基于加权最大混合复相关性的过去算法：一种用于低空目标参数估计的新方法

《Ain Shams Engineering Journal》：Weighted maximum mixture complex correntropy-based past algorithm: a novel approach for low-altitude target parameter estimation

　　李莉|天爽秋
大连大学信息工程学院，中国大连116622

摘要
针对低空环境中强地面杂波干扰、低信噪比以及近场非平稳信号对检测低速、小型（LSS）目标的挑战，本文提出了一种基于改进的加权最大混合复相关度投影近似子空间跟踪（WMMCC-PAST）算法的低空目标联合参数估计方法。首先，创新性地开发了一种加权混合复相关度函数，该函数结合了复高斯核和动态加权机制。这种方法有效解决了传统相关度方法在抑制连续相似幅度噪声、克服固定核带宽限制以及单核方法适应性有限的问题，从而显著提高了算法在复杂噪声环境中的鲁棒性。随后，构建了一个基于WMMCC准则的成本函数，将加权最大混合相关度准则与PAST算法框架相结合。通过将基于鲁棒相关度的度量嵌入子空间跟踪过程中，该公式显著提高了算法对低空雷达场景中常见的高峰噪声的抵抗能力。接下来，本文从理论上推导并实现了一种适用于脉冲噪声环境的鲁棒WMMCC-PAST算法，显著提高了受非高斯干扰影响的低空雷达应用的跟踪性能，特别是在高峰噪声条件下。此外，理论分析证明了所提出的加权混合复相关度函数的有界性，验证了WMMCC-PAST算法的收敛性，并进一步检验了其在α-稳定噪声下的鲁棒性。同时，分析了算法的计算复杂度及其在雷达应用中的实际相关性，以支持实时部署的可行性。实验结果表明，所提出的算法具有良好的估计性能。本研究为低空安全领域中的LSS目标检测提供了有效的技术解决方案，具有重要的理论价值和广阔的工程应用前景。

1. 引言
随着低速、小型（LSS）目标（如用于航空测绘的无人机、气象气球和运动风筝）在民用和商业领域的广泛应用，它们相关的安全威胁日益严重。无人机频繁侵入机场跑道导致航班延误，或在限制区域内携带监控设备的气球对低空安全系统构成了重大挑战。由于低飞行高度、小雷达截面积（RCS）和低速度，LSS目标在检测过程中容易被强地面杂波掩盖[1]，[2]。再加上弱回波信号导致低信噪比（SNR）环境，以及位于阵列近场区域时，球形波前效应使得传统的远场平面波假设不再适用。这引发了非平稳信号特性，进一步复杂化了目标检测和参数估计，严重阻碍了低空安全应用的技术进步[3]。
在低空环境中检测LSS目标是雷达信号处理中的一个重大挑战，其中到达方向（DOA）估计是一个基本问题。近年来，基于子空间分析的高分辨率DOA估计技术（包括多信号分类方法[4]、通过旋转不变性技术估计信号参数[5]和加权子空间拟合[6]）已成为稳健的解决方案[7]。引入了选择性更新策略以降低高斯噪声下基于RLS的DOA估计的计算成本。这些频谱估计方法的实际应用需要从多传感器测量中精确分离所需信号分量和噪声子空间。对于平稳场景，可以通过对阵列协方差矩阵进行频谱分解或通过对接收数据矩阵应用矩阵分解技术来实现子空间分离。然而，在非平稳环境中，需要连续的子空间更新，导致重复的EVD/SVD操作和高计算成本。一些研究开发了低复杂度的子空间跟踪算法[8]，[9]，[10]，[11]，[12]以克服这一限制，包括投影近似子空间跟踪（PAST）方法[8]、其收缩变体（PASTD）[8]、正交PAST（OPAST）算法[9]和快速近似功率迭代（FAPI）方法[10]。这些算法能够在高斯噪声环境中连续估计主子空间。
然而，在自然环境中脉冲噪声现象相当普遍。例如，雷达杂波和移动无线通信通道中的电磁噪声在时间域表现出短时脉冲特性。这些噪声通常是偶发的且幅度很高，对信号处理构成了重大挑战[13]，[14]。在低空环境中，噪声的脉冲特性尤为明显，脉冲幅度更大，持续时间更短。这使得在低信噪比和强地面杂波干扰条件下检测低空目标变得更加困难。此外，使用α-稳定分布（α < 2）对背景干扰进行建模反映了真实的雷达环境，如突发干扰、非高斯地面杂波和密集的电磁干扰，使得我们的算法在现代低空监视和抗ECM雷达系统中具有很高的适用性[13]，[14]，[15]。
尽管PAST算法[7]是一种基于递归最小二乘（RLS）的经典子空间跟踪算法，但这种方法对脉冲噪声非常敏感，导致其在脉冲噪声环境中的性能显著下降。
近年来，作为衡量随机变量之间局部相似性的新度量，相关度受到了广泛关注[16]，[17]，[18]，[19]。Principe等人提出了最大相关度准则（MCC），与传统均方误差（MSE）准则不同，它表现出抑制脉冲噪声环境的适应性。许多学者已将MCC准则应用于脉冲噪声环境中的信道盲均衡[16]、时间延迟估计[17]，[18]和DOA估计[19]，仿真实验显示了这些算法对脉冲噪声的适应性。
然而，传统单核相关度的性能高度依赖于核宽度的选择——窄核宽度可以抑制强脉冲噪声，但对高斯噪声敏感；宽核宽度适用于高斯噪声，但会减弱对异常值的抑制效果。此外，单核函数难以处理低空检测中的复杂噪声混合场景，同时平衡抑制高峰噪声和保留信号细节也很具挑战性。
针对现有目标参数估计方法在低空复杂噪声环境中的不足，本文提出了一种改进的WMMCC-PAST算法，用于鲁棒的目标跟踪和估计。关键创新包括：（1）一种新颖的加权混合复相关度（WMCC）函数，通过混合核函数和自适应加权机制显著提高了脉冲噪声抑制能力；（2）通过用WMMCC准则替换传统PAST中的MSE准则来重构目标函数；（3）专门为脉冲噪声环境设计的鲁棒投影近似子空间跟踪算法的推导。所提出的算法可以有效地应用于低空场景中的目标参数跟踪，同时实现近场LSS目标的高度和方位角的联合估计。这一进展为低空安全应用提供了更可靠和高效的技术解决方案。
特别是，最近的研究表明，雷达接收器经常在由高峰值、脉冲噪声成分主导的干扰条件下运行，这些噪声不符合高斯假设。这种干扰来自电子对抗措施（ECM）、大气和工业电磁源以及某些类型的杂波，它们都具有无限方差的突发特性。经典工作如[13]和[14]使用α-稳定分布（α < 2）系统地对这些环境进行了建模，这在低空雷达场景中比高斯模型提供了更好的理论拟合[13]。此外，气象雷达研究[15]表明，α-稳定分布比高斯模型更准确地捕捉了现实世界的多普勒频谱特征，支持在本工作中采用α-稳定噪声。
为了评估所提出算法的有效性，本文进行了理论分析：证明了WMCC的有界性，进一步验证了算法迭代的收敛性，并分析了算法在脉冲噪声环境下的鲁棒性。理论分析证实了算法对低信噪比条件和低空非平稳信号的强适应性，为实际应用提供了坚实的理论基础。仿真结果表明，所提出的WMMCC-PAST算法实现了卓越的子空间跟踪性能，特别是在复杂噪声环境中表现出更高的鲁棒性。
本文的后续内容安排如下：第2节介绍所提出的WMCC函数。第3节介绍了WMMCC-PAST算法的原理和实现；第4节提供了全面的理论分析，包括所提算法的收敛性质、其在脉冲噪声条件下的鲁棒性以及与雷达应用要求相关的计算复杂度。第5节通过仿真实验验证了算法性能；最后一部分提出了结论。

2. 基于加权最大混合复相关度的成本函数
2.1 α-稳定分布
所提出方法在α-稳定噪声环境下的性能得到了验证，代表了典型的脉冲干扰场景[19]。α-稳定分布的特征函数定义如下，φt=exp-γ|t|α，其中α（0<α≤2）通常称为特征指数。这个始终为正的缩放参数γ，像方差一样量化了分布的扩散程度。图1展示了不同参数对α-稳定分布和标准sαs分布信号的概率密度函数的影响，对于不同的特征指数值。 2.2 相关度 相关度是一种有效抑制脉冲噪声的相似性度量[16]。两个变量z1和z2的相关度定义为 (1)fσz1,z2=EκσZ1-Z2 其中z1和z2是实值变量，κσ表示核函数，σ是核带宽，e?表示期望运算。当使用高斯核作为核函数时，即 (2)κσz1-z2=GσZ1-Z2=1/2πσ2exp(-Z1-Z2/2σ2) 基于mcc的成本函数定义为 (3)maxje=Eκσe=E1/2πσ2exp(-e2/2σ2) 使用mcc，可以通过解决最小化的mcc成本函数[18]获得past的最优权重向量，即 (4)minjmccw=∑i=1tβt-iκσ0-Fσxi-WtWHtxi><β<1是遗忘因子，?h表示复共轭转置。xi是数据矩阵x=x1,…,xt∈cn×t的第i个样本。这些样本按顺序生成并可用，这启发我们估计一个满秩矩阵w。子空间跟踪的目标是在各种条件下估计这个基矩阵。

2.3 复相关度
复相关度是将传统相关度理论扩展到复数域，保持了其对实信号的应用性，同时实现了复信号处理[20]。在实际应用中，通信中经常使用复信号。通过结合复数值核函数，它可以同时处理信号的幅度和相位信息。这里，两个复变量z1和z2的复相关度定义为
(5)v2σccz1,z2=eκ2σccz1-z2
其中z1=x1+jy1，z2=x2+jy2是复随机变量，κ2σcc表示复核函数，σ表示核带宽。如果选择复高斯核函数，则复相关度的相应表达式为：
(6)κ2σccz1-z2=g2σcz1-z2=1/2πσ2exp(-z1-z2/2σ2)
从(6)可以看出，当z1或z2包含高幅度脉冲噪声时，它们的差异会变得很大。由于这个差异出现在高斯函数的负指数项中，因此得到的相关度值会非常小。这解释了为什么相关度可以有效抑制脉冲噪声。然而，当z1和z2都是具有相似幅度的脉冲噪声时，它们的差异会变小，导致相关度值过大。这种过高的值可能会扭曲信号相似性的测量。因此，传统相关度无法解决抑制具有相似幅度的连续脉冲噪声的问题。
在实际应用中，由于脉冲噪声的随机性和不可测量性，单个相关度核函数对脉冲噪声的抑制能力不足。因此，混合复相关度函数表示为[21]，[22]：
(7)v2σmccz1,z2=eκ2σmccz1-z2=eλ1κ2σ1ccz1-z2+λ2κ2σ2ccz1-z2
其中κ2σ1ccz1-z2和κ2σ2ccz1-z2表示方程(6)中的复高斯核函数，参数λ1和λ2满足0≤λ1,λ2≤1，分别代表κ2σ1ccz1-z2和κ2σ2ccz1-z2的比例。从混合复相关度的公式可以看出，当参数λ1=0或λ2=0时，v2σmccz1,z2将退化为单核最大复相关度。
从(7)可以看出，当出现高幅度脉冲噪声时，混合相关度函数会产生较小的值，从而有效抑制脉冲噪声。然而，与传统相关度类似，混合相关度函数仍然无法解决抑制具有相似幅度的连续噪声的问题。

2.4 加权混合复相关度核函数
本节首先介绍wmcc的定义，然后分析其核心创新。 2.3 复相关度 复相关度是将传统相关度理论扩展到复数域，保持了其对实信号的应用性，同时实现了复信号处理[20]。在实际应用中，通信中经常使用复信号。通过结合复数值核函数，它可以同时处理信号的幅度和相位信息。这里，两个复变量z1和z2的复相关度定义为 (5)v2σccz1,z2=Eκ2σCCZ1-Z2 其中z1=X1+jY1，Z2=X2+jY2是复随机变量，κ2σCC表示复核函数，σ表示核带宽。如果选择复高斯核函数，则复相关度的相应表达式为： (6)κ2σccz1-z2=G2σCZ1-Z2=1/2πσ2exp(-Z1-Z2/2σ2) 从(6)可以看出，当z1或z2包含高幅度脉冲噪声时，它们的差异会变得很大。由于这个差异出现在高斯函数的负指数项中，因此得到的相关度值会非常小。这解释了为什么相关度可以有效抑制脉冲噪声。然而，当z1和z2都是具有相似幅度的脉冲噪声时，它们的差异会变小，导致相关度值过大。这种过高的值可能会扭曲信号相似性的测量。因此，传统相关度无法解决抑制具有相似幅度的连续脉冲噪声的问题。 在实际应用中，由于脉冲噪声的随机性和不可测量性，单个相关度核函数对脉冲噪声的抑制能力不足。因此，混合复相关度函数表示为[21]，[22]： (7)v2σmccz1,z2=Eκ2σMCCZ1-Z2=Eλ1κ2σ1CCZ1-Z2+λ2κ2σ2CCZ1-Z2 其中κ2σ1ccz1-z2和κ2σ2ccz1-z2表示方程(6)中的复高斯核函数，参数λ1和λ2满足0≤λ1,λ2≤1，分别代表κ2σ1ccz1-z2和κ2σ2ccz1-z2的比例。从混合复相关度的公式可以看出，当参数λ1=0或λ2=0时，V2σMCCZ1,Z2将退化为单核最大复相关度。 从(7)可以看出，当出现高幅度脉冲噪声时，混合相关度函数会产生较小的值，从而有效抑制脉冲噪声。然而，与传统相关度类似，混合相关度函数仍然无法解决抑制具有相似幅度的连续噪声的问题。 2.4 加权混合复相关度核函数>
2.3 复相关度
复相关度是将传统相关度理论扩展到复数域，保持了其对实信号的应用性，同时实现了复信号处理[20]。在实际应用中，通信中经常使用复信号。通过结合复数值核函数，它可以同时处理信号的幅度和相位信息。这里，两个复变量z1和z2的复相关度定义为
(5)v2σccz1,z2=eκ2σccz1-z2
其中z1=x1+jy1，z2=x2+jy2是复随机变量，κ2σcc表示复核函数，σ表示核带宽。如果选择复高斯核函数，则复相关度的相应表达式为：
(6)κ2σccz1-z2=g2σcz1-z2=1/2πσ2exp(-z1-z2/2σ2)
从(6)可以看出，当z1或z2包含高幅度脉冲噪声时，它们的差异会变得很大。由于这个差异出现在高斯函数的负指数项中，因此得到的相关度值会非常小。这解释了为什么相关度可以有效抑制脉冲噪声。然而，当z1和z2都是具有相似幅度的脉冲噪声时，它们的差异会变小，导致相关度值过大。这种过高的值可能会扭曲信号相似性的测量。因此，传统相关度无法解决抑制具有相似幅度的连续脉冲噪声的问题。
在实际应用中，由于脉冲噪声的随机性和不可测量性，单个相关度核函数对脉冲噪声的抑制能力不足。因此，混合复相关度函数表示为[21]，[22]：
(7)v2σmccz1,z2=eκ2σmccz1-z2=eλ1κ2σ1ccz1-z2+λ2κ2σ2ccz1-z2
其中κ2σ1ccz1-z2和κ2σ2ccz1-z2表示方程(6)中的复高斯核函数，参数λ1和λ2满足0≤λ1,λ2≤1，分别代表κ2σ1ccz1-z2和κ2σ2ccz1-z2的比例。从混合复相关度的公式可以看出，当参数λ1=0或λ2=0时，v2σmccz1,z2将退化为单核最大复相关度。
从(7)可以看出，当出现高幅度脉冲噪声时，混合相关度函数会产生较小的值，从而有效抑制脉冲噪声。然而，与传统相关度类似，混合相关度函数仍然无法解决抑制具有相似幅度的连续噪声的问题。

2.4 加权混合复相关度核函数
本节首先介绍wmcc的定义，然后分析其核心创新。>**动态加权机制**

为了克服这一限制，本文提出了一种改进的加权混合复相关函数（WMCC），通过增强混合相关函数来实现，如下方程所示：
$$
V_2\sigma_{WMCC}(Z_1, Z_2) = \frac{E_{\lambda_1}\exp\left(-\frac{Z_1 - Z_2}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-\frac{Z_1 - Z_2}{2\sigma_2^2}\right)}{\sigma_3}
$$
其中 $\sigma_3$ 表示核带宽，$E_{\lambda_1}\exp\left(-\frac{Z_1 - Z_2}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-\frac{Z_1 - Z_2}{2\sigma_2^2}\right)$ 是动态加权项。动态加权机制旨在根据信号之间的幅度差异自适应地调整每个核成分的贡献。具体来说，当两个信号的幅度相似时，加权项 $E_{\lambda_1}\exp\left(-\frac{Z_1 - Z_2}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-\frac{Z_1 - Z_2}{2\sigma_2^2}\right)$ 会动态降低相关值，从而解决了传统相关函数在抑制具有相似幅度的连续脉冲噪声时的局限性。通过将这种机制与复高斯核结合使用，所提出的 WMCC 函数不仅保留了相位信息，还在复杂环境中实现了更好的噪声抑制效果。这种组合使我们的工作与以往的研究区分开来，例如仅关注幅度的单核相关函数（SKC）或缺乏自适应加权的高斯混合相关函数（GMC）。

**基于 WMCC 的成本函数**

在实际应用中，两个随机变量的联合分布函数通常是未知的，需要从有限样本中估计。在这种情况下，离散形式表示为：
$$
V_{\sigma_{WMCC}}(Z_1, Z_2) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \lambda_1\exp\left(-\frac{Z_i}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-\frac{Z_i}{2\sigma_2^2}\right)}\sigma_3
$$
其中 $Z_i = Z_1 - Z_2$。$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 表示核带宽。

为了提高 PAST 算法在低空复杂噪声环境中的子空间跟踪性能，本文提出了一种使用加权最大混合复相关（WMMCC）标准的改进成本函数。推导出的基于 WMMCC 的成本函数表示为：
$$
J_{WMMCC}(W) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \beta_{t-i}\lambda_1\exp\left(-\frac{X_i}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-\frac{X_i}{2\sigma_2^2}\right)}W_t\sigma_3
$$
其中 $X_i = X_i - W_tY_i$，$y(t) = WH(t-1)X(t)$。由于所提出的成本函数 $J_{WMMCC}(W)$ 是实数值的，但定义在复数值变量 $X, W, Y$ 上，我们采用 Wirtinger 微积分来计算梯度。在这个框架中，复变量 $W$ 及其共轭 $W^*$ 被视为独立的，从而能够在复数域中进行正确的导数计算。

**基于 WMMCC 标准的 PAST 算法**

PAST 是一种低复杂度的自适应子空间估计算法。它通过递归最小二乘（RLS）标准动态更新信号子空间，并广泛应用于实时跟踪场景，如雷达方向估计 [7], [8]。该算法的核心优势在于其递归更新机制，能够在保持低计算复杂性的同时高效跟踪信号子空间的变化。这使得它特别适合具有严格时间要求的实时信号处理应用。即使是没有高级信号处理背景的从业者也能容易理解其作为高效实时子空间跟踪工具的基本作用。

**2.4.2.2. 基于 WMCC 的成本函数**

在实际应用中，两个随机变量的联合分布函数通常是未知的，需要从有限样本中估计。在这种情况下，离散形式表示为：
$$
V_{\sigma_{WMCC}}(Z_1, Z_2) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \lambda_1\exp\left(-\frac{Z_i}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-\frac{Z_i}{2\sigma_2^2}\right)\sigma_3
$$
其中 $Z_i = Z_1 - Z_2$。$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 表示核带宽。

为了提高 PAST 算法在低空复杂噪声环境中的子空间跟踪性能，本文提出了一种使用加权最大混合复相关（WMMCC）标准的改进成本函数。推导出的基于 WMMCC 的成本函数表示为：
$$
J_{WMMCC}(W) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \beta_{t-i}\lambda_1\exp\left(-\frac{X_i}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-\frac{X_i}{2\sigma_2^2}\right)}W_t\sigma_3
$$
其中 $X_i = X_i - W_tY_i$，$y(t) = WH(t-1)X(t)$。由于所提出的成本函数 $J_{WMMCC}(W)$ 是实数值的，但定义在复数值变量 $X, W, Y$ 上，我们采用 Wirtinger 微积分来计算梯度。在这个框架中，复变量 $W$ 及其共轭 $W^*$ 被视为独立的，从而能够在复数域中进行正确的导数计算。

**3. 基于 WMMCC 标准的 PAST 算法**

PAST 是一种低复杂度的自适应子空间估计算法。它通过递归最小二乘（RLS）标准动态更新信号子空间，并广泛应用于实时跟踪场景，如雷达方向估计 [7], [8]。该算法的核心优势在于其递归更新机制，能够在保持低计算复杂性的同时高效跟踪信号子空间的变化。这使得它特别适合具有严格时间要求的实时信号处理应用。即使是没有高级信号处理背景的从业者也能容易理解其作为高效实时子空间跟踪工具的基本作用。

**3.1. RLS-PAST 算法**

Bin Yang 提出了 PAST 算法，该算法通过最小化成本函数来估计信号子空间。这个成本函数基于递归最小二乘（RLS）估计建立，表示为：
$$
J_{PAST}(W) = \sum_{n=1}^t \beta_{t-n}\left(X_n - W_t\right)^2
$$
其中 $W_t$ 表示信号子空间的基矩阵，$\beta$ 是遗忘因子（$0<\beta<1$），$Y_n = WH_{t-1}X_n$ 是投影近似向量。PAST 算法可以在表 1 中总结。

**表 1. PAST 算法**

**初始化：** 选择 $W_0$，$V(0) = I$
**递归：** 给定 $W_{t-1}$、$V_{t-1}$ 和 $X_t$，计算在快照 $t$ 时的值：
$$
t_y(t) = W_{t-1}X(t)
e_t = X_t - W_{t-1}
y_t = V(t-1)y(t)
\beta_y(t) = V(t-1)y(t)
V(t) = \frac{1}{\beta}V(t-1) - V(t-1)y(H(t)
k(t) = W_t = W_{t-1} + e_t
k_H(t)
$$

RLS 算法容易受到脉冲噪声的影响，因为它依赖于二阶统计理论。如前所述，稳定分布没有有限的二阶矩，因此在稳定噪声环境中 PAST 算法的性能会下降。

**3.2. 基于 WMMCC 标准的改进 PAST 算法**

使用 Wirtinger 微积分计算 WMMCC 成本函数相对于复矩阵 $W$ 的梯度，确保在复变量设置中的正确性。通过应用 Wirtinger 导数和链式法则，得到 $J_{WMMCC}(W)$ 相对于 $W$ 的梯度如下：
$$
\nabla_{W}J_{WMMCC} = -\sum_{i=1}^t \beta_{t-i}\lambda_1\sigma_1^2\exp\left(-\frac{X_i}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\sigma_2^2}\exp\left(-\frac{X_i}{2\sigma_2^2}\right)\exp\left(-x_i\right) + W_y(i)\sigma_3\cdot e_i y_H(i) + \nabla_{W}J_p
$$
其中 $\nabla_{W}J_p$ 是幅度加权项的梯度，表示为：
$$
\nabla_{W}J_p = \nabla_{W}\exp\left(-x_i\right) + W_y(i)\sigma_3 = -\sigma_3\exp\left(-x_i\right) + W_y(i)\sigma_3\cdot W_y(i)y_H(i)
$$
设 $\gamma_i = \lambda_1\sigma_1^2\exp\left(-\frac{X_i}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\sigma_2^2}\exp\left(-x_i\right)\sigma_3$，结合 $\nabla_{W}J_p$ 的表达式，$\nabla_{W}J_{WMMCC}$ 可以写为：
$$
\nabla_{W}J_{WMMCC} = -\sum_{i=1}^t \beta_{t-i}\gamma_i e_i y_H(i) + \sigma_3 W_y(i)y_H(i)
$$
由于梯度 $\nabla_{W}J_p$ 是非线性和复数的，通常采用固定点近似。在单次迭代步骤中，$W$ 的变化 $\Delta W = W_t - W_{t-1}$ 很小。因此，在使用 $W_{t-1}$ 计算 $W_y(i)$ 时，$W_y(i) \approx W_{t-1}y(i)$ 被视为常数。尽管 $\sigma_3 W_y(i)y_H(i)$ 项有助于进一步限制 $W_y(i)$ 的增长，但幅度加权项 $W_y(i)$ 在 $\gamma_i$ 范围内已经隐式地抑制了这种增长。因此，可以忽略幅度加权项相对于 $W$ 的梯度，其效果完全由权重 $\gamma_i$ 所捕获。

**4. 算法的理论分析**

**4.1. WMMCC-PAST 的收敛性**

所有期望值、泰勒展开和凸性分析在这个框架下都是有效的。即使 $e$ 是复数，平方幅度 $|e|^2$ 也是一个实数标量，因此指数函数仍然是实数值且可微的。为了确保在推导界限和近似值时的数学严谨性，我们在本节中采用了 Wirtinger 导数。尽管目标函数是实数值的（例如，涉及像 $\exp\left(-|e|^2/\sigma_2\right)$ 这样的项），但其参数（包括残差误差 $e = X - X^*$）是复数值的。

**4.1.1. 理论假设**

**假设 1（信号和噪声）：**
(1) 信号模型：信号 $s_t$ 是独立同分布（i.i.d.）的，协方差矩阵 $C_s = E[s(t)s^H(t)]$ 是满秩的，确保信号子空间的可识别性。
(2) 噪声模型：复噪声 $n_t$ 遵循对称的 $\alpha$-稳定分布（复数 SαS），其特征函数为 $\exp(-\gamma|u|^\alpha)$，其中 $\alpha \in (1,2]$ 且 $\gamma > 0$。复数 SαS 噪声的实部和虚部分别是独立同分布的，每个都是具有重尾特性和无限方差的单变量 SαS 噪声。

**4.1.2. 收敛性分析**

**定理 1（均方收敛）：** 在假设 1–2 下，如果存在常数 $\mu > 0$ 和 $\rho \in (0,1)$，使得对于任何 $p \in (1, \alpha)$，算法满足：
$$
E_W(t) - W_{opt}^F_p \leq \rho_t W(0) - W_{opt}^F_p + C\gamma_p/(\alpha - 1-\rho)
$$
其中 $W_{opt}$ 表示最优子空间矩阵，$C$ 是与 $\beta, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 相关的常数。

**证明：**
(1) 错误动态方程：首先定义误差矩阵 $E(t) = W(t) - W_{opt}$，它表征了估计子空间与真实子空间之间的差异。根据 WMMCC-PAST 算法的更新公式，误差矩阵的更新方程可以表示为：
$$
E(t) = W(t-1) + \gamma(t)e(t)k_H(t) - W_{opt} = W(t-1) - W_{opt} + \gamma(t)e(t)k_H(t)
$$

**分数阶李雅普诺夫函数：** 李雅普诺夫函数是分析系统稳定性和收敛性的关键工具 [23]。然而，传统的整数阶李雅普诺夫函数无法有效处理复对称 $\alpha$-稳定（SαS）噪声，因为不存在更高阶的矩。相比之下，分数阶李雅普诺夫函数可以自然地适应复数 SαS 噪声的特性，从而为后续分析提供适当的框架。为了严格建立算法的收敛性质，我们使用分数阶李雅普诺夫函数 [24]，定义如下：
$$
L_t = E_tF_p, \quad p \in (1, \alpha)
$$
当 $p < \alpha$ 时，复数 SαS 噪声的 $p$-阶矩是有限的，$Ent_p \leq C_p\gamma_p/\alpha$。根据误差动态方程 $E(t) = E(t-1) + \gamma(t)e(t)k_H(t)$，我们有：
$$
\Delta L(t) = E(t-1) + \gamma(t)e(t)k_H(t)F_p - \|E(t-1)\|F_p
$$
对 $\|·\|F_p$ 进行一阶泰勒展开，我们有：
$$
E(t-1) + \Delta E \approx \|E(t-1)\|F_p + p\|E(t-1)\|F_p - 2\tr EH(t-1)\Delta E
$$
使用矩阵迹的循环置换性质：
$$
\tr EH(t-1)e(t)k_H(t) = \tr k_H(t)EH(t-1)e(t) = k_H(t)EH(t-1)e(t)
$$
因此，$\Delta L(t) \approx p\gamma(t)E(t-1)F_p - 2\k_H(t)EH(t-1)e(t)$，我们应用柯西-施瓦茨不等式来限制内积：
$$
k_H(t)EH(t-1)e(t) \leq \|k(t)\| \cdot \|E(t-1)\|F\| \cdot \|e(t)\|
$$
我们可以得到：
$$
\Delta L(t) \leq p\gamma(t)E(t-1)F_p - 1\cdot e(t)\cdot k(t)
$$
将 $e(t)$ 分解为 $e(t) = I - W(t-1)W(t-1)n(t) - E(t-1)y^*(t)$，其范数满足 $e(t) \leq n(t) + E(t-1)F\cdot y^*(t)$，保留泰勒展开的二阶余项并引入噪声的 $p$-阶矩，我们可以得到：
$$
\Delta L(t) \leq p\gamma(t)E(t-1)F_p - 1\cdot e(t)\cdot k(t) + C_p\gamma(t)k(t)p + n(t)p
$$
**差异不等式的分析：** 利用复数 SαS 噪声的分数阶矩的有界性，并结合信号独立性的假设，期望运算可以分解为：
$$
E\Delta L(t) \leq -\mu E_{E(t-1}F_p + C\gamma_p/\alpha
$$
这里，$\mu = \lambda_{\min}(C_s)\cdot \gamma_{\min}$，其中 $\gamma_{\min}$ 是 $V_t$ 的最小特征值。通过展开公式 (30)，我们可以得到：
$$
E\Delta L(t) \leq \mu E_{E(t-1}F_p + C\gamma_p/\alpha
$$
根据上述期望不等式和差异不等式的递归展开，我们可以得到：
$$
E\Delta L(t) \leq \rho_t E(t)F_p + C\gamma_p/(\alpha - 1-\rho)
$$
其中 $C$ 表示一个综合常数，满足 $C = C_p\cdot K(\beta, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$。根据误差矩阵方程，我们可以重写 (32) 为：
$$
E_W(t) - W_{opt}^F_p \leq \rho_t W(0) - W_{opt}^F_p + C\gamma_p/(\alpha - 1-\rho)
$$
因此，这证明了所提出的算法是收敛的，意味着子空间估计矩阵 $W_t$ 与真实子空间 $W_{opt}$ 之间的误差随时间逐渐减小并在均方意义上稳定。

**4.2. WMCC 函数的有界性**

以下是 WMCC 函数在 $\alpha$-稳定分布噪声下有界性的证明。

对于 (8)，WMCC 的期望值转换为积分表达式：
$$
V_{\sigma_{WMCC}z = \int_{-\infty}^{\infty} \lambda_1\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-z^2\sigma_2^2\right)\exp\left(-Z_1 + Z_2\sigma_3\right)f_z dz
$$
$$
\leq \int_{-\infty}^{\infty} \lambda_1\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_1^2} + \lambda_2\exp\left(-z^2\sigma_2^2\right)\exp\left(-Z_1 - Z_2\sigma_3\right)f_z dz = \int_{-\infty}^{\infty} \lambda_1\exp\left(-z^2\sigma_1^2\right)\exp\left(-z\sigma_3\right)f_z dz
$$
$$
z = Z_1 - Z_2
$$
对称 $\alpha$-稳定噪声的特征函数为 $\phi(\omega) = \exp(-\gamma| \omega|^\alpha)$，其中 $\alpha \in (1,2)$ [13]。其概率密度函数 $f_z$ 通过逆傅里叶变换获得：
$$
f_z = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(\omega)e^{-j\omega z} dz
$$
将 $f_z$ 的表达式代入 $V_{\sigma_{WMCC}z$ 的方程中，我们得到：
$$
V_{\sigma_{WMCC}z = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \lambda_1\exp\left(-z^2\sigma_1^2\right)\exp\left(-z\sigma_3\right)\exp\left(-z\sigma_3\right)e^{-j\omega z}\exp(-\gamma| \omega|^\alpha) dz
$$
使用 $e^{-j\omega z} = \cos(\omega z) - j\sin(\omega z)$，由于虚部是奇函数且其积分为零，我们可以得到：
$$
V_{\sigma_{WMCC}z = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \lambda_1\exp\left(-z^2\sigma_1^2\right)\exp\left(-z\sigma_3\right)\exp\left(-\gamma| \omega|^\alpha\right)\cos(\omega z) dz
$$
将 $V_{\sigma_{WMCC}z$ 分解为 $V_1z$ 和 $V_2z$，并设置：
$$
V_1z = \lambda_1\pi\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_1^2}\right)\exp\left(-\|z\|^2 - \|z\|\sigma_3\right)\cos(\omega z)\exp(-\gamma| \omega|^\alpha) dz
$$
$$
V_2z = \lambda_2\pi\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_2^2}\right)\exp\left(-\|z\|^2 - \|z\|\sigma_3\right)\cos(\omega z)\exp(-\gamma| \omega|^\alpha) dz
$$
现在以 $V_1z$ 为例证明其有界性：
由于 $\cos(\omega z) \in [-1,1]$，可以使用绝对值不等式得到：
$$
V_1z \leq \lambda_1\pi\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_1^2}\right)\exp\left(-\|z\|^2 - \|z\|\sigma_3\right)\cos(\omega z) dz
$$
$$
$$
V_1z \leq \lambda_1\pi\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_1^2}\right)\exp\left(-\|z\|^2 - \|z\|\sigma_3\right)d\omega
$$
$$
$$
V_1z$ 的内积分是 $\alpha$-稳定分布的特征函数的变换。使用不等式，可以得到：
$$
\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\gamma| \omega|^\alpha\right)d\omega = \gamma^{-1}\Gamma_1 + 1\alpha
$$
$$
$V_1z$ 的外积分是关于 $z$ 的积分：
$$
\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\|z\|^2 - \|z\|\sigma_3\right)d\omega \leq \int_{0}^{\infty}\exp\left(-\|z\|\sigma_3\right)d\omega
$$
$$
因此，可以得出 $V_1z$ 满足：
$$
V_1z \leq \lambda_1\pi\cdot \sigma_3\cdot \gamma^{-1}\Gamma_1 + 1\alpha
$$
类似地，可以证明 $V_2z$ 满足：
$$
V_2z \leq \lambda_2\pi\cdot \sigma_3\cdot \gamma^{-1}\Gamma_1 + 1\alpha
$$
其中所有参数 $\sigma_3, \gamma, \alpha, \lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是正数，且 $\Gamma\cdot$ 对于正实数是有限的。由于 $\cos(\omega z) \in [-1,1]$，我们有 $-V_1z \leq V_1z \leq V_1z$ 和 $-V_2z \leq V_2z$。因此，我们可以得到：
$$
-V_1z + V_2z \leq V_{\sigma_{WMCC}z \leq V_1z + V_2z
$$
结合方程 (41)-(43)，我们可以得到：
$$
-V_{\infty} \leq -\sigma_3\gamma^{-1}\Gamma_1 + 1\alpha\pi(\lambda_1 + \lambda_2) \leq V_{\sigma_{WMCC}z \leq \sigma_3\gamma^{-1}\Gamma_1 + 1\alpha\pi(\lambda_1 + \lambda_2) < +\infty
$$
因此，加权混合复相关函数 $V_{\sigma_{WMCC}z$ 是有界的。

在收敛性分析中，我们将优化视为在复变量上定义的实数值成本函数的操作。使用 Wirtinger 导数确保所有梯度表达式和驻点导数在复数域中是数学上一致的。这种处理确保了理论结果在应用于复数值雷达信号时的鲁棒性和通用性。

**4.3. 算法的鲁棒性**

本节提供了 WMMCC-PAST 算法在复数 SαS 噪声环境中的详细鲁棒性分析。WMMCC-PAST 对重尾噪声的鲁棒性是通过使用混合核函数和分数阶李雅普诺夫分析实现的。

**4.3.1. 混合核函数的自适应机制**

WMMCC-PAST 算法通过混合核函数实现复数 SαS 噪声的动态抑制。当核较窄（$\sigma_1$ 较小）时，对残差 $e_t$ 敏感。当 $e_t$ 突然增加（由脉冲噪声引起）时，核值迅速衰减，减少当前更新的权重。当核较宽（$\sigma_2$ 较大）时，保持跟踪常规噪声的能力并避免算法停滞。双核的协同效应使算法能够自动减少脉冲噪声下异常样本的贡献。当观测信号 $x_t$ 被脉冲干扰时，估计误差 $e_t$ 的范数显著增加。根据 $\gamma(t)$ 的公式，指数项的快速衰减特性导致 $\gamma(t)$ 减小。从更新公式 k(t)=V(t-1)y(t)β/γ(t)+yH(t)V(t-1)y(t) 可以看出，较小的 γ(t) 会降低 kt 的幅度，从而减弱噪声对 Wt 更新的影响，并抑制脉冲异常值对估计子空间的干扰。4.3.2 分数阶李雅普诺夫分析的理论保证在收敛性证明中，引入分数阶李雅普诺夫函数 L(t)=E(t)Fp（其中 p∈(1,α)）从理论上确保了算法的噪声鲁棒性。复数 SαS 噪声的无限方差特性使得传统的整数阶分析方法失效。相比之下，分数阶李雅普诺夫框架限制 p<α，将噪声的分数阶矩限制在 en(t)p≤cpγp/α 内。这使得可以在收敛定理中构建一个有限的上界（见定理 1）。因此，算法可以将噪声引起的估计误差收敛到一个与噪声强度 γ 相关的有限值，避免由脉冲干扰引起的发散。当真实信号子空间发生变化或模型不匹配时，误差矩阵 e(t)=w(t)-wopt 的动态行为决定了算法的鲁棒性。根据收敛定理 ew(t)-woptfp≤ρtw(t)-woptfp+cγp/α1-ρ，即使初始估计 w0 与真实子空间偏离或 wopt 随时间缓慢变化，误差的 p-阶矩仍然会以 ρt 的速率指数级衰减，并最终收敛到一个稳态值。这意味着算法能够适应信号子空间的变化，并对模型不匹配具有一定的容忍度。理论分析表明，wmmcc-past 算法通过混合核函数和分数阶分析实现了对复数 sαs 噪声的强鲁棒性。这种鲁棒性机制为复杂电磁环境中的实时子空间跟踪提供了严格的数学保证。4.4. 计算复杂性分析及其与雷达应用的相关性4.4.1 计算复杂性分析本节分析了经典 past 算法、skc-past、gmc-past、ec-rls 以及提出的 wmmcc-past 的计算复杂性。经典 past 算法的时间复杂度为 o(nr)，其中 n 表示信号维度，r 表示估计子空间的维度。这种复杂性主要来源于核心矩阵 w(t) 的更新操作。skc-past 算法将最大相关熵准则（mcc）纳入经典 past 中，将时间复杂度提高到 o(nr+kn)。这里，k 表示高斯核计算所需的迭代次数，主要消耗在实时核值评估上，这涉及到误差向量的额外 l2-范数计算。gmc-past 由于其双高斯核混合架构，将复杂度进一步提高到 o(nr+2kn)。额外的计算开销来自并行核评估，这提高了噪声鲁棒性，但也延长了迭代时间。ec-rls 算法的计算复杂性涉及权重的递归更新和空间谱搜索。注意 ppp 表示空间谱搜索中的搜索角度数量，npn_pnp 表示权重向量更新的迭代次数，mmm 表示阵列元素的数量，kkk 表示快照的数量。时间复杂度为 onp(3m2-3m+4)+(k-np)2m+mp。提出的 wmmcc-past 在混合核结构的基础上引入了动态加权机制，最终复杂度为 onr+2k+1n。权重因子需要实时计算输入信号与投影分量之间的范数，增加了时间复杂性，但在表 3 中显著提高了脉冲噪声的抑制能力。表 3 总结了所比较算法的计算复杂性。wmcc-past 由于采用了动态加权并涉及残差范数和输入能量，因此复杂度较高，旨在提高在脉冲噪声下的鲁棒性。相比之下，ec-rls 通过屏蔽大误差实现了相对较低的复杂性，尽管它没有明确建模重尾噪声。这两种方法反映了不同的设计优先级：wmcc-past 专注于 α-稳定环境下的鲁棒性，而 ec-rls 强调在高斯类噪声下的效率。4.4.2 对雷达应用的相关性和重要性上述计算复杂性分析对实际雷达系统的设计具有重要的指导意义：除了计算可行性之外，wmmcc-past 在 α-稳定噪声分布下的鲁棒性对于现实世界的雷达部署尤为重要。在现实世界场景中，雷达平台——尤其是机载或低空系统——经常面临故意干扰、杂波边缘情况或多源电磁干扰，这些都会产生脉冲非高斯噪声特征。这种重尾干扰与 α-稳定模型非常吻合，该模型已在雷达杂波建模、ecm 环境和低信噪比下的弱信号检测中得到验证 [12]、[13]、[23]。因此，该算法对 α-稳定噪声的鲁棒性直接支持其在关键雷达任务中的部署，如 lpi 目标跟踪和抗干扰子空间估计。(1) 实时处理的可行性评估（每个快照的 onr+2k+1n）：这里，n 通常表示接收通道（阵列元素）的数量，这是现代相控阵/mimo 雷达的关键参数；r 表示目标或干扰源的数量（或等效子空间维度），通常远小于 n（r?n）；k 是与算法中的滑动窗口或滤波相关的固定参数（例如，窗口长度或滤波器阶数，通常是常数）。每个快照的复杂度 onr+2k+1n 可以简化为 onr+2k+1。由于 k 是常数，复杂性本质上与阵列元素数量 n 成线性关系。这意味着处理每个雷达回波快照的计算负载与 n 成线性比例，额外的项 2k+1n 不会改变整体线性增长趋势（因为其依赖于 n 的部分保持线性）。这对于大规模阵列雷达（例如，具有数百或数千个元素）的实时性能评估至关重要：工程师可以根据 n、r 和 k 直接估计每个快照的处理时间，并结合雷达的脉冲重复频率（prf）和硬件计算能力（例如 fpga、gpu 或 dsp）来确定是否满足实时延迟要求。(2) 处理大量数据和长时间观测（总体复杂度 onr+2k+1n）：t 表示快照的总数（数据长度），这与雷达的相干积分时间、扫描停留时间或连续跟踪持续时间直接相关。总体复杂度可以简化为 onr+2k+1t，表明总计算开销与快照数量 t 成线性比例，并保持与阵列元素数量 n 的线性依赖关系。这对于需要长时间观测的场景（例如，高分辨率成像、弱目标检测）或高数据速率（例如，宽带雷达）至关重要：它使设计者能够估计完成整个处理任务（例如，一帧数据或一次扫描）所需的总计算资源和时间，为硬件资源分配（cpu 核心、内存带宽）和任务调度提供定量基础。由于 2k+1 是常数，即使 t 增加，总体复杂性也保持线性可扩展，避免了与高阶复杂性相关的计算爆炸风险。(3) 适应系统规模扩展（在 (r?n) 条件下的可扩展性）：在 (r?n) 的条件下，每个快照的复杂度 onr+2k+1n 接近 onr，表明算法可以有效地适应雷达系统规模的扩大。当通过增加阵列元素数量 n 来提升雷达系统的增益、分辨率和抗干扰能力时，算法的计算负担仅与 n 成线性增加，而不是更高阶（例如 o(n2) 或 o(n3)）。额外的项 2k+1n 与 n 成线性依赖，不会改变这种可扩展性。这种计算效率是部署大型先进雷达系统（例如，下一代防空雷达、基于空间的监视雷达）时的关键考虑因素，确保改进的雷达性能不会受到计算瓶颈的限制。5. 仿真结果为了便于重现性和提高实验设置的清晰度，我们在两个表中总结了关键的仿真配置。表 4 展示了适用于所有实验的全局仿真环境。表 5 列出了在不同噪声条件下评估算法鲁棒性和准确性时使用的特定于图的参数变化（如 gsnr 和 α）。表 4. 仿真环境和全局参数设置。参数值雷达阵列均匀线性阵列（ula），9 个元素，半波长间距三个目标的到达角（doa）?θ1：随时间 t 从 20° 线性变化到 40°；?θ2：随时间 t 从 40° 线性变化到 20°；?θ3：固定在 10° 不变。快照数量200蒙特卡洛运行200次试验基准算法past、plom-past、mcc-past评估指标均方根误差（rmse）、主角度误差、子空间相似性噪声α = 1.4，gsnr = 10 db表 5. 每个实验的特定变量参数设置。图变量参数固定参数图 5（rmse 与 gsnr）gsnr：5 db 到 30 dbα = 1.2图 8（rmse 与 α）α：1.1 到 1.9gsnr = 10 db图 9（rmse 与 gsnr）gsnr：5 db 到 30 dbα = 1.4图 10?目标 1：方位角从 20° 线性变化到 40°，仰角从 30° 线性变化到 50°；?目标 2：方位角从 40° 线性变化到 20°，仰角从 40° 线性变化到 60°（相位相反）；?目标 3：方位角固定在 10°，仰角从 10° 线性变化到 30°。为了定量验证所提出方法的有效性，我们进行了基于 rmse 和主角度误差的基准比较，与几种代表性算法进行了对比，包括 past、plom-past 和 mcc-past。仿真结果表明，wmmcc-past 在 α-稳定噪声环境下实现了更优的估计准确性和鲁棒性[12]、[13]、[14]。在本节中，使用时变 doa 估计问题评估了每种 past 算法的性能。三个独立的窄带平面波入射源的入射方向角分别为 θ1、θ2 和 θ3。入射信号设置为 qpsk（正交相移键控）信号。5.1. 仿真 1：wmcc 的性能分析在这个仿真中，我们比较了单核相关熵（skc）、高斯混合相关熵（gmc）和加权混合复相关熵（wmcc）在抑制脉冲噪声方面的性能。参数设置为 α = 1.5 和 gsnr = 10 db。图 2 展示了三种相关熵的值。可以观察到，由于加权约束，wmcc 在 x=0 处出现凹陷。当两个信号的脉冲幅度非常接近时（即 x=z1-z2≈0），加权项会降低它们的相关熵值，从而抑制幅度相似的脉冲噪声。在脉冲噪声环境中，传统的 skc 和 gmc 可能会将幅度相似的噪声错误分类为有效信号，无法抑制幅度相当的连续脉冲噪声。wmcc 在这种情况下主动降低相关熵值，避免了不匹配。下载：下载高分辨率图像（134kb）下载：下载全尺寸图像图 2. 相关熵函数的比较。接下来，研究了三种方法对复脉冲噪声的抑制效果，如图 3 所示。图 3(a) 显示了包含脉冲噪声的两种复信号。图 3(b) 显示了三种类型的相关熵值。全局曲线中，由于缩放，脉冲细节可能被压缩，在图 3(b) 中难以观察。图 3(c) 放大了一个代表性的脉冲区域，以比较每种方法的瞬态响应。垂直轴保留了与图 3(b) 相同的标签“相关熵”，从而可以直接比较脉冲噪声下的响应平滑度和抑制延迟。下载：下载高分辨率图像（608kb）下载：下载全尺寸图像图 3. 脉冲噪声下的信号相关熵比较。放大视图显示 wmcc 的脉冲轮廓更平滑，表明其噪声抑制能力更优。为了评估，脉冲噪声被定义为幅度超过标准差三倍的信号，抑制比计算为 sr=10log10κ非脉冲区域/κ脉冲区域。从图 3 可以观察到，skc 的曲线对异常值非常敏感，因为其依赖于单个核，导致鲁棒性较弱。gmc 的曲线可能比 mcc 更平滑，因为多核混合可以适应不同规模的误差，但其相位信息的处理仍然有限。wmcc 的曲线更平滑，表明其噪声抑制能力优于比较方法。基于前面图表中显示的实验结果，表 6 中呈现了三种相关熵的统计性能比较。表 6. 三种相关熵的统计性能比较。方法\指标脉冲区域 vσ非脉冲区域 vσ抑制比（db）skc1.17721.23140.45gmc1.02321.03930.62wmcc0.68610.81540.96skc 方法由于使用单个核函数而表达能力有限。核宽度 σ 的微小变化会导致相关熵值的大幅波动，使其对噪声非常敏感，无法抑制连续的高幅度脉冲干扰。此外，skc 仅评估幅度相似性，忽略相位信息，因此对于幅度相似但相位不同的信号无效。gmc 通过结合多个高斯核提高了鲁棒性，减少了对核宽度的敏感性，并能够更好地适应不同的幅度范围。 en(t)p≤cpγp α 内。这使得可以在收敛定理中构建一个有限的上界（见定理 1）。因此，算法可以将噪声引起的估计误差收敛到一个与噪声强度 γ 相关的有限值，避免由脉冲干扰引起的发散。当真实信号子空间发生变化或模型不匹配时，误差矩阵 e(t)=W(t)-Wopt 的动态行为决定了算法的鲁棒性。根据收敛定理 ew(t)-woptfp≤ρtw(t)-woptfp+cγp α1-ρ，即使初始估计 w0 与真实子空间偏离或 wopt 随时间缓慢变化，误差的 p-阶矩仍然会以 ρt 的速率指数级衰减，并最终收敛到一个稳态值。这意味着算法能够适应信号子空间的变化，并对模型不匹配具有一定的容忍度。理论分析表明，wmmcc-past 算法通过混合核函数和分数阶分析实现了对复数 sαs 噪声的强鲁棒性。这种鲁棒性机制为复杂电磁环境中的实时子空间跟踪提供了严格的数学保证。4.4. 计算复杂性分析及其与雷达应用的相关性4.4.1 计算复杂性分析本节分析了经典 past 算法、skc-past、gmc-past、ec-rls 以及提出的 wmmcc-past 的计算复杂性。经典 past 算法的时间复杂度为 o(nr)，其中 n 表示信号维度，r 表示估计子空间的维度。这种复杂性主要来源于核心矩阵 w(t) 的更新操作。skc-past 算法将最大相关熵准则（mcc）纳入经典 past 中，将时间复杂度提高到 o(nr+kn)。这里，k 表示高斯核计算所需的迭代次数，主要消耗在实时核值评估上，这涉及到误差向量的额外 l2-范数计算。gmc-past 由于其双高斯核混合架构，将复杂度进一步提高到 o(nr+2kn)。额外的计算开销来自并行核评估，这提高了噪声鲁棒性，但也延长了迭代时间。ec-rls 算法的计算复杂性涉及权重的递归更新和空间谱搜索。注意 ppp 表示空间谱搜索中的搜索角度数量，npn_pnp 表示权重向量更新的迭代次数，mmm 表示阵列元素的数量，kkk 表示快照的数量。时间复杂度为 onp(3m2-3m+4)+(k-np)2m+mp。提出的 wmmcc-past 在混合核结构的基础上引入了动态加权机制，最终复杂度为 onr+2k+1n。权重因子需要实时计算输入信号与投影分量之间的范数，增加了时间复杂性，但在表 3 中显著提高了脉冲噪声的抑制能力。表 3 总结了所比较算法的计算复杂性。wmcc-past 由于采用了动态加权并涉及残差范数和输入能量，因此复杂度较高，旨在提高在脉冲噪声下的鲁棒性。相比之下，ec-rls 通过屏蔽大误差实现了相对较低的复杂性，尽管它没有明确建模重尾噪声。这两种方法反映了不同的设计优先级：wmcc-past 专注于 α-稳定环境下的鲁棒性，而 ec-rls 强调在高斯类噪声下的效率。4.4.2 对雷达应用的相关性和重要性上述计算复杂性分析对实际雷达系统的设计具有重要的指导意义：除了计算可行性之外，wmmcc-past 在 α-稳定噪声分布下的鲁棒性对于现实世界的雷达部署尤为重要。在现实世界场景中，雷达平台——尤其是机载或低空系统——经常面临故意干扰、杂波边缘情况或多源电磁干扰，这些都会产生脉冲非高斯噪声特征。这种重尾干扰与 α-稳定模型非常吻合，该模型已在雷达杂波建模、ecm 环境和低信噪比下的弱信号检测中得到验证 [12]、[13]、[23]。因此，该算法对 α-稳定噪声的鲁棒性直接支持其在关键雷达任务中的部署，如 lpi 目标跟踪和抗干扰子空间估计。(1) 实时处理的可行性评估（每个快照的 onr+2k+1n）：这里，n 通常表示接收通道（阵列元素）的数量，这是现代相控阵 mimo 雷达的关键参数；r 表示目标或干扰源的数量（或等效子空间维度），通常远小于 n（r?n）；k 是与算法中的滑动窗口或滤波相关的固定参数（例如，窗口长度或滤波器阶数，通常是常数）。每个快照的复杂度 onr+2k+1n 可以简化为 onr+2k+1。由于 k 是常数，复杂性本质上与阵列元素数量 n 成线性关系。这意味着处理每个雷达回波快照的计算负载与 n 成线性比例，额外的项 2k+1n 不会改变整体线性增长趋势（因为其依赖于 n 的部分保持线性）。这对于大规模阵列雷达（例如，具有数百或数千个元素）的实时性能评估至关重要：工程师可以根据 n、r 和 k 直接估计每个快照的处理时间，并结合雷达的脉冲重复频率（prf）和硬件计算能力（例如 fpga、gpu 或 dsp）来确定是否满足实时延迟要求。(2) 处理大量数据和长时间观测（总体复杂度 onr+2k+1n）：t 表示快照的总数（数据长度），这与雷达的相干积分时间、扫描停留时间或连续跟踪持续时间直接相关。总体复杂度可以简化为 onr+2k+1t，表明总计算开销与快照数量 t 成线性比例，并保持与阵列元素数量 n 的线性依赖关系。这对于需要长时间观测的场景（例如，高分辨率成像、弱目标检测）或高数据速率（例如，宽带雷达）至关重要：它使设计者能够估计完成整个处理任务（例如，一帧数据或一次扫描）所需的总计算资源和时间，为硬件资源分配（cpu 核心、内存带宽）和任务调度提供定量基础。由于 2k+1 是常数，即使 t 增加，总体复杂性也保持线性可扩展，避免了与高阶复杂性相关的计算爆炸风险。(3) 适应系统规模扩展（在 (r?n) 条件下的可扩展性）：在 (r?n) 的条件下，每个快照的复杂度 onr+2k+1n 接近 onr，表明算法可以有效地适应雷达系统规模的扩大。当通过增加阵列元素数量 n 来提升雷达系统的增益、分辨率和抗干扰能力时，算法的计算负担仅与 n 成线性增加，而不是更高阶（例如 o(n2) 或 o(n3)）。额外的项 2k+1n 与 n 成线性依赖，不会改变这种可扩展性。这种计算效率是部署大型先进雷达系统（例如，下一代防空雷达、基于空间的监视雷达）时的关键考虑因素，确保改进的雷达性能不会受到计算瓶颈的限制。5. 仿真结果为了便于重现性和提高实验设置的清晰度，我们在两个表中总结了关键的仿真配置。表 4 展示了适用于所有实验的全局仿真环境。表 5 列出了在不同噪声条件下评估算法鲁棒性和准确性时使用的特定于图的参数变化（如 gsnr 和 α）。表 4. 仿真环境和全局参数设置。参数值雷达阵列均匀线性阵列（ula），9 个元素，半波长间距三个目标的到达角（doa）?θ1：随时间 t 从 20° 线性变化到 40°；?θ2：随时间 t 从 40° 线性变化到 20°；?θ3：固定在 10° 不变。快照数量200蒙特卡洛运行200次试验基准算法past、plom-past、mcc-past评估指标均方根误差（rmse）、主角度误差、子空间相似性噪声α=1.4，GSNR = 10 db表 5. 每个实验的特定变量参数设置。图变量参数固定参数图 5（rmse 与 gsnr）gsnr：5 db 到 30 dbα=1.2图 8（rmse 与 α）α：1.1 到 1.9gsnr=10 db图 9（rmse 与 gsnr）gsnr：5 db 到 30 dbα=1.4图 10?目标 1：方位角从 20° 线性变化到 40°，仰角从 30° 线性变化到 50°；?目标 2：方位角从 40° 线性变化到 20°，仰角从 40° 线性变化到 60°（相位相反）；?目标 3：方位角固定在 10°，仰角从 10° 线性变化到 30°。为了定量验证所提出方法的有效性，我们进行了基于 rmse 和主角度误差的基准比较，与几种代表性算法进行了对比，包括 past、plom-past 和 mcc-past。仿真结果表明，wmmcc-past 在 α-稳定噪声环境下实现了更优的估计准确性和鲁棒性[12]、[13]、[14]。在本节中，使用时变 doa 估计问题评估了每种 past 算法的性能。三个独立的窄带平面波入射源的入射方向角分别为 θ1、θ2 和 θ3。入射信号设置为 qpsk（正交相移键控）信号。5.1. 仿真 1：wmcc 的性能分析在这个仿真中，我们比较了单核相关熵（skc）、高斯混合相关熵（gmc）和加权混合复相关熵（wmcc）在抑制脉冲噪声方面的性能。参数设置为 α=1.5 和 gsnr=10 db。图 2 展示了三种相关熵的值。可以观察到，由于加权约束，wmcc 在 x=0 处出现凹陷。当两个信号的脉冲幅度非常接近时（即 x=Z1-Z2≈0），加权项会降低它们的相关熵值，从而抑制幅度相似的脉冲噪声。在脉冲噪声环境中，传统的 skc 和 gmc 可能会将幅度相似的噪声错误分类为有效信号，无法抑制幅度相当的连续脉冲噪声。wmcc 在这种情况下主动降低相关熵值，避免了不匹配。下载：下载高分辨率图像（134kb）下载：下载全尺寸图像图 2. 相关熵函数的比较。接下来，研究了三种方法对复脉冲噪声的抑制效果，如图 3 所示。图 3(a) 显示了包含脉冲噪声的两种复信号。图 3(b) 显示了三种类型的相关熵值。全局曲线中，由于缩放，脉冲细节可能被压缩，在图 3(b) 中难以观察。图 3(c) 放大了一个代表性的脉冲区域，以比较每种方法的瞬态响应。垂直轴保留了与图 3(b) 相同的标签“相关熵”，从而可以直接比较脉冲噪声下的响应平滑度和抑制延迟。下载：下载高分辨率图像（608kb）下载：下载全尺寸图像图 3. 脉冲噪声下的信号相关熵比较。放大视图显示 wmcc 的脉冲轮廓更平滑，表明其噪声抑制能力更优。为了评估，脉冲噪声被定义为幅度超过标准差三倍的信号，抑制比计算为 sr=10log10κ非脉冲区域/κ脉冲区域。从图 3 可以观察到，skc 的曲线对异常值非常敏感，因为其依赖于单个核，导致鲁棒性较弱。gmc 的曲线可能比 mcc 更平滑，因为多核混合可以适应不同规模的误差，但其相位信息的处理仍然有限。wmcc 的曲线更平滑，表明其噪声抑制能力优于比较方法。基于前面图表中显示的实验结果，表 6 中呈现了三种相关熵的统计性能比较。表 6. 三种相关熵的统计性能比较。方法\指标脉冲区域 vσ非脉冲区域 vσ抑制比（db）skc1.17721.23140.45gmc1.02321.03930.62wmcc0.68610.81540.96skc 方法由于使用单个核函数而表达能力有限。核宽度 σ 的微小变化会导致相关熵值的大幅波动，使其对噪声非常敏感，无法抑制连续的高幅度脉冲干扰。此外，skc 仅评估幅度相似性，忽略相位信息，因此对于幅度相似但相位不同的信号无效。gmc>然而，该方法在抑制连续的脉冲噪声方面仍然存在困难，并且相位保持能力有限，因为相位信息只是间接捕获的。所提出的WMCC通过三个关键改进解决了这些问题：（1）使用复杂的高斯核直接结合相位差异；（2）一个幅度加权项，用于抑制具有相似幅度的噪声；（3）多核融合策略，以分配灵敏度并提高鲁棒性。尽管WMCC由于其加权机制而增加了计算复杂性，但这种权衡带来了显著的性能提升，特别是在脉冲噪声和相位敏感的应用中，如LSS目标检测。总之，SKC、GMC、WMCC和EC-RLS在参数敏感性、幅度适应性、相位保持和计算效率方面存在显著差异。它们的比较特性在表7中总结。表7. 性能比较。指标\方法SKCGMCWMCCEC-RLSσ 敏感性高中等低中等幅度敏感性高中等低中等相位保持弱中等强中等计算效率高中等低高表7突出了WMCC相对于SKC、GMC和EC-RLS的比较优势。WMCC采用动态幅度-相位加权机制，能够自适应地抑制孤立和突发脉冲噪声，同时保持相位信息——这对于在α-稳定噪声下的低空目标检测至关重要。相比之下，SKC和GMC缺乏针对脉冲噪声的处理能力，这限制了它们在重尾环境中的鲁棒性。EC-RLS通过屏蔽大误差来提高估计稳定性，提供中等鲁棒性和高效收敛性。然而，它没有明确处理α-稳定脉冲噪声模型，这限制了其在复杂电磁条件下的适用性。这些差异反映了不同的设计假设：WMCC强调在脉冲环境中的噪声抗性，而EC-RLS和其他方法则优先考虑高斯噪声条件或计算效率。5.2. 仿真2：参数选择本节分析了在具有不同α和GSNR的脉冲噪声下，目标参数估计误差与WMCC参数λ、σ1、σ3之间的关系。图4显示了在α=1.4和GSNR=10 dB的脉冲噪声下目标参数估计误差的比较。从图4可以看出，σ1越大，参数估计的RMSE越小。考虑到参数σ1的值，当加权混合复相关系数λ∈[0.2, 0.7]时，算法的性能更好。虽然较大的σ值可以降低RMSE，但它引入了几个关键问题：首先，算法对非高斯噪声和异常值的鲁棒性显著降低，影响了其捕捉非线性信号特征的能力；其次，过大的σ值会过度平滑核函数的局部特性，从而降低对脉冲信号和瞬态特征的敏感性，并降低复核的相位分辨率，从而影响特征提取的准确性。下载：下载高分辨率图像（161KB）下载：下载全尺寸图像图4. 估计性能与λ和σ1的关系。图5展示了在α=1.2条件下目标参数估计的性能。如图5所示，随着σ3的减小，参数估计的RMSE降低。较小的σ3更好地保留了高频成分和瞬态特征，避免了过度平滑。然而，过小的σ3会放大脉冲噪声效应，特别是在低信噪比环境下导致输出不稳定。本文后续的仿真采用了以下参数设置：λ=0.6, σ1=3, σ2=5, σ3=0.2。下载：下载高分辨率图像（163KB）下载：下载全尺寸图像图5. RMSE与σ3的关系。5.3. 仿真3：一维角度的跟踪结果在这个仿真中，阵列输出信号向量中的加性噪声被设置为SαS分布。考虑到分数低阶稳定分布随机变量没有有限的二阶矩，GSNR定义为GSNR=10lgσs2/γ，其中σs2代表信号功率，γ是SαS分布的离散系数。在这个实验中，噪声特征指数取为α=1.5和GSNR=10dB，采样率为1000。实验模拟了三个目标的方向到达角随时间变化的场景：-θ1：随时间t从20°线性变化到40°；-θ2：随时间t从40°线性变化到20°；-θ3：固定在10°不变。鉴于[18]中的仿真实验表明MCC-PAST算法在脉冲噪声环境中的性能优于传统的基于M?estimation的RLM-PAST算法，本文对PAST算法、PLOM-PAST算法和MCC-PAST算法进行了实验仿真和比较。四种算法在方向到达角场景下的仿真结果如图6所示。下载：下载高分辨率图像（737KB）下载：下载全尺寸图像图6. 子空间跟踪估计比较。图中从上到下的三个子图分别代表算法在迭代过程中信号子空间估计的值、迭代误差向量的强度以及信号子空间的真实值与算法估计值之间的主角度。从图6可以看出，MCC-PAST和所提出的算法都能实现良好的跟踪和估计。为了进一步评估它们在目标参数估计方面的实时性能，我们基于两个关键指标对四种算法进行了定量比较：（1）三个目标的角度估计的平均RMSE；（2）平均主角度估计的准确性。如图7所示，MCC-PAST和WMMCC-PAST方法的估计性能明显优于其他算法。MCC-PAST使用单一核函数，可能不足以处理多源噪声或复杂信号。它使用固定的最大复相关系数标准，对所有数据点赋予相同的权重，在某些情况下可能无法充分利用数据的动态特性。WMMCC-PAST通过引入加权机制和混合核函数，可以更好地适应复杂噪声环境。这种加权机制可以根据信号的特性动态调整权重，从而更有效地抑制噪声，使算法在处理非平稳信号时更加灵活和高效。因此，WMMCC-PAST算法的性能优于MCC-PAST算法。下载：下载高分辨率图像（423KB）下载：下载全尺寸图像图7. 参数估计性能比较。5.4. 仿真4：关于α和GSNR的估计准确性通过控制实验，我们建立了算法性能指标与以下因素之间的功能关系：i) SαS分布脉冲噪声的特征指数（α）；ii) 非高斯环境中的GSNR。在这个实验中，每个测试进行了200次蒙特卡洛试验，以计算使用两种算法估计的三个目标的到达角方向的均方根误差（RMSE）。图8展示了在α=1.4脉冲噪声下入射角跟踪的GSNR依赖性能，两种算法都表现出平均估计误差。相应地，图9展示了在固定GSNR=10dB的情况下，随着特征指数（0 < α ≤ 2）的变化，DOA估计的RMSE变化。如图8和图9所示，可以得出与仿真3中的图6相同的实验结论。下载：下载高分辨率图像（212KB）下载：下载全尺寸图像图8. 估计性能与α的关系。下载：下载高分辨率图像（160KB）下载：下载全尺寸图像图9. 估计性能与GSNR的关系。5.5. 仿真5：二维角度的跟踪估计对于阵列近场区域的目标，辐射波前可以很好地建模为球面波。这种现象打破了远场平面波假设下的传统DOA估计模型，因此需要使用仰角和方位角来联合描述目标的空间位置。在这个实验中，目标的仰角和方位角估计是通过结合算法得到的子空间跟踪结果和二维ESPRIT算法[24]得到的，目标的跟踪估计轨迹显示在三维图中，如图10所示。实验参数设置如下：-目标1：方位角随时间t从20°线性变化到40°，仰角从30°线性变化到50°；-目标2：方位角从40°线性变化到20°，仰角从40°线性变化到60°（相位相反）；-目标3：方位角固定在10°，仰角从10°线性变化到30°。下载：下载高分辨率图像（112KB）下载：下载全尺寸图像图10. 目标跟踪估计从图10可以看出，所提出的WMMCC-PAST算法相比MCC算法表现出更好的跟踪和估计性能。6. 结论本文针对低空复杂噪声环境中的LSS目标跟踪问题，提出了一种基于改进的WMMCC-PAST算法的新型低空目标跟踪和估计方法。所提出的WMCC-PAST算法引入了一种新的动态加权机制，与复杂的高斯核集成，显著增强了噪声抑制能力，同时保留了信号细节。这一创新使我们的方法区别于现有方法，并为低空目标在脉冲噪声环境中的跟踪提供了鲁棒解决方案。本文创新性地提出了一种加权混合复相关函数，通过结合混合核函数和加权机制，显著增强了算法抑制复杂噪声的能力。通过基于加权最大混合复相关系数标准的成本函数，我们修改了传统基于MSE标准的PAST算法的目标函数。提出了一种用于脉冲噪声环境中的子空间估计的鲁棒投影近似子空间跟踪算法。这种新算法可以应用于低空目标参数跟踪和估计，并且还可以联合估计近场LSS目标的仰角和方位角。此外，理论分析证明了所提出的WMCC函数的有界性，证明了迭代算法的收敛性，并验证了其在复杂电磁环境中的鲁棒性，为实际应用提供了理论基础。仿真实验表明，所提出的WMMCC-PAST算法表现出优越的子空间跟踪性能，特别是在适应复杂噪声环境方面表现更好。值得注意的是，虽然EC-RLS算法最初并不是为脉冲噪声设计的，但它通过错误屏蔽提供了一种有价值的策略来降低计算成本。将这种选择性更新机制集成到像WMCC这样的鲁棒框架中，在α-稳定环境中是一个有趣的方向，将在我们未来的工作中继续研究。数据可用性声明不适用。CRediT作者贡献声明李莉：写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，验证，方法论，形式分析，概念化。邱天爽：写作——审阅与编辑，监督。