一种基于卷积神经网络和不确定性聚类的、以水平集方法为导向且与问题无关的鲁棒拓扑优化策略

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：A level-set-oriented and problem-independent robust topology optimization strategy based on convolutional neural networks and uncertainty clustering

　　李泽尚|王磊|张晓宇|刘雅茹
中国北京100191，北京航空航天大学固体力学研究所，结构强度与完整性国家重点实验室

摘要
随着结构设计要求及设计手段的不断发展，智能结构的设计以及利用智能方法进行结构设计受到了广泛关注。本文提出了一种基于卷积神经网络和不确定性聚类的、以水平集为导向且与问题无关的鲁棒拓扑优化策略。这种与问题无关的机器学习方法不同于端到端方法，是一种用于有限元分析的高效鲁棒方法。首先，基于扩展多尺度有限元方法分析了单元模量对数值形状函数的影响，并研究了单元模量的不同聚类效应。然后，构建卷积神经网络，以便用多个相似输入获得输出结果。样本集由特定样本集和随机样本集组成，特定样本集具有中心对称性、轴对称性和数据对称性，从而充分考虑到水平集方法的边界特性。最后，分别提出了数值形状函数过滤策略和灵敏度过滤策略，用于处理子结构内部及之间的灵敏度分布问题。若干数值算例证明了所提方法的有效性、高效性和精确性。

引言
轻质结构是先进设备的重要组成部分，一直备受关注[[1], [2], [3], [4]]。作为概念设计阶段的一种设计方法，拓扑优化能够实现最佳的力传递路径[5,6]。常见的拓扑优化方法包括基于密度的方法，如带惩罚项的各向同性固体材料法[7,8]和双向进化结构优化法[9]；基于边界的方法，如水平集法[10,11]和相场法[12]；以及基于构件的方法，如移动可变形构件法[13]和特征驱动法[14]。近年来，拓扑优化逐渐被应用于多种复杂问题，如多材料系统[15]、不同尺度问题[16]以及物理场问题[17]，并取得了良好效果。未来，拓扑优化将受到更多关注，其应用范围也将更加广泛。

拓扑优化虽然具有诸多优势，但也存在计算复杂度高的问题[18,19]。导致大量计算的因素包括多重的结构响应与灵敏度计算、众多的设计变量、预处理以及后处理工作。在结构响应计算和灵敏度计算中都需要进行有限元分析，这也是造成计算量大的主要因素[20,21]。目前已有许多有效的探索方法可用于提升有限元分析的效率。魏某和刘某采用了并行计算技术，并以形状函数作为水平集法中的基函数，显著提高了计算效率[22]。Groen对使用有限单元法进行高阶多分辨率拓扑优化的潜力与局限性进行了深入研究[23]。王某和李某提出了一种基于多网格策略的高效拓扑优化方法，用于超材料设计[24,25]。罗某提出了一种扩展的材料场级数展开方法，该方法采用多区域策略并结合空间变化的相关长度，用于大规模拓扑优化[26]。Aage则展示了利用图形处理单元实现高效拓扑优化的方法[27]。提升有限元分析的效率是提高拓扑优化效率的直接有效途径。

得益于机器学习技术的发展，出现了一些解决拓扑优化问题的新方法[28,29]。一种典型的方法是基于端到端机器学习方法的拓扑优化[30]。该方法以结构模型及其边界条件作为输入，直接输出拓扑优化结果，完全取代了传统的拓扑优化流程[31,32]。Abueidda开发了卷积神经网络模型，用于在给定的边界条件、载荷和优化约束下预测最优设计[33]。Hong借助深度学习提出了一种用于导电传热结构的非迭代型拓扑优化器[34]。但这种方法需要大量的样本集，且难以应用于复杂结构。另一种典型方法是通过机器学习加速有限元分析过程[35]。Maksum研究了利用并行计算和机器学习方法加速拓扑优化的问题[36]。郭某和杜某在扩展多尺度有限元方法框架下提出了一种全新的、与问题无关且通用的拓扑优化方法[[37], [38], [39]]。这项工作代表了机器学习与拓扑优化相结合的重要突破，取得了良好成果并引起了广泛关注[40]，表明通过机器学习技术实现高效拓扑优化是可行的。

在实际工程中，不确定性普遍存在[[41], [42], [43]]，并对结构安全产生重大影响[44,45]。考虑不确定性的拓扑优化能够有效提升结构的可靠性和鲁棒性[46,47]。已有许多研究成果探讨了载荷和材料属性的不确定性对拓扑优化的影响[48,49]。孟某利用PIML方法提出了一种新的数据驱动型、基于可靠性的拓扑优化框架[40]。对于基于机器学习的拓扑优化而言，还存在预测误差、离散误差等其他不确定性因素；而对于水平集法来说，还存在边界扰动的影响[10]。在数值计算过程中出现的误差是不可避免的，它们会影响机器学习的训练效果。

当前研究面临的主要挑战如下：在[37,38]中采用PIML方法解决拓扑优化问题时，人们期望机器学习模型具备鲁棒性，即对于相似的子结构，模型应给出相似的输出结果。然而，数值计算中的误差，如边界离散化和边界扰动，会导致相同子结构的刚度出现偏差，而机器学习的预测误差也会影响拓扑优化过程。因此，研究输入参数对输出的影响并构建合适的样本集，对于建立鲁棒的机器学习模型、控制误差范围具有重要意义。此外，参考文献[37,40]中指出，该方法适用于大型结构。对于中型结构而言，如何消除该方法中线性边界假设带来的影响，对于扩大该方法的应用范围至关重要。总之，为了满足先进设备的性能与功能需求，有必要发展数据驱动型和模型驱动型的拓扑优化方法，以提高结构设计的效率、鲁棒性和适用性。为此，本文通过简化网络结构、采用高效自适应采样策略、进行灵敏度分析以及运用聚类技术，对相关方法进行了探索与改进。研究背景与创新点如图1所示。

本文的创新点如下：首先，本文采用智能设计方法提升拓扑优化的效率。其次，提出了一种基于卷积神经网络和不确定性聚类的、以水平集为导向且与问题无关的鲁棒拓扑优化策略。其创新之处在于：分析了不同单元对数值形状函数的影响，引导单元性能的聚类，从而大幅缩小样本空间，将相似的输入归为同一类，这有助于提升机器学习模型的鲁棒性。第三，通过结合特定样本集和随机样本集来构建卷积神经网络的样本集，并充分考虑水平集函数的边界特性，提出了样本对称性策略。第四，提出了两种过滤策略，用于解决因各种误差导致的子结构内部及之间灵敏度不准确的问题，这些策略有助于提升机器学习模型的适用性。通过若干数值算例验证了该机器学习方法在准确性、效率及适用性方面的优势。

章节节选
用于拓扑优化的参数化水平集方法
水平集法的核心思想是通过高维函数的零水平集来隐式表示结构边界，该高维函数即为水平集函数。水平集函数Φ与结构边界?Ω之间的关系为：{Φ(x,t)>0，x∈Ω??Ω（实体域）；Φ(x,t)=0，x∈Ω∩?Ω（边界）；Φ(x,t)<0，x∈D?Ω（空洞域）}，其中x和t分别表示水平集函数的空间坐标和时间变量；Ω和D分别表示实体域和整体设计域。在区域Ds中，杨氏模量Es可表示为：Es=E|Ds|∫DsH(Φ)dΩ

输入不确定性的表征与量化
本节主要介绍输入不确定性的来源、量化方法以及处理不确定性的方法。

基于卷积神经网络的机器学习模型
本节主要介绍卷积神经网络的架构与训练策略、样本集的构建以及该网络的验证方法。

拓扑优化问题的求解方法
本节主要介绍拓扑优化模型，尤其是PIML方法在拓扑优化过程中的应用及相关问题与解决方案。

方形板结构的拓扑优化
该算例主要用于验证PIML方法的准确性及其在拓扑优化问题中的应用效果。该结构的几何模型与边界条件如图12(a)所示。所有参数均为标准化数据，其中Gtarg=0.4，E=1MPa，泊松比為0.3，|F|=1N。整个结构被划分为200×200个单元，而子结构则被划分为4×4个单元。在该算例中，未对卷积神经网络的结果应用任何过滤策略。单元的模量为……

结论
高效智能的拓扑优化是实现轻质结构的关键。本文提出了一种基于卷积神经网络和不确定性聚类的、以水平集为导向且与问题无关的鲁棒拓扑优化策略。针对单元模量对数值形状函数的影响，采用了Sobol方法进行灵敏度分析；对于拓扑优化过程中可能的单元模量值，则采用k-means方法，研究了从3到11不同聚类数下的聚类效应。

CRediT作者贡献声明
李泽尚：撰写——初稿、软件、方法论、概念构思。王磊：撰写——审稿与编辑、指导、方法论、概念构思。张晓宇：撰写——审稿与编辑、可视化、验证、软件。刘雅茹：撰写——审稿与编辑、形式分析、数据整理。