基于弱Galerkin四边形谱元方法对椭圆算子特征值的上界和下界的研究 徐小峰、潘佳佳

《Axioms》：Upper and Lower Bounds for Eigenvalues of the Elliptic Operator by Weak Galerkin Quadrilateral Spectral Element Methods Xiaofeng Xu and Jiajia Pan

　　摘要 本研究探讨了在任意凸四边形网格上，使用弱Galerkin谱元方法对拉普拉斯特征值问题得到的数值特征值的上界和下界近似。首先，通过Piola变换构建每个凸四边形元素上的弱梯度近似空间，然后利用一对一映射建立弱函数的近似空间。接着，在定义在凸四边形网格上的弱Galerkin谱元近似空间的基础上，制定了Galerkin近似方案，并分析了其适定性。进一步，在正方形和L形区域的任意凸四边形网格上进行了数值实验，以探索数值特征值的上界和下界近似。数值结果表明，所提出的方法不仅在不同网格尺寸和多项式阶数下都能获得最优的收敛阶数，而且通过适当选择多项式阶数和近似方案的参数，在h-version和p-version弱Galerkin谱元方法中都能为参考特征值提供上界和下界近似。这项研究为椭圆方程特征值问题的高精度数值解提供了新的视角和方法论。 1. 引言二阶椭圆方程的特征值问题是经典型偏微分方程之一，广泛应用于科学计算和工程领域，如量子化学、弹性分析和振动分析。然而，一般二阶椭圆方程特征值的精确解通常无法显式表达。因此，开发高效有效的数值方法来解决这类问题具有重要的实际意义。进一步研究数值特征值的性质也至关重要，因为这有助于揭示相应系统的稳定性和动态行为。常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法和谱元方法。实际上，特征值问题本质上是全局性问题。谱方法和谱元方法采用无限光滑的高阶正交多项式，如三角多项式、Jacobi多项式、Chebyshev多项式和Legendre多项式。这些多项式用于构建试验函数空间和测试函数空间，从而轻松得到具有稀疏矩阵和有利条件数的等价代数特征值系统。因此，与有限元法和有限差分法相比，全局谱方法和谱元方法更适合数值求解特征值问题。弱Galerkin有限元方法是一种最近发展的非协调有限元方法，最初用于求解二阶椭圆方程[1]。其关键原理是通过弱函数（包含内部和边界部分）来近似未知解，并通过离散的弱算子在弱函数空间中近似经典微分算子。该方法适用于由任意多边形或多面体组成的任意网格[2]。此外，它还允许在弱梯度和弱函数的近似空间中选择多种多项式阶数[3]，因此具有相当的灵活性和鲁棒性。由于这些优点，该方法已广泛应用于二阶椭圆方程的研究[4,5,6,7]。特别是对于特征值问题，它能够通过线性有限元实现渐近下界近似[8]，这与现有的非协调有限元方法不同。通过调整其近似框架中的全局惩罚参数，它还能够从下方或上方获得高精度的特征值近似[9]。在其中，设计了一种高精度的特征值计算算法，以实现更高的收敛阶数和更低的成本[10]。在[10]中，该方法用于推导拉普拉斯特征值的下界，同时采用后处理技术获得上界。此外，该方法已应用于各种问题，如Burgers方程[11]、Stokes方程[12,13]、Maxwell问题[14]和抛物线型奇异扰动对流-扩散方程[15]。结合弱Galerkin有限元方法的灵活性和谱元方法的高阶精度，引入了一种非协调弱Galerkin谱元方法用于特征值问题[16]。与弱Galerkin有限元方法不同，这种新方法定义了两个关键的近似空间：三角形或平行四边形上的弱函数空间通过从参考元素上定义的正交多项式的一对一映射构建，而弱梯度空间则通过Piola变换构建。误差估计在网格尺寸上是最优的，在多项式阶数上则是次优的[17]。此外，在[17]中，使用了另一种一对一映射来构建弱梯度近似空间，并通过不同的多项式阶数探索了超收敛性和下界近似。随后，提出了一种改进的弱Galerkin谱元方法[18]，以获得关于网格尺寸和多项式阶数的最优????误差估计。因此，弱Galerkin谱元方法不仅提供了一种研究特征值问题的新方法，还扩展了弱Galerkin方法和谱元方法的适用性。总之，本文有两个创新贡献：一是基于通过Piola变换构建的弱梯度近似空间系统地研究了特征值的上界和下界近似；二是在任意四边形网格上，针对不同的多项式组合进一步研究了特征值的上界和下界近似，与[16]中仅在三角形/平行四边形网格上进行收敛性研究的情况不同。实际上，与非平行四边形四边形元素相比，四边形元素在技术上更为复杂。首先，从参考正方形到一般四边形元素的映射是双线性的，而不是仿射的。相应的雅可比矩阵不是常数，这使得质量和刚度矩阵的积分量更加复杂，需要更复杂的积分策略。此外，当四边形偏离标准矩形时，双线性映射会破坏张量积基的严格分离性，增加算法实现的复杂性。特别是如果四边形元素严重扭曲，双线性映射会导致雅可比行列式的剧烈变化，从而影响计算精度和稳定性。尽管如此，四边形网格仍然保留了张量积结构所提供的计算效率潜力。因此，生成高质量的四边形网格是一个重要的技术挑战，系统地研究在这种网格上求解特征值问题的弱Galerkin谱元方法的性质对于将其应用于实际科学和工程问题至关重要。此外，一些特征值近似方法还提供了保证的特征值界限。例如，通过一致有限元方法获得了任意分离拉普拉斯特征值及其相关特征向量的保证且最优收敛的事后界限[19]。除了一致方法外，[20]中提出了一种具有适当稳定性的骨架有限元方法，用于在三角形网格上获得拉普拉斯特征值的保证下界。此外，还在三角剖分上引入了一种额外稳定的非协调Crouzeix–Raviart有限元特征值求解器[21]，它提供了保证的下界狄利克雷特征值界限，并实现了简单特征值下界的最佳收敛率[22]。此外，[22]中提出了三种骨架高阶方法的统一推导，这表明了从条件性下界到无条件下界的范式转变。与这些方法相比，我们的方法揭示了在任意四边形网格上特征值的上界和下界更多种情况，可以通过匹配近似空间中的多项式阶数和稳定器中的参数来获得。更重要的是，与这些h-version方法相比，我们的????-version方法使我们能够在p-version弱Galerkin谱元方法框架内获得特征值的上界和下界。最后，应当指出，本文中提出的特征值的上界和下界近似目前是通过数值验证的，而不是严格证明的。本文旨在研究在任意凸四边形网格上使用弱Galerkin谱元方法对拉普拉斯特征值问题得到的数值特征值的上界和下界近似。在每个凸四边形元素上，通过Piola变换从参考正方形上的正交多项式构建弱梯度的近似空间。然后我们使用不同的多项式阶数构建近似空间，并在任意凸四边形网格上建立适定的近似方案。接下来，我们专注于探究正方形和L形区域四边形网格上数值特征值的上界和下界近似。数值实验表明，通过在弱梯度和弱函数的近似空间中适当选择多项式阶数，以及在近似方案中适当选择参数，可以在h-和p-version方法中实现这些上界和下界近似。本文的结构如下：第2节介绍了弱函数和弱梯度的常用符号和定义及其离散形式。第3节构建了弱Galerkin谱元近似空间和近似方案。第4节探讨了正方形和L形区域上数值特征值的上界和下界近似。第5节总结了这项工作，并进一步讨论了未来研究的方向。 2. 弱梯度和谱弱梯度本节首先介绍常用符号。非负整数集用?0表示，参考正方形定义为^?? =(?1,1)2。对于任何?? ∈?0，用????(^??)表示在^??上每个变量的多项式空间，其度数≤??。在一般凸四边形Q上的映射多项式空间????(??)定义为 ????(??):={??=^??°Φ?1??:?^??∈????(^??)}, 其中 Φ?? :^?? ??? 是一对一映射[16]。此外，对于任何?? ∈?0，用?????(???)表示在边界???上度数≤??的分段多项式空间，即 ?????(???):={??:??∈????(??)?foreachedge??of??}。 2.1. 弱函数和弱梯度在Q上定义的弱函数表示为?? ={??0,????}，其中??0 ∈??2?(??) 和 ???? ∈??2?(???)。注意??0和????分别对应Q内部和边界???上的v值。Q上所有弱函数的集合表示为???(??)，即 ???(??)={??={??0,????}:??0∈??2?(??),????∈??2?(???)}。显然，对于任何?? ∈?????(??) 且?? ≥12，?? ∈???(??)等价于 {??,??|???} ∈???(??)。定义1 ([1,4])。对于任何?? ∈???(??)，其弱梯度?????定义为在[??1?(??)2]′中唯一的线性泛函，满足 (?????,??)??:=?(??0,?·??)??+(????,??·??)???,???∈??1?(??)2, 其中?是一般坐标(??,??)中的经典梯度算子，??是???的外法线方向。 2.2. 谱弱梯度为了实际计算，我们引入了以下关于凸四边形元素上离散弱梯度的定义。定义2 ([23])。设?????(??) ???1?(??)2是一个有限维空间。对于任何?? ∈???(??)，其离散弱梯度定义为唯一的????? ∈?????(??)，满足 (?????,??)??:=?(??0,?·??)??+(????,??·??)???,???∈?????(??)。 (1) 如果假设??0 ∈??1?(??)，那么应用Green公式到(1)得到 (?????,??)??=(???0,??)??+(???????0,??·??)???,???∈?????(??)。在本文中，我们通过Piola变换[24]构建弱梯度近似空间以获得更高阶的近似， ?????(??)={??=[???1????????^??]°Φ?1??:?^??∈???3(^??)2}, (2) 其中????和????分别表示映射Φ??的雅可比矩阵和相应的行列式。Piola变换[24]有一些显著的性质[24]引理3.59，即对于任何?? =[???1????????^??] °Φ?1?? ∈?????(??)，有 ?·??=???1??^?·^??,(??,?·??)??=(^??,^?·^??)^??,^??∈???3(^??)2, (3) 其中?? =^?? °Φ?1?? 和 ^?表示参考坐标(^??,^??)中的经典梯度算子。因此，很容易得出? ·?? =0当且仅当 ^? ·^?? =0。结合(1)、(3)和[23]，我们有 (?????,??)??=?(^??0,^?·^??)^??+(^????,^??·^??)?^??=(^???^??,^??)^??, (4) 其中 ^??0 =??0 °Φ??, ^???? =???? °Φ??∣?^??, ^??是边界?^??的外法线方向，^???是^??上的离散弱梯度算子。根据(4)，一般四边形元素上的离散弱梯度的内积可以转换到参考正方形上的相应内积，从而简化并统一了计算。关于离散弱梯度的更多细节可以在[16,23]中找到。接下来，我们定义了凸四边形元素Q上弱函数的近似空间，表示为????,???(??)，即 ????,???(??)={??={??0,????}:??0∈????(??),????∈?????(???)}。 (5) 给出在(2)和(5)中定义的弱梯度和弱函数的近似空间后，任何?? ∈????,???(??)的离散弱梯度?????可以称为谱弱梯度。 3.弱Galerkin谱元方法
在本节中，我们专注于开发一种用于椭圆算子特征值问题的弱Galerkin谱元近似方法。

3.1. 建模问题
考虑以下建模问题：
{?Δ?? = ????, 在Ω内, ?? = 0, 在?Ω上,
(6)
其中Ω ? ?2是一个多边形域，??是精确的特征值，u是相应的特征函数。
对于特征值问题（6），经典的变分公式是找到满足??(??,??) = ????(??,??)，???∈??1?(Ω)的?? ∈ ?和?? ∈ ??1?(Ω)，其中??(??,??) := (???,???)且??(??,??) := (??,??)。根据[25]中的结果，Rayleigh商定义为
??(??) := ??(??,??)??(??,??) = ??。

3.2. 弱Galerkin谱元近似
为了构建问题（6）的近似方案，我们首先将计算域Ω划分为凸四边形元素，并用???表示Ω的划分。为了简化问题，假设划分???是符合条件的且形状规则的，即对于所有??∈???，有∥????(^??,^??)∥∥???1??(^??,^??)∥≤C，其中C是一个与任何离散化参数和函数无关的正常数。让???表示划分???的所有内部边。
对于任何??,?? ∈ ??，我们在???上定义弱Galerkin谱元近似空间????为：
???? := {?? = {???,????} | ??? ∈ ????(??), ???∈???; ???? | ?? ∈ ????(??), ???∈???},
其中?? = ??2(?,??,??,??)表示依赖于网格尺寸和多项式阶数的离散化参数。
对于任何??,?? ∈ ????，我们定义双线性形式????为
????(??,??) := ∑??∈???(?????,?????)?? + ??(??,??),
(7)
其中稳定器??(??,??)定义为
??(??,??) := ??∑??∈?????1??2(????????,????????)???, ??≥0。
然后，对于模型问题（6），弱Galerkin谱元近似方案是找到满足????(??,??) = ?????????????(??,??)，???∈????的???? ∈ ?和???? := {????,0,????,??} ∈ ????，其中???? ≠0且????(????,????) = 1。
(8)
其中????(????,??) := ∑??∈???(????,0,???)??。

通过将近似解????展开在适当的基函数中并代入（8），我们可以得到一个等价的代数系统。为了确保所导出的代数系统的可解性，有必要分析所提方案的适定性。

定理1（[23]）：如果满足以下任一条件，则双线性形式（7）是正定的：
(i) 当?? ≤??且?? ∈ ??时，对于?? > 0；
(ii) 当?? ≤?? ? 1且?? ≤??时，对于?? = 0。
根据定理1，我们得到????(??,??) = 0当?? ∈ ????意味着在Ω内??? = 0且在???的所有边上???? = 0。然后，我们在????中引入以下范数：
∥??∥????? := ∑??∈???(∥?????∥2?? + ????1??2∥????????∥2???)，???∈????。
(9)
容易验证双线性形式????(??,??)是对称的，即对于所有??,??∈????，有????(??,??) = ????(??,??)。(10)
此外，从（7）、（9）和柯西-施瓦茨不等式可以推导出双线性形式是连续的，即对于所有??,??∈????，有|????(??,??)| ≤ C∥??∥?????∥??∥?????，其中C > 0是一个常数。进一步地，从（7）和（9）可以直接得到????(??,??) = ∥??∥?????，对于所有??∈????。(12)
这个等式立即表明双线性形式????(·,·)在????上是强制性的，其强制性常数为1。
因此，近似方案（8）是适定的。正定性和强制性，加上双线性形式的对称性，保证了所有近似特征值都是实数且为正的。因此，在数值计算中不会出现零特征值或虚假特征值。

此外，对于特征值????及其相应的特征函数????，以下Rayleigh商成立：
??(????) := ????(????,????)????(????,????) = ????。
设????,?? ∈ ?是第i个精确特征值，????,??,?? ∈ ?是第i个数值特征值，其中?表示正整数集。这些特征值按顺序排列为：
??? < ??? ≤ ??? ≤ ? ≤ ???? ≤ ????+1 ≤ …
???,?? < ???,?? ≤ ???,?? ≤ ? ≤ ????,?? ≤ …
由于双线性形式的对称性和强制性，对于????和????,??，以下最小-最大原理成立[25,26]：
???? = min{?? ∈ ????(Ω) | dim????(??) = ??2max??(??)}, ????,?? = min{?? ∈ ???? | dim????,??} = ??2max???? ∈ ????,?? | ??(????)},
这为使用弱Galerkin谱元方法推导特征值的上界和下界近似提供了理论基础。

基于弱梯度的近似空间（2），在定理1的约束下，近似方案（8）的计算精度已在[23]中得到验证。在接下来的部分，我们将进一步探讨在h-和p-版本方法中对数值特征值的上界和下界近似。

4. 上界和下界近似
在本节中，我们研究了在定理1的约束下，使用弱Galerkin谱元方法对问题（6）在任意的凸四边形网格Ω上的数值特征值的上界和下界近似。

4.1. 定性分析
我们首先定性分析数值特征值的误差。类似于[17]，可以发现，对于任何?? = (???,????) ∈ ????和任何可行的三元组（??,??,??），有
??????? = ∑??∈???∥???????????∥2?? + ??(???????,???????) + 2∑??∈???(?????????,???????)???????∑??∈???∥????,0????∥2???????∑??∈???(∥????,0∥2???∥???∥2??)???(??,??) := ??? + ??? + ??3??????????????????????，
(13)
其中（??,??）∈ ?? × ??1?(Ω)是一对规范化的精确特征对，（????,????）∈ ?? × ?????是其近似特征对。
因此，通过适当地匹配多项式的阶数??,??,??以满足定理1中的约束和稳定参数??，（13）中的前两项或第六项将占主导地位，从而导致特征值的下界或上界近似。

作为示例，在以下数值实验中采用了正方形域Ω = [0,1]2和L形域Ω = [?1,1]23?[0,1]2。

4.2. 在正方形域上的数值研究
我们对Ω = [0,1]2的四边形网格上的问题（6）应用弱Galerkin谱元方法，并研究数值特征值的上界和下界近似。图1展示了计算域Ω = [0,1]2以及网格尺寸分别为? = 0.917和? = 0.475的四边形网格。根据定理1，如果?? ≤??且?? ∈ ??对于?? > 0；或者如果?? ≤?? ? 1且?? ≤??对于?? = 0，则近似方案（8）是适定的。因此，我们分别讨论?? > 0和?? = 0的情况。

4.2.1. 在?? > 0的情况下
我们研究了在Ω = [0,1]2的凸四边形网格上，当?? > 0时数值特征值的上界和下界近似。
实际上，在h-版本和p-版本方法中，数值特征值都是参考特征值的下界，如果?? = ??且?? ≥ ??对于适当的?? > 0，例如?? ≤ 0.01。此外，数值特征值也是h-版本和p-版本方法中的上界，如果?? = ??且?? ≥ ??对于适当的?? > 0，例如?? ≥ 1。
接下来，我们选择适当的??, n, m值进行数值研究。
首先取?? = 0.01, ?? = ??, 和 ?? = ??。随着多项式阶数的增加，表1显示了对于? = 0.921，对应的误差???? ? ????,?? = 1,2,…,5与多项式阶数的关系。如表1所示，所有误差都是正的。由于问题（6）的特征函数在正方形域上是解析的，因此随着多项式阶数的增加，????,??向????的收敛是指数级的。表1. 对于? = 0.921的Ω = [0,1]2的四边形网格，当?? = 0.01, ?? = ??, ?? = ??时，误差???? ? ????,??（?? = 1,2,…,5）与N的关系。为了更清楚地说明数值特征值的收敛行为，我们还在图2的左侧面板中以半对数尺度绘制了绝对误差|???? ? ????,??|,??=1,2,…,5与N的关系，揭示了前五个数值特征值相对于多项式阶数的指数收敛阶数。图2. 对于? = 0.01, ?? = ??, ?? = ??在Ω = [0,1]2的四边形网格上，绝对误差|???? ? ????,??|,??=1,2,…,5与N的关系（左侧）以及刚度矩阵的条件数与N的关系（右侧）。此外，我们在图2的右侧面板中绘制了对于? = 0.818的刚度矩阵的条件数与N的关系。正如预期的那样，条件数随着N的增加而增加。尽管在更高的多项式阶数下条件数增大，数值特征的误差仍然保持了谱精度。这进一步证实了我们p-版本弱Galerkin谱方法的有效性。
此外，表2展示了对于?? = 1和?? = 2，h-版本弱Galerkin谱方法得到的相应误差???? ? ????,??,?? = 1,2,…,5以及相对于网格尺寸的收敛速率。所有误差都是正的，这表明数值特征值是精确特征值的下界。此外，误差的收敛速率分别约为??2(?2)和??2(??)，从而确认了数值特征值相对于网格尺寸的下界近似。

表2. 对于?? = 1和?? = 2，在Ω = [0,1]2的四边形网格上，误差???? ? ????,??（?? = 1,2,…,5）与h的关系以及收敛阶数。为了更直观地说明我们h-方法得到的误差的收敛行为，我们还在图3的左侧面板中以对数-对数尺度绘制了绝对误差|???? ? ????,??|,??=1,2,…,5与h的关系。表3显示了在我们的p-方法框架下，对于固定的网格尺寸? = 0.963，当?? = 1和?? = 2时，误差???? ? ????,??,?? = 1,2,…,5的收敛速率。从这个表中我们可以观察到，随着多项式阶数的增加，????,??,?? = 1,2,…,5从上方向????收敛。表3. 表3. 对于? = 0.963的Ω = [0,1]2的四边形网格，当?? = 1和?? = 2时，误差???? ? ????,??（?? = 1,2,…,5与N的关系。为了更直观地展示数值特征的收敛行为，我们在图4的左侧面板中以半对数尺度绘制了绝对误差|???? ? ????,??|,??=1,2,…,5与h的关系（对于?? = 1和?? = 2）。然后我们取?? = 1, ?? = ??, 和 ?? = ??。随着多项式阶数的增加，表3显示了在我们p-方法框架下，对于固定的网格尺寸? = 0.963，误差??此外，表6列出了h-Version方法在?? =2和?? =3时的误差???? ?????,??,?? =1,2,…,5以及收敛速率。观察到????,??是从上方收敛的，这一点通过负误差得到了证明，其收敛速率大约为???(?2)（对于?? =2）和???(??)（对于?? =3）。此外，h-Version方法的收敛行为在图5中进一步得到了说明。图5的中间和右侧面板分别展示了以对数-对数刻度表示的绝对误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与h的关系，适用于?? =2和?? =3。这些图表清楚地展示了h-Version方法相对于网格尺寸的最佳收敛阶数。表6列出了在Ω =[0,1]2的四边形网格上，对于?? =0, ?? =?? ?1, ?? =??，当?? =2（上）和?? =3（下）时，误差???? ?????,??（?? =1,2,…,5）与h的收敛阶数。

4.3 L形域的数值研究
在本小节中，我们研究了在L形域Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，使用弱Galerkin谱元方法对数值特征值的上界和下界近似。图6展示了计算域Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2以及网格尺寸分别为? =0.943和? =0.487的四边形网格。值得注意的是，L形域上内角为3??2的凹角可能导致某些特征函数出现角奇异性，从而使相应的特征值以有限的收敛速率收敛。具体来说，对应于最小特征值??1的特征函数??1具有类型为??23的奇异性，其中?? =√??2+??2。[27]中推导出??1 ∈???3???2(Ω)，??? >0 且 ??1 ∈???32(Ω)，这里???2(Ω)表示s阶的Besov空间。因此，通过h-Version方法获得的??1,??的收敛速率上界为???(??3)。同时，p-Version方法可以达到收敛速率???(????3)。
为了与数值特征值进行比较，我们采用了[28]中报告的前五个最小特征值作为参考特征值：
??1≈9.63972384402194105271, ??2≈15.19725192645434327488, ??3=2??2, ??4≈29.52148111414488329822, ??5≈31.91263595713776220033，其中第三个特征值??3被精确地计算出来了。
接下来，我们分别讨论?? >0和?? =0的情况。

4.3.1 当?? >0时
根据定理1，如果?? ≤??且?? ∈??，那么近似方案（8）对于?? >0是适定的。
在h-Version和p-Version方法中，都观察到数值特征值是从下方收敛到参考特征值的。如果?? =??且对于适当的?? >0（例如?? ≤0.01），并且?? ≥??。此外，如果在?? =??且对于适当的?? >0（例如?? ≥10）的情况下，数值特征值也是从上方收敛到参考特征值的。
在接下来的部分，我们选择适当的??、n和m来展示在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的凸四边形网格上数值特征值的上界和下界近似。我们首先取?? =0.01, ?? =??, 和 ?? =?? +1。使用p-Version方法得到的相应误差???? ?????,??,?? =1,2,…,5（对于? =0.947和? =0.675）在表7中呈现。从这个表可以看出，数值特征值??1,??和??5,??以大约????/3的速率收敛到参考值，而数值特征值??2,??和??4,??以大约???1?/3的速率收敛，数值特征值??3,??则以指数速率收敛。更重要的是，在整个近似过程中，所有这些误差都是正的。这些观察结果表明，在这种情况下，????,??是相对于多项式阶数从下方收敛到????的。

表7：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =0.01, ?? =??, ?? =?? +1，当? =0.947（上）和? =0.675（下）时，误差???? ?????,??（?? =1,2,…,5）与N的收敛阶数。

然后我们在图7的左侧部分以对数-对数刻度绘制了相应的绝对误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与N的关系，对于? =0.947的情况，这清楚地表明前五个数值特征值以预期的多项式阶数收敛。

图7：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =0.01, ?? =??, ?? =?? +1，误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与N的关系。（左）：对于? =0.947的情况；（中）：对于? =1的情况；（右）：对于? =2的情况。
此外，在h-Version方法中，我们在表8中展示了???? ?????,??,?? =1,2,…,5的误差以及?? =1,2时的收敛速率。可以观察到所有列出的误差都是正的，这表明????,??是????的下界近似。为了更直观地展示数值特征值的收敛行为，我们还在图7的中间和右侧面板中分别以对数-对数刻度绘制了绝对误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与h的关系，对于?? =1和?? =2的情况，可以观察到相对于网格尺寸的预期收敛阶数。

表8：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =0.01, ?? =??, ?? =?? +1，当? =1（上）和? =2（下）时，误差???? ?????,??（?? =1,2,…,5）与h的收敛阶数。

为了探索数值特征值的上界近似，我们在接下来的数值实验中选择?? =10, ?? =??, 和 ?? =?? +1。在表9中，我们展示了使用p-Version方法得到的误差???? ?????,??,?? =1,2,…,5以及收敛速率（对于? =0.952和? =0.655）。此外，表8的左侧面板以对数-对数刻度展示了绝对误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与N的关系（对于? =0.952）。从这个表和图中我们可以观察到，数值特征值相对于多项式阶数以理论速率从上方逼近精确特征值。

表9：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =10, ?? =??, ?? =?? +1，当? =0.952（上）和? =0.655（下）时，误差???? ?????,??（?? =1,2,…,5）与N的收敛阶数。

图8：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =10, ?? =??, ?? =?? +1，误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与N的关系。（左）：对于? =0.952的情况；（中）：对于? =1的情况；（右）：对于? =2的情况。
此外，我们使用?? =10, ?? =??, ?? =?? +1的h-Version弱Galerkin谱元方法来解决问题（6），并在表10中展示了误差???? ?????,??,?? =1,2,…,5以及相应的收敛速率（对于多项式阶数?? =1和?? =2）。可以观察到随着网格尺寸h的减小，????,??以预测的速率从上方收敛到????。此外，图8的中间和右侧面板进一步展示了收敛行为，其中绝对误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与h的关系分别以对数-对数刻度绘制出来。

表10：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =10, ?? =??, ?? =?? +1，误差???? ?????,??（?? =1,2,…,5与h的收敛阶数。

4.3.2 当?? =0时
根据定理1，如果?? ≤?? ?1且?? ≤??，则近似方案（8）对于?? =0是适定的。
实际上，在以下情况下，数值特征值是参考特征值的上界：
(i) 对于平滑特征值的p-Version方法；
(ii) 对于?? =0，如果?? ≤?? ?2且?? ≤??，则h-Version方法。
相比之下，在对于规则性有限的特征值的p-Version方法中，如果?? ≤?? ?2且?? ≤??，则相应的数值特征值是从下方收敛到参考特征值的。

接下来，我们以?? =?? ?2和?? =??作为示例进行说明。
对于固定的网格尺寸? =0.602，表11展示了随着多项式阶数的增加，p-Version方法得到的误差???? ?????,??,?? =1,2,…,5和收敛速率。从表中可以看出，数值特征值??1,??和??5,??以大约????/3的速率收敛到参考特征值，数值特征值??2,??和??4,??以大约???1?/3的速率收敛。由于对应于??3的特征函数在L形域上是解析的，数值特征值??3,??以指数速率收敛到参考特征值。更重要的是，数值特征值????,??,?? =1,2,4,5是参考特征值????的渐近下界，而第三个数值特征值是精确特征值的上界。

表11：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于? =0.602，当?? =0, ?? =?? ?2, ?? =??时，误差???? ?????,??（?? =1,2,…,5与N的收敛阶数。

为了更生动地展示数值特征值的收敛行为，我们还在图9的左侧面板中以对数-对数刻度绘制了绝对误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与N的关系（对于? =0.602），可以清楚地观察到相对于多项式阶数的预期收敛阶数。

图9：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =0, ?? =?? ?2, ?? =??，误差|???? ?????,???|,??=1,2,…,5与N的关系。（左）：对于? =0.602的情况；（中）：对于? =3的情况；（右）：对于? =4的情况。
此外，对于?? =0, ?? =?? ?2和?? =??，表12展示了使用h-Version方法得到的相应误差???? ?????,??,?? =1,2,…,5以及收敛速率（对于?? =3,4）。从表中可以看出，所有误差都是负的。因此，随着网格尺寸h的减小，????,??以预期的收敛速率从上方收敛到????。

表12：在Ω =[?1,1]2 ?[0,1]2的四边形网格上，对于?? =0, ?? =?? ?2, ?? =??，误差???? ?????,??（?? =1,2,…,5与h的收敛阶数（对于?? =0, ?? =?? ?2, ?? =??）。