一种新颖的离散化方法，用于计算垂直地热钻孔的g函数，该方法显著提高了计算精度和效率

《Renewable Energy》：Novel discretization method to calculate g-functions of vertical geothermal boreholes with improved accuracy and efficiency

　　月阳|杨晓东|林晨辉|罗旭|王奇|徐树伟|吴文川
中国合肥工业大学高效高品质电力转换国家重点实验室，合肥230009

**摘要**
g函数的计算对于地热钻孔的设计和模拟至关重要。然而，现有的方法（如堆叠有限线源（SFLS）模型）在计算效率和准确性方面面临挑战，尤其是在细粒度离散化时。本文介绍了一种新的离散化方法来解决这些限制。我们将g函数的计算重新表述为时空积分方程的解，并使用高斯-勒让德求积法来近似空间积分，避免了关于热提取率阶梯结构的假设，从而提高了准确性。这种表述将SFLS模型中耗时的段间积分计算转换为更简单和解析的点对点响应因子，解决了高阶离散化通常会降低计算速度的问题。此外，我们发现控制积分方程属于弗雷德霍姆第一类，这会导致病态线性系统，使得在高阶离散化时g函数可能发散。为了解决这个问题，我们采用了一种正则化技术以确保解的稳定性和收敛性。数值测试表明，所提出的方法效率显著更高，在速度上比采用优化非均匀离散化方案的SFLS模型快20到200倍，同时仍能达到相似或更高的准确性。

**引言**
地热钻孔是地源热泵（GSHP）[1]和钻孔热能储存（BTES）[2]系统中的关键热交换界面。这些技术是全球实现建筑供暖和冷却脱碳努力中的基石，利用地球稳定的地下温度来实现卓越的能源效率。结合BTES，这些系统还能够实现热能的季节性转移，储存来自可再生能源或废热的多余热量以供后续使用。这样的集成解决方案不仅减少了化石燃料的依赖，还通过平衡以可再生能源为主导的能源系统中的供需不平衡来增强电网的韧性。
这些系统的热性能取决于钻孔的热交换能力，而钻孔的热交换能力又受到其壁温以及地面热属性的影响。因此，GSHP和BTES系统的效率和经济效益在很大程度上取决于地热钻孔的准确建模和模拟，特别是在预测其长期热响应方面。g函数（即无量纲热响应函数）是地热钻孔模拟中最重要的工具之一，它由Eskilson [3]首次提出。它已被广泛用于设计和优化GSHP [4]、地热交换器 [5] 和 BTES 系统 [6] 的性能。g函数描述了在时间 t=0 时施加的单位长度热提取率下钻孔壁的温度响应。一旦知道了一组钻孔的g函数，有效钻孔壁温度 T 可以表示为时间域中的卷积：
T(t) = Tg?1 ∫?^t Q(t?τ) h(τ)dτ
其中 Tg 是未受干扰的地下温度，k 是地面的热导率，Q(t) 是钻孔每单位长度的平均热提取率，g(t) 是时间 t 的钻孔场 g 函数，h(t) 是其关于时间的一阶导数。这种时间卷积可以通过快速傅里叶变换（FFT）[7] 高效计算，以加速 GSHP 系统的设计 [8]。还开发了各种负载聚合方法来加速计算，例如多负载聚合算法 [9] 和 [10] 中提出的集总单元聚合。
由于地热钻孔内部和外部涉及复杂的热传递过程，计算g函数是一项具有挑战性的任务。可以使用数值有限差分模型来解决控制热过程的偏微分方程并获得g函数的值，包括Eskilson [3] 提出的叠加钻孔模型（SBM）、TRNSYS [11] 中使用的导管地面储存模型（DST）以及更通用的有限元方法（FEM）软件（如COMSOL [12] 或 OpenGeoSys [13]）。然而，数值方法计算成本高昂且耗时较长，特别是对于具有许多钻孔的长钻孔场和长时间模拟而言，这促使人们开发出解析形式的g函数模型，以便于清晰的物理解释和更高效的计算。

在解析模型中，有限线源（FLS）是最广泛用于分析地热钻孔热行为的方法，它忽略了钻孔的几何细节，假设每个钻孔是在半无限地面中的线状热源。可以通过空间和时间叠加来获取热交换对钻孔壁温度的影响。FLS模型的研究可以追溯到Eskilson [3] 对g函数的原始定义，随后由包括Zeng [14]、Lamarche [15] 等多位研究人员重新发现，并扩展到倾斜钻孔 [16], [17]。这些早期研究通常假设钻孔深度上的热交换率是一个恒定值，并计算其对于特定点或整个钻孔平均温度的影响。这种假设导致钻孔壁温度的深度依赖分布，与Eskilson原始SBM模型用于计算g函数的边界条件不一致，后者假设钻孔壁温度沿钻孔深度是均匀的，而热交换率是深度依赖的变量。这种边界条件之间的差异导致FLS模型给出的g函数值被高估，正如[18], [19] 中的几位研究人员指出的那样。
Cimmino [20] 的开创性工作通过将钻孔分成多个段并假设每个段内的热交换率是恒定的但各段不同，填补了边界条件的空白，这被称为堆叠有限线源（SFLS）模型。他们讨论了钻孔FLS模型的三种边界条件（BC），其中不依赖于深度的恒定热交换率称为BC-I，而均匀钻孔壁温度（UBWT）称为BC-III。SFLS模型可以通过将每个段的平均温度设置为相等来近似SBM模型中使用的均匀钻孔壁温度边界条件（BC-III），并且SFLS模型计算的g函数与SBM模型一致，同时计算时间显著缩短。在[21] 中，通过具有相似边界条件的FEM模型验证了SFLS模型的方法论，并将其从垂直钻孔推广到倾斜钻孔 [22], [23]。Cimmino进一步扩展了SFLS模型，以考虑热阻力 [24] 和钻孔的连接拓扑 [25] 来计算不同边界条件下的g函数。在[26] 和 [27] 中也使用FLS模型计算了时变质量流量下的g函数。开源的SFLS模型实现也可以在pigfunction包 [28], [29] 中找到，支持多种边界条件和钻孔配置。
SFLS模型的准确性和效率取决于用于离散钻孔和近似深度变化热交换率的段数和每段的长度。增加段数通常可以更准确地表示钻孔的热响应，因为它允许更细致地解析沿钻孔深度的热交换过程。研究人员观察到，随着钻孔数量的增加，为实现可接受的g函数精度所需的每钻孔段数也在增加 [30]。然而，SFLS模型的计算时间与段总数成二次方关系增加 [30]，因为必须计算每对段之间的热响应因子，因此在实践中段数通常限制在一个较小的值。Cimmino [20] 测试了最多256个段的SFLS模型的准确性，并建议每个钻孔使用12个段作为近似。Lamarche [31] 提出了一种改进的SFLS模型，假设每个段内的热提取率呈线性变化，并得出结论：每个钻孔使用8个段就足以达到与常规SFLS相同的精度。Cook [30] 探索了钻孔的非均匀离散化思想，其中在钻孔开始和结束时段更加密集，以描述热提取率的快速变化，并表明8个不等段可以比均匀离散化获得更好的精度。他们的后续研究 [32] 旨在通过最小化在557056个钻孔场配置上测试的g函数误差来优化非均匀离散化方案。然而，关于SFLS模型离散化方案的现有工作大多基于大量模拟的实证实验，并缺乏正式的理论基础。寻找更好的离散化方案以减少地热钻孔g函数的误差和计算时间仍然是一个未解决的问题。
在本文中，我们从积分方程的角度提供了关于UBWT边界条件下钻孔g函数的新见解，并提出了一种新的离散化方案，以提高g函数计算的准确性和效率。与以往的工作相比，本文的主要贡献和科学新颖性可以总结为回答以下对于计算钻孔g函数至关重要的问题：
1. 为什么详细的钻孔离散化会得到更准确的g函数？我们发现g函数本质上一组描述特定边界条件下钻孔热过程的时空积分方程的解，而钻孔的分割可以看作是对原始连续热提取率沿深度及其空间积分的离散近似。随着离散化阶数的增加，近似误差自然降低，因为它能够捕获钻孔壁上热交换过程的更多空间细节。在这个框架下，之前广泛使用的SFLS模型是积分方程的一种特殊离散化方案，它假设热交换率在每个段内是恒定的阶梯函数。这一观点为解释离散化和g函数精度之间的关系提供了理论基础，而这在之前的研究中是缺失的。
2. 如何在有限的离散化阶数下获得更准确的g函数？我们提出了一种新的离散化方案，使用高斯-勒让德求积法则近似热提取的空间积分，由于高斯-勒让德求积的快速收敛性，该方案可以在相同的离散化阶数下实现比SFLS模型更好的精度。这种方法不需要假设每个段内的热交换率是恒定的，而只需要在特定深度的一些策略性选择点上获取热提取率的值，因此SFLS中耗时的段间耦合因子被简化为具有解析形式的点对点耦合因子。因此，由于离散化收敛速度更快以及离散化方程的更高效表述，g函数的计算可以显著加速。观察到，所提出的方法可以在比SFLS模型快20到200倍的速度下获得相似或更低的误差。g函数准确性和效率的提高验证了所提出的离散化方案相对于现有SFLS模型分割方案的优越性。
3. 如果离散化阶数足够大，g函数的值是否总是会收敛？一个直观的假设是增加离散化阶数将导致g函数的值收敛。然而，这一猜想在前人研究中并未得到充分讨论或证明。在本文中，我们发现UBWT边界条件下的积分方程属于弗雷德霍姆第一类积分方程。如果离散化阶数过大，其离散化的线性形式将变得病态，可能无法提供有意义的g函数值。我们的数值测试证明了SFLS模型和所提出的离散化方法都会导致g函数发散。我们开发了一种正则化技术，以克服病态条件并确保在任意离散化情况下g函数的稳定收敛。据我们所知，这是首次在积分方程的背景下讨论g函数的收敛性问题，并通过离散化方程的病态条件解释了g函数的不直观发散现象。该正则化技术为保证高离散化阶数下g函数计算的稳定性提供了实用的解决方案，避免了以往研究中所忽略的发散问题。本文的结构如下：第2节介绍了本研究使用的方法论，包括积分方程的建立、作为近似的SFLS模型以及提出的离散化方案；第3节提供了数值结果，并将所提出的方法与现有模型进行了比较；最后在第4节对本文进行了总结。

**孔洞的热提取率和壁温**

考虑一个具有均匀热性质的三维无限各向同性介质，其热导率为k，热扩散率为α。一个瞬时点热源在原点（r=0）处释放能量Q，那么该热源在任意位置引起的温度变化取决于经过的时间t和到热源的距离d，该变化由Q与格林函数K(d,t)的乘积表示 [33]：
ΔT(d,t) = ?QK(d,t)
K(d,t) = 1/ρc(4παt3)exp(?d2/4αt)

**K(d,t)的积分**

在本节中，我们将比较所提出的g函数离散化公式与SFLS模型在准确性、收敛速度和计算效率方面的表现。由于SFLS模型的准确性取决于用于离散化孔洞的分割方案，我们选择了[32]中使用的三种不同的分割方案作为比较对象。第一种是均匀分割方案，它将每个孔洞分成N个等长的段；第二种...

**结论**

本文提出了一种用于计算垂直地热孔洞g函数的新离散化方法，解决了传统方法（如堆叠有限线源（SFLS）模型中固有的准确性和计算速度之间的持续权衡问题。这项工作的贡献为地热能系统的设计和优化领域带来了重大进展。

**作者贡献声明**

杨悦：撰写——原始草稿、软件开发、方法论研究。
杨晓东：撰写——审阅与编辑、验证、研究。
林晨辉：撰写——审阅与编辑、资源准备、研究。
徐珞：撰写——审阅与编辑、资源准备、研究、形式分析。
王祺：撰写——审阅与编辑、可视化处理、形式分析、数据整理。
徐书伟：撰写——审阅与编辑、可视化处理、验证、方法论研究。
吴文川：撰写——审阅与编辑。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的财务利益冲突或个人关系。