在7芯光纤上集成高容量自相干传输技术、高灵敏度双脉冲?-OTDR技术以及电光调制器（EO Comb） 作者：刘旭、张晨波、邹毅、陈章远、胡伟伟、何向戈、谢小红

《Photonics》：Integrating High-Capacity Self-Homodyne Transmission and High-Sensitivity Dual-Pulse ?-OTDR with an EO Comb over a 7-Core Fiber Xu Liu, Chenbo Zhang, Yi Zou, Zhangyuan Chen, Weiwei Hu, Xiangge He and Xiaopeng Xie

　　摘要 光谱解调是外部法布里-珀罗干涉（EFPI）传感技术中的关键组成部分。在本研究中，提出了一种基于反馈的线性光谱拟合解调方法，用于探测EFPI传感器。该方法利用离散函数导数和反馈幅度校准技术来提取完整的光谱相位，并通过执行光学频率与光谱相位之间的关系线性拟合来确定EFPI传感器的腔长。实验结果表明，在50–260 μm的腔长范围内，非线性为0.134%，在170.210 μm的腔长时，分辨率为6.6 nm。使用该开发的传感器进行的压力测量显示非线性为0.401%。与传统的最小均方误差光谱算法相比，所提出的方法更简单、更快，更适合在通用硬件上实现，更符合工程应用的实用需求。

1. 引言
近年来，光纤外部法布里-珀罗干涉（EFPI）传感器在航空航天、石油化工、泄漏监测、医学和结构健康监测等领域发挥了重要作用[1,2,3,4,5,6]。这些传感器具有抗电磁干扰、耐高温和体积紧凑等优点。光纤EFPI传感器通常通过检测法布里-珀罗（FP）腔长的变化来确定外部被测量的变化[3,4,5,6]。因此，获取EFPI传感器的腔长已成为其测量系统中的一个关键问题。
多年来，已经开发了多种用于光纤EFPI传感器的探测技术[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24]。主要的解调方法包括用宽带光照射EFPI传感器，并使用光谱分析仪（OSA）来获取光谱以计算FP腔长。目前，基于OSA的主要腔长探测方法包括峰对峰法、傅里叶变换法、互相关法和最小均方误差（MMSE）法。峰对峰法使用两个或多个干涉峰或谷的波长来计算腔长。尽管这种方法简单快捷，但难以提高其解调精度。Jiang在2008年提出了一种高分辨率的峰对峰解调技术，将分辨率提高到1 μm以内[7]。2022年，Nie等人提出了一种基于组合谷峰定位的腔长序列匹配解调算法，解调精度优于8.8 nm[8]。傅里叶变换方法通过对光谱进行傅里叶变换来提取腔长。2016年，Yu等人提出了一种使用Buneman频率估算算法来解调光纤FP干涉仪传感器的方法，实现了70 kHz的解调速度[9]。2021年，Yang等人提出了一种基于改进的Buneman频率估算算法的绝对腔长解调技术，实现了50 kHz的速度[10]。Yang还在2020年提出了一种基于Buneman频率估算的低相干性解调方法，实现了5 kHz的速度[11]。2024年，该团队进一步开发了一种基于高速相位解调的光纤EFPI振动/声学传感系统，所有算法都在现场可编程门阵列（FPGA）上实现，达到了20 kHz的解调速度[12]。2024年，Lv等人提出了一种结合Nuttall卷积窗口和离散间隙变换（DGT）的非理想EFPI传感结构解调方法，实现了1.2 nm的解调分辨率[13]。互相关方法在虚拟光谱和实际光谱之间进行卷积操作，从结果的高峰位置确定腔长。2020年，Chen等人提出了一种高阶谐波频率互相关解调算法，以解决光谱宽度不足时互相关操作中主峰位置不明确的问题，实现了107.67 pm的解调分辨率[14]。2023年，Cheung等人提出了一种基于光谱的改进并行互相关算法，将解调分辨率提高到几乎0.3 nm[15]。近年来，机器学习方法也常用于获取EFPI传感器的腔长。2025年，Bai等人提出了一种基于稀疏光谱时空特征的光谱解调方法[16]。Li等人提出了一种基于残差卷积神经网络的光谱数据密度预测模型，用于检测并行FP-FBG传感器[17]。然而，机器学习解调方法需要来自特定传感器的大量光谱数据进行模型训练，缺乏通用性。
MMSE方法通过对光谱数据进行曲线拟合并使用拟合参数来获取EFPI传感器的腔长。2020年，Feng等人提出了一种幅度标准化-MMSE解调方法，减少了由源包络引起的解调误差，实现了0.72 nm的分辨率[18]。2021年，Zhang等人提出了一种使用密集波长 division 多路复用和多通道光电探测器的快速、低分辨率光谱检测装置，并结合了最大似然估计算法和MMSE解调[19]。虽然实现了50 kHz的解调速度，但系统体积增加了。2020年，我们实验室的Liu等人提出了一种通过扩展高精细度FP传感器的多束干涉公式来进行最小二乘拟合解调的算法[20]。尽管光谱MMSE解调方法实现了高解调精度，但由于曲线拟合算法的复杂性，它们通常受限于较低的解调速度。此外，MMSE解调方法的高错误率归因于其对初始值的敏感性[21]。这些缺点意味着在实际工程场景中应用它们具有挑战性。相比之下，微分或积分算法提供了更简单的数学模型，但在应用于EFPI传感器时也面临挑战[22,23,24]。尽管微分或积分算法广泛用于正弦信号的相位提取，例如在相位生成载波技术中，它们的解调精度仍受限于正交信号的幅度偏差[22,23,24]。正是这些固有的限制，特别是由于微分算法对高频噪声的敏感性导致幅度对齐困难，限制了它们在光纤EFPI传感器中的应用。
为了解决上述问题，提出了一种基于反馈的线性光谱拟合解调方法，用于光纤EFPI传感器。首先，使用离散函数导数公式来获取光谱的导数。然后，应用反正切算法和反馈幅度校准技术来提取光谱范围内的相位。之后，通过线性拟合获得EFPI传感器的光学频率与相位之间的关系。最后，根据线性拟合系数计算EFPI传感器的腔长。通过采用基于反馈的幅度校准技术将微分光谱的幅度与原始光谱对齐，所提出的方法可以通过线性拟合提取光谱相位。

2. 解调算法原理
光纤EFPI传感器由两个平行的反射表面组成，低精细度的EFPI被视为双光束干涉仪。EFPI的干涉光强度可以表示为[6]
I=A+B3cos(θ)， (1)
其中I是光谱的反射光强度。A是干涉信号的直流（DC）成分，B是干涉信号的交流（AC）成分。θ =4πnLcυ是光学干涉相位，n是FP腔内填充材料的折射率。在EFPI传感器中，n为空气的折射率，大约等于1。L是EFPI的腔长，υ是光学频率，c是真空中的光速。离散化和标准化的EFPI的干涉光强度可以表示为
Ii=?cos(θi)， (2)
其中Ii是光谱的离散化光强度。θi =4πnLcυi是光谱的离散化相位，υi是离散化的光学频率，i =1,2,…,N。N是光谱的采样数。使用离散函数导数公式对方程(2)进行微分可以表示为
Ii′=Ii+1?Ii?12Δυ=4πnLcsin(4πnLcυi)， (3)
其中Δυ是光谱的频率间隔，i =2,3…N ?1。然后，如果Ii′可以标准化并且Ii′除以Ii，则可以通过反正切操作提取每个光学频率υi对应的相位θi。相位可以通过以下公式提取：
θi′=arctan([?Ii′/Ii])。 (4)
计算出的相位值θi′范围在?π/2到π/2之间。随着υi的增加，当Δθi′接近π/2时会出现偏差，导致纹假日程为?π。通过组合原始的 quadrature 相位移动信号来确定相位跳变是否为?π，可以使用以下公式恢复相位值θi：
θi=θi+mπ， (5)
其中m =1,2,3,…。为了获取EFPI传感器的腔长，引入线性拟合方程来找到相位θi与频率νi之间的关系。与拟合光谱曲线相比，线性拟合具有更简单的数学模型和更低的计算复杂度，更适合实际工程应用。线性拟合方程表示为
θ=kυ+b， (6)
其中k =4πnLc，b分别是线性拟合的斜率和截距。可以使用以下公式获取EFPI传感器的腔长L：
L=c4πnk。 (7)
然而，使用上述方程获取腔长L需要将方程(2)的幅度与方程(3)的幅度对齐。然而，在进行这种幅度对齐之前必须先获得实际的腔长L，这就产生了矛盾。因此，本研究提出了一种基于反馈的幅度校准技术来对齐Ii′的幅度。在使用反馈幅度校准技术之前，由于宽带光源的光谱分布不均匀，OSA获取的原始反射光谱会叠加有源的光谱包络。为了消除源引起的光谱不均匀性，执行光谱标准化过程，遵循参考文献[21]中描述的程序。经过这一步后，反射光谱在整个波长范围内显示出均匀的幅度。反馈幅度校准技术的流程图如图1所示。
图1. 反馈幅度校准技术流程图。
步骤1：获取标准化光谱后，依次执行微分、除法、反正切操作和线性拟合步骤。
步骤2：根据线性拟合获得腔长L′。
步骤3：在第一次迭代中，使用解调结果L′代替方程(3)中的参数L。
步骤4：依次重复微分、除法、反正切操作和线性拟合步骤，以获取腔长L′。
步骤5：确定L和L′是否相等。如果相等，则输出L作为解调结果。如果不相等，则重复步骤4，直到L和L′相等。
通过以上步骤，解决了循环依赖性问题。这种反馈幅度校准技术提供了一种迭代的幅度校准方法，使其更适合实际工程应用。

3. 分析与仿真
3.1. 解调方法的可行性
为了验证所提出的基于反馈的线性光谱拟合解调方法的可行性，模拟了完整的解调算法过程，结果如图2所示。
图2. 解调过程。(a) 模拟光谱。(b) 标准化光谱及其导数。(c) 在迭代过程中：反正切操作后的相位（蓝线），恢复的相位（红线），以及线性拟合（红线）。(d) 在最终迭代中：反正切操作后的相位（蓝线）和恢复的相位（红线）。图2a显示了模拟光谱。本文中呈现的所有数据都是使用Matlab (2023a)模拟和处理的。模拟光谱的光学频率范围设置为187.8 THz~198.7 THz，对应于大约1509 nm~1596 nm的波长范围，这是常见C + L波段光谱仪的典型范围。EFPI传感器的两个反射表面的反射率均设置为0.04，光谱采样点数量设置为512，折射率n设置为1。使用方程(1)模拟光谱。对于0.04的反射率，方程(1)中的参数A和B均设置为0.08。图2b显示了反馈幅度迭代过程中的标准化光谱及其导数。最初微分后的光谱（紫色线）显示出最小的幅度。在使用所提出的振幅校准技术进行校准后，得到的光谱振幅（红线）与标准化的原始光谱振幅（蓝线）非常吻合。这证明了振幅校准技术的有效性。经过反正切运算后得到的光谱相位由图2c中的蓝线表示，其中可以明显看到相位跳变。这是因为反正切函数的取值范围是?π/2~π/2，相位补偿可以通过方程（5）来实现。然而，在反馈振幅迭代过程中，Ii′和Ii的振幅存在显著差异，导致恢复的相位（黄线）出现了明显的失真，尽管仍然可以得到一个带有较大误差的拟合线。迭代后的解调过程显示在图2d中。在这个阶段，由于Ii′和Ii的振幅几乎相等，恢复的相位接近一条直线，从而可以进行准确的线性拟合。图2表明，基于反馈的线性光谱拟合解调方法可以通过振幅迭代来改善导数结果的振幅，并获得腔体长度，从而验证了该解调方法的有效性。

3.2 解调范围
解调范围进行了模拟。根据之前的模拟参数，腔体长度范围设定为20 μm到1000 μm，步长为0.2 nm。应用基于反馈的线性光谱拟合解调方法来测试所提算法的理论上限。图3展示了腔体长度与解调后腔体长度之间的关系。可以看出，在20 μm到1000 μm的腔体长度范围内，算法保持了良好的线性响应，并且解调误差保持在±0.8 nm以内。在实际应用中，这种方法的动态范围通常由所使用的OSA的性能参数决定，例如光谱波长范围、波长分辨率、绝对波长精度和波长重复性。

3.3 分辨率
为了评估算法在噪声条件下的分辨率，在模拟的理想光谱的振幅中加入了不同信噪比（SNR）水平的白噪声。信噪比为40 dB、45 dB和50 dB的白噪声被叠加到模拟的理想光谱的振幅上，此时腔体长度固定为150 μm。理论上，解调方法的迭代条件是L = L′。然而，由于噪声的影响，可能会出现无限迭代循环。因此，在实践中设定了一个合适的阈值LT用于条件判断。当|L?L′| < LT时，认为L = L′。在这个模拟中，阈值LT设定为10 nm。随后解调了100个独立的随机噪声光谱。对于每个信噪比水平，生成了100个独立的噪声种子，以产生100个噪声光谱进行统计解调分析。解调结果如图4所示。图4显示了不同噪声水平下的解调后腔体长度。解调结果表明，在40 dB到50 dB的噪声范围内，解调后的腔体长度始终保持在149.99 μm到150.01 μm之间，最大误差为±10 nm。随着信噪比从40 dB增加到50 dB，解调误差逐渐减小：标准差从4.4 nm下降到1.2 nm，相应的分辨率也从4.4 nm提高到1.2 nm。模拟结果表明该方法具有良好的抗噪声能力。

4. 实验结果
建立了实验平台来验证基于反馈的线性光谱拟合解调方法的可靠性，如图5所示。使用超发光二极管（SLED）作为光源，其光谱范围覆盖1509 nm~1596 nm，输出功率为15 mW。从SLED发出的光信号通过环行器到达EFPI传感器模拟器。EFPI腔体由安装在精密位移台上的压电陶瓷（PZT）和光纤端面组成。通过调整精密位移台并改变施加在PZT上的电压来改变EFPI的腔体长度。从EFPI传感器模拟器反射回来的光信号通过环行器到达光谱接收设备。使用带有512个像素的微光谱仪（Ibsen Photonics，Fures? Kommune，丹麦，Ibsen I-MON 512）采集光谱。接收到每个光谱后，微光谱仪将其上传到个人电脑（PC），然后使用基于反馈的线性拟合解调方法来获得解调后的腔体长度。

4.1 线性实验
为了评估解调方法的线性，首先使用精密手动平移台调整光纤端面与PZT之间的距离，形成一个初始腔体长度为187.814 μm的EFPI。随后，向PZT施加从0 V到42 V的电压，步长为3 V，对应的最大腔体长度变化约为17 μm。共采集了15组不同腔体长度的光谱数据。对于每组光谱，使用所提出的基于反馈的线性拟合方法和光谱MMSE方法来测量解调后的腔体长度。由于PZT的非线性误差较大，仅通过调整施加在PZT上的电压很难获得高度线性的腔体长度变化。因此，为了更准确地评估线性，本研究中使用的所有实际腔体长度都是使用传统的互相关解调方法[15]计算的。互相关方法已被验证可以实现亚纳米级的解调精度；因此，其解调结果可以作为线性评估的可靠参考。两种方法的解调结果分别显示在图6a和图6b中。由于传统的光谱MMSE方法是一种局部最小值搜索技术，当光谱质量较低或初始参数选择不够精确时，解调结果可能会出现跳跃[21]。线性使用以下公式计算的非线性误差来评估：
N?L=m?a?x?|ym?e?a?s?yf?i?t|ymax?ymin?100%，（8）
其中N?L是非线性误差，ym?e?a?s是测量的腔体长度，yf?i?t是拟合值。在这个实验中，使用光谱MMSE方法计算的非线性误差为1.769%，而使用所提方法的非线性误差为0.979%。

4.2 解调范围实验
为了测量该方法的解调范围，通过精密微位移台的粗调结合PZT的微调，在EFPI传感器中实现了大范围的腔体长度变化，如图5所示。初始腔体长度设定为大约50 μm，步长约为30 μm。实验结果如图7所示。可以观察到，在50 μm到260 μm的腔体长度变化范围内，解调结果保持了高线性。平均误差为0.157 μm，非线性误差仅为0.134%。

4.3 分辨率实验
为了验证解调方法的分辨率，将图5所示系统中EFPI的初始腔体长度设定为170.210 μm。使用连续采集的100组光谱来验证解调方法的分辨率。实验结果如图8所示。通过在静态条件下对腔体长度进行100次连续解调来评估解调方法的分辨率。解调后的腔体长度始终保持在170.201 μm到170.219 μm之间，最大误差为9 nm，基于标准差计算的分辨率为6.6 nm。

4.4 压力实验
随后使用自行开发的光纤EFPI压力传感器[25]进行了压力实验。实验系统的示意图如图9所示，实验系统中使用的所有光纤都是芯径为50 μm的多模光纤。使用卤素光源（Wyoptics，上海，中国，HL2000-20W），波长范围为360 nm ~ 2500 nm，输出功率为8.5 mW。光谱使用微光谱仪（Ibsen Photonics，Fures? Kommune，丹麦，Ibsen FCV-10）采集，该光谱仪的检测波长范围为360 nm到838 nm，分辨率约为0.24 nm，足以分辨腔体长度约为16 μm的EFPI传感器的干涉条纹。将腔体长度为16.1087 μm的传感器放置在一个压力腔中，并连接到台式空气压力泵（ConST，北京，中国，ConST-162）上。泵的另一端连接到数字压力表（ConST，北京，China，ConST-218）。光源发出的光通过光环行器到达传感器，传感器反射的光再次通过环行器到达微光谱仪，微光谱仪将采集到的光谱上传到PC。台式空气泵用于以1 MPa的步长对压力腔进行加压，压力范围为0–4 MPa。每当数字压力表的读数达到目标压力时，压力会保持稳定30秒，并记录解调结果和压力表读数。压力实验结果如图10a,b所示。记录的解调结果和压力数据用于绘制拟合线以计算非线性误差。使用光谱MMSE方法计算的非线性误差为4.071%，而使用基于反馈的线性拟合方法的非线性误差仅为0.401%。尽管多模光纤引入了额外的模块化干涉噪声，实验结果表明解调结果的非线性保持在相对较低的水平，验证了所提出的解调方法在多模光纤EFPI传感系统中的有效性。

5. 讨论
5.1 与其他解调方法的比较
在实验验证之后，对所提出的解调方法进行了更全面的讨论。首先，对所提出的方法与其他解调方法进行了性能比较。比较结果如表1所示。表1显示，傅里叶变换方法由于其简单的操作原理，实现了最高的解调速度和最短的计算时间。然而，当相位变化较大时，它容易产生相位跳变。此外，当应用于腔体长度较短的EFPI传感器时，该方法的解调误差会显著增加。虽然DGT、互相关和MMSE方法实现了高解调分辨率，但它们的解调速率有限，并且容易受到突然的腔体长度变化的影响。相比之下，所提出的方法基于线性光谱拟合，实现了高解调速率，且没有相位跳变或突然的腔体长度变化。

总之，现有的每种EFPI光谱解调方法都有其优缺点。因此，在实际应用中，应根据EFPI传感器的具体要求选择合适的解调方法。需要注意的是，所提出的解调方法理论上能够提取任何正弦或余弦信号的相位，因此未来可能适用于基于双光束干涉原理的各种传感器，如迈克尔逊干涉仪、马赫-曾德干涉仪和其他类似配置。5.2. 时间复杂度讨论我们比较了所提出的方法与谱MMSE方法之间的解调时间。这里使用的谱MMSE方法基于参考文献[20]中描述的算法。实验是在配备有Intel i9-14900处理器的PC上进行的。为了避免由于CPU缓存状态变化引起的计时波动，算法连续执行了十次，并记录了总耗时。如表2所示，对于具有不同数据点数量的光谱，所提出方法的计算时间比谱MMSE方法短40倍以上。表2. 两种方法的时间耗时比较。我们进一步比较了两种方法的时间复杂度。分析表明，尽管两种算法的理论时间复杂度都是O(N)，其中N表示数据点数量，但由于迭代次数的不同，它们的实际运行时间有显著差异。如表2所示，随着数据量的增加，两种方法的计算时间大致呈线性增长，加速比保持在40到50之间，这与理论时间复杂度分析一致。这些结果表明，所提出的解调算法在大规模光谱数据处理场景中的实时应用具有显著优势。5.3. 与归一化算法的比较理论上，也可以使用归一化算法使微分光谱的幅度与原始光谱的幅度对齐。然而，在实践中，由于微分过程会放大高频噪声，这通常会导致较大的归一化误差，从而增加解调误差。通过模拟，对所提出的幅度校准技术和归一化算法进行了比较。比较结果如图11所示。图11. 与归一化算法的比较。(a) 在不同信噪比(SNR)下，幅度校准技术和归一化算法的解调误差。(b) 在25 dB信噪比下，使用幅度校准技术和归一化算法校准的微分光谱。初始腔长设置为150 μm，其余模拟参数与第3.1节中描述的一致。信噪比从20 dB逐步增加到50 dB，每次增加5 dB。对于每个信噪比水平，使用所提出的幅度校准技术和归一化算法模拟并处理了100组光谱数据。微分后，对光谱进行反正切运算、相位补偿和线性拟合以获得解调后的腔长。对于给定信噪比下的每组100个解调值，计算了与初始腔长的偏差，并将这些偏差的标准差作为解调误差。模拟结果如图11a所示。如图所示，随着信噪比从20 dB增加到50 dB，归一化算法的解调误差从230.8 nm减少到8.6 nm，而幅度校准技术的解调误差从171.3 nm减少到6.2 nm。值得注意的是，在每个信噪比水平下，幅度校准技术实现的解调误差明显低于归一化算法，表明其对高频噪声具有更强的鲁棒性。图11b展示了25 dB信噪比下的一个代表性示例。在这种条件下，使用所提技术校准的微分光谱的幅度为1.00005，而使用归一化算法处理的幅度为1.15315（均使用峰对峰方法计算）。结果表明，使用所提技术校准的光谱幅度与原始光谱的幅度更为接近，从而实现了更准确的腔长解调。这些模拟结果明确表明，与传统的归一化算法相比，所提出的幅度校准技术具有更好的抗噪能力。此外，值得注意的是，如图11a所示，所提方法的解调误差随着光谱信噪比的降低而增加。因此，在实际应用中，较高的光谱信噪比更有利于实现更好的解调精度。6. 结论本研究提出了一种基于反馈的线性光谱拟合解调方法，用于EFPI传感器。在所提出的方法中，干涉光谱相位和光频率被线性拟合，解调后的腔长直接从拟合线的斜率计算得出。然后使用反馈幅度校准技术，并进行迭代操作以提高线性拟合的精度。通过理论分析、模拟和实验验证了所提出解调方法的可行性和性能。实验结果表明，当使用EFPI传感器模拟器时，在170.210 μm到187.814 μm的小腔长变化范围内，解调后腔长的非线性误差为0.979%；在50 μm到260 μm的大腔长变化范围内，所提方法的非线性误差仅为0.134%。在170.210 μm腔长的EFPI上进行的分辨率实验得出了6.6 nm的分辨率。在使用光纤EFPI压力传感器进行的0–4 MPa范围内的实验中，非线性误差保持在0.401%以下。与传统MMSE方法相比，所提方法显著降低了计算复杂度并提高了速度，解调时间快了40倍以上，同时避免了传统MMSE方法固有的初始值敏感性问题。由于其简单性和快速执行，该方法可以容易地部署在普通性能的芯片上，因此比传统MMSE方法具有更大的工程应用潜力。