通过非线性剪切和TSDT方法研究厚FGM球壳的先进频率特性 洪志强（Chih-Chiang Hong）

《AppliedMath》：Advanced Frequency of Thick FGM Spherical Shells by Nonlinear Shear and TSDT Chih-Chiang Hong

　　摘要 本研究采用先进的剪切修正方法，对厚壁功能性梯度材料（FGM）球壳进行高级频率分析。先进剪切修正的数值可能大于一，也可能是负值，并会受到位移的三阶剪切变形理论（TSDT）非线性项、FGM幂律指数和温度的影响。利用TSDT和先进剪切修正推导出一个简单的均匀方程，并将其简化为在对称稀疏矩阵中，用于自由振动分析，这一方法具有新颖性和趣味性。通过对称稀疏矩阵的零行列式使用牛顿法可以计算自然频率。本文探讨了先进剪切修正、非线性TSDT项、温度以及FGM幂律指数对厚壁FGM球壳自然频率的影响。获得了轴向和周向模态的频率数据。这一发现具有创新性，因为在对稀疏矩阵的简化过程中会产生数值截断误差；与全矩阵相比，所使用的稀疏矩阵得到的自然频率值要大得多。 1. 引言 研究了球壳材料的自由振动特性及其自然频率。2021年，Bagheri等人[1]利用一阶剪切变形理论（FSDT）研究了功能性梯度材料（FGM）圆锥形球壳的自由振动，并考虑了不同类型的边界条件对自然频率的影响。2021年，Liu等人[2]应用三维（3D）弹性理论和状态空间方法研究了功能性梯度石墨烯片层增强复合材料（FG-GPLRC）球壳的自由振动。2021年，Tang和Dai[3]采用多尺度方法和湿热效应得到了碳纤维增强聚合物（CFRP）球壳板的非线性自由振动解析结果。2021年，Roy等人[4]提出了修正的高阶之字形理论（HOZT）和Bruel-Kjaer实验模态方法来研究层压复合杂化和玻璃纤维增强塑料（GFRP）球壳的自由振动。2019年，Sayyad和Ghugal[5]利用广义高阶壳理论研究了层压球壳的自由振动。2019年，Li等人[6]基于里兹方法（Ritz method）和薄层FSDT位移理论分析了组合球-圆柱-球（CSCS）壳的自由振动。2019年，Li等人[7]同样利用里兹方法和FSDT位移理论研究了功能性梯度多孔球壳（FGPSS）的自由振动。2016年，Fantuzzi等人[8]建立了FGM壳的二维（2D）计算模型和三维精确壳模型。2010年，Sepiani等人[9]在不考虑热效应的情况下，利用FSDT位移理论研究了FGM壳的自由振动。本文还回顾了关于厚FGM球壳结构的数学仿真研究。2020年，Zannon等人[10]采用了三阶剪切变形理论（TSDT）模型研究了厚壁FGM球壳的自由振动。2023年，Keibolahi等人[11]利用TSDT模型研究了深层FGM球壳的热冲击振动。2017年，Khoa和Tung[12]利用FSDT模型研究了中等厚度FGM夹层球壳在压力载荷下的行为。2025年，Zhang等人[13]利用热传导模型研究了厚FGM球壳在热机械载荷下的静态特性。2026年，Nejad等人[14]利用平面弹性理论（PET）模型研究了FGM球壳在压力载荷下的行为。2021年，Dastjerdi等人[15]利用FSDT模型研究了厚FGM球壳的数学特性。2022年，Arslan和Mack[16]利用均质化属性模型研究了厚FGM球壳在压力载荷下的应力分布。2014年，Khaire等人[17]利用高阶剪切变形理论（HSDT）研究了FGM球壳的自由振动。2020年，Zeverdejani和Kiani[18]研究了FGM球壳的热冲击振动特性。2019年，Shariyat和Ghafourinam[19]利用诺顿蠕变模型研究了厚FGM球壳在压力载荷下的应力分布。 2. 材料与方法 厚壁FGM球壳由内层的FGM材料1和外层的FGM材料2组成[20]。图1展示了球壳在球坐标系（??, ??, ?）和笛卡尔坐标系（x, y, z）中的位置关系，其中r表示半径，??表示周向角，?表示z轴与r轴之间的角度。考虑了FGM球壳的幂律函数型材料属性，这些属性受环境温度??的影响[21,22]。 2.1. 位移的TSDT模型 图1中所示的厚壁FGM球壳在给定角度?和x轴长度??下的非线性TSDT位移模型??、??和??表示为： ??=??0?(??,??,??)+??3?????(??,??,??)??????3(????+??????), (1) ??=??0?(??,??,??)+??3?????(??,??,??)??????3(????+????????), (2) ??=???(??,??,??), (3) 其中???和???分别为x轴和??轴上的切向位移，??表示壳中间平面的横向位移。????和????表示剪切旋转。??表示壳中间表面的半径，t表示时间。??? =4/(3√??)，??是总厚度，??和??分别为两种组成材料的厚度。 2.2. 带有TSDT的动态平衡方程 可以应用TSDT表示给定角度?下厚壁FGM球壳的运动动态偏微分方程（PDE）[20]。同时，也将含不可忽视剪切应变的热康托曼应力-位移关系应用于厚壁FGM球壳。因此，可以用矩阵形式表示FGM球壳的五个带有TSDT的动态平衡PDE。包含刚度积分的系数有?????????、?????????、?????????、?????????、?????????、?????????、???、??? =1,2,6、?????、?????、?????、?????、?????、?????、???、??? =4,5和???。这些刚度积分适用于给定角度? ≠ 0的情况[22]， (?????????、?????????、?????????、?????????、?????????、?????????)=∫???????●●●●??????????(1,???,???,???,???,???)???, (4) (?????、?????、?????、?????、?????、?????、?????、?????、???、??? =∫??????????●●●●??????(1,???,???,???,???,???)???. (5) 其中???通常用于横应力中，以较好地修正厚壁材料的剪切效应。 2.3. 先进的??? 厚壁FGM球壳在给定角度?下的先进???表达式如下[22]： ???=1?????????????????????????????????, (6) 其中????????????????? =（???????????????????????????????????）2（表示为(??)?次幂），??????????????? =??????????????? ?2??????????????????1 +???2???????????????2（表示为(??)?次幂），??????????????、??????????????、???????????????、???????????????1和????????????????是FGM组成材料1和2的杨氏模量???、???的函数，以及幂律指数???。因此，先进的???值是无量纲的、非线性的，并且是???、???和??的函数，但不依赖于参数??。 2.4. 简单均匀方程 在自由振动研究中，假设温度差Δ?? = 0，无平面分布力??? =??? =0，无外部压力载荷?? =0。自由振动频率?????下的模态数用下标m和n表示，可以用以下典型的四边简单支撑时间正弦位移???、???、??和剪切旋转????、????表达式表示，其振幅分别为?????、????、????、????和????。 ???=????????c?s?(??????/??)s?n(??????/??)s?n(???????), (7) ???=????????s?n(??????/??)c?s?n(??????/??)s?n(???????), (8) ??=??????s?n(??????/??)s?n(??????/??)s?n(???????), (9) ????=??????c?s?n(??????/??)s?n(??????/??)s?n(???????), (10) ????=?????s?n(??????/??)c?s?n(??????/??)s?n(???????), (11) 其中????是自然频率，下标m表示轴向半波数，??表示周向波数。将方程(7)-(11)代入无外载荷的自由振动PDE（??? =??? =? =??? =0），并对???????、?????? =???? =???? =???? =???? =???? =???? =0、??? =??? = ???= ??? = ??? = 0进行合理简化后，可以得到对称稀疏矩阵中的简单均匀方程[22]。 ?? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????000????????????????????0000?????????????????????????????????????????????????????????????00?????????????????????????????????00?????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ???{ { { { {?{ { { {???????????????????????{ { { { {?{ { { {?=?{ { { { {?{ { { {?00000?{ { { {?{ { { {?, (12) 其中??? =???∑??=1∫??+1????(??)??????????, (i = 0,1,2,…,6)，???表示层数，??(??)表示第k层的密度。???? =??? ???????+2, (?? =1,4)，??? =??? ?2?????? +???????，???? =??????????，????无量纲频率
定义了无量纲频率 ??? = 4πω11R√I2/A11，其中ω11 是模式形状 ?? = ?? = 1 的第一固有频率。在 ??1 = 0.925925/mm2 和 ??1 = 0/mm2 的情况下，对于不同的 ??/?? = 5、8 和 10，以及在 ?=10°、45° 和 90° 时的 ??? 值分别在表 2、表 3 和表 4 中展示。在环境温度为 1 K、100 K、300 K 和 1000 K 时，当使用先进的 ???? 和 ??1 = 0.925925/mm2 时，??? 的最大值分别为 ?=10° 时的 208.72235、?=45° 时的 24.658657 和 ?=90° 时的 10.076400；然而，当应用 ??1 = 0/mm2 时，??? 的最大值变为 ?=10° 时的 366.27481、?=45° 时的 24.460136 和 ?=90° 时的 7.898860。因此，??? 值受到 ??1 的显著影响。在 ?=10°、??/?? = 10 时，非零值会大幅降低频率 ???，从 366.27（对于 ???? = 10, ??1 = 0/mm2, T = 600 K）降至 208.72（对于 ???? = 0.5, ??1 = 0.925925/mm2, T = 1000 K）；??? 的变化主要受到 ????、??1、T 和 ???? 的影响。

表 2. SUS304/Si3N4 在 ?=10° 时的 ???。
表 3. SUS304/Si3N4 在 ?=45° 时的 ???。
表 4. SUS304/Si3N4 在 ?=90° 时的 ???。

另一个无量纲频率 Ω = (ω11L2/??)√χ1/?1，其中 χ1 是 FGM 组成材料 1 的密度。在 ??1 = 0.925925/mm2 和 ??1 = 0/mm2 的情况下，对于不同的 ??/?? = 5、8 和 10，以及在 ?=10°、45° 和 90° 时的 Ω 值分别在表 5、表 6 和表 7 中展示。在环境温度为 1 K、100 K、300 K 和 1000 K 时，当使用先进的 ???? 和 ??1 = 0.925925/mm2 时，Ω 的最大值分别为 ?=10° 时的 811.82086、?=45° 时的 63.836673 和 ?=90° 时的 18.566265；然而，当应用 ??1 = 0/mm2 时，Ω 的最大值变为 ?=10° 时的 1119.0484、?=45° 时的 68.950126 和 ?=90° 时的 17.473329。因此，Ω 值也受到 ??1 的显著影响。

表 5. SUS304/Si3N4 在 ?=10° 时的 Ω。
表 6. SUS304/Si3N4 在 ?=45° 时的 Ω。
表 7. SUS304/Si3N4 在 ?=90° 时的 Ω。

对于当前简单均匀方程（12）的解，将频率参数 ??? 和 Ω 与已发表的研究结果进行比较，展示在表 8 和表 9 中。表 8 显示了在 T = 300 K 时，对于 SUS304/Si3N4 且 ??/?? = 10 的情况，??? 与 ?? 的关系。比较值 ??? = 2.336681 主要受到先进的 ???? = ?4.392341 和 ??1 = 0.925925/mm2 的影响。由于 Hong [20] 提出的线性变化 ???? = 0.138573，???? = 1 的值远小于 11.616583；同时，也与 Sayyad 和 Ghugal [5] 在 a/h = 10, R/a = 10 的条件下得到的 11.8633 相比要小（该研究未考虑剪切修正）。因此，??? 值显著受到 ???? 的影响。表 9 显示了在 T = 1000 K 时，对于 SUS304/Si3N4 且 ??/?? = 10 的情况，??? 与 ?? 的关系，以及不同 ???? 值的影响。比较值 Ω = 38.434036 主要受到先进的 ???? = ?0.532898 和 ??1 = 0.925925/mm2 的影响。由于 Hong [20] 提出的线性变化 ???? = 0.137812，???? = 2 的值小于 59.915550；同样，也小于 Li 等人在使用 FSDT 和常数 ???? = 5/6 的三层 0°/90°/0° 球形层压板条件下得到的 69.520。因此，Ω 值显著受到 ???? 的影响。

表 8. ?=10° 时 SUS304/Si3N4 的 ??? 比较。
表 9. ?=10° 时 SUS304/Si3N4 的 Ω 比较。

3.2. 固有频率
展示了 SUS304/Si3N4 FGM 厚壁球壳的量纲频率 ???????（1/s）的值。表 10 在不同 ??/?? = 5、8 和 10，以及先进的 ???? 和 ??1 = 0.925925/mm2 或 0/mm2 的条件下，展示了 ?=10° 时 ??11（1/s）与 ???? 的关系，环境温度分别为 1 K、100 K、300 K 和 1000 K。通常情况下，对于 ??/?? = 5 的 FSDT 方法得到的 ??11 值比 TSDT 方法的高出，除了在 ???? = 1, T = 1 K 和 ???? = 2, T = 1000 K 的情况外；例如，当 ??1 = 0/mm2 时，??11 = 0.030261/s 比 ??1 = 0.925925/mm2 时 ??11 = 0.017753/s （对于 ???? = 0.5, T = 1 K）要大。表 11 展示了在 ??/?? = 5 和 10，???? = 0.5, T = 300 K 的条件下，??????? 与 ??,?? = 1,2,…,9 的关系。对于 ??/?? = 5，??????? 值小于 0.008277/s；对于 ??/?? = 10，??????? 值小于 0.008056/s。

表 10. 先进 ???? 条件下 ?=10° 的基本固有频率 ??11。
表 11. 在先进 ????、??1 = 0.5 和 T = 300 K 的条件下，?=10° 时 ??????? 与 ?? 和 ?? 的关系。

3.3. 比较 ??1???
展示了 SUS304/Si3N4 的 ??1???（1/s）与 ???? 和 ??（K）的关系。图 2 在 ??/?? = 5, ?=10°，先进 ????，??1 = 0.925925/mm2 且 ?? = 300 K 的条件下，展示了 ??1???（1/s）与 ???? 的关系。通常对于厚壁结构（??/?? = 5），如图 2a 所示，当 ???? = 1 时，??1??? 值随 ???? 的增加而波动；当 ???? = 0.5 和 10 时，??1??? 值先增加后减少，最大值为 ??13 = 0.014121/s（对于 ???? = 1）。因此，??1??? 值受到 ???? 或 ??/?? = 5 的影响。对于中等厚度结构（??/?? = 10），如图 2b 所示，当 ???? = 1 时，??1??? 值随 ???? 的增加而保持恒定；当 ???? = 2 到 6 时，??1??? 值先增加后减少，最大值为 ??17 = 0.008109/s（对于 ???? = 0.5）。因此，??1??? 值也受到 ???? 或 ??/?? = 10 的影响。

图 2. 在 ??/?? = 5 和 ???? = 10 的条件下，??1??（1/s）与 ???? 的关系。
图 3. 在 ??/?? = 5, ?=10°，先进 ????，??1 = 0.925925/mm2 且 ???? = 0.5 的条件下，展示了 ??1??（1/s）与 ?? 的关系。通常对于厚壁结构（??/?? = 5），如图 3a 所示，当 ???? = 1 到 5 时，??1?? 值随 ???? 的增加而保持恒定；当 ???? = 5 到 6 时，??1? 值增加；当 ???? = 1 到 6 时，??1? 值减少，最大值为 ??11 = 0.034761/s（对于 ???? = 1000 K）。因此，在较高的环境温度 1000 K 下，对于 ??/?? = 5，??1? 和 ??17 具有较好的耐久性。对于中等厚度结构（??/?? = 10），如图 3b 所示，当 ???? = 1 到 6 时，??1? 值保持恒定；在 ???? = 1000 K 时，最大值为 ??11 = 0.046005/s。因此，在较高的环境温度 1000 K 下，对于 ??/?? = 10，??17 具有较好的耐久性。

图 3. 在 ??/?? = 5 和 ???? = 10 的条件下，??1?（1/s）与 ??（K）的关系。

4. 讨论
图 4 显示了在 ?=10°、??/?? = 5、???? = 0.5、T = 1000 K 的条件下，??1???（1/s）相对于 ??1 和 ???? 的变化。图 4a 展示了 ??1 值的影响，对于 n = 1 到 6，当 ??1 = 0.925925/mm2 时，??1??? 值比 ??1 = 0/mm2 时更小；对于 n = 1 到 8，当 ??1 = 0.333333/mm2 时，??1??? 值比 ??1 = 0.925925/mm2 时更大；对于 n = 2 到 9，??1??? 值在 ??1 = 0/mm2 和 0.925925/mm2 之间波动。图 4b 展示了 ???? 值的影响，对于先进的 ???? [21]，??1??? 值比不同的 ???? [20] 更大（对于 n = 1 到 5）；在不同 ???? 条件下，??1??? 值呈正弦波形波动。基本上，先进的 ???? [21] 值主要是材料属性 ??1、??2、???? 和 T 的函数，这些属性主要源于刚度的重新分布，而不是 ??（来自应变能方法的厚度分析）和 ??1（来自假设的动力学 TSDT 模型的修正）。不同的 ???? [20] 值主要是材料属性 ??1、??2、????、T 和 ?? 的函数，但不包括 ??1。

表 4. 比较了在以下条件下的 ??1???（1/s）：(a) ??1 = 0/mm2, ??1 = 0.333333/mm2, 和 ??1 = 0.925925/mm2；(b) 先进的 ???? [21] 和不同的 ???? [20]；(c) 稀疏矩阵和完整矩阵 [20]。因此，当使用 ??1 = 0/mm2 时，结构的 FSDT 表现符合经典理论；而当使用 ??1 ≠ 0 时（例如，??1 = 0.333333/mm2 时 ?? = 2 mm 和 ??1 = 0.925925/mm2 时 ?? = 1.2 mm），??1??? 值受到 ?? 大小的影响。存在一个临界温度（例如，高于 600 K）或厚度比（例如，??/?? 小于 10），对于厚壁结构，由于 FGM 的热效应，局部效应变得不可忽略。??????? 对于较高模数（m,n ≤ 9）的依赖性导致频率值非常低。这种自由振动行为在给定的典型正弦位移和剪切旋转条件下，对于厚壁球形 FGM 壳体是物理上预期的。图 4c 展示了比较中涉及的数值截断效应，使用了对称稀疏矩阵（12）中的简单均匀方程和对称完整矩阵 [20] 中的完整均匀方程。稀疏矩阵中的假设简化导致了数值截断误差，例如，在 n = 1 和 2 时出现了较大的在理论和仿真研究中，某些参数（如高级剪切校正、温度和幂律指数???? = 0.1）与陶瓷Si3N4密切相关；而???? = 10则与金属SUS304密切相关。这些参数通过求解稀疏矩阵或完整矩阵中的齐次方程，会影响自然频率的增减。特别是在2025年Putranto等人[25]关于非线性振动的研究以及2024年Putranto[26]的等效单层（ESL）建模中，讨论了更广泛的结构动力学背景。未来如果可能的话，对建模理念和适用性进行简要比较将非常有价值。图5展示了一个数值流程图，总结了建模步骤、假设和解决方法，以提高可读性。通过与已发表结果的比较，可以在基准研究的选择（如FGM类型、????值、??1值、稀疏矩阵和完整矩阵）上找到更多一致性。如果可能的话，未来进一步与基于ESL的解决方案进行比较将更能增强信心。图5是一个数值流程图。

结论：分别给出了在∠=10°、45°和90°时，厚壁FGM球壳自由振动情况下的量纲自然频率和无量纲频率参数，这些球壳使用了简单的对称稀疏矩阵。考虑了四个主要影响频率值的因素：高级剪切系数、位移的非线性TSDT项??1、FGM幂律指数以及环境温度。获得了以下新颖且重要的数值结果：频率参数???和Ω数据，并分析了它们受??1的影响；计算了自然频率???????与????及模态数??、??的关系；使用高级的????研究了厚壁FGM SUS304/Si3N4球壳的频率值。这一发现令人惊讶，因为在稀疏矩阵中采用的简化方法导致了数值截断误差；对于厚壁FGM球壳，所呈现的稀疏矩阵在n=1和n=2时的??1???值明显大于使用完整矩阵时得到的结果。