟技术，对一种基准道路车辆几何形状——即带有车轮且偏航角为零的方形尾部温莎车身进行了仿真。为了降低阻力，采用了被动控制方法，具体表现为优化其后部车顶的延伸结构。后部车顶的延伸程度通过其锥形穿透距离、入射角度和长度等参数来表征。这一优化过程结合了基于高斯过程的替代建模与贝叶斯优化（克里金法），并遵循预期的改进准则进行。经过六次迭代（共60次模拟）后，阻力成功降低了6.5%。研究发现了六种主要的减阻机制：扩散器诱导的压力恢复、基部尺寸减小、垂直尾流平衡调整、分离效应、再循环区域核心重新定位以及横向对称性重构。该研究并非孤立分析这些机制，而是探讨了在同时改变多个几何参数时它们之间的相互作用，从而提供了系统层面的认识，并得出了实用的设计规则。最优配置出现在车顶延伸角度刚好引发分离现象时，此时锥形穿透距离和延伸长度均处于分析范围内的最大值。这些发现为空气动力学优化提供了一个可靠的框架，并进一步证明了贝叶斯优化在基于计算流体动力学的设计中的有效性。通过这种方式，本研究将基础的理论研究与应用设计实践联系了起来，展示了如何利用耦合的尾流-几何关系来提升空气动力性能。

1. 引言
2021年，交通运输行业占全球温室气体排放总量的16%（ClimateWatch 2024）。尽管已付出大量努力推广低排放车辆，但仍有必要提高道路车辆的空气动力效率，以减少燃油消耗、二氧化碳排放以及电动汽车的能源消耗，从而延长其续航里程。当车辆行驶速度超过约70公里/小时时，空气动力阻力是车辆面临的主要阻力来源（Hucho 1987；Hucho & Sovran 1993；Howell & Gaylard 2006；Barnard 2009；Choi, Lee & Park 2014）。阻力受到车辆尾流的影响显著，尾流形成于气流从车辆后方分离时。这种分离会在车身后方形成一个低能量、低压的尾流区域，这是阻力的主要组成部分。在旨在改善车辆空气动力性能的研究中，通常会使用简化的车辆模型来降低仿真复杂性，重点关注基本的空气动力现象。尽管这些模型省略了许多特定于车辆的细节，但它们仍保留了影响尾流动态的关键空气动力特征。通过提高这些模型中的“信噪比”，研究人员能够专注于影响阻力的关键流动现象，而不受车辆特性的干扰。目前对简化车辆模型尾流的理解认为存在三种周期性模式：剪切层动态、涡脱落和气泡泵送，以及一种随机模式，通常称为双模切换（图1）。这些模式的斯特劳哈尔数分别为：剪切层动态（约3）、涡脱落（约0.2）、气泡泵送（约0.08）和双模切换（约0.006）（Grandemange等人，2013b）。
（i）剪切层动态源于车辆后缘的Kelvin-Helmholtz不稳定性，导致形成明显的剪切层。
（ii）涡脱落是由于相对剪切层之间的相互作用，在尾流中产生垂直和横向涡流。
（iii）气泡泵送的机制尚不完全清楚，有观点认为它可能是分离气泡末端周期性脱落的涡流，也可能是涡脱落模式的非线性相互作用（Berger, Scholz & Schumm 1990；Duell & George 1999；Khalighi等人，2001；Krajnovi? & Davidson 2003；Volpe, Devinant & Kourta 2015；Pavia, Passmore & Sardu 2017）。
（iv）双模切换的特点是对称性的破坏，通常表现为两种不同尾流状态之间的自发切换，这种切换由尾流中的反射对称性破坏驱动。层流对称性破坏的机制可以通过对Navier-Stokes方程的非线性分析来解释（Meliga, Chomaz & Sipp 2009；Zampogna & Boujo 2023）。这种对称性破坏会延续到湍流区域，但在湍流状态下，湍流扰动会导致尾流随机地在不对称位置之间切换（Rigas等人，2015）。
图1展示了钝体尾流中观察到的不同动态模式：（a）剪切层动态，（b）涡脱落，（c）双模切换，（d）气泡泵送。由于这些尾流动态本质上是三维且复杂的，因此通常通过它们对整体流动拓扑结构的影响来理解尾流变化，而不是通过局部速度或压力场的变化。描述这些变化的常用框架是参考每种双稳态的全局平均拓扑结构，这种结构以环形涡流结构为特征，每次双模切换时都会重新定向（Lucas等人，2017；Dalla Longa, Evstafyeva & Morgans 2019）。这种环形表示简化了大尺度尾流变化的表征，为分析尾流变化及其空气动力后果提供了直观的方法。在本文中，尾流的形状、大小和双模特性将主要通过这一视角进行探讨。大多数车辆尾流动态研究使用的是Ahmed车身（Ahmed, Ramm & Faltin 1984）或Windsor车身（Windsor 1991），这两种模型代表了无车轮的简化方形尾部车辆。然而，研究表明，虽然添加车轮不会显著改变尾流中的主导动态结构，但确实会改变尾流的形状（Pavia & Passmore 2018；Su等人，2023），使其更接近真实车辆的行为。在本研究中，我们使用带车轮的Windsor车身作为基准几何形状。这保留了典型钝体配置的简化特性，同时引入了足够的现实性，以增强研究结果对全尺寸汽车应用的相关性和普遍性。钝体上的阻力主要来自压力阻力，因此尾流修改是减阻策略的关键焦点。本研究通过修改后部车顶边缘来评估其对阻力的影响。设计减阻车辆是一个复杂的挑战，尤其是在平衡功能设计与空气动力效率方面。在这种情况下，车顶延伸是一个有前景的选项，因为它提供了一种相对简单的修改方式，不会显著改变车辆的整体几何形状。尽管汽车行业几十年来一直在使用这种修改方法，但指导其设计的基础研究仍然有限。一些研究探索了工业几何形状上的车顶延伸（如沃尔沃汽车，Sterken等人，2014），而其他研究则研究了被动控制技术，如锥形结构（Littlewood & Passmore 2010；Perry, Pavia & Passmore 2016；Bonnavion & Cadot 2019）、襟翼（Grandemange等人，2013c；Garcia de la Cruz, Brackston & Morrison 2017；Urquhart等人，2020b；Fan等人，2024）和空腔（Evrard等人，2016；Lucas等人，2017；Bonnavion & Cadot 2018；Lorite-Díez等人，2020；Mu?oz-Hervás等人，2024），其中一些研究旨在阐明潜在的流动机制。尽管控制车顶延伸减阻的物理原理与这些装置有相似之处，但具体机制可能是由所研究配置特有的多种效应共同作用的结果。尽管如此，回顾以往被动控制研究的主要发现仍然很有帮助，因为它们为理解当前的优化框架提供了物理背景。对于固定长度的襟翼和锥形结构，多项实验研究考察了阻力对入射角度的敏感性，通常使用二维粒子图像测速技术来推断潜在的流动机制。Grandemange等人（2013c）的工作特别有影响力，他们研究了顶部和底部襟翼（本文中称为延伸结构）对方形尾部车身的空气动力响应。他们的分析将阻力变化分解为几个部分：与基部尺寸减小相关的线性项，以及与升力诱导阻力相关的二次项。后者进一步分为由整体车身升力引起的部分和由襟翼边缘形成的涡流引起的部分。虽然这一框架提供了有价值的现象学见解，但由于缺乏三维流场数据，它本质上受到限制，导致对无粘性升力诱导机制的过度强调，以及对粘性和尾流相互作用效应的考虑不足。后续研究对Grandemange等人描述的现象进行了更广泛的解释。Grandemange等人将升力诱导阻力重新定义为“尾流平衡”，即时间平均尾流是由上升流还是下降流主导的。需要强调的是，尾流平衡是一个广泛的概念，有多种不同的解释方式。它可以通过基部中心的垂直基压梯度来量化，该梯度反映了全局循环以及上下再循环区域的相对强度。在本研究中，我们采用了一种基于中心尾流流线相对于流向倾斜度的定义。例如，可以想象一种尾流，其中上部再循环区域大于下部区域，但平均流线几乎垂直撞击基部。在包含离地间隙和车轮的粘性配置中，纯粹的无粘性升力诱导解释变得不那么有意义。在这种情况下，基于流线方向或动量平衡的定义提供了更稳健且物理上可解释的框架，因为它直接捕捉了尾流所经历的有效入流条件，为优化提供了更实用的基础。在Urquhart等人（2020b）的研究中，他们使用尾流平衡作为全局流动状态的完整描述符，证明了朝向垂直对称性的方法与阻力降低之间存在强相关性。Haffner等人（2021）通过引入受控的横向扰动进一步分离了对称性的影响，表明即使存在双模切换，垂直平衡的尾流也表现出更低的阻力。Evrard等人（2016）对后部锥形结构的补充研究探讨了几何形状如何影响对称性和切换行为。特别是Bonnavion & Cadot（2019）证明了基部宽高比和压力梯度分布同时决定了双模转换的频率和持续性。此外，多项研究在不同流动条件下（如偏航角，Garcia de la Cruz等人，2017；Fan等人，2024）或修改后的配置（包括柔性襟翼，Mu?oz-Hervás等人，2024）中考察了襟翼和锥形结构的性能。这些工作从实际应用的角度提供了宝贵的见解；然而，这些研究中的减阻基本机制与前述研究中的结果一致，因此在此不再详细讨论。总之，这些研究表明，作用于后缘的装置（如襟翼和锥形结构）主要通过减小基部尺寸和与垂直平衡及双模切换相关的尾流重组机制来影响阻力。Evrard等人（2016）提出了一种基于空腔修改的补充研究方向，他们表明加入空腔可以通过稳定剪切层动态来抑制双模性，并揭示了这种转换的连续性。这些研究共同为理解方形后部几何形状上的被动流动控制提供了坚实的实验基础。然而，大多数研究依赖于二维或基于表面的诊断方法，并且一次只改变一个几何参数，这限制了它们捕捉尾流特征之间耦合的三维相互作用的能力，特别是锥度诱导效应与腔体效应之间的相互作用。这一局限性突显了需要一个综合性的视角，即能够捕捉多个几何参数在完全三维尾流中的相互作用。本研究通过同时优化控制长度和角度的几何参数，并详细分析由此产生的三维流场来解决这一问题。优化减阻装置涉及多个设计参数，预测它们的效果具有挑战性。传统方法如计算流体动力学（CFD）模拟或风洞测试既耗时又昂贵，尤其是在处理大型设计空间时。经典优化算法往往难以处理高度非线性的多峰问题。进化算法虽然有效，但需要大量的函数评估，这使得它们不适用于基于CFD的设计过程。为了应对这些挑战，提出了替代模型，也称为响应面。这些模型可以准确描述非线性变化，并用于指导优化。特别是替代模型优化，它高效且能提供有关输入依赖性的宝贵见解。然而，传统的确定性模型（如多项式替代模型）可能无法捕捉整个设计空间，常常导致局部最优解。为了克服这一点，引入了贝叶斯优化，利用概率模型来平衡探索和利用。值得注意的是，Jones、Schonlau和Welch（参考文献Jones, Schonlau and Welch1998）提出了高效全局优化（EGO）算法，该算法将高斯过程（GPs）与预期改进的概念相结合，以提高搜索效率。EGO算法特别适用于复杂设计空间中的优化。通过平衡探索和利用，它可以高效地找到最优设计。最近的应用，例如在Yan等人（参考文献Yan, Lai, Wang, Hu and Deng2019）的工作中，证明了其在优化车辆空气动力学方面的有效性，实现了显著的减阻效果，同时减少了设计评估次数。本研究基于雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模拟，并未试图将观察到的减阻趋势与潜在的空气动力学联系起来。相比之下，我们采用了高保真度、壁面解析的大涡模拟（WRLES），它可以捕捉更复杂和完整的尾流行为。值得注意的是，Dalla Longa等人（参考文献Dalla Longa, Evstafyeva and Morgans2019）表明WRLES可以有效地捕捉双模切换以及其他钝体流动的关键特征。分析了不同阻力系数范围内的流场，并将流场的变化与观察到的趋势联系起来。值得注意的是，贝叶斯优化并不是将不确定性纳入优化过程的唯一方法。例如，Urquhart等人（参考文献Urquhart, Varney, Sebben and Passmore2020b）实施了Goel等人（参考文献Goel, Haftka, Shyy and Queipo2007）开发的一种策略，该策略使用了基于径向基函数替代模型的10个替代模型集合。他们的方法通过结合预测的中位数和变异性的标准差来估计不确定性。该算法在评估设计空间中中位数最低的点和标准差最高的点之间交替进行。尽管有效，但这些方法缺乏经典贝叶斯优化所提供的数学形式主义和自适应的探索-利用平衡。因此，我们在本研究中采用贝叶斯优化，以高效地探索设计空间，同时保持优化结果的稳健性。本研究详细分析了道路车辆车顶延伸的空气动力学效应，重点优化了关键参数：锥度穿透距离、入射角和延伸长度。优化研究的主要目标是最小化阻力系数。为了提供全面的空气动力学分析，还开发了一个用于升力系数的替代模型。此外，优化函数扩展到同时考虑阻力和升力，提出了在特定升力系数要求下具有最小阻力的几何配置。该研究不仅报告了各个机制，还展示了当多个几何参数同时变化时它们如何相互作用，从而提供了新的系统级理解和实用的设计规则。通过这种方式，这项工作将基础尾流研究与更注重实用性的设计框架联系起来，并展示了如何利用系统级相互作用来提高空气动力学性能。这些发现为空气动力学优化建立了一个稳健的框架，并加强了贝叶斯优化在基于CFD的设计中的有效性。本文的其余部分结构如下：第2节详细介绍了数值设置和数据分析工具，第3节展示了优化结果和替代模型，这些模型说明了阻力和升力对每个参数的依赖性，以及揭示控制阻力变化的物理机制的部分依赖性研究。第4节提供了研究的结论。

2. 方法论
2.1. 数值模拟设置
2.1.1. 几何形状和流动域
本研究主要研究的几何形状是Windsor体，这是一种由Rover集团（前英国汽车制造商）为基本空气动力学研究开发的改良方形后部Ahmed体（参考文献Windsor1991）。Pavia和Passmore（参考文献Pavia, Passmore and Wiedemann2018）通过加入四个固定轮子进行了进一步修改，在本研究中这些轮子被简化为具有封闭内部几何形状的圆柱形，与Page和Walle（参考文献Page and Walle2022）使用的详细设计不同。此外，由于在模拟研究中它们是多余的，因此移除了安装销。为了检验被动控制策略，后车顶边缘被修改为一个参数化的延伸部分，该延伸部分由三个参数表征：锥度穿透距离$A$、入射角$\beta$和延伸长度$C$。基线几何形状以及参数化的延伸部分如图2所示。参数范围如下：$A/L$——锥度穿透距离，$0{-}0.07$；$\beta$——入射角，$-20^\circ$至$20^\circ$；$C/L$——延伸长度，$0{-}0.07$，其中$L$代表车辆长度。$A/L$和$C/L$的上限被设定为反映实际设计约束：尽管更大的值可以进一步减少阻力，但它们对应的延伸部分对于车辆应用来说是不现实的。尽管如此，还是在优化域之外探索了少数$A/L\gt 0.07$的案例，仅为了帮助解释流动物理趋势。对于入射角：范围的选择基于先前的研究，这些研究表明大多数阻力减少发生在$5^\circ$至$15^\circ$之间（Littlewood和Passmore参考文献Littlewood and Passmore2010；Grandemange等人参考文献Grandemange, Mary, Gohlke and Cadot2013c；Pavia, Passmore和Gaylard参考文献Pavia, Passmore and Gaylard2016；Perry等人参考文献Perry, Pavia and Passmore2016；Bonnavion和Cadot参考文献Bonnavion and Cadot2019；Urquhart等人参考文献Urquhart, Varney, Sebben and Passmore2020b；Fan等人参考文献Fan, Parezanovi?, Fichera and Cadot2024），而负角度（上仰）被保留下来以捕捉完整的升力响应，并测试适度的上仰是否可能改善垂直尾流平衡。它们的包含对效率的影响可以忽略不计，因为贝叶斯优化自然会将非常少的样本分配到设计空间的不利区域。作为参考，$C/L=0$的案例对应于没有额外表面的纯锥度形状，概念上类似于Littlewood和Passmore（参考文献Littlewood and Passmore2010）研究的倾斜几何形状。图2展示了基线几何形状和参数化车顶延伸的可视化：(a)正面视图，(b)侧视图以及(c)车顶延伸的放大视图。零延伸长度（$C/L$）对应于纯锥度配置（没有额外的延伸表面）。基于车身高度的雷诺数设定为$Re_H = 3.3 \times 10^4$，与之前关于简化道路车辆的实验验证模拟研究一致（Hesse和Morgans参考文献Hesse and Morgans2021；Ahmed和Morgans参考文献Ahmed and Morgans2023）。尽管Windsor型车身在雷诺数高达$Re_H \approx 3\times 10^5$时表现出一定的敏感性（Varney参考文献Varney2020），但这种依赖性主要与前体现象（如前体分离泡）有关。相比之下，本研究关注的是尾流动力学，在这个范围内，边界层在分离时已经是湍流的，大尺度流动行为基本上与雷诺数无关。这一点通过在对基线配置进行更高雷诺数$Re_H = 0.96\times 10^5$的额外WRLES模拟得到了验证，这与Su等人（参考文献Su, He, Xu, Gao and Krajnovi?2023）的设置相匹配。更高雷诺数的情况显示出预期的小幅度阻力减少（$5\,\%$）和几乎不变的尾流拓扑，无量纲垂直基压梯度仅从$-0.016$变化到$-0.019$。更高雷诺数的情况也在本文后面用于支持模拟框架的验证。车身横截面的纵横比设定为$W/H = 1.35$，其中$W$和$H$分别代表车身宽度和高度。车身长度为$L = 3.61H$，车身底部与地面的距离保持在$C = 0.174H$。此外，为了与先前的研究保持一致，在轮子和地面之间保持了$0.01H$的间隙。计算域尺寸根据ERCOFTAC指南配置为$(L_x, L_y, L_z) = (8L, 2L, 2L)$，其中$L_x, L_y, L_z$分别表示流向、横向和展向的域尺寸。这种设置导致的阻塞因子为$2.5\,\%$。车身前端与域入口之间的距离设定为$2L$。入口处规定了均匀的速度剖面，几何表面和域底部都应用了无滑移条件。地面速度与自由流速度相匹配，以代表移动地面条件，而轮子保持静止。出口处应用了对流边界条件，所有其他边界都使用了滑移条件。

2.1.2. 数值求解器
使用OpenFOAM版本10和有限体积方法求解不可压缩的纳维-斯托克斯方程。作为求解器采用了PIMPLE——一种结合了PISO（压力隐式与算子分裂）和SIMPLE（半隐式压力相关方程方法）的混合CFD算法。亚格子尺度湍流使用壁面适应型局部涡粘性模型进行建模。网格使用StarCCM+和修剪单元网格生成器生成，确保了高质量的网格分辨率。在后续章节中进行了网格细化研究，以确保数值准确性和解的独立性。在每个PIMPLE时间步长内，动量和压力方程求解直到残差至少减少了三个数量级。压力场使用预处理共轭梯度算法求解，预处理器为对角不完全Cholesky（$\text{tolerance}=10^{-8}$，$\text{relTol}=0.01$），速度场使用预处理双共轭梯度求解器，预处理器为基于对角线的不完全LU（$\text{tolerance}=10^{-8}$，$\text{relTol}=0$）。最终校正步骤收紧到$10^{-9}$，使得残差通常在$10^{-6}$到$10^{-8}$之间，这在整个模拟过程中保持稳定。每个WRLES案例都是从收敛的RANS解开始初始化，并推进大约$25\,T_c$（$T_c = H/U_\infty$）以消除初始瞬态。然后在额外的$150\,T_c$内进行统计平均，在此期间监测运行平均的阻力和升力系数。平均窗口逐步以$25\,T_c$的增量扩展，直到这些平均量在两个连续间隔内的变化小于0.25%，以确认统计收敛。基于基线案例的收敛行为，规定了最小采样持续时间为$150\,T_c$，以避免短平均窗口的虚假稳定，并确保所有配置都能捕捉到主导的尾流动态。对于表现出双稳态尾流行为的配置，应用了条件平均，以便在单一稳定尾流状态下计算统计数据。相比之下，对于接近分叉点或在几乎对称条件下的案例，其中两种不对称状态在短时间内动态相似且切换发生，采用了全局平均，因为相关的阻力波动很小，条件平均产生的差异可以忽略不计。这种平均策略旨在捕捉统计上具有代表性的流动状态，同时保持在大规模优化案例集合中的计算可行性。由于尾流转换的特征切换频率通常非常低（$St_w \lesssim 10^{-2}$），流动大部分时间都处于一种稳定配置中。因此，条件平均和全局平均得出的平均阻力估计值几乎相同，所采用的方法能够物理上准确地描述主导的流动动力学。2.1.3. 网格细化研究 首先使用无轮的Windsor模型和静止的地面进行了网格细化研究，以便与之前的研究进行一致的验证。这一选择是经过深思熟虑的，因为它允许与相同几何形状的先前研究（Varney等人，参考文献Varney, Pavia, Passmore和Crickmore2021；Su等人，参考文献Su, He, Xu, Gao和Krajnovi?2023）进行直接比较，而对于有轮的情况，由于几何形状的差异，这是不可能的。此外，由于Windsor模型与Ahmed模型非常相似，它还允许与同一研究小组进行的几项WRLES研究（Hesse和Morgans，参考文献Hesse and Morgans2021；Ahmed和Morgans，参考文献Ahmed and Morgans2023）进行半直接比较。这些比较为独立验证的数值设置中的域范围、近壁分辨率和尾流区域细化提供了依据。一旦在无轮配置上确定了基线网格分辨率，就引入了轮子和移动的地面，并进行了第二次细化研究。由于几何形状的差异以及缺乏有轮情况的直接参考数据，这第二阶段的研究主要集中在验证数值网格的独立性上，而不是实验验证。细化针对了尾流和近壁区域。生成了三种不同的网格，所有网格都采用了相同的细化区域和增长比率。因此，改变最细化区域（即近尾流区域）的单元格大小（ΔL_wake）会导致域中所有单元格大小的变化，以及棱柱层数量的变化（以保持恒定的增长比率）。为了保持较低的y^+值，所有网格的壁面第一层高度保持不变；域平均值约为y^+≈0.58（参见图5的分布），大部分表面的y^+<1。此外，顺流和横向方向的平均归一化近壁网格大小Δx_1,3^+ = Δx_wake · u_τ / ν约为30。棱柱层的正常增长比率在1.3到1.5之间，取决于网格配置，从最后一个棱柱层到相邻外部单元格的过渡比率同样保持在1.3到1.5之间，以避免突然的拉伸。表1展示了三种网格的配置，显示了最终的单元格数量、近尾流单元格大小和棱柱层数。近尾流单元格大小以Taylor微尺度表示，近似为λ_T ≈ 5.5 Re_H^(-1/2)H（Hesse和Morgans，参考文献Hesse and Morgans2023），以提供对解析和建模流场的范围的参考。网格大小的选择基于Hesse和Morgans（参考文献Hesse and Morgans2023）以及Ahmed（参考文献Ahmed2023）的研究，同时也考虑了可用的计算资源。表1. 无轮Windsor模型的网格细化研究：条件时间平均阻力系数（CD和CL）、基础压力系数（C_PB）和再循环区域长度（LB）。对关键条件时间平均模拟结果的分析，即双峰尾流位置之一的时间平均值（如阻力系数和升力系数）显示，中等分辨率和高度细化网格之间的收敛度很高，所有系数的误差均低于1%。此外，还检查了Q准则等值线和湍流涡粘度场。Q准则等值线（图3a、b、c）表明，所有三种网格都成功解析了主要的相干流动结构，包括前分离泡脱落的发夹涡旋和A柱涡旋。值得注意的是，中等和精细网格之间的相似度更高。这在A柱涡旋的起始结构以及侧分离泡和尾流中的剪切层释放的涡旋结构数量上表现得尤为明显。图3. 无轮Windsor模型的Q^*等值线，Q^* = 5.3（上排）和粘度比ν_T / ν = 5（下排）：(a, d) 粗网格，(b, e) 中等网格和(c, f) 精细网格。颜色条表示条件时间平均顺流速度的大小。图3(d, e, f)展示了粘度比（ν_t/ν = 5）的等值线，以突出模型湍流效应超过推荐值的区域。需要注意的是，下游的大结构是由于人工网格效应造成的；具体来说，较大的单元格大小放大了即使是微弱的应变效应，因为涡粘度依赖于网格依赖的长度尺度。这些人工效应在分析中可以忽略不计。总体而言，所有三种网格在解析主要流动结构方面都表现良好。然而，最粗糙的网格在近尾流区域的性能最弱。基于这项分析，选择了中等大小的网格（大约1100万个单元格）作为基础网格，这与使用非结构化网格对类似方形后部配置进行准确WRLES研究的分辨率一致（Hesse和Morgans，参考文献Hesse and Morgans2021；Ahmed和Morgans，参考文献Ahmed and Morgans2023）。值得注意的是，在模型的下侧边缘附近出现了小的Q准则等值线（见图3）。这些结构是在均匀网格区域内形成的，因此不是数值伪影。它们源于受限的底板流动：由于身体和地面之间的文丘里加速效应，身体下方的速度增加，由此产生的压力差导致外部流动在身体下侧边缘向内卷曲。这一过程在身体底部边缘产生了一个连贯的涡旋，该涡旋与地面边界层相互作用并产生了次级反向旋转的涡旋。这些近壁相互作用是受限地面效应流动的众所周知的特征，并且在物理上与观察到的涡旋模式一致。无轮模拟设置的信心进一步得到了Su等人（参考文献Su, He, Xu, Gao和Krajnovi?2023）基于模拟的研究的验证。在这项比较中，雷诺数被调整以匹配他们的条件（Re_H = 0.96 × 10^5）。为了考虑雷诺数的增加，网格大小增加到大约1900万个单元格，以实现可比的Taylor微尺度分辨率。在这些匹配的条件下，我们的模拟得出的阻力系数CD = 0.307，与他们报告的值CD = 0.303仅相差1%，从而为当前数值配置的一致性和可靠性提供了强有力的证据。除了CD的密切一致外，包括垂直尾流平衡和流线拓扑在内的定性尾流行为也与Su等人（参考文献Su, He, Xu, Gao和Krajnovi?2023）报告的结果非常吻合，进一步证实了大尺度尾流动力学的忠实再现。文献中关于Windsor模型的最低雷诺数实验研究是在Re_H ≈ 2 × 10^5下进行的（Varney，参考文献Varney2020），并报告了一个校正后的阻力系数CD_corr = 0.317，其中校正考虑了风洞阻塞效应（根据公式2.1）CD_corr = CD (A_WT / (A_WT - A_f)^(-1)，其中A_WT代表风洞的横截面积，A_f代表身体的正面面积。这个值与我们的模拟结果相差3%，考虑到2.1.1节中讨论的雷诺数敏感性，这构成了密切的一致性，并进一步支持了数值设置的有效性。在对无轮配置进行验证和网格收敛性分析之后，对包括轮子和移动地面的完整模型进行了类似的细化研究。采用了上述相同的细化方法，使用已建立的基础尾流单元格大小Δx_wake和细化比率。轮子和尾流区域共享相同的细化级别，以确保轮子-尾流相互作用的一致性解析。尽管理想情况下解析较小的轮子几何形状需要更细的局部网格，但在这里没有采用，以防止轮子区域成为计算瓶颈，这是由于Courant数限制。由于本研究主要关注尾流动力学而不是详细的轮子流动特征，因此认为这种折中是适当的。有轮配置的总单元格数量在粗网格、中等网格和精细网格之间分别为1000万到2000万。这三种网格的条件时间平均空气动力系数如下：(CD, CL, C_PB, LB/H) = (0.396, -0.067, -0.224, 1.48), (0.402, -0.037, -0.227, 1.46) 和 (0.404, -0.036, -0.227, 1.46)。两种最精细网格之间的CD、CL和C_PB的变化在3%以内，确认了这一分辨率水平下的网格独立性。因此，选择了中等大小的网格（大约1400万个单元格）作为所有后续模拟的基础网格，以在数值精度和计算成本之间取得平衡。有轮配置的定性流动结构与无轮情况非常相似，主要区别在于轮子本身释放的额外涡旋结构。图4展示了中等网格的代表性Q^*等值线，显示了与无轮配置相同的主要涡旋特征。为了简洁起见，没有显示粘度比等值线，因为它们的分布基本相同。值得注意的是，之前在身体下侧边缘观察到的小涡旋结构不再存在，因为引入移动地面改变了边界层的发展，从而改变了由于诱导循环而形成的结构。由于轮子被建模为简化的圆柱体，它们的尾流保持相对紧凑，主要影响底部的动量平衡，而没有显著改变整体尾流动力学。图4. 有轮Windsor模型的Q^*等值线，Q^* = 5.3：(a) 粗网格，(b) 中等网格和(c) 精细网格。颜色条表示条件时间平均顺流速度的大小。如前所述，轮子区域的细化代表了计算瓶颈。尽管如此，还是进行了额外的针对性细化测试，以验证所选分辨率是否足够。轮子区域的单元格大小减小到Δx_wheels = 0.175λ_T，得出的阻力系数为CD = 0.395，与Δx_wheels = 0.35λ_T时的CD = 0.402相比，阻力仅改变了大约2%。因此，更精细的细化仅使阻力改变了大约2%，但由于Courant数限制，计算成本大约翻倍。鉴于这种小的差异以及优化活动所需的大量模拟，所有后续分析都保留了较粗的细化级别（Δx_wheels = 0.35λ_T）。最后，考虑到所有几何和设置差异，将结果与其他研究进行了比较。使用当前网格的基线模拟得出的校正后阻力系数为CD = 0.382（未校正：0.402），在Re_H = 3.3 × 10^4时。作为参考，Varney等人（参考文献Varney, Pavia, Passmore和Crickmore2021）在实验中报告的校正后值为CD = 0.372，Re_H ≈ 7.7 × 10^5，而Su等人（参考文献Su, He, Xu, Gao和Krajnovi?2023）在模拟中得到的未校正值为CD = 0.445，Re_H = 0.96 × 10^5。这两种参考配置都在更高的雷诺数下进行了测试，并且使用的轮子几何形状比当前模型更不流线型。这些差异使得直接定量比较变得困难，因为在这个雷诺数范围内，阻力已知对轮子几何形状和雷诺数效应都很敏感（Varney等人，参考文献Varney, Pavia, Passmore和Crickmore2021）。尽管如此，当前结果介于实验值和数值值之间，这在物理上是合理的，考虑到不同的配置。这种一致性，加上对无轮设置的验证和对有轮情况的细化研究，增强了我们对整个数值框架的信心。我们承认，在轮子脱落结构的细尺度表示上可能存在小的差异；然而，由于本工作的重点是后尾流动力学和全局阻力趋势，这种简化代表了物理真实性和计算成本之间的一个深思熟虑和适当的平衡。最终网格包含大约1500万个单元格，并展示了所有细化区域的特写，如图5所示。图5。中间分辨率网格的可视化，以及在物体表面施加的$y^+$值：(a) 车轮特写，(b) 棱镜层特写，(c) 侧视图和(d) 俯视图。右侧的颜色条表示$y^+$值的大小。2.2. 数据分析 本节概述了流场分析中关键变量的数学方程，以及对非平凡场景下计算这些变量所采用技术的解释。此外，还简要描述了本研究中使用的优化算法。2.2.1. 关键变量 流场分析主要围绕速度和压力图进行。压力可以无量纲化，形成压力系数$C_p$，定义为 (2.2) \begin{equation} C_p = \frac {p - p_\infty }{\dfrac {1}{2} \rho U^2} ,\end{equation} 其中$p$表示特定点的压力，$p_\infty$是自由流压力，$\rho$是流体密度，$U$表示自由流速度。研究作用在物体上的力需要使用力系数，定义为 (2.3) \begin{equation} C_X = \frac {F_X}{\dfrac {1}{2} \rho U^2 A} ,\end{equation} 其中$F_X$表示分析的力分量，$A$是投影的正面面积。具体来说：$X = D$代表阻力系数$C_D$，对应于与物体轴线对齐的力；当偏航角为零时，这与顺流方向一致；$X = L$代表升力系数$C_L$，表示垂直方向的力；$X = S$代表侧向力系数$C_S$，指的是垂直于物体侧面的力。此外，还计算了无量纲基压梯度，以量化垂直和展向的尾流平衡 (2.4) \begin{equation} \frac {\partial C_p(t)}{\partial n} = \frac {1}{M} \sum _{m=1}^{M} \frac {\sum _M C_P \left(\dfrac {\Delta n}{2}, t\right) - \sum _M C_P \left(-\dfrac {\Delta n}{2} t\right)}{ \Delta n/L} ,\end{equation} 其中$n$表示垂直（$y$）或展向（$z$）方向，$\Delta n$是梯度计算方向上的探针间距（展向位置为$0.22W$，垂直位置为$0.7H$），$L$是特征长度尺度（物体高度$H$或宽度$W$），$M$是用于沿基面平均的探针对数量。为了识别高旋转率区域，使用了$Q$准则及其无量纲版本 (2.5) \begin{align} Q &= \frac {\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{U}}{\|\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{U}\|} ,\end{align} (2.6) \begin{align} Q^* &= \frac {Q H^2}{U^2} ,\end{align} 其中$\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\cdot }\boldsymbol{U}$表示速度的散度，$\|\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{U}\|$表示速度梯度的大小。在研究稳定几何形状变化时，分析时间平均流场通常是识别导致阻力变化机制的最有效方法。平均压力和速度分布直接反映了分离拓扑、尾流平衡和剪切层组织的变化，这些是空气动力性能的主要驱动因素。因此，当前讨论强调了统计上收敛的平均量，无论是条件平均还是全局平均，如§2.1.2中所述。尽管如此，所有模拟都是完全时间分辨的，并且每当出现仅通过平均场无法解决的问题时，都会检查非稳态流动信息。2.3. 优化 对于三个屋顶延伸变量$A$、$\beta$和$C$的优化过程采用了EGO算法（Jones等人，参考文献Jones, Schonlau和Welch1998），由Head等人实现（参考文献Head, Kumar, Nahrstaedt, Louppe和Shcherbatyi2021）。这种方法基于贝叶斯优化，使用高斯过程（GPs）构建一个替代模型，该模型预测阻力系数如何依赖于$A$、$\beta$和$C$，在之前评估的点之间进行插值。优化过程由预期改进（EI）函数指导，该函数有效地平衡了探索和利用，以最小化所需的函数评估次数。这种方法特别适用于评估成本高的函数，因为每次评估的计算成本很高。图6提供了一个说明优化工作流的示意图。图6. (a) 贝叶斯优化循环的示意图。(b) 预期改进示意图。红点代表收集的数据点，黑线表示GP模型预测，蓝色阴影区域表示模型预测的方差。紫色分布可视化了在$X$处达到值$Y$的样本的概率分布。使用均值$\mu$和方差$\sigma^2$的高斯过程来建模替代函数。GPs定义了潜在函数上的分布，均值代表预测，方差量化了设计空间内每个样本点的不确定性。要使用此框架在任意一组点之间进行插值，需要一个协方差函数来量化点之间的相关性并构建协方差矩阵。假设这种方法中的均值是恒定的，点之间的相关性表示为误差$\epsilon (\boldsymbol{x}_i)$和$\epsilon (\boldsymbol{x}_{\!j})$之间的相关性，定义为 (2.7) \begin{equation} \text{corr}(\epsilon (\boldsymbol{x}_i), \epsilon (\boldsymbol{x}_{\!j})) = \exp \left (-d(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_{\!j})\right ), \end{equation} 其中$d(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_{\!j})$是定义为 (2.8) \begin{equation} d(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_{\!j}) = \sum _{h=1}^m \theta _h \left | x_{hi} - x_{hj} \right |^{p_h}, \end{equation} 的距离度量，$\theta _h$表示相关系数，$p_h$控制每个维度$h$的距离函数的平滑度。这个距离函数编码了数据点之间的空间相关性，对于推断未观察位置的函数值至关重要。所描述的模型通常被称为“计算机实验的设计与分析（DACE）”随机过程模型。DACE模型包括$m + 2$个参数：均值$\mu$、方差$\sigma^2$和超参数$\theta_1, \ldots , \theta_m$。这些参数通过最大化观察数据的似然值来估计，优化过程调整参数以最佳拟合数据，同时考虑空间相关性。EI准则估计在设计空间中采样特定点时目标函数最小值的潜在增益。EI函数通过选择当前最小值上EI最大的下一个采样点来指导优化，平衡探索和利用。在点$\boldsymbol{x}$处的EI由改进的期望值给出，表示为 (2.9) \begin{align} EI(\boldsymbol{x}) = \int _{-\infty }^{f_{\textit{min}}} \left (f_{\textit{min}} - \hat {y}(\boldsymbol{x})\right ) p(\hat {y}(\boldsymbol{x})) \, {\rm d}\hat {y}(\boldsymbol{x}), \end{align} 其中$f_{\textit{min}}$表示替代模型的当前最优值，$\hat {y}(\boldsymbol{x})$是候选点$\boldsymbol{x}$处的预测值，$p(\hat {y}(\boldsymbol{x}))$是高斯分布的概率密度函数。这在图6中示意性地展示。期望值通常可以用封闭形式表达式计算，该表达式可以基于正态分布的属性得出。这种推导的详细信息可以在Jones等人（参考文献Jones, Schonlau和Welch1998）中找到。优化的目标是最小化物体的阻力系数$C_D$。最初从允许的范围内随机选择了10个$A$、$\beta$和$C$的值样本（见图8）。然后进行了8次迭代优化过程，每次迭代包括10次函数评估。在当前上下文中，一次函数评估对应于由给定组合$(A/L,\,C/L,\,\beta)$定义的单一高保真WRLES模拟。因此，每次迭代10次函数评估意味着在更新替代模型之前并行模拟了10个几何形状。这种设置是为了平衡计算成本和需要稳健的优化过程。每次迭代的函数评估次数被选为优化模拟所需的时间（所有模拟都可以并行运行）和模型更新的频率。由于真实响应表面是未知的，替代准确性的正式误差指标的解释价值有限，仅在采样点评估的误差可能会产生误导。为了适应性地评估收敛性，通过监测预测最优值的稳定性、随着额外数据的纳入替代模型的演变以及在设计空间边界附近与物理直觉的一致性来评估收敛性。为了进一步评估稳健性，在优化循环之外进行了额外的非设计模拟。这些独立结果与替代预测一致，增强了对于收敛性和识别出的最优解的可重复性的信心。3. 结果 本节展示了优化过程的结果，以及对从替代模型中推断出的参数依赖性的分析，并得到了额外敏感性研究的支持。该部分首先介绍了阻力优化结果，包括说明阻力系数依赖于三个几何参数的最终替代模型，以及预测的最优配置。基于在替代模型中观察到的趋势，在表现出类似行为的区域进行了进一步模拟，以研究驱动观察到的趋势的物理机制。最后，介绍了升力系数的替代模型，然后是从阻力和升力系数的联合优化中得出的帕累托前沿。3.1. 阻力优化 3.1.1. 一般趋势 在没有任何屋顶延伸或锥度的情况下，阻力系数为$C_D = 0.402$。如图7所示，优化过程在60次模拟后收敛到阻力系数$C_D = 0.376$，无需人工干预。这相当于减少了6％。最优参数集为$[A/L, \beta , C/L] = [0.07, 6.7^\circ , 0.06]$，与替代模型预测的最小值$[A/L, \beta , C/L] = [0.07, 7^\circ , 0.07]$（图9）非常接近，产生了类似的阻力系数$C_D = 0.377$。图7. 随着迭代次数的增加阻力系数收敛的图表，每次迭代对应10次模拟，最优几何形状与叠加在指向内部的表面法向量点积上的压力场重叠。图8. 设计空间中评估点的分布，按阻力系数（$C_D$）值着色。颜色刻度上限为0.4，以强调$C_D$低于基线几何形状的区域。红点表示初始的拉丁超立方体采样点。图表表示设计空间的三维平行投影，每个子图显示多维优化域的不同二维投影。图9. 上图：当$\beta =7^\circ$、$C/L=0.07$、$A/L=0.07$时，入射角在0到$20^\circ$之间的替代模型截面图。下图：当$\beta =-20^\circ$、$C/L=0.07$、$A/L=0.07$时，入射角在$-20^\circ$到$0^\circ$之间的替代模型截面图。注意不同的颜色条。与传统参数扫描相比，贝叶斯优化框架节省了大量计算资源。例如，如果使用均匀网格研究，分辨率为$\varDelta (A/L)=0.01$、$\varDelta (C/L)=0.01$和$\Delta \beta =1^\circ$（为了公平起见，$\beta$限制为非负），则需要大约1000次模拟，相当于大约100,000个核心小时。相比之下，当前的优化仅在60次模拟中就收敛了，消耗了大约6000个核心小时——减少了超过一个数量级。图8显示了设计空间内评估点的分布。该图表展示了沿延伸长度$C$轴和锥度穿透距离$A$轴查看的三维设计空间的平行投影。出现了两个显著趋势：大多数最优配置出现在$\beta$参数范围$5^\circ$到$10^\circ$内，随着$A$和$C$的增加，$C_D$减小。此外，没有发现异常值。使用所有评估的设计点创建的最终替代模型在图9中可视化。由于优化涉及三个参数，直接可视化完整的替代模型是不可行的。因此，展示了二维截面图，说明了在保持第三个参数不变的情况下$C_D$对两个参数的依赖性。对于正入射角和负入射角，出现了不同的行为，导致了单独的子图。前三个子图对应于正入射角的情况，其中第三个参数被设置为使$C_D$最小化的最佳配置。相反，对于负入射角，第三个参数对应于产生最大$C_D$的配置。对于正入射角，阻力系数对$\beta$非常敏感。在$5^\circ$到$10^\circ$的范围内会出现一个最小值，其确切位置取决于$A$和$C$。随着$A$和$C$的增加，$\beta$的影响变得更加明显，与$C_D$呈现近似线性关系。在所有参数中，$C$的影响大于$A$。预测的最小值出现在$[A/L, \beta , C/L] = [0.07, 7^\circ , 0.07]$时，对应的$C_D = 0.377$。能够改善$C_D$的设计空间范围是$[A/L, \beta , C/L] = [0{-}0.07, 0{-}15^\circ , 0{-}0.07]$。对于负入射角，随着入射角的增大，$C_D$会均匀增加。参数$A$和$C$再次显示出近似线性效应，其中$C$的影响更大。最大阻力系数$C_D = 0.665$出现在域边界$[A/L, \beta , C/L] = [0.07, -20^\circ , 0.07]$。3.1.2 部分依赖性研究为了进一步研究每个参数的单独影响，进行了部分依赖性研究。这些研究涉及在保持其他两个参数不变的情况下，仅改变一个参数并执行额外的模拟。固定参数的值是基于第3.1.1节讨论的一般趋势选择的，以确保部分依赖性图准确反映了分析区域内观察到的趋势。本节展示了这些结果，并进一步从潜在的物理机制角度进行了解释。3.1.2.1 锥度穿透距离$\boldsymbol{A}$在锥度穿透距离$A$对阻力部分依赖性的研究中可以看到三种不同的行为：(i) 对于负入射角，(ii) 对于没有在锥度/延伸部分发生分离的正入射角，以及(iii) 当存在分离时的正入射角。在第一种情况下，阻力随着锥度穿透距离的增加而增加，主要是由于物体的有效底面积增加以及上升流的增强。在这项研究中，没有发现与参数$A$的依赖性相关的明显物理现象。为了分析分离前的区域，选择了代表性的入射角$\beta =5^\circ$和延伸长度$C/L=0.03$。图10展示了替代模型以及部分依赖性模拟结果。图10. $C_D$对$A$的部分依赖性。左图：在$\beta = 5^\circ$和$C/L = 0.03$时的替代模型图，包含了$1.96\sigma$置信区间。模拟数据点分别对应于(a) $A/L = 0$，(b) $A/L = 0.015$，(c) $A/L = 0.03$，(d) $A/L = 0.045$和(e) $A/L = 0.06$。右图：在优化域外延伸的几何形状中，阻力系数随屋顶延伸$A$的变化。红色点代表域内的数据，而蓝色十字表示域外的数据。替代模型与进行的模拟结果非常吻合，表明在分析的$A$范围内阻力系数几乎呈线性下降，总下降幅度约为2.5%。在详细讨论流动物理趋势之前，需要注意的是，尽管下面展示的可视化图为了清晰起见主要关注中平面和底面视图，但实际分析是使用完整的三维LES场进行的。为了确认这些二维截面能够捕捉到主导的物理机制，检查了瞬时和平均时间的三维速度和涡度分布。对于这里研究的准二维屋顶延伸几何形状，发现对称平面能够很好地表示出尾流行为。因此，以下部分展示的中平面和表面图提供了清晰且物理上准确的流动结构可视化。图11显示了与图10(a–e)对应的模拟的条件时间平均结果。第一列展示了压力场乘以表面法向量（指向内部）和顺流法向量的点积，这代表了单位表面积的阻力贡献。第二列显示了中心线处的流线。由于双峰位置是对称的（Dalla Longa等人，参考文献Dalla Longa, Evstafyeva和Morgans2019），中心线有效地捕捉了尾流结构和位置。图11. 左图：条件时间平均压力场叠加在表面法向量（指向内部）和顺流法向量的点积上。右图：条件时间平均速度中心线处的流线，描绘了尾流。两列分别对应于$\beta = 5^\circ$，$C/L = 0.03$，以及(a) $A = 0.0$，(b) $A/L = 0.015$，(c) $A/L = 0.03$，(d) $A/L = 0.045$和(e) $A/L = 0.06$。压力等高线表明，随着锥度穿透距离的增加，平均底压增加，即底压恢复得到改善。由于没有观察到流线模式的显著变化，这种压力恢复被解释为与流动减速相关的经典扩散器诱导的压力恢复。这一解释得到了分离点处平均压力系数从模拟(a)中的$C_P \sim -0.22$增加到模拟(e)中的$C_P \sim -0.21$的支持。这一趋势，加上随着锥度穿透距离的增加底面积的减小，与船尾效应的经典解释一致。对尾流中间区域的流线分析，以及鞍点的位置显示，随着锥度穿透距离$A$的增加，下洗流增加。由于对应于$A/L = 0$的几何形状经历了以上升流为主的尾流，即中间区域的流线与水平方向形成了负角度，因此净效应是低阻力的几何形状对应于一个“平衡”的尾流，即既不是以下洗流也不是以上升流为主的尾流。这一发现与Urquhart等人的结论一致（参考文献Urquhart, Varney, Sebben和Passmore2020b）。然而，在这种情况下建立因果关系或依赖性仍然具有挑战性。图11(a–e)中展示的模拟分析揭示了尾流的横向平衡趋势。具体来说，随着$A$的增加，横向压力梯度减小，强烈表明尾流经历了一个重新对称化的过程。定量上，非量化的横向压力梯度在检查的$A/L$范围内从大约0.15减小到0.10，证实了横向不对称性的逐渐减弱。这一趋势与之前研究被动控制方法对双峰敏感性研究的结果一致。Evrard等人（参考文献Evrard, Cadot, Herbert, Ricot, Vigneron和Délery2016）在腔体流动控制中展示了尾流重新对称化的现象，表明增加腔体深度逐渐减小了横向压力梯度的幅度，最终导致了完全的对称化。同样，Bonnavion和Cadot（参考文献Bonnavion和Cadot2019）发现后部基部锥度也可以促进尾流重新对称化。为了进一步研究这一效应，进行了额外的模拟，其中$A$的值超出了优化域（见图10）。图12展示了在优化域内外选定的模拟中侧力系数的概率密度分布。这种分布作为双峰存在和强度的指标。随着$A$的增加，侧力系数幅度的概率密度峰值向零移动，在$A/L \sim 0.22$时实现了完全的对称化。这不仅证实了重新对称化的存在，也证实了其连续性，与之前的研究结果一致（Evrard等人，参考文献Evrard, Cadot, Herbert, Ricot, Vigneron和Délery2016；Bonnavion和Cadot，参考文献Bonnavion和Cadot2019）。图12. 随着$A$的变化，侧力系数概率密度直方图的变化，展示了$\beta = 5^\circ$和$C/L = 0.03$时的重新对称化过程，叠加了高斯混合模型最佳拟合曲线。重新对称化过程的存在对于本研究特别相关，因为双峰已被发现贡献了总压力阻力的4%到9%（Grandemange，Gohlke和Cadot，参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2014）。这意味着通过重新对称化来减轻双峰性可以作为一种额外的、连续的减阻机制。正如Evrard等人（参考文献Evrard, Cadot, Herbert, Ricot, Vigneron和Délery2016）所展示的，一旦实现完全对称化，尾流对称化的效益就会稳定下来。图10中也观察到了类似的趋势，其中阻力系数的梯度在$A/L \sim 0.15{-}0.2$时减小，与尾流重新对称化的开始相吻合。尽管尾流动力学仍然复杂，建立直接的因果关系具有挑战性，但观察到的趋势表明这种关系是成立的。影响尾流重新对称化的关键因素似乎是基部纵横比。Grandemange等人（参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2013a）发现，当基部纵横比低于$H^* = H/W \lt 0.6$时，双峰性通常会完全消失。这一阈值表明，随着尾流的垂直范围的减小，它变得更加稳定，抑制了双峰性并促进了对称状态。这与Bonnavion和Cadot（参考文献Bonnavion和Cadot2019）的结果一致，他们表明纵横比在控制重新对称化中起着主导作用。随着纵横比的减小，尾流逐渐过渡到一个更稳定的对称状态。这一效应与增加锥度穿透距离$A$的影响一致，这有效地减小了基部纵横比。因此，如图13所示，减小基部纵横比可能会促进重新对称化。然而，Bonnavion和Cadot（参考文献Bonnavion和Cadot2019）的数据也表明，重新对称化还受到基部垂直压力梯度的影响。具体来说，当垂直压力梯度较低时，实现重新对称化需要更大的纵横比减小，而对于较大的梯度，重新对称化发生得更快。这一观察与Barros等人（参考文献Barros, Borée, Cadot, Spohn和Noack2017）的研究结果一致，他们对修改了垂直压力分布的尾部扰动进行了敏感性研究。他们的结果显示，当垂直压力梯度较小时，双峰性持续存在，但对于较大的梯度，双峰性消失了。因此，重新对称化可能在比Grandemange等人（参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2013a）预测的阈值更高的纵横比下发生。此外，图12中显示的模拟还表明，随着$A/L = 0.22$，侧力系数的概率密度分布发生了变化，这表明了重新对称化过程。重新对称化的存在对于本研究特别相关，因为对于这种几何形状，双峰性已被发现贡献了总压力阻力的4%到9%（Grandemange，Gohlke和Cadot，参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2014）。这意味着通过重新对称化来减轻双峰性可以作为一种额外的、连续的减阻机制。正如Evrard等人（参考文献Evrard, Cadot, Herbert, Ricot, Vigneron和Délery2016）所展示的，一旦实现完全对称化，重新对称化的效益就会稳定下来。图10中也观察到了类似的趋势，其中阻力系数的梯度在$A/L \sim 0.15{-}0.2$时减小，与尾流重新对称化的开始相吻合。尽管尾流动力学仍然复杂，建立直接的因果关系具有挑战性，但观察到的趋势表明这种关系是成立的。影响尾流重新对称化的关键因素似乎是基部纵横比。Grandemange等人（参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2013a）发现，当基部纵横比低于$H^* = H/W \lt 0.6$时，双峰性通常会完全消失。这一阈值表明，随着尾流的垂直范围的减小，它变得更加稳定，抑制了双峰性并促进了对称状态。这与Bonnavion和Cadot（参考文献Bonnavion和Cadot2019）的结果一致，他们表明纵横比在控制重新对称化中起着主导作用。随着纵横比的减小，尾流逐渐过渡到一个更稳定的对称状态。这一效应与增加锥度穿透距离$A$的影响一致，这有效地减小了基部纵横比。因此，如图13所示，减小基部纵横比可能会促进重新对称化。然而，Bonnavion和Cadot（参考文献Bonnavion和Cadot2019）的数据还表明，重新对称化也受到基部垂直压力梯度的影响。具体来说，当垂直压力梯度较低时，实现重新对称化需要更大的纵横比减小，而对于较大的梯度，重新对称化发生得更快。这一观察与Barros等人（参考文献Barros, Borée, Cadot, Spohn和Noack2017）的研究结果一致，他们对修改了垂直压力分布的尾部扰动进行了敏感性研究。他们的结果显示，当垂直压力梯度较小时，双峰性持续存在，但对于较大的梯度，双峰性消失了。因此，重新对称化可能在比Grandemange等人（参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2013a）预测的阈值更高的纵横比下发生。此外，对应于$A/L = 0.22$的几何形状的锥度略微超出基部（$C/L = 0.3$），正如Evrard等人（参考文献Evrard, Cadot, Herbert, Ricot, Vigneron和Délery2016）所展示的，类似腔体的控制方法也可以促进重新对称化。因此，实现重新对称化的几何形状（$[A/L, \beta , C/L] = [0.22, 5^\circ , 0.03]$）的纵横比为$0.69$，显著高于Grandemange等人（参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2013a）确定的阈值$0.6$。图13. 图改编自Grandemange等人（参考文献Grandemange, Gohlke和Cadot2013a），展示了实验中观察到的不稳定性发展域，作为纵横比（$H^* = H/W$）和地面间隙（$C^* = C/W$）的函数。星号标记了基部几何的纵横比。图14展示了分离后行为的替代模型以及条件时间平均结果。模型预测与模拟结果非常吻合，显示了阻力系数的初始减小，随后增加。最小值对应于阻力系数减少了$0.75\,\%$。图14. $C_D$对$A$的部分依赖性。左图：在$\beta = 15^\circ$和$C/L = 0.03$时的替代模型图，包含了$1.96\sigma$置信区间。右图：条件时间平均压力场叠加在表面法向量（指向内部）和顺流法向量的点积上，对于模拟(a) $A/L = 0.015$，(b) $A/L = 0.03$和(c) $A/L = 0.06$。增加锥度穿透距离导致了与分离前情况相似的效果。然而，由于入射角较大，引起的下洗流更为明显，导致以下洗流为主的尾流，主要受上部再循环区域的影响。此外，随着锥度穿透距离的增加，存在不利压力梯度的倾斜表面增大，导致分离效应更加显著。最初，倾斜表面提供的剪切层重新附着的面积不足（$A/L \lt 0.045$）。剪切层在$A/L \sim 0.045$时重新附着，形成一个分离泡和尖端涡旋，这导致倾斜表面的压力降低，并增强了下洗流。由分离效应引起的低压区域超过了$A/L \sim 0.045$时的基础压力增益。此外，在$A/L = 0.06$时，尾流重新对称化。重新对称化的提前出现可以归因于两个因素：首先，更大的入射角导致基础宽高比显著减小；其次，它产生了更强的垂直压力梯度，这两者都促进了尾流的重新对称化。3.1.2.2. 入射角$\boldsymbol{\beta}$ 对入射角的锥度/延伸角度$\beta$的依赖性表现出两种不同的行为。对于在倾斜表面上发生分离的角度，阻力系数随着$\beta$的增加而持续减小。然而，一旦发生分离，倾斜表面的低压超过了基础压力恢复的增益，这一趋势就会逆转，随着$\beta$的进一步增加，阻力系数会增加。这种依赖性分为两个阶段进行分析：首先是正入射角，然后是负入射角。在这两种情况下，都在$A/L = 0.07$和$C/L = 0.07$时检查了替代模型，因为这些条件分别对应于最小和最大的阻力系数。此外，如前一节所示，与倾斜表面上的低压区域相关的阻力惩罚对于较短的几何形状要小得多。因此，也研究了$A/L = 0.03$和$C/L = 0.0$时的短锥度。图15展示了$A/L = 0.07$和$C/L = 0.07$时正入射角的依赖性。模拟结果与替代模型的预测非常吻合，准确识别出在$\beta = 7^\circ$时的最小阻力系数$C_D = 0.375$，与零入射角几何形状相比，阻力减少了$7\,\%$。这些结果与Perry等人（参考Perry, Pavia和Passmore2016）、Pavia等人（参考Pavia, Passmore和Gaylard2016）以及Fan等人（参考Fan, Parezanovi?, Fichera和Cadot2024）的实验研究结果非常一致。图15. $C_D$对$\beta$的部分依赖性。左图：在$A/L = 0.07$、$C/L = 0.07$和$\beta \gt 0^\circ$时，替代模型图，包括$1.96\sigma$置信区间。右图：条件时间平均压力场叠加在表面法向量（向内指）和流向法向量的点积上，对于(a) $\beta = 0^\circ$、(b) $\beta = 7^\circ$和(c) $\beta = 15^\circ$的模拟。有趣的是，零入射角几何形状的阻力系数比基线几何形状更高。这一结果表明，虽然延伸通过增加环形涡旋结构顶部与底部之间的距离提供了类似空腔的效果，但其他因素更为主导。这一观察强调了相互作用的复杂性，并将在参数$C$的部分依赖性研究中进一步分析。入射角$\beta$的增加引发了几个效应：扩散器诱导的压力恢复、基础尺寸减小、下洗流的产生、横向尾流的重新对称化以及在倾斜表面上的分离（仅对于大于$7^\circ$的角度）。这些效应的相互作用决定了阻力系数的值。通过检查图15(a, b)中的模拟，可以明显看出，最初不对称的、上洗流主导的尾流转变为平均基础压力显著提高且上洗流减少的对称状态。最佳几何形状的分离区域很小，不会在倾斜表面上产生非常低的压力。对于更大的入射角，尾流的对称性持续存在，基础压力进一步增加。然而，分离泡和尖端涡旋的不利效应产生了低压区域，最终超过了基础压力的增益，导致阻力净增加。图16显示了没有延伸时的短锥度情况下阻力系数对入射角的依赖性，即对应于$A/L = 0.03$和$C = 0$的几何形状。阻力遵循与$A/L = 0.07$和$C/L = 0.07$时的延伸情况相似的趋势，最初随着$\beta$的增加而减小，在$\beta \sim 5^\circ$时达到最小值$C_D = 0.396$，然后在$\beta \sim 10^\circ$时增加到$C_D = 0.399$。对于$\beta \gt 10^\circ$，增加趋于平稳。值得注意的是，这种增加似乎源于与$A/L = 0.07$和$C/L = 0.07$时分析的几何形状不同的机制。由于剪切层在倾斜表面上没有足够的空间重新附着，因此没有形成分离泡。结果，本应由分离泡引起的低压区域被避免了。尽管如此，短锥度对垂直平衡有显著影响，最终导致尾流主要由下洗流主导，从而导致顶部再循环区域的过度增长。图16. $C_D$对$\beta$的部分依赖性。替代模型图在$A/L = 0.03$、$C/L = 0.0$和$\beta \gt 0^\circ$时，包括$1.96\sigma$置信区间。条件时间平均压力场叠加在表面法向量（向内指）的点积上，对于(a) $\beta = 5^\circ$、(b) $\beta = 10^\circ$和(c) $\beta = 15^\circ$的模拟。注意：由于这些条件远离最佳设计区域，并且与其他测试配置相比阻力变化较小，最初的替代模型未能捕捉到观察到的行为。因此，图中显示的替代模型已经通过额外的模拟进行了更新。有趣的是，这表明在某些配置中，最佳入射角可能对应于分离后的几何形状，即当上洗流/下洗流效应的好处超过了与分离相关的缺点时。这种推理可以解释Perry等人（参考Perry, Pavia和Passmore2016）和Pavia等人（参考Pavia, Passmore和Gaylard2016）的发现，他们研究了短锥度，并经常得出最佳入射角高于$12^\circ$的结论。然而，这只适用于特定配置，例如对称的侧面锥度。对于仅顶部锥度的情况，他们的最佳入射角与本研究的发现非常一致。观察到的最大阻力减少$\Delta C_D = 0.006$，在考虑到锥度大小差异后，与早期关于短锥度的研究结果一致（Littlewood和Passmore参考Littlewood和Passmore2010；Pavia等人参考Pavia, Passmore和Gaylard2016；Perry等人参考Perry, Pavia和Passmore2016）。负入射角的依赖性表示阻力系数随$\beta$的大小近似线性增加，平均每增加$10^\circ$增加约$35\,\%$，在$\beta = -20^\circ$时达到$C_D = 0.678$。图17显示了描述这种行为的条件时间平均结果。所有模拟都显示出对称的、上洗流主导的尾流，尾流主要受环形涡旋结构下部的影响。随着$|\beta|$的增加，下部再循环区域的强度增强，导致基础压力减小。这表明即使对于负入射角，相同的潜在机制仍然有效，包括垂直压力梯度对尾流重新对称化的影响。在$\beta = -15^\circ$时，观察到一个分离泡，这在较低的入射角时也持续存在。尽管它会导致能量损失，但未注意到阻力系数的显著变化。图17. 左图：条件时间平均压力场的后视图，叠加在表面法向量（向内指）和流向法向量的点积上。中间图：同一场的前视图。右图：条件时间平均速度的中心线流线，展示了尾流。所有图都对应于$A/L = 0.07$、$C/L = 0.07$，包括：(a) $\beta = -5^\circ$、(b) $\beta = -10^\circ$和(c) $\beta = -15^\circ$。3.1.2.3. 延伸长度$\boldsymbol{C}$ 对延伸长度$C$的依赖性表现出与参数$A$类似的行为，包括三个不同的区域：(i) 负入射角，(ii) 延伸上没有分离的正入射角，以及(iii) 存在分离泡的正入射角。与锥度穿透距离的情况一样，由于缺乏明显的物理现象或依赖性，负入射角区域被排除在进一步分析之外。遵循用于锥度穿透距离的方法论，在$A/L = 0.03$和$\beta = 5^\circ$（分离前阶段）以及$A/L = 0.03$和$\beta = 15^\circ$（分离后阶段）进行了部分依赖性分析。图18展示了替代模型和进行的模拟运行。分析表明，在研究区域内阻力系数持续、接近线性地减小。在这个区域观察到的总阻力减少为$3\,\%$，比通过改变锥度穿透距离实现的阻力减少高出$0.5$个百分点。然而，实现的最小阻力系数大于参数$A$的部分依赖性研究，因为在$C/L = 0.0$和$A/L = 0.03$的几何形状下，阻力比在$A = 0$和$C/L = 0.03$时更高。图18. $C_D$对$C$的部分依赖性。上图：在$A/L = 0.03$和$\beta = 5^\circ$时，替代模型图，包括$1.96\sigma$置信区间。下图：条件时间平均压力场叠加在表面法向量（向内指）和流向法向量的点积上，以及中心线的流线。两列分别对应于$A/L = 0.03$和$\beta = 5^\circ$，以及：(a) $C/L = 0.0$、(b) $C/L = 0.03$和(c) $C/L = 0.06$。图18(a–c)显示了部分依赖性研究的三个代表性模拟的条件时间平均结果。尽管参数$C$和$A$在几何上相似，但控制它们依赖性的基本物理原理有显著不同。随着这两个参数的增加，基础压力恢复都增加了，但尾流拓扑以根本不同的方式发生了变化。首先，随着延伸长度的增加，顶部再循环区域的中心从底部进一步移开，导致环形涡旋结构发生垂直倾斜。延伸还扩大了顶部剪切层不受再循环区低压影响的区域。因此，顶部剪切层的总曲率减小，使尾流的鞍点向上移动。为了补偿这种向上移动，底部再循环区域的大小增加。这种行为在流线模式和基础压力等高线中都有体现。假设底部再循环区域的增强抵消了压力恢复的增益和顶部再循环区域的位移。这种相互作用可能解释了在$C/L = 0.045$和$C/L = 0.06$的模拟中观察到的与替代模型趋势的偏差，这些模拟在阻力系数上表现出平台状行为。这种效应也在图15(a)中观察到，其中在零入射角下的延伸几何形状的阻力系数高于基础几何形状。底部的较低压力超过了顶部的压力增益，导致阻力净增加。这些结果强调了“平衡”尾流的重要性。虽然直接相关性仍然难以确定，但不平衡的尾流似乎会导致一个再循环区域变得显著更强，抵消了减小对立区域大小的好处。在延伸长度的背景下，这表明通过由顶部和底部延伸组成的对称系统可能实现进一步的性能改进。其次，增加延伸长度并不直接减小基础面积。然而，分离点的向下移动，以及随之而来的顶部再循环中心的移动，导致尾流大小的减小，从而产生了与基底尺寸减小类似的效果。此外，这种延伸部分起到了物理边界的作用，阻碍了相应区域内的流体运动，从而增加了该区域的压力。在分析区域内没有观察到横向尾流的重新对称化现象。然而，对于参数$A$，进行了额外的模拟来测试尾流重新对称化的假设。在$C/L = 0.08$、$C/L = 0.10$和$C/L = 0.12$的条件下，模拟结果显示了尾流的完全重新对称化。这些结果突显了参数$A$和$C$对尾流动力学影响的显著差异。增加延伸长度比增加锥度穿透长度更能引起更大的垂直压力梯度，这有利于尾流的重新对称化。此外，正如Haffner等人（参考文献Haffner, Borée, Spohn和Castelain 2020）所描述的，它增强了类似腔体的效应对重新对称化的贡献。这两种效应的结合导致尾流重新对称化的时间明显提前。所有三个模拟——$C/L = 0.08$、$C/L = 0.10$和$C/L = 0.12$——都得到了$C_D = 0.384$的结果。阻力系数的饱和可能归因于重新对称化效应的饱和或上述的垂直平衡效应。图19展示了在$\beta = 15^\circ$时$C$的部分依赖性。增加延伸长度会导致更大的下洗流、顶部再循环区域位置的向下和顺流向移动以及更高的基底压力。同样地，对于参数$A$，当$C/L$低于一个临界值（在本例中为$0.03$）时，剪切层不会发生再附着。与参数$A$的行为类似，阻力系数的初始减小之后会随之增加，因为分离泡的影响开始超过基底压力恢复的改善。与图18所示的结果相反，$C/L = 0.06$的尾流经历了重新对称化。这进一步支持了有效高度减小和垂直压力梯度是导致尾流重新对称化的主要因素的理论。图19显示了$C_D$对$C$的部分依赖性。上图：在$A/L = 0.03$和$\beta = 15^\circ$时的替代模型图，包含了$1.96\sigma$置信区间。下图：条件时间平均压力场叠加在表面法向量（指向内部）与顺流向法向量的点积上，以及中心线处的流线图。两列分别对应$A/L = 0.03$和$\beta = 15^\circ$，以及$C/L = 0.0$、$C/L = 0.045$和$C/L = 0.06$。与分离前阶段不同，分离后阶段增加延伸长度并不会导致底部再循环区域的扩大，反而会导致顶部再循环区域的扩展。这表明由屋顶延伸引起的下洗流效应超过了顶部再循环区域顺流向位移的影响。这些发现强调了所涉及相互作用的复杂性以及单独分析每个案例的必要性。

3.2. 顶篷延伸参数对升力依赖性的替代模型
图20展示了从阻力优化过程中获得的结果推导出的升力系数的替代模型。上面两个子图分别对应于延伸长度和锥度穿透距离的最大值，描绘了高下洗力（负升力）条件。最小升力系数出现在域的边缘，即$[A/L, \beta , C/L] = [0.07, -20^\circ , 0.07]$，与基线升力系数$C_L = -0.082$相比，下洗力增加了大约$\Delta C_L = 0.48$。虽然在大功率运动中较大的下洗力可能是可取的，但在实际应用中，这样的延伸会导致显著的阻力增加，因此不太理想。为了提供一个更可行的视角，下面的子图展示了短顶篷延伸时的升力依赖性，表明在$[A/L, \beta , C/L] = [0.01, -20^\circ , 0.01]$条件下，可以实现大约$\Delta C_L = 0.15$的显著下洗力增加。

3.3. 阻力-升力帕累托前沿
为了探索低阻力与低升力条件之间的权衡，构建了一个帕累托前沿，展示了修改后的优化函数（3.1）\begin{equation} f = \alpha C_L + (1-\alpha ) C_D ,\end{equation}的最优解，如图21所示。这个帕累托前沿基于阻力优化研究期间收集的数据。在道路车辆的背景下，升力通常是一个约束条件，而不是需要优化的参数。也就是说，目标是在不超出指定升力限制的情况下实现最低可能的阻力。为了确定给定升力系数约束下的最优几何形状，可以确定限制升力系数时的$\alpha$值，然后提取相关的几何参数值。图21展示了多目标优化研究中阻力系数与升力系数之间的权衡。左侧：随着成本函数权重$\alpha$的增加，阻力与升力系数的关系，突出了优化从阻力最小化向升力（下洗力）优先的转变。每个点对应于$\alpha$增加0.1的增量，从$\alpha = 0$（图中的左下角点）开始。右侧：每个$\alpha$对应的最佳几何参数值$(A, \beta , C)$。值得注意的是，直接从针对整个帕累托前沿的优化过程中构建替代模型（例如通过基于超体积的采集策略）可能会提高替代模型在整个设计空间中的鲁棒性和覆盖范围。然而，这种方法需要显著更高的计算成本，因此建议作为未来工作的方向。图21显示，随着$\alpha$的增加，优化优先考虑的是下洗力而不是阻力减少，在$\alpha \sim 0.6$时达到饱和。在$\alpha = 0$时，参数对应于阻力优化（§ 3.1）确定的值。随着$\alpha$的增加，攻角增大，下洗力减小，从而增加下洗力，同时参数$A$和$C$减小以防止阻力显著增加。当$\alpha \sim 0.2$时，$A$和$C$的值接近零，代表最小值。一旦升力开始主导优化函数，$A$和$C$开始增加。值得注意的是，权重参数$\alpha$也可以根据特定的性能目标来确定，例如为给定赛道计算比赛时间时的数学建模，同时考虑阻力和升力的影响。图22展示了在$\alpha \sim 0.3$时成本函数的替代模型，代表了在阻力与升力之间取得平衡的优化。

4. 结论
在这项研究中，对由三个变量参数化的顶篷延伸进行了阻力优化分析——锥度穿透距离、攻角和延伸长度。基准几何形状是带有轮子的方形后部温莎车身和零偏航。使用了高保真度的WRLES，并结合了基于高斯过程（Kriging）的贝叶斯优化，由EI标准指导。优化结果，包括替代模型捕捉到的趋势和模拟结果，被分析以建立参数依赖性与潜在物理机制之间的联系。为了进一步促进这一分析，进行了部分依赖性研究，其中两个参数保持不变，而第三个参数进行变化。优化过程在六次迭代后收敛，总共进行了60次模拟，实现了6.5%的阻力减少。替代模型分析揭示了三个不同的行为区域：负攻角、在倾斜表面上发生分离的正攻角以及没有分离的正攻角。最优设计对应于分离开始时的攻角（$\beta = 7^\circ$）和另外两个参数在分析域内的最大值，$A/L = C/L = 0.07$，其中$L$代表基准几何形状的长度。条件时间平均结果的分析揭示了六个不同的物理机制，它们的相互作用决定了性能优势（见图23）：(i) 散射器诱导的压力恢复——倾斜的延伸部分起到散射器的作用，减缓空气流动并增强压力恢复；(ii) 基底尺寸减小——增加锥度穿透距离或攻角会导致基底尺寸的物理减小；(iii) 垂直尾流不对称性（“尾流平衡”）——延伸参数的变化改变了尾流平衡，影响了顶部或底部再循环区域的主导性。观察到，当一个再循环区域主导另一个区域时，不对称的尾流结构通常会导致更大的阻力；(iv) 分离效应——如果在倾斜表面的锥度/延伸部分发生流动分离，会形成一个低压区域。对于足够大的倾斜表面长度，这会导致分离泡和尖端涡旋的形成，进一步降低该区域的压力。当这种效应变得足够明显时，它会超过基底压力恢复带来的任何收益，从而导致阻力增加；(v) 再循环区域核心的物理重新定位——延伸部分改变了尾流再循环区域在顺流向（类似腔体的效应）和垂直方向的位置，降低了该区域的基底压力，并影响了再循环区域之间的相互作用；(vi) 横向尾流重新对称化——在某些配置中，尾流的对称性破坏行为减少或完全消失，改变了基底压力分布并有助于阻力减少。这种机制主要归因于有效车身高度的减小，以及垂直压力梯度和延伸部分施加的物理边界的影响。

总之，增加任何研究的参数都会增强散射器诱导的压力恢复并减少有效基底面积，这与经典的船尾效应一致。这些变化导致基底压力增加和相应的阻力减少。此外，基底高度的减小降低了基底纵横比，促进了横向尾流的重新对称化。这种效应对延伸长度的变化比锥度穿透距离的变化更为敏感，因为前者对垂直压力梯度和延伸表面施加的物理边界的影响更强。所有三个参数——锥度穿透（$A$）、攻角（$\beta$）和延伸长度（$C$）——通常在倾斜表面发生流动分离之前都会改善空气动力性能。超过这一点后，与分离剪切层相关的不利压力分布开始超过基底压力增加带来的好处。这种权衡通常在分离开始后不久就会出现。然而，对于具有短倾斜表面的配置，分离区域的有限范围减少了相关的阻力惩罚，使得某些分离后的设计在空气动力学上仍然有效。在诱导的上洗流或下洗流比表面分离引起的阻力惩罚更重要的应用中，这样的配置可能是有利的。锥度穿透$A$和延伸长度$C$的效果之间的最显著差异源于它们如何改变尾流拓扑结构。超出原始基底的表面将分离点向下游移动，位移了顶部再循环区域，产生了类似腔体的效果。这种下游位移也改变了剪切层的有效曲率，进而影响了尾流的垂直平衡。在某些情况下，这导致了违反直觉的结果，例如在理论上应该产生下洗流的几何结构中却产生了净上洗流。这些发现最终表明，为了充分利用腔体效应，应该延长顶部和底部的边缘，以确保尾流的垂直平衡。此外，还提出了升力系数的替代模型。同时，构建了一个帕累托前沿（Pareto frontier），以从涉及阻力和升力系数的多参数优化中识别出最优解。该前沿是基于阻力优化结果得出的，并且可以通过未来的专门帕累托前沿优化进一步改进。分析展示了最优设计参数如何随着升阻权衡的变化而演变，以及如何调整这些参数以满足特定的性能目标，例如在规定的下压力约束下最小化阻力。这项工作首次同时优化了屋顶延伸部分的锥度、延伸长度和入射角，明确了这些参数如何相互作用以塑造尾流拓扑结构和阻力。通过识别它们各自独立且相互关联的作用，该研究超越了单纯列举各个机制的层面，提供了系统级的理解和实用的设计规则，从而实现了更加明智的空气动力学设计。同时，这些发现证明了贝叶斯优化（Bayesian optimization）在基于计算流体动力学（CFD）的空气动力学优化中的有效性，进一步增强了其在未来空气动力学设计应用中的潜力。

致谢：本研究得到了EPSRC iCASE奖学金的支持，与捷豹路虎（Jaguar Land Rover）和英国研究与创新机构（UK Research and Innovation, UKRI）的合作。模拟工作使用了ARCHER2英国国家超级计算服务（Beckett等人，参考文献Beckett, Beech-Brandt, Leach, Payne, Simpson, Smith, Turner和Whiting2024）。作者感谢ARCHER2团队的支持，并承认使用了这些资源。

利益冲突：作者2受雇于捷豹路虎。作者声明没有其他利益冲突。

人工智能：仅使用人工智能工具进行语言编辑和清晰度提升。