用于核磁共振（NMR）测量的自适应传感技术

《Journal of Magnetic Resonance》：Adaptive sensing for NMR measurements

　　S. Pitawala | P.D. Teal | Marcus Frean
维多利亚大学惠灵顿分校，新西兰惠灵顿

摘要
本文探讨了在测井应用中从核磁共振（NMR）测量数据估算T1-T2分布的挑战，其中测量次数受到相关成本的限制。本文将自适应感知技术融入NMR逆问题框架中，以在实验限制条件下提高估算精度，重点关注二维T1-T2实验。本研究提出了两种自适应测量系统，能够动态选择所需的测量任务。对于T1-T2实验来说，选择的是等待时间（TW）的集合。所提出的自适应测量方法利用观测值与未知弛豫时间分布之间的互信息，优先选择能够获得最大信息增益的测量任务。通过将自适应测量系统的性能与包含完整测量数据集的固定测量系统进行比较（评价指标为平均均方根误差MRMSE），证明了在减少测量次数的同时能够提高估算精度，从而降低了测量成本。

引言
核磁共振（NMR）弛豫测量技术在许多领域变得不可或缺，包括石油勘探、材料科学、食品科学以及农业和土壤科学。然而，“弛豫测量”实际上是量化指数衰减的过程，这属于一个经典的病态逆问题。测量数据中的小误差可能导致解的大幅偏差，甚至可能不存在唯一解。因此，高质量测量数据和高效的解决算法对于准确估算感兴趣的参数至关重要。然而，在成本、时间和物理限制等条件下获取足够数量的高质量测量数据是一项具有挑战性的任务。本文重点讨论了NMR技术在测井中的应用，用于表征地下储层中的孔隙流体，但该技术也可应用于其他问题。氢原子的纵向和横向弛豫时间T1和T2可以提供关于岩石样本岩石物理性质的洞察。弛豫时间可以表示为T1分布、T2分布或二维T1-T2分布。扩散率D的分布或多维分布（如D-T2） ebenfalls 被用于分析。例如，T2分布可以提供诸如孔隙体积、自由流体与束缚流体体积比、渗透率以及孔隙大小分布等岩石物理参数[1]。联合T1-T2分布有助于分离和量化孔隙中的不同流体，特别是在非常规碳氢化合物储层中。
多维实验通常需要采集大量测量数据，而这种数据采集可能成本高昂且不切实际。本文提出了一种方法，确保采集到的测量数据对工业决策具有最大价值。

T1的测量方法包括向样品磁化方向施加射频（RF）脉冲，等待纵向磁化恢复一段时间TW，然后将样品磁化方向转换为横向平面进行测量。对于180°的初始倾斜角度，时间t1后的纵向磁化分量大小为：
m(t1) = ∫?∞f1(T1)exp?t1T1/dt1
其中f1(T1)是样品中T1值的分布。
一系列射频脉冲（Carr-Purcell-Meiboom-Gill (CPMG)序列或其变体）会产生一系列自旋回波。通过捕获回波序列中每个回波的磁化矢量峰值来获取垂直于B0方向的横向磁化信号，该方法对B0不均匀性的敏感性较低。横向磁化分量将按照时间常数T2指数衰减至零[2]。时间t2时在横向平面获得的“自旋回波信号”大小为：
m(t2) = ∫?∞f(T2)exp?t2T2/dt2
其中f2(T2)是样品中T2值的分布。
为了获得二维分布（如T1-T2分布），需要使用多个等待时间进行自旋回波信号测量。图1展示了多等待时间测量的示意图。对于T1和T2值不必然相关的样品，以及结合不同等待时间和多个回波的T1-T2实验，NMR信号可以建模为：
m(t1,t2) = ?f(T1,T2)exp?t1T1exp?t2T2/dt1dT2 + ?(t1,t2)
其中f(T1,f2)是联合T1-T2分布，?(t1,t2)表示与每次测量相关的噪声，假设其为白高斯噪声。
实际中，测量数据m()是在有限时间点获得的样本，分布f()是在有限点估计的，(1)、(2)、(3)中的积分通过求和近似计算。在测井中，使用单次等待时间（TW）获得的单次自旋回波信号来获取一维T2 NMR测量结果，进而得到横向弛豫时间分布（通常称为“T2分布”）。
f(T2)和f(T1,T2)均假设为非负函数，这一假设为估算过程提供了约束。
“逆拉普拉斯变换”（ILT）是解决测井应用中病态和噪声敏感逆问题最广泛使用的算法，特别是在随钻测井（LWD）操作中。在ILT方法中，逆问题被表述为Tikhonov正则化约束优化问题，并使用Butler-Reed-Dawson算法求解[3]。然而，2D NMR测量往往受到数据采集时间限制，导致TW值数量较少。当等待时间有限时，ILT方法的性能显著下降，尤其是在T1域的分辨率方面[2]。
另一种方法是在正则化非负最小二乘（NNLS）方法中使用香农熵作为正则化算子。该方法已应用于1D和2D NMR数据重建。优化可以使用预处理共轭梯度算法结合最大化-最小化线搜索原理进行[4]。
Zhou等人[5]提出使用快速迭代收缩阈值算法（FISTA）进行L1正则化。作者旨在通过FISTA实现压缩感知重建以减少数据采集时间，尽管未报告具体数据采集时间，但将提出的算法执行时间与其他三种方法（包括ILT方法）进行了比较。尽管L1正则化方法具有一些优势，但在计算效率方面ILT方法表现更优。
Wang和Venkataramanan[2]提出了一种基于稀疏聚类贝叶斯思想的算法，用于2D NMR问题的反演。该方法在TW值有限的情况下特别有利。它通过稀疏聚类信号表示解空间的稀疏性和平滑性，并通过实验结果证明了其有效性。结果表明，该算法在TW数据有限的情况下能够提供更好的估算性能。

在医学成像背景下，一种新颖的自适应采样框架利用压缩感知（CS）技术，利用MR图像在某些基或字典中的稀疏性，从而从高度欠采样的k空间数据中实现精确的图像重建[6]。文献中还提到了其他几种反演方法，包括矩阵铅笔法[7]、贝叶斯反演方法[8][9][10]以及基于神经网络的方法[11]，但这些方法并未解决测量条件受限的问题。
本文提出了一种基于互信息方法的自适应测量（也称为主动特征采集[12]）框架，旨在减少所需的测量次数，以解决测量时间受限的问题的同时产生高质量的反演结果。
自适应测量通过根据先前收集的数据提取的信息选择新的测量任务，而不是遵循预定的测量系统，从而解决昂贵测量问题。自适应感知在解决高维推断问题时特别有用，因为这些问题需要大量测量数据才能准确求解[13]。通过动态选择能够最大化信息增益的测量任务，自适应感知实现了更高效的数据采集。常用的测量选择策略是利用互信息，它量化了在新测量条件下对未知参数的不确定性预期减少量。
本文提出了两种自适应测量方法。第一种方法基于从大量合成分布导出的协方差矩阵行列式估计的互信息；假设潜在分布可以用单一的多维高斯分布近似表示。另一种方法采用经验方法，使用从大量测量数据估计的条件方差作为熵的代理。通过将自适应测量系统的性能与固定顺序测量系统进行比较（评价指标为平均均方根误差MRMSE），证明了在减少测量次数的同时能够实现所需的估算精度。

本文的其余部分组织结构如下：第2节介绍自适应测量系统的开发过程；第3节描述实验程序和实验用到的合成数据；第4节展示实验结果。

方法
本节描述了所提出的自适应测量系统的开发过程，包括如何根据先前数据选择测量任务以及这些策略相对于传统固定测量方法的优势。

实验
在本节中，我们展示了所提出的自适应测量系统的性能，并将其与固定测量系统的性能进行了比较。实验中同时使用了1D（T2）和2D（T1-T2）测量方法。
这里展示了1D测量的结果，以证明自适应感知在NMR逆问题中的应用。然而，在实际应用中，工业领域中使用1D自适应测量来实现商业利益的机会有限。

结果
本节比较了自适应测量系统与固定测量系统的性能。实验在噪声水平分别为m(0, 0)的0.02、0.06、0.1和0.3标准差的情况下进行。结果以1D和2D情况的MRMSE图表形式呈现。

结论
本文提出了两种基于每次测量对未知参数信息含量的动态测量选择系统，用于NMR数据分析。此外，还介绍了几项旨在评估和比较这些测量系统之间及其与常用固定测量系统性能的实验结果。所有实验结果表明，随着测量次数的增加，MRMSE显著降低。

作者贡献声明
S. Pitawala：撰写——原始草稿、可视化、验证、调查、公式分析。
P.D. Teal：监督。
Marcus Frean：撰写——审阅与编辑、监督、方法论。

利益冲突声明
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：P.D. Teal与新西兰商业创新与就业部存在关系，包括资金资助。如果还有其他作者，则声明他们没有已知的可能影响本文工作的财务利益或个人关系。