一种创新的外环定位框架，适用于近地轨道（LEO）多普勒观测，并考虑了信号传播时间的影响

《Satellite Navigation》：An innovative outer-loop positioning framework for LEO Doppler observations considering propagation time

　　摘要：基于低地球轨道（LEO）的信号机会定位为全球导航卫星系统（GNSS）的备份或增强提供了一种有吸引力的替代方案，这得益于其高信号功率和高轨道速度等特性。由于LEO发射的信号不包含信号传输时间，因此准确估计信号传播时间对于提高LEO多普勒定位系统的性能至关重要。本文提出了一种新的外环多普勒定位框架，该框架考虑了信号传播时间。它引入了一个纯几何模型来估计信号传播时间，并在构建观测模型时纳入了信号传播时间的影响。实验结果表明，所提出的算法可以有效提高状态估计的准确性，三维位置和速度估计的准确性分别提高了15%以上和25%以上，与接收机时钟相关的误差估计的准确性也显著提高。本文还探讨了该模型能够收敛的初始状态的理论极限。当初始位置误差达到200公里时，可容忍的时钟误差降至50毫秒以下。此外，使用Iridium卫星的实测数据进行了实验。与将传播时间误差视为粗略时间参数估计的现有算法相比，所提出算法的点定位误差减少了13.4%，稳定性也显著提高。

引言：随着对基于位置的服务需求的指数级增长，从自动驾驶和智能物流到大众消费电子产品，用户对连续、无处不在且高度可靠的定位、导航和计时（PNT）服务提出了严格的新要求（Yang等人，2020年；Ries等人，2023年）。然而，复杂的环境，特别是以密集的高层建筑、隧道和多层立交桥为特征的城市峡谷，对传统的全球导航卫星系统（GNSS）技术构成了严峻挑战（Bertran和Delgado-Penin，2004年；Cui和Ge，2003年）。近年来，机会信号定位系统，包括低地球轨道（LEO）卫星（Yang等人，2024年；Baron等人，2024年）、蜂窝站（Alsharif等人，2017年；Kassas等人，2017年）和广播站（Youssef等人，2005年；Li等人，2022年）引起了研究人员的关注。其中，LEO系统由于其大量的卫星、高功率、广泛的覆盖范围和大带宽而成为恶劣环境中的有吸引力的补充解决方案（Ji等人，2023年；Eissfeller等人，2024年）。因此，Starlink、OneWeb和Iridium等LEO星座的快速发展并不令人惊讶。这些数千颗LEO卫星最初旨在为全球提供宽带互联网和通信服务。考虑到成本、重量和尺寸等因素，LEO卫星没有像GNSS那样的高精度原子钟（Meng等人，2020年），这使得用户无法从其下行信号中获得类似GNSS的导航信息，如伪距、信号传播时间和广播星历（Wang等人，2023年）。此外，LEO的多普勒测量值远大于GNSS的测量值，使得接收机难以捕获载波相位信号（Guo等人，2023年）。在这种情况下，基于LEO多普勒漂移的算法成为一个有吸引力的解决方案。多普勒定位技术起源于1960年的第一个卫星导航系统Transit（Parkinson，1996年），当接收机无法提供距离信息时，它可以提供解决方案。目前，基于LEO多普勒漂移的定位算法主要依赖于外部轨道信息，这些信息可以从北美航空航天防御司令部（NORAD）发布的双线轨道元素（TLE）文件中估计得出，更新周期约为一天。然而，轨道辅助信息的准确性极大地限制了LEO定位系统的性能（Saroufim和Kassas，2025b）。可以使用TLE文件和简化的广义扰动模型4（SGP4）获得卫星的近似位置，但结果会有偏差，并且随着外推时间的增加而扩大（Selvan等人，2023年；El-Mowafy等人，2023年）。此外，模糊的信号传播时间将进一步增加误差（Van Diggelen，2002年）。由于LEO卫星移动速度快，1秒的时间误差会导致数公里的卫星位置误差。由此可见，空间和时间信息的准确性对于基于多普勒的LEO定位系统至关重要。

近年来，LEO的轨道误差和校正算法已经得到了深入的讨论和研究（Li等人，2024年；Kassas等人，2024年）。使用卫星搭载的加速度计进行轨道预测可以达到厘米级的精度，但高昂的成本不利于推广（Ge等人，2020年）。研究人员提出通过差分导航来减少LEO系统的轨道误差。飞机模拟实验表明，在惯性导航系统（INS）的辅助下，差分系统可以达到52厘米的定位精度，这反映了差分导航在减少轨道误差方面的巨大潜力。星际链路用于卫星之间的通信，ISL观测数据可用于确定LEO的轨道。模拟实验表明，当使用4链路拓扑时，平均三维（3D）轨道误差为0.112米（Li等人，2019年）。差分导航在减少时钟误差方面也有巨大潜力（Saroufim和Kassas，2025a），但它要求参考站和移动站之间有严格的时间同步。此外，信号传播时间的准确性也是影响LEO系统性能的重要因素。由于LEO卫星的下行信号中无法提供传输时间戳，用户只能使用估计的信号传播时间来反向计算传输时的卫星状态。为了解决这个问题，一些学者提出了一种机载信号时间和频率反演算法，该算法基于捕获的频率和码相位来估计信号传输时间，并构建伪距观测，从而有效减轻轨道误差（Xu等人，2025年）。参考粗略时间导航的原理，研究人员提出在状态估计中添加粗略时间补偿参数，并在此基础上提出了一种两步改进的误差补偿和加权定位算法（Wang等人，2023年）。实验结果表明，对于Iridium-Next星座，水平定位精度提高了70%以上。在粗略时间定位算法中，信号传输时间和信号接收时间被大致假设为相同，没有分析信号传播时间对系统状态估计的影响。基于上述分析，本文提出了一种外环多普勒定位框架。引入了一个考虑信号传播时间的有限差分多普勒观测模型，并分析了信号传播时间对定位系统的影响。使用仿真和实测数据验证了所提算法的性能。分析了初始设置对系统收敛的影响，并确定了该算法初始误差的理论极限。最后，结论部分提供了总结和展望。

方法论：本节首先提出了一种考虑信号传播时间的外环定位算法。然后解释了LEO卫星多普勒定位算法的原理，并介绍了一个更精确的有限差分模型。最后，详细推导了信号传播时间对未知参数估计的影响。

LEO多普勒观测的外环定位框架：为了自上而下地理解该算法，图1展示了所提出外环算法的整体流程。该算法包括一个外环，它利用TLE+SGP4来计算卫星状态，根据有限差分模型获得预测的多普勒观测值，并基于观测残差进行加权最小二乘（WLS）估计。以及一个内环，它迭代地细化中间量，如传播时间\(\updelta t_p^j\)。

多普勒定位误差源分析：通常，LEO定位系统中的接收器位置误差由两种类型的误差引起：一种是多普勒测量误差，另一种是卫星状态误差。如Wang等人（2023年）所述，卫星信号从发射到接收过程中的误差源可以总结并分类如下图2所示。

图2 多普勒定位误差源分析

1. 卫星辅助轨道误差：通常使用TLE星历文件和SGP4模型来计算LEO卫星状态，SGP4模型是一个简化的传播器，无法完美地考虑复杂的大气阻力和扰动，导致位置和速度误差随时间累积。
2. 模糊的信号传播时间：由于LEO卫星不携带原子钟，它们的传输信号不会包含传输时间标签，因此无法获得准确的信号传播时间，这也会导致卫星位置和速度的误差。
3. 大气时间延迟误差：显然，信号在穿过电离层和对流层时会发生折射，从而导致额外的信号传播延迟。在本研究中，我们使用有限差分算法来减弱其影响。
4. 信号接收和观测误差：这部分主要包括接收器的硬件延迟、设备热噪声等，这些可能导致多普勒测量误差。特别是硬件群延迟的不稳定性作为相位噪声源，而热噪声会降低信噪比（SNR），导致接收机的锁相环出现抖动，从而降低多普勒精度。目前大多数研究集中在轨道误差上，关于误差源2的研究较少。因此，我们研究的主要目标是研究传播时间估计算法及其对定位性能的影响。

多普勒定位原理：相对运动导致用户接收到的卫星信号产生多普勒漂移，通过测量多普勒频率漂移可以估计接收器的状态信息。在我们的研究中，除非另有说明，所有位置和速度向量都是在地心固定（ECEF）坐标系中的解。测量的多普勒漂移等于累积距离的负时间导数除以载波波长（Baron等人，2024年）：
$$\begin{aligned} D^j=-\frac{1}{\lambda }\frac{\text {d}\Delta \rho _\text {ADR}^j}{\text {d}t_R} \end{aligned}$$
其中 \(D^j\) 表示第\(j^\text {th}\)颗卫星的测量多普勒漂移（单位为Hz），\(\lambda\) 表示波长（单位为米），\(\Delta \rho _\text {ADR}^j\) 表示累积的距离（单位为米），\(t_R\) 表示接收机时钟时间。\(\Delta \rho _\text {ADR}^j\) 可以用以下公式建模：$$\begin{aligned} \begin{aligned} \Delta \rho _\text {ADR}^j(\varvec{r}, \delta _R; t_R)&= \sqrt{\begin{bmatrix} \varvec{r} -\varvec{A}(\omega _E\updelta t_p^j)\varvec{r}^j(t_R-\delta _R-\updelta t_p^j) \end{bmatrix}^\text {T}\times \begin{bmatrix} \varvec{r} -\varvec{A}(\omega _E\updelta t_p^j)\varvec{r}^j(t_R-\delta _R-\updelta t_p^j) \end{bmatrix}} \\&+ c(\delta _R-\delta ^j)+c\left[ \updelta t_\text {trop}^j-\updelta t_\text {ion}^j\right] +\lambda \beta \end{aligned} \end{aligned}$$ （2）其中 \(\varvec{r}\) 是用户位置，\(\varvec{r}^j\) 是第 \(j\) 颗低地球轨道（LEO）卫星的已知轨道位置，\(\omega _E = 7.292\times 10^{-5}\) 是地球的自转速率（以弧度/秒计），\(\updelta t_p^j\) 是信号从卫星传输到用户的时间，\(\delta _R\) 是用户接收器的时钟偏移，\(\delta _j\) 是卫星时钟偏移，\(\updelta t_\text {trop}^j\) 是对流层延迟，\(\updelta t_{ion}^j\) 是电离层延迟，\(\beta\) 是测量到的载波的偏差。矩阵 \(\varvec{A}(\omega _E\updelta t_p^j)\) 用于校正卫星在接收时的位置，以补偿信号传播期间地球的自转，其表达式为：$$\begin{aligned} \varvec{A}\left( \omega _E\updelta t_p^j\right) = \begin{pmatrix} \cos \left( \omega _E\updelta t_p^j\right) & \sin \left( \omega _E\updelta t_p^j\right) & 0 \\ -\sin \left( \omega _E\updelta t_p^j\right) & \cos \left( \omega _E\updelta t_p^j\right) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ （3）基于多普勒漂移模型，研究人员使用其变体来提高定位算法的性能（Kassas 等人，2019年；Morales-Ferre 等人，2020年）。这些模型通常假设用户位置是已知的，并据此估计速度。在实际应用中，用户位置基本上是未知的，由于大多数模型忽略了电离层和对流层效应的影响，性能可能会受到影响。作为替代方案，提出了一种有限差分近似算法（Psiaki，2021年）。在这项研究中，我们参考了 Psiaki 的方法（Psiaki，2021年），使用八维状态向量：\(\varvec{x} = [\varvec{r}^\text {T} \quad \delta _R \quad \varvec{v}^\text {T} \quad \dot{\delta }_R]^\text {T}\)，这些值在处理窗口内被认为是恒定的。它表示用户位置（三维）、接收器时钟偏移、用户速度（三维）和接收器时钟漂移。有限差分模型可以具体表示为：$$\begin{aligned} & (12\Delta t_{R} )\frac{{d\Delta \rho _{{ADR}}^{j} }}{{dt_{R} }}\left| {_{\varvec{x}} } \right. \cong \underbrace {{\Delta \rho _{{ADR}}^{j} \left( {\left( {\varvec{r} - \frac{{2\varvec{\nu }\Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right),\left( {\delta _{R} - \frac{{2\dot{\delta }_{R} \Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right);\left( {t_{R} - 2\Delta t_{R} } \right)} \right)}}_{{T_{1} (\varvec{x})}} \\ & \underbrace {{\quad - 8\Delta \rho _{{ADR}}^{j} \left( {\left( {\varvec{r} - \frac{{\varvec{\nu }\Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right),\left( {\delta _{R} - \frac{{\dot{\delta }_{R} \Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right);\left( {t_{R} - \Delta t_{R} } \right)} \right)}}_{{T_{2} (\varvec{x})}} \\ & \quad + \underbrace {{8\Delta \rho _{{ADR}}^{j} \left( {\left( {\varvec{r} + \frac{{\varvec{\nu }\Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right),\left( {\delta _{R} + \frac{{\dot{\delta }_{R} \Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right);\left( {t_{R} + \Delta t_{R} } \right)} \right)}}_{{T_{3} (\varvec{x})}} \\ & \quad - \underbrace {{\Delta \rho _{{ADR}}^{j} \left( {\left( {\varvec{r} + \frac{{2\varvec{\nu }\Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right),\left( {\delta _{R} + \frac{{2\dot{\delta }_{R} \Delta t_{R} }}{{1 + \dot{\delta }_{R} }}} \right);\left( {t_{R} + 2\Delta t_{R} } \right)} \right)}}_{{T_{4} (\varvec{x})}} \\ \end{aligned}$$ （4）其中 \(\Delta t_R\) 是接收器时钟时间的名义有限差分间隔，适用于 \(0.1 \s \le \Delta t_R\le\) 0.25 \(\text {s}\) 的范围（Psiaki，2021年）。在这项研究中，我们设置 \(\Delta t_R = 0.1\) 秒。在 GNSS 实际应用中，传播时间通常通过两种算法获得：（i）基于码的伪距估计，它将接收器时间标签与卫星传输时间相关联（Hernandez-Pajares 等人，2010年）；（ii）迭代使用星历几何（光时间）迭代。前者适用于信号传输时间已知的情况，而后者适用于信号传输时间未知的情况。在 LEO 系统中，传播时间是未知的，因此在这项研究中我们使用第二种算法来估计传播时间。具体过程如下：算法 1 纯几何算法用于传播时间通常，信号传播时间指的是信号从卫星传输到接收器所需的时间，可以用以下方程表示：$$\begin{aligned} \begin{aligned} \updelta t_p^j(\varvec{r},\delta _R,\updelta t_p^j)&= \frac{1}{c}\sqrt{\begin{bmatrix} \varvec{r} -\varvec{A}(\omega _E\updelta t_p^j)\varvec{r}^j(t_R-\delta _R-\updelta t_p^j) \end{bmatrix}^\text {T}\times \begin{bmatrix} \varvec{r} -\varvec{A}(\omega _E\updelta t_p^j)\varvec{r}^j(t_R-\delta _R-\updelta t_p^j) \end{bmatrix}} \\&+\updelta t_\text {trop}^j+\updelta t_\text {ion}^j \end{aligned} \end{aligned} $$（5）显然，传播时间明确依赖于用户位置 \(\varvec{r}\) 和用户时钟偏移 \(\delta _R\) 通过几何范围，而 \(\updelta t_p^j\) 反馈到卫星位置 \(\varvec{r}^j(\cdot )\) 和矩阵 \(\varvec{A}{(\cdot )}\)。因此，用户位置和时钟偏移的任何变化都会改变传输时间和进入测量模型的卫星状态。这需要在每次状态更新后重新计算卫星状态及其投影，以防止连续误差累积，间接证明了本文提出的外循环解决方案的必要性。另一方面，传播时间对状态估计也有隐含影响。因此，我们基于提出的外循环算法数学推导了这部分。如上所述，我们使用有限差分模型来减弱对流层和电离层延迟的影响。为了便于推导和描述，以 \(T_1\) 为例进行推导，用下标 1 表示。假设：$$\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} T_{1}(\varvec{x})&= \Delta \rho _\text {ADR}^{j}\left( \left( \varvec{r}-\frac{2\varvec{v}\Delta t_\text {R}}{1+\dot{\delta }_{R}}\right) ,\left( \delta _{R}-\frac{2\dot{\delta }_{R}\Delta t_\text {R}}{1+\dot{\delta }_{R}}\right) ;\left( t_\text {R}-2\Delta t_\text {R}\right) \right) \\ &= \left\| \left( \varvec{r}-\frac{2\varvec{v}\Delta t_R}{1+\dot{\delta }_R}\right) -\varvec{A}\left( \omega _E\updelta t_p^j\right) \varvec{r}^j\left( \left( t_R-2\Delta t_R\right) -\left( \delta _R-\frac{2\dot{\delta }_R\Delta t_R}{1+\dot{\delta }_R}\right) -\updelta t_p^j\right) \right\| \\&+c\left( \left( \delta _R-\frac{2\dot{\delta }_R\Delta t_R}{(1+\dot{\delta }_R)}\right) -\delta ^j\right) +c\left[ \updelta t_{\text {trop}}^j-\updelta t_{\text {ion}}^j\right] +\lambda \beta \\ \varvec{e}^j_1&= \left( \varvec{r}-\frac{2\varvec{v}\Delta t_R}{1+\dot{\delta }_R}\right) -\varvec{A}\left( \omega _E\updelta t_p^j\right) \varvec{r}^j\left( \left( t_R-2\Delta t_R\right) -\left( \delta _R-\frac{2\dot{\delta }_R\Delta t_R}{1+\dot{\delta }_R}\right) -\updelta t_p^j\right) \\ u_1&= \left( \left( t_R-2\Delta t_R\right) -\left( \delta _R-\frac{2\dot{\delta }_R\Delta t_R}{1+\dot{\delta }_R}\right) -\updelta t_p^j\right) \end{aligned} \right. \end{aligned} $$（6）根据公式（5），信号传播时间 \(\updelta t_p^j\) 的函数形式可以表示为：$$\begin{aligned} \begin{aligned} F_1(\varvec{x},\updelta t_p^j)&= \updelta t_p^j - \frac{\left\| \varvec{e}^j_1\right\| }{c} - \updelta t^j_\text {trop} - \updelta t^j_\text {ion}\\ \end{aligned} $$（7）然后，可以使用链式法则推导传播时间 \(\varvec{H}_\text {Implicit,1}\) 的影响：$$\begin{aligned} \begin{aligned} \varvec{H}_\text {Implicit,1} = \frac{\partial T_1(\varvec{x})}{\partial \updelta t_p^j} \frac{\partial \updelta t_p^j}{\partial \varvec{x}} \end{aligned} $$（8）其中 \(\frac{\partial \updelta t_p^j}{\partial \varvec{x}} = -(\frac{\partial F}{\partial \updelta t_p^j})^{-1} \frac{\partial F}{\partial \varvec{x}}\)，而 \(\frac{\partial F}{\partial \updelta t_p^j}\) 的推导如下：$$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial \updelta t_p^j}&= 1- \frac{1}{c}\frac{\partial \left\| \varvec{e}^j\right\| }{\partial \updelta t_p^j}\\&=1+\frac{1}{c} \frac{(\varvec{e}^j)^\text {T}}{\left\| \varvec{e}^j\right\| } (\frac{\partial \varvec{A}(\omega _E\updelta t_p^j)}{\partial \updelta t_p^j} \varvec{r}^j(u) -\varvec{A}(\omega _E\updelta t_p^j) \varvec{v}^j(u)) \end{aligned} $$（9）上述过程对第 2、3 和 4 项重复进行。WLS 算法用于估计用户状态，其构建如下（Cressie，1985年）：$$\begin{aligned} \varvec{z} = h(\varvec{x})+\mathbf {\epsilon } \end{aligned} $$（10）其中 \(\varvec{z}\) 是多普勒漂移测量值，\(\varvec{x}\) 是上述的八维状态向量，\(h(\cdot )\) 是非线性观测函数，\(\mathbf {\epsilon }\) 是噪声。我们可以通过在初始值 \(\varvec{x}_0\) 处进行泰勒一阶展开来获得线性化误差：$$\begin{aligned} \Delta \varvec{z} = \varvec{z} - h(\varvec{x}_0) = \varvec{H}_\text {LEO}(\varvec{x}_0)(\varvec{x}-\varvec{x}_0)+\mathbf {\epsilon } \end{aligned} $$（11）其中 \(\Delta \varvec{z = }\varvec{z} - h(\varvec{x}_0)\) 是测量值与模型测量值之间的差异，\(\Delta \varvec{x} = \varvec{x}-\varvec{x_0}\) 是状态向量的校正。LEO 系统的解决方案可以通过使用迭代求解方法进一步优化：$$\begin{aligned} \begin{aligned} \Delta \varvec{x}&= (\varvec{H}^\text {T}_\text {LEO}\varvec{W}\varvec{H}_\text {LEO})^{-1}\varvec{H}^\text {T}_\text {LEO}\varvec{W}\Delta \varvec{{z}} \end{aligned} $$（12）其中 \(\varvec{W}\) 是权重矩阵。在实验部分，我们首先分析了纯几何算法在不同星座之间估计传播时间的性能。然后，我们进行了受控实验来验证所提出的外循环算法的性能，并分析了信号传播时间的隐含影响。考虑到 LEO 定位系统对初始状态值的敏感性，我们揭示了不同初始值扰动对定位收敛性的影响。最后，将所提出的算法与直接估计传播时间的算法进行比较，以验证其在测量数据下的性能。纯几何算法用于传播时间通常，精度要求较低的导航解决方案会在信号接收时计算卫星的位置，以获得近似的信号传播时间。然而，这种方法对于高精度定位服务来说远远不够。图 3 展示了不同 LEO 卫星星座的传播时间残差在迭代更新过程中的收敛行为。每个子图表示最多十次迭代的残差演变，放大插图突出了接近收敛阈值时的细粒度收敛。收敛条件是相邻时间点结果之间的差异小于 \(1 \times 10^{-12}\) 秒。每个星座的残差在最初的几次迭代中迅速减小，表明估计算法的时间依赖部分已经有效收敛。不难发现，每个星座的卫星在 3 到 4 次迭代后可以达到收敛。因此，在本文的后续研究中，传播时间估计的迭代次数设置为 5 次。图 3 不同星座的传播时间估计迭代次数图 3 基于外循环的 LEO 定位算法仿真实验为了全面评估所提出的外循环算法，我们设计了不同的仿真，逐步涵盖了密集的多卫星 LEO 星座和基于表 1 中的处理策略的代表性单卫星案例。首先，构建了基于 Starlink 和 OneWeb 星座的多卫星场景，以评估性能和鲁棒性。在这些结果的基础上，我们对 ORBCOMM 和 Iridium 进行了专门的单卫星仿真，验证了所提算法在单卫星级别的理论可行性。参考站坐标设置为 (\(42^{\circ }\) N, \(2^{\circ }\) E, 100 m)，截止仰角为 \(10^{\circ }\)。表 1 仿真实验处理策略多卫星仿真实验使用 Starlink 和 OneWeb Starlink 和 OneWeb 在图 4 所示的部分天区内提供密集的多卫星覆盖，而可见卫星为定位和感知实验创造了丰富但异构的观测几何结构。图 4 仿真期间的可见 LEO 卫星天图图 5 有外循环框架和无外循环框架的位置误差比较图 5 展示了当初始位置偏离真实位置 50 m 时，多卫星 LEO 星座的位置性能。在每种配置中，使用所提出的外循环算法获得的解决方案用蓝色实线表示，而没有使用外循环的解决方案用红色实线表示；相关的 95% 置信区间分别用蓝色和红色虚线表示。对于 Starlink 星座，应用所提出的外循环算法后，3D 定位误差从 5.66m 减少到 4.58m，精度提高了 19.1%。同样，对于 OneWeb，所提出的算法分别将三个坐标方向的位置精度提高了 22.4%、18.7% 和 20.1%。在两个星座中，启用外循环后，误差散布变得更加紧凑，置信区间也缩小了。图 6 有外循环框架和无外循环框架的速度误差比较图 6 详细检查了多星座配置下的位置解决方案和速度解决方案。如图 6 所示，两种算法获得的速度误差在三个分量上均保持在 50 mm/s 以内，表明整体动态估计已经具有很高的精度。使用所提出的外循环策略后，Starlink 在平面和向上方向的速度均方根（RMS）误差分别达到 17.8mm/s 和 15.5 mm/s，而对于 OneWeb，这些值分别为 20.1 mm/s 和 17.2 mm/s。这些结果表明两个星座的速度估计精度提高了 18% 以上，相关的置信区间表明应用所提算法后估计的散布显著减少。尽管 Starlink 和 OneWeb 的卫星几何结构和多普勒观测模式不同，但增强效果是一致的。此外，还研究了接收机时钟状态对整体解决方案的影响，以进一步表征所提出框架的性能。图7展示了有无外环处理时接收机时钟偏差残差的比较。在图7中，为两种星座展示了接收机时钟偏移残差的箱形图。在这两种情况下，一旦考虑了传播时间的隐含效应，四分位数范围（IQR）就变小了，表明时钟偏移估计更加一致且分散度更低。图8展示了有无外环处理时接收机时钟漂移残差的比较。与偏移行为类似，在考虑了传播时间的外环方案下，IQR明显变窄，异常值的数量和程度也减少了，这反映了时钟漂移估计稳定性的明显提升。这证明了所提出的算法在多种星座下具有坚实的理论可行性。

虽然ORBCOMM和Iridium与Starlink一样提供了优越的几何布局，但其高硬件要求和功耗对于低成本物联网设备来说是不切实际的。相比之下，ORBCOMM和Iridium的简单信号结构使得使用最少的硬件即可实现定位，非常适合大规模市场应用。因此，我们还评估了该算法在单卫星场景下的性能。图9分别展示了ORBCOMM和Iridium的单卫星过境天空图。图10总结了从相同50米初始偏差开始的单卫星LEO星座的定位结果，其中考虑了传播时间补偿的外环方案产生的估计值用蓝色标记表示，而没有这种精细处理的估计值用红色标记表示，它们的95%置信区间分别由相应的蓝色和红色椭球体表示。对于ORBCOMM，没有外环时的三个轴上的定位误差分别为4.67米、3.18米和5.25米，而应用外环后这些误差分别减少到4.04米、2.44米和4.06米，分别提高了13.5%、23.3%和22.7%。对于Iridium星座，所提出的算法将定位精度提高了13.4%、18.5%和14.3%。考虑传播时间后置信椭球体大小的减小表明，两种星座的误差分布变得更加集中，这突显了所提算法的有效性。

对于单星座实验，我们还评估了速度估计的质量。如图11所示，两种算法的速度误差也保持在50毫米/秒以内。其中，使用外环算法时，ORBCOMM和Iridium的速度RMS误差分别为20.1毫米/秒、18.9毫米/秒和22.3毫米/秒、19.5毫米/秒。两种星座的速度估计精度都提高了20%以上，且两种算法的置信椭球体也表明，在采用所提算法后估计结果的稳定性显著提高。这种行为在两种星座中都是一致的。此外，与多星座分析类似，还检查了与接收机时钟相关的误差，以提供对整体估计性能的更全面评估。图12展示了有无外环处理时接收机时钟偏差残差的比较。在图12的箱形图中，展示了接收机时钟偏移的残差。不难看出，在考虑了传播时间的隐含效应后，两种星座的IQR都减小了，表明时钟误差估计的一致性得到了改善。对于ORBCOMM，在两种算法下中位数接近0，但没有外环算法时分布更广，异常值也更多，这反映了时钟偏移估计准确性的变异性增加，可能导致精度下降。Iridium星座也观察到了类似的趋势，没有外环算法时分布更广，异常值更明显。

图13展示了有无外环处理时接收机时钟漂移残差的比较。与时钟偏移一样，在考虑了传播时间的外环算法下，两种星座的IQR显著变窄，异常值也更少。图12和图13的结果表明，考虑传播时间有助于更准确和稳健地估计与时钟相关的误差。每个参数的统计结果显示在表2中。上述实验表明，所提出的外环算法在理论上提供了更高的精度和稳定性。为了进一步验证其在实际应用中的性能，我们在模拟中加入了更现实的轨道误差模型（径向/横向/法向方向的轨道误差分别设置为500米、2500米和1000米），并假设用户是静止的。图14展示了带有现实轨道误差时的定位误差。正如预期的那样，加入轨道误差后定位误差显著增加。然而，所提出的外环算法仍然表现出更好的性能。ORBCOMM星座在三个方向上的定位精度分别提高了15.1%、16.3%和19.5%。同样，Iridium星座的平面和垂直精度也分别提高了17.7%和16.5%。此外，实验观察发现，与理想化场景不同，当存在现实轨道误差时，信号传播时间对状态估计的隐含效应可以忽略不计。只有当定位精度达到米级甚至亚米级时，这种影响才变得不可忽视。

前两小节的实验结果表明，传播时间对LEO定位系统的影响不可忽视，所提出的外环算法有潜力提高系统性能。考虑到LEO系统对初始状态的敏感性比GNSS系统更强，且初始偏差越大，系统达到收敛所需的迭代次数越多。因此，本小节研究了外环算法能够实现收敛的初始值边界，并将轨道误差设置为（500米、2500米、1000米）。首先，我们将初始坐标偏差设置为10公里，初始时钟偏移设置为0.05秒，初始时钟漂移设置为1纳秒/秒，采样时间设置为300秒。这是一个静态测试，没有分析速度效应。图15显示了随着迭代次数（最多50次迭代）定位误差的变化。y轴代表定位误差，x轴代表迭代次数。每个数据点对应于特定迭代次数下的平均点误差，上下误差条代表一个标准差的误差区间。图15显示了随着迭代次数增加定位误差的变化曲线。轨迹显示误差幅度迅速下降，从最初的近10公里降至大约1公里，表明算法有效地纠正了粗略的初始估计。值得注意的是，在前5次迭代中定位误差急剧下降。大约10次迭代后，误差曲线趋于平稳，定位误差的平均值和变异性变化很小。这种行为表明算法收敛到了局部或全局最小值，反映了算法在后续迭代中的稳定性，因此后续实验迭代次数设置为10次。图16和图17展示了在不同初始时钟漂移下，定位算法成功收敛时LEO卫星的初始时钟偏移估计对初始位置估计的敏感性，其中真实时钟漂移设置为2.5纳秒/秒。在每个图中，蓝色、橙色和黄色曲线分别对应于初始时钟漂移与真实值10纳秒/秒、1纳秒/秒和0.1纳秒/秒的偏差。每条曲线下的阴影区域定义了基于多普勒的定位模型中时钟和位置参数成功联合估计的可观测性边界。I、II、III代表在不同初始时钟漂移下算法的收敛区间。本质上，任何位于阴影区域内的初始状态（位置和时钟偏移）都应该能够收敛，突出了空间和时间不确定性对模型收敛性能的影响。

图16显示了随着初始位置偏差的增加，算法收敛的允许时钟偏移偏差边界减小。当初始位置接近真实位置时，系统可以容忍高达数百毫秒的初始时钟偏差。然而，当初始位置相距300公里时，可容忍的时钟偏差降至50毫秒以下。这一趋势表明，空间不确定性的增加显著减少了算法在时间域中的收敛范围，使其对初始时钟偏移更加敏感。图17中Iridium星座的分析结果也显示了类似的趋势，即初始时钟偏移边界会受到初始位置的影响。此外，三条曲线之间的分离说明了初始时钟漂移在进一步缩小收敛域中的作用。随着初始时钟漂移偏差的增加，定位系统对位置和时钟误差的容忍度降低，这也反映了时钟漂移不稳定性对LEO系统鲁棒性的复合影响。此外，本研究中呈现的收敛边界是在假设轨道误差分别为（500米、2500米、1000米）的情况下得出的。当使用精确的星历数据时，仍然可以在相同的可接受初始化区域内实现收敛。为了定量分析轨道误差与所提算法收敛区域之间的关系，通过引入不同水平的轨道误差进行了实验。以轨道误差（500米、2500米、1000米）下的收敛区域作为参考基准区域，评估了不同轨道误差下的收敛概率。相应的结果显示在图18中，可以看出我们评估了在不同轨道误差幅度下定位算法的收敛概率，范围从100米到20000米。结果表明，当轨道误差在5000米以内时，算法可以表现出高可靠性。然而，当误差超过这一临界阈值时，性能急剧下降。在7500米的轨道误差下，概率降至68.2%，在10000米时进一步降至18.6%。超过12000米时，算法无法有效收敛，概率接近零。

在前一节中，仿真实验验证了所提出外环算法的理论可行性。在本小节中，基于实际Iridium数据的定位结果用于测试所提算法在实际应用中的有效性。本小节使用的实验数据来自Song等人（2025年）发布的公开开源数据集，该数据集是在香港理工大学校园内使用软件定义的接收器收集的。数据集持续时间为35秒，包含来自8颗卫星的436个多普勒测量值，真实数据源的详细信息在表3中给出。为了阐明卫星可见性和几何布局，图19展示了与此数据集对应的实际卫星观测条件。如图所示，有八颗卫星参与了观测。其中，有三颗卫星仅被捕获了一次，用实心点表示。可以看出，所有卫星并非同时出现，而是在不同的短时间段内被捕获的。此外，卫星在接收器的两侧对称分布，提供了优良的几何配置。为了增强数据集的真实性，图20展示了每颗观测卫星的多普勒演化过程。多普勒曲线显示出平滑且连续的变化，变化幅度达到数十千赫兹，这与铱星LEO卫星预期的相对运动特性一致，进一步证实了观测结果的物理一致性。这也表明，该数据集非常适合在有利观测条件下评估所提出模型的性能。

图19 实际铱星测量的天空图（全尺寸图像）

图20 观测期间的多普勒观测变化曲线（全尺寸图像）

接收器的初始位置偏差设置为100公里，考虑到单个观测周期内可见卫星的数量较少，因此使用多个观测周期的多普勒观测数据进行联合计算，窗口大小设置为40。除了所提出的外环算法外，还使用了粗时间算法进行比较。两种算法的定位结果如图21所示。左侧面板表示平面误差，右侧面板表示高度方向定位误差。红色图标和蓝色图标分别代表外环算法和粗时间算法的定位结果。椭圆和直线代表两种算法的95%置信区间。

图21 在测量数据下外环算法与粗时间算法的定位结果比较（全尺寸图像）

从图21的左侧面板可以很容易地得出结论：在水平面上，粗时间估计的分布更广，东方向和北方向的定位误差分别为145米和23米。95%置信椭圆也更大，表明其定位结果更加分散，定位精度较低。相比之下，所提出的外环算法的分布更为集中，东方向和北方向的定位误差分别为127米和16米，分别提高了12.4%和30.4%，表明其在水平方向上的一致性和精度得到了提升。置信椭圆范围的减小也间接证实了所提算法在减少平面定位误差方面的有效性。

右侧面板中的高度误差显示出类似的模式，外环算法的误差为22米，比粗时间算法提高了32.1%。所提出的算法在垂直方向上的误差幅度显著降低，围绕零点的聚集更为紧密，极端偏差也更少。总体而言，这些结果定量证明了外环算法在水平和垂直方向上都提供了出色的定位精度和稳定性，验证了其在提高LEO定位精度方面的有效性。在所有实验配置下，所提算法在不超过五次外环迭代内即可收敛，平均运行时间约为0.17秒。这表明所引入的外环算法不会带来过大的计算开销，为其实际应用提供了有力支持。

结论

在这项研究中，我们提出了一个考虑信号传播时间影响的LEO外环定位框架，并通过仿真和实测实验验证了其性能。我们的算法包括以下几个关键步骤：

1) 考虑到大气延迟对LEO信号传输的影响，引入了有限差分多普勒模型来减弱其影响。同时，由于LEO卫星传输的信号不包含传输时间信息，粗略的时间估计可能导致数十米的测量误差，我们使用纯几何算法来估计信号传播时间，以更准确地估计LEO卫星的状态。实验结果表明，每个星座可以在5次迭代内获得稳定的时间估计。

2) 我们提出了一个考虑信号传播时间的多普勒外环定位框架。仿真结果表明，在理想条件下，与忽略传播时间影响的LEO定位模型相比，所提出的外环算法在二维和三维定位精度上分别提高了15%以上和10%以上，并且速度估计精度也提高了20%以上。此外，对接收机时钟误差相关性的分析表明，所提出的外环算法产生的时钟误差和漂移误差分布更窄，异常值更少，提高了其估计的一致性。在考虑轨道误差的同时，该方法能够提供更稳定和准确的导航解决方案。

3) 随着初始偏差的增加，LEO系统需要更多的迭代才能达到收敛。我们以初始偏差为1公里时LEO系统的收敛条件作为参考，研究了所提算法能够达到的初始值范围。从实验结果可以看出，空间不确定性的增加显著减小了算法在时间域内的收敛范围，特别是当初始位置误差达到300公里时，可容忍的时钟偏移误差降至50毫秒以下。实测实验结果表明，在多周期铱星观测的联合解条件下，所提算法的平面误差小于150米，比粗时间算法高出约20%。尽管LEO系统的定位误差较大，且定位结果与仿真结果不完全一致，但这仍为未来的LEO高精度定位提供了有希望的解决方案，并为后续的LEO共精度定位提供了理论基础。