风力涡轮机尾流数据集建立方法及基于数据的尾流预测模型 唐庆红、 吴玉欣、 李长华、 段佩瑶、 吴家豪、 刘俊福

《Energies》：A Dataset Establishment Method for Wind Turbine Wake and a Data-Driven Model of Wake Prediction Qinghong Tang, Yuxin Wu, Changhua Li, Peiyao Duan, Jiahao Wu and Junfu Lyu

　　摘要：本文提出了一种交叉构建方法，用于建立风轮机尾流数据集，显著降低了计算流体动力学（CFD）的成本。该方法涉及调整一个运行参数（如叶尖速比（TSR）的同时，保持其他参数在其最优值。这一过程在另一个参数（来流速度）上重复进行，以生成一个稀疏但信息丰富的数据集。CFD模拟使用了大涡模拟（LES）与执行器线模型（ALM）相结合的方法来生成数据。基于错误分类（PFNEC）的预训练和微调网络被开发出来，在两种验证条件下实现了高达0.9750和0.9851的预测准确率。设计了两种基于softmax函数和残差块的模型，在不同条件下取得了最佳性能，其决定系数分别为0.9921和0.9891。傅里叶嵌入被应用于增强神经网络的输入特征。向原始数据集中添加四个样本后，极端运行条件下的预测准确率从0.7143和0.7034提高到了0.9939和0.9886。这种交叉构建方法可以显著降低数据集建立的成本。这些模型展示了可靠的泛化能力和预测准确性。

1. 引言
作为一种清洁能源，风能已成为能源供应中越来越重要的组成部分[1]。风轮机是一种将风能转化为电能的装置，可以分为水平轴风轮机（HAWTs）和垂直轴风轮机（VAWTs）以及其他配置[2]。风电场是大规模利用风能的主要形式。风轮机尾流对运营优化和能量生产最大化构成了重大挑战[3]。预测尾流特性并为控制策略提供更多尾流信息非常重要。
在风轮机尾流预测的早期阶段，研究人员使用了分析模型来进行预测。1983年提出了Jensen模型[4]，随后提出了假设尾流速度亏损呈高斯分布的高斯模型[5]。为海上风轮机开发了三维尾流模型[6]。分析模型可以有效地估计尾流速度，但在非最佳条件下的准确性仍然有限。
机器学习方法也被应用于风轮机尾流的预测。神经网络能够表示运行条件与尾流量之间的非线性映射，并已广泛用于流动预测[7]。用于风轮机尾流场预测的神经网络架构包括多层感知器（MLPs，也称为前馈人工神经网络（ANNs）、卷积神经网络（CNNs）和图神经网络（GNNs）[8]。此外，最近还探索了更先进的框架，如物理信息神经网络（PINNs）[8]。尾流预测使用风速、叶尖速比（TSR）和湍流强度作为输入特征。单个风轮机的风速由MLP预测，数据由计算流体动力学（CFD）生成[9]。通过CFD模拟训练的ANN预测了具有均匀来流的独立风轮机的湍流强度和尾流速度[10]。Ti等人[11,12]采用ANN进行尾流和功率预测，结果令人满意。Nakhchi等人[13]通过模拟建立了数据集，并使用ANN架构预测尾流场，偏差较小。使用基于实际光检测和测距（LiDAR）的替代模型提取潜在空间并预测尾流[14]。为了与分析尾流模型结合，ANN被用来预测非线性尾流扩展并使用Jensen模型计算尾流[15]。为了更有效地捕捉尾流场中的空间相关性，卷积神经网络（CNN）也被应用于时空尾流预测[16,17]。提出了深度卷积条件生成对抗网络（DC-CGAN），它可以捕捉风轮机偏航角引起的尾流偏转，且CGAN具有泛化能力[18]。LES数据被用来训练CNN自编码器以重建时间平均流场[19]。设计了一种包含两个GNN层的图神经运算符（GNO）架构，可以识别具有强尾流相互作用的区域[20]。提出了物理信息神经网络（PINN），可以将控制方程加入损失函数中，使神经网络学习物理定律[21]。对于风轮机尾流预测，测量数据被视为数据损失以重建多台风轮机的尾流场[22]。在执行器盘模型（ADM）被加入控制方程中，以计算风轮机对流体的作用力并计算尾流场[23]。构建了一个多尺度风轮机尾流场预测框架，对单个风轮机、风轮机阵列和公用事业规模风电场的预测准确率都很高[24]。
虽然已经开发了不同的神经网络架构用于风轮机尾流预测，但这些模型的设计并没有明确考虑风轮机尾流流动的固有物理特性。在本研究中，将风轮机尾流的特征纳入数据特征工程和神经网络设计中，以提高预测性能。神经网络能够快速进行尾流预测，但有效的训练需要高质量的数据集。进行了403次模拟来生成数据集，然后建立了一个人工神经网络（ANN）来预测尾流[11]。Nakhchi等人[13]使用LES进行了一系列高保真模拟来生成训练数据，并采用了极端梯度提升机器学习算法进行尾流预测，他们发现极端梯度提升模型比ANN模型更准确。Li等人[17]在不同风轮机偏航角下进行了17次时间模拟作为训练数据，并训练了一个卷积神经网络来推断流场。结合了工程尾流模型和LES模拟来训练一个计算成本较低的数据驱动模型[25]。以往的研究通常确定一组风轮机运行参数，均匀变化每个参数，然后将所有参数水平组合起来形成一个密集的参数空间数据集。这种方法计算成本很高，因为它需要对每个参数组合进行完整的CFD模拟。因此，需要能够以较低成本高效构建综合数据集的方法。
本研究解决了两个基本问题：（1）如何以经济有效的方式构建综合数据集？（2）如何将尾流特性有效地嵌入神经网络架构中？设计了一个基于错误分类的神经网络来提高预测性能。引入了傅里叶嵌入方法来丰富输入特征[26]。本文提出了一种数据集构建的交叉构建方法，并使用这种方法以低成本构建了一个稀疏的风轮机尾流数据集。这些神经网络是为风轮机尾流预测设计的，证明了傅里叶嵌入可以提高预测准确性。第2节描述了CFD设置和验证。第3节介绍了全连接网络（FCN）和人工神经网络（ANN）之间的比较以及交叉构建方法的介绍。第4节展示了基于错误分类的先进模型并分析了结果。第5节给出了综合结果和讨论。第6节讨论了神经网络的泛化能力和交叉构建数据集的修改。第7节总结了本研究的结论。

2. CFD框架
不可压缩流动中LES方法的过滤连续性方程和过滤Navier-Stokes方程如下所示[27,28,29]：
???????????????=0 (1)
?????????????+???????(???????????????????)=?1????????????+??????2?????????????????????????????????+???? (2)
其中?????????是过滤后的速度张量，上划线表示网格过滤变量，p是压力，ρ是空气密度1.225 kg/m3，μ是动态粘度，fi是由ALM计算的外部力。??????? =??????????????????? ?????????????????????是子网格尺度（SGS）应力张量。在单方程模型中：
????????13????????????????=?2???????????????????????? (3)
????????????=12?(???????????????+???????????????) (4)
??????????????+??????????????????????????=?(????????13????????????????)?????????????????????3/2????????Δ?????+???????[(?????Δ?√??????????+??)?????????????????] (5)
??????????=?????Δ?√?????????? (6)
其中νsgs是子网格运动粘度，Cε和Ck是两个常数系数，Cε = 0.93，Ck = 0.0673，Δ是滤波器大小，εw是近壁耗散修正。
在本模拟中实现了LES单方程模型[30,31]。对于风轮机尾流，ALM与LES方法结合用于风轮机流动模拟[32]。风轮机模型和实验数据来自NTNU（挪威技术-自然科学大学）“Blind test 1”[33,34]。计算域在图1中展示。计算域的大小与实验中的高度和宽度相同。入口边界设置为来流速度U0 = 10 m/s，出口边界设置为压力边界。入口的湍流强度为0.3%，与实验设置一致。为了避免用精细的网格解析壁边界层，在顶部、底部、前部和后部墙壁上应用了滑移边界条件。所有模拟都使用开源软件SOWFA（Simulator fOr Wind Farm Applications）进行。图1显示了计算域。整个计算域的初始网格大小为0.15 m。尾流区域逐渐细化。第一个细化区域是x ∈ [?1.8 m, 9 m]，y ∈ [?1.35 m, 1.35 m]，z ∈ [0 m, 2 m]。第二个细化区域是x ∈ [?0.5 m, 4.9 m]，y ∈ [?0.9 m, 0.9 m]，z ∈ [0 m, 1.5 m]。第三个细化区域是x ∈ [?0.3 m, 4.7 m]，y ∈ [?0.9 m, 0.9 m]，z ∈ [0 m, 1.5 m]。第四个细化区域是x ∈ [?0.2 m, 2.8 m]，y ∈ [?0.9 m, 0.9 m]，z ∈ [0.3 m, 1.5 m]。最细区域的网格大小为0.009375 m。非稳态时间步长对应于所有TSR条件下的1°转子旋转，平均流场平均窗口超过50转以确保统计收敛。入口处的来流湍流强度设置为0.3%，与实验设置相同[34]。
在应用ALM时，使用高斯投影函数使升力和阻力的分布更加平滑[33]：
????=1??3???3/2?exp?(???2??2) (7)
其中????是平滑投影函数，ε是高斯投影宽度，d是局部执行器点与局部网格之间的距离。在本研究中，高斯投影宽度设置为ε = 0.0018 m。
TSR的定义如方程（8）所示。通过将模拟结果与实验测量的功率系数Cp（方程（9）和推力系数CT（方程（10））进行比较来验证模拟。数值结果与实验数据在功率系数Cp和推力系数CT方面吻合良好，从低TSR到高TSR都是如此。本研究的数值框架适用于风轮机尾流流的模拟和尾流数据集的构建。
??=???????0 (8)
????=?????0.5?????????30 (9)
????=??0.5?????????20 (10)
????=??0???mean??0 (11)
其中λ是TSR，ω是旋转速度（rad/s），R是转子半径（m），U0是自由流速度10 m/s，Umean是时间平均速度（m/s），M是涡轮机扭矩（N·m），F是涡轮机的轴向力（N），A是涡轮机的扫掠面积（m2）。图2显示了功率和推力系数。

3. 全连接网络和数据集建立的验证
3.1. 人工神经网络与全连接网络的比较
通过交叉变化TSR λ = 5.6和设计风速U0 = 10 m/s进行了CFD模拟，以构建数据集。表1列出了案例1-36中输入变量（λ, U0）的变化。案例35和36用作验证案例。CFD数据集在Intel(R) Xeon(R) CPU E5-2678 v3 @ 2.50 GHz上使用并行处理生成。神经网络的训练和推理在13代Intel(R) Core(TM) i7-13700k CPU上进行。在每次训练中，模型都训练了500个周期以确保收敛。代码链接如下：https://github.com/CAME-THU/Wake-prediction-model-PFNEC。表1展示了数据集的条件。将人工神经网络（ANN）应用于风力涡轮机尾流预测，并将模型分解为多个子模型[11,12,13]。ANN的架构如图3所示。本研究共设计了1017个子模型，每个子模型包含75个输出U的元素，这些元素与参考文献[13]中的设置一致。每个子模型的隐藏层有10个神经元。将ANN的性能与本研究中设计的神经网络进行了比较。图3显示了ANN的架构。本研究中使用的卷积神经网络（FCN）的架构如图4所示。FCN的输入是湍流强度（TSR）λ和自由流风速U0，输出是轮毂高度z = 0.817米处的XY平面网格点速度，包含n = 76,230个空间点。为了获得更好的预测性能并避免过拟合，FCN分别选择了具有128个和256个神经元的两个隐藏层。图4显示了FCN的架构。神经网络（NN）预测与计算流体动力学（CFD）模拟之间的相对误差δ定义为：δ = (NN预测值 - CFD预测值) / CFD预测值 × 100（12），其中Umean-CFD是由CFD计算出的平均速度，Umean-NN是由神经网络算法回归得到的平均速度。决定系数R2和均方根误差（RMSE）定义为：R2 = 1 - Σ(i=1)^N (yi - ?i)^2 / Σ(i=1)^N (yi - ?)^2（13），RME = √[Σ(i=1)^N |yi - ?i|2]（14），其中N是样本数量，yi是CFD的结果值，?i是NN的结果值，?是CFD数据的平均值。为了比较ANN和FCN在外部条件（λ, U0）= (7.3, 11.5)和（λ, U0）= (4.0, 8.5）下的预测能力，推理结果如图5所示。ANN和FCN的平均速度Umean等高线如图6所示。图中还标出了ANN和FCN预测与CFD（真实值）的散布分布，以及±5%和±10%的相对误差带。根据图5和图6的比较，FCN的表现始终优于ANN。图5显示了ANN和FCN回归得到的平均速度Umean与CFD模拟结果的分布。图6显示了XY平面上ANN和FCN平均速度Umean结果的比较。对于（λ, U0）= (4.0, 8.5)的条件，FCN的表现优于ANN。决定系数R2和RMSE分别为（λ, U0）= (7.3, 11.5)的R2 = 0.9541和RMSE = 0.5366，略高于（λ, U0）= (4.0, 8.5)的R2 = 0.9505。ANN的预测结果分别为（λ, U0）= (7.3, 11.5)的R2 = 0.7374和（λ, U0）= (4.0, 8.5)的R2 = 0.3858。图6中ANN和CFD之间存在较大差异。在Ti等人的研究[11]中，使用RANS方法生成了训练数据。流动数据被插值到x × y × z = 40 × 250 × 24的网格中。Nakhchi等人[13]使用LES方法生成训练数据，流场数据被插值到360,000个数据点，但LES的网格元素数量为1036万个。如果将网格点数据插值到稀疏网格中，将会丢失尾流中的尖锐梯度和高频结构等详细特征。但在这项研究中，使用LES模拟生成了训练数据，并且网格点数据直接输出，没有进行任何稀疏插值。因此，训练和验证结果都保留了LES的空间分辨率。3.2. 交叉构建方法对于数据驱动模型来说，构建一个全面且高质量的数据集非常重要。如前一节所分析的，需要高保真度的模拟，并且数据应直接输出，不进行任何插值，以保持高空间分辨率来训练神经网络。然而，构建高保真度CFD数据集的计算成本很高。在之前的研究中，研究人员建立了包含数百个案例的数据集。Ti等人[11]建立了一个包含403次模拟的尾流数据集，涵盖了不同的速度和湍流强度范围。因此，一个关键问题是如何在保留捕捉全面尾流特征的能力的同时构建一个稀疏数据集。提出了一种交叉构建方法来解决上述问题。通常，应该通过CFD模拟大量条件（蓝色和黑色点）来建立完整的数据集，如图7所示。为了降低计算成本并保证数据集的多样性，提出了一种交叉构建采样方法来建立数据集，如图8所示。根据涡轮机设计，选择了TSR = 5.6和U0 = 10 m/s的参数。涡轮机设计用于风速为10 m/s和设计TSR为λ = 6.0[33]。当风速较高时，采用俯仰控制来降低TSR，以防止超速并保护涡轮机部件。因此，在本研究中选择U0 = 10 m/s和λ = 5.6的参数来使用交叉构建方法生成数据集。两个参数以交叉方式变化，以构建稀疏数据集，如图8和表1所示。模拟了两个外部条件作为验证样本，以验证交叉构建方法的有效性。显然，这是一个参数从低值变化到高值的稀疏数据集。图7中避免了蓝色数据点的模拟。使用交叉构建方法，大约避免了图7中蓝色标记对应的270次CFD模拟。进行验证以确认该数据集是否能够反映全面特征。图7显示了构建训练数据集的TSR和U0参数的分布。图8显示了交叉构建训练数据集的TSR和U0参数的稀疏分布。4. 网络设计与分析 4.1. 带有坐标信息的全连接网络此外，当模型在稀疏数据集上训练时，还需要修改神经网络架构以实现高精度预测。如图5和图6所示，尾流场内不同空间位置的速度分布存在很大差异。叶片尖端附近出现了高误差区域。由于涡轮叶片的影响，叶片尖端附近的速度亏损较大。为了提高风力涡轮机尾流速度场的预测精度，将坐标作为输入特征来表示空间特征。考虑坐标信息旨在增强神经网络捕捉的空间相关性。如图9所示，设计了一个带有坐标的全连接网络（FCN-C）。在FCN-C中，输入数量为4，输出数量为1，每个样本都有一个唯一的坐标值（x, y）。对于一个运行条件，2D平面上的所有样本都有相同的λ和U0。输出是一个空间点的速度Umean。一个样本（x, y）对应一个输出速度Umean。每个案例在2D平面上有n = 76,230个点，因此在FCN-C中，每个案例有n = 76,230个样本。图9显示了带有坐标信息的全连接网络的架构。考虑坐标信息后，FCN-C的结果如图10和图11所示。预测结果通过散点图显示在图10中。CFD Umean的等高线、预测值以及相应的误差显示在图11中。结果显示，FCN-C提高了预测精度。对于（λ, U0）= (7.3, 11.5)的条件，决定系数R2为0.9752，高于FCN模型的R2 = 0.9541。在（λ, U0）= (7.3, 11.5)条件下，93.79%的n = 76,230个数据点的相对误差在10%范围内（?10% ≤ δ ≤ 10%）。对于（λ, U0）= (4.0, 8.5)的条件，决定系数R2为0.9528，也高于FCN模型的R2 = 0.9505。但是93.18%的数据点（n = 76,230）的相对误差在10%范围内（?10% ≤ δ ≤ 10%），低于FCN模型。两种条件的RMSE分别降低到0.3945和0.2952。图11明显显示，与FCN相比，FCN-C中叶片尖端附近的高误差区域有所减少。图10显示了FCN-C回归得到的平均速度Umean与CFD模拟结果的分布。图11显示了XY平面上FCN-C和CFD模拟平均速度Umean结果的比较。4.2. 基于错误分类的先进模型对于LES模拟所需的网格分辨率预测，部分空间网格点与真实数据有较大偏差，尤其是在低速区域。设计了一个微调神经网络来学习低速区域的特征。设计了一个基于错误分类的预训练和微调网络（PFNEC）。如图12所示，首先训练第一个神经网络，得到初步网络。使用初步网络从训练数据中进行推断，并计算与训练数据的误差。误差较大的样本表明它们对初步网络来说较难学习。然后，使用相对误差作为标准将训练数据分为五类，如图12所示。Bengio等人提出了从简单示例到复杂示例的渐进式学习策略[35]。在这项研究中，首先对误差< 10%的样本进行网络训练，得到NN1。然后使用10% ≤ 误差 < 30%的数据对NN1进行微调，得到NN2。以相同的方式重复此过程，最终在总分类数据后得到五个模型。图12显示了基于错误分类的预训练和微调网络的架构。训练后，根据训练数据中的误差性能得到了五个模型NN1-NN5。因此，在推理期间的验证数据中，首先确定验证样本属于哪个类别，然后选择相应的模型进行推断。本研究考虑了三种分类方法，如图13所示。（1）第一种方法是训练数据分类（TDC），根据训练样本的索引对验证样本进行分类。对于某个TSR和某个风速的运行条件，中间平面包含n = 76,230个空间点，相应的预测值有不同的误差，这些点被分配到不同的类别中。这些点从0到76,229进行索引。根据76,230个点的索引对验证数据进行分类，以确定具有相同索引的训练样本属于哪个类别。（2）第二种方法是欧几里得距离分类（EDC）。对于FCN-C模型，神经网络使用了四个输入：坐标x（i = 0）、y（i = 1）、TSR（i = 2）和风速（i = 3）。使用欧几里得距离（公式（15））来确定验证样本的分类。在公式（15）中，维度D = 4。对于每个测试样本，可以计算每个训练样本的欧几里得距离d(x,y)。在此过程中，首先计算与坐标x（i = 0）和y（i = 1）相关的欧几里得距离，然后找到与训练样本最接近的索引。首先，欧几里得距离判别方法更注重空间特征，因为高误差点通常集中在相邻的空间区域内。在第一次判别之后，将TSR（i = 2）作为欧几里得距离的第三个参数纳入考虑，以进一步确定结果。最后，如果前三个参数（i = 0, 1, 2）无法唯一确定该验证样本的类别，则使用第四个参数（i = 3）来计算欧几里得距离，识别最近邻点，并为其分配一个唯一的类别。

第三种方法是神经网络分类（NNC），该方法通过训练误差数据来设计分类模型。训练数据被分为五个类别，因此为分类模型设置了五个输出。训练完成后，NNC可以预测验证样本的类别，并选择相应的模型进行推理。其他分类方法也可以使用，例如支持向量机、随机森林等。

$$\mathbb{d}^2(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{x}_i - \mathbf{y}_i)^2}$$ （15）其中D是数据空间的维度（本研究中D = 4），$\mathbf{x}$是验证样本，$\mathbf{y}$是训练样本。图13展示了三种用于推理的分类方法。

4.3. 带有softmax层的全连接网络
如图14所示，设计了一个带有softmax层的全连接网络（FCN-S）。在输出之前添加了一个softmax层。softmax函数常用于分类网络中，以使输出满足概率规则，即所有概率之和等于1。在本研究中，设计了两个隐藏层，并在第二个隐藏层的输出之后添加了softmax运算符（公式（16）。该网络中softmax的功能是通过指数运算来调整隐藏神经元的影响。权重较大的神经元在经过softmax运算后会被放大，而权重较小的神经元则会被抑制。通过这一过程，隐藏神经元中的无关权重被最小化，同时保留了有用的权重，从而对输出产生更大的贡献。

$$\mathbf{h} = \sum_{i=1}^{n} w_i \mathbf{x}_i + b \mathbf{y}_i = \sum_{i=1}^{n} s_i \exp(\theta_i)$$ （16）其中$W$是神经网络的权重，$\mathbf{x}$是输入，$b$是偏置，$\mathbf{h}$是第二个隐藏层的输出，$\exp$是指数函数。图14展示了带有softmax层的全连接网络的架构。

4.4. 带有残差块的全连接网络
如图15所示，设计了一个带有残差块的全连接网络（FCN-RB）。对FCN和FCN-C的结果分析表明，大误差主要发生在叶片尖端区域，该区域的特点是速度幅度低且梯度陡峭。因此，这些样本对反向传播更新权重的影响较小，尤其是在早期层中。如图15所示，在FCN-C架构中添加了残差块（公式（17）。FCN-RB保留了原始的全连接层，并增加了残差块，以促进足够的参数和有效的反向传播。

$$\mathbf{y} = \sigma (\mathbf{w}_i \mathbf{x} + \mathbf{x})$$ （17）其中$\sigma$是激活函数，$\mathbf{x}$是神经网络的输入。图15展示了带有残差块的全连接网络的架构。

5. 高级神经网络的结果与讨论
基于训练数据分类的误差分类（PFNEC-TDC）、欧几里得距离分类（PFNEC-EDC）和神经网络分类（PFNEC-NNC）的预训练和微调网络的预测结果如图16所示。FCN-S和FCN-RB的结果如图17所示。与FCN和FCN-C相比，PFNEC在预测准确性上有了显著提高。在PFNEC的三种分类模型中，EDC的表现最好，对外部条件的预测准确性最高。如图16所示，NNC在高速条件下的预测偏差较大。EDC的分类基于欧几里得距离，这种数学信息将验证样本的预测偏差限制在合理范围内。而NNC的分类在数学上没有限制。如图17所示，FCN-S和FCN-RB的预测结果在两种外部条件下的表现略优于PFNEC。对于（λ, U0）= (7.3, 11.5），FCN-S的预测效果最佳，R2为0.9921，76,230个数据点中有98.27%的相对误差在10%以内（-10% ≤ δ ≤ 10%）；对于（λ, U0）= (4.0, 8.5），FCN-S的预测效果最佳，R2为0.9891，99.69%的数据点相对误差在10%以内（-5% ≤ δ ≤ 5%）。PFNEC-EDC的预测结果接近最优模型的结果。所有模型在预测风力涡轮机尾流方面都表现良好，需要注意的是，神经网络模型在训练期间的初始化对预测准确性有不可忽视的影响。总体而言，操作条件（λ, U0）= (4.0, 8.5）比（λ, U0）= (7.3, 11.5）更容易学习和推理。

图16. PFNEC-TDC、PFNEC-EDC和PFNEC-NNC预测的平均速度Umean与CFD仿真结果的分布对比。图17. FCN-S和FCN-RB预测的平均速度Umean与CFD仿真结果的分布对比。不同模型的等高线及其相对误差分布分别显示在图18和图19中。可以发现，对于（λ, U0）= (7.3, 11.5)条件，高误差区域主要分布在叶片尖端附近；对于（λ, U0）= (4.0, 8.5)条件，高误差区域主要分布在机舱尾流区域。原因是较高的TSR在叶片尖端附近引起了较大的速度梯度，这使得捕捉这一特征变得困难。与CFD结果相比，这些模型的预测准确性是可以接受的。如前文分析所述，FCN-RB在（λ, U0）= (4.0, 8.5)条件下的表现最佳，而FCN-S在（λ, U0）= (7.3, 11.5)条件下的表现最佳。PFNEC-EDC在两种外部条件下的预测也表现可靠。

$$\mathbb{M}_E = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\hat{\mathbf{y}_i - \mathbf{y}_i|^2$$ （18）$$\mathbb{A}_E = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\hat{\mathbf{y}_i - \mathbf{y}_i|^2$$ （19）$$\mathbb{A}_T = \frac{100}{n} \sum_{i=1}^{n} |\hat{\mathbf{y}_i - \mathbf{y}_i| \mathbf{y}_i|$$ （20）$$\mathbb{S}_A = \frac{100}{n} \sum_{i=1}^{n} 2 \left( |\hat{\mathbf{y}_i - \mathbf{y}_i| + \hat{\mathbf{y}_i \right)^2\right)$$ （21）$$\mathbb{T} = \frac{100}{\sqrt{2 \sum_{i=1}^{n} (\hat{\mathbf{y}_i - \mathbf{y}_i|^2 + (\mathbf{y}_i - \bar{\mathbf{y})^2}}$$ （22）

图18. PFNEC-TDC、PFNEC-EDC和PFNEC-NNC与CFD仿真结果在XY平面上的平均速度Umean对比。图19. FCN-S和FCN-RB与CFD仿真结果在XY平面上的平均速度Umean对比。使用了六个评估参数来衡量不同模型的性能，包括决定系数R2（公式（13））、均方误差（MSE）（公式（18）、平均绝对误差（MAE）（公式（19）、平均绝对百分比误差（MAPE）（公式（20）、对称平均绝对百分比误差（sMAPE）（公式（21）和准确率-精确度百分比（PAP）[36]（公式（22））。不同模型在六个评估参数上的结果如表2所示。显然，FCN-RB在（λ, U0）= (4.0, 8.5)条件下的表现最佳，而FCN-S在（λ, U0）= (7.3, 11.5)条件下的表现最佳。PFNEC-EDC的结果也是可接受且可靠的。

6. 使用交叉构建方法对高级模型进行泛化
前一节中通过不同神经网络的性能验证了交叉构建方法的有效性。有必要评估神经网络在极端操作条件下的尾流预测性能，并测试当前数据集是否能够训练出能够在极端操作条件下预测尾流的神经网络。因此，选择了数据集边界上的两个条件（III (λ, U0) = (3.0, 6.0) 和 IV (λ, U0) = (10.2, 14.5)）来测试在当前数据集上训练的神经网络，如图20所示。图20显示了交叉构建数据集中的验证数据点分布。如前一节所述，FCN-S和FCN-RB在案例I和II的尾流预测中表现最佳。在验证案例III和IV下，使用交叉构建数据集训练的FCN-S和FCN-RB的预测结果如图21所示。显然，与案例I和II相比，案例III和IV的预测偏差较大。对于FCN-S模型，决定系数R2在案例III (λ, U0) = (3.0, 6.0)时为0.4974，在案例IV (λ, U0) = (10.2, 14.5)时为0.7034。FCN-RB在案例III (λ, U0) = (3.0, 6.0)时的决定系数R2为0.7143，在案例IV (λ, U0) = (10.2, 14.5)时为0.8448。需要在保持低计算成本的同时提高极端操作条件下的预测准确性。

图21. 使用原始数据集，在III和IV条件下，FCN-S和FCN-RB预测的平均速度Umean与CFD仿真结果的分布对比。为了使神经网络学习这些特征，需要在数据集中包含极端操作条件下的流动特性。如图22所示，在修改后的交叉构建数据集中添加了四个位于数据集边界上的条件。这四个案例在图22中用蓝色数据点标记。FCN-S和FCN-RB使用相同的初始化参数在修改后的交叉构建数据集上重新进行了训练。经过500个训练周期后，案例III和IV的预测结果如图23所示。图22显示了修改后数据集中的数据点分布。图23显示了FCN-S和FCN-RB在修改后的数据集上预测的平均速度Umean与CFD仿真结果的对比。图23给出了预测结果与CFD结果的散点图。与在原始数据集上训练的预测结果相比，偏差明显减小。对于案例III (λ, U0) = (3.0, 6.0)，FCN-S的决定系数R2为0.9545；对于案例IV (λ, U0) = (10.2, 14.5)，R2为0.8947。FCN-RB的准确性进一步提高，对于案例III (λ, U0) = (3.0, 6.0)的R2为0.9777，对于案例IV (λ, U0) = (10.2, 14.5)的R2为0.9793。

通过分析风力涡轮机尾流的特征和预测误差的分布，可以发现叶片尖端尾流区域附近出现较大误差。在叶片尖端，速度梯度较大，且会产生叶片尖端涡流，这使得神经网络难以捕捉该区域的梯度变化特征。为了使神经网络能够学习包含多个频率分量的复杂数据，采用了二维傅里叶特征嵌入[26]。傅里叶嵌入表示为公式（23）：

$$\mathbf{\hat{\mathbf{y}} = \left[ \sin(2\pi x), \cos(2\pi x), \ldots, \sin(2(i-1)\pi x), \cos(2(i-1)\pi x), \sin(2j-1)\pi y), \cos(2j-1)\pi y), \ldots, \sin(2j-1)\pi y), \cos(2j-1)\pi y \right]$$ （23）其中$\gamma$是傅里叶运算符，$x$和$y$是坐标值。由于y方向的梯度大于x方向，因此应对y应用更高的嵌入权重。因此，设置$i$和$j$的取值为：$$i = 1, 2, 3, 4, 5 \quad j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$$ （24）

经过傅里叶嵌入后，输入特征扩展为$[\gamma(x, y), x, y, \lambda, U0]$。使用原始数据集和修改后的交叉构建数据集，分别对FCN-S（带傅里叶嵌入，FCN-S-F）和FCN-RB（带傅里叶嵌入，FCN-RB-F）进行了训练。在原始数据集上训练的预测结果总结在表3中，修改后的交叉构建数据集的结果总结在表4中。表3显示了使用原始数据集时不同模型的性能比较；表4显示了使用修改后的数据集时不同模型的性能比较。表3和表4中的结果表明，采用傅里叶嵌入后，FCN-S和FCN-RB的预测准确性得到了提高。这证明了傅里叶嵌入能够增强FCN-S和FCN-RB的泛化能力。与FCN-S和FCN-RB在I（λ, U0）=（4.0, 8.5）和II（λ, U0）=（7.3, 11.5）条件下的准确率相比，FCN-S-F和FCN-RB-F在III（λ, U0）=（3.0, 6.0）和IV（λ, U0）=（10.2, 14.5）条件下的准确率仍然相对较低。不同神经网络在修改后的数据集上训练的结果总结在表4中。与原始数据集相比，这些网络在修改后的交叉构建数据集上训练效果更好。FCN-RB在极端运行条件下的预测性能优于FCN-S。因此，交叉构建方法用于数据集建立是有效的，只有在交叉构建数据集中添加的稀疏极端运行条件才能显著提高模型的泛化能力和其在极端运行条件下的预测性能。

7. 结论
本文提出了一种交叉构建方法来建立风力涡轮机尾流的稀疏数据集，基于该数据集训练的神经网络取得了高准确率和保真度。本研究设计的神经网络用于利用交叉构建数据集预测风力涡轮机尾流。一些神经模型被设计用来提高尾流场的预测准确性。主要结论总结如下：
- 本文提出了一种交叉构建方法，用于生成具有代表性的风力涡轮机尾流CFD数据集。该方法能够以较低的成本构建稀疏的风力涡轮机尾流数据集，并且训练出的神经网络具有高预测准确性。FCN-C在（λ, U0）=（4.0, 8.5）条件下的尾流场预测准确率为R2 = 0.9528，RMSE = 0.2952；在（λ, U0）=（7.3, 11.5）条件下的准确率为R2 = 0.9752，RMSE = 0.3945。
- 设计了一种基于错误分类的预训练和微调网络，该网络使用了三种分类模型。PFNEC提高了尾流场的预测准确性。PFNEC-EDC的表现优于其他两种模型，在（λ, U0）=（4.0, 8.5）条件下的决定系数R2为0.9750，在（λ, U0）=（7.3, 11.5）条件下的决定系数R2为0.9851。
- 开发了两种模型FCN-S和FCN-RB，它们在预测外部条件方面表现最佳。傅里叶嵌入将预测准确性从R2 = 0.7143提高到R2 = 0.8723（在（λ, U0）=（3.0, 6.0）条件下），并增强了神经网络的泛化能力。对于极端运行条件，向原始数据集中添加四个样本可以将（λ, U0）=（3.0, 6.0）条件下的极端运行条件准确率从R2 = 0.9545提高到R2 = 0.9939，将（λ, U0）=（10.2, 14.5）条件下的准确率从R2 = 0.8947提高到R2 = 0.9886。
- 需要注意的是，本研究的方法是在二维参数空间（TSR和来流速度）中提出并验证的，其扩展到更高维条件下的可行性仍有待进一步探索。在多参数空间中验证这种方法是非常有价值的。