利用冲击响应对固体结构分层特性进行非线性分析的方法——第一部分 Yousef Sardahi, Asad Salem, Isaac W. Wait, Gang S. Chen, Kirk McCormick, Killian Blake, Tanner Samples, Luke Lanham

《Axioms》：A Nonlinear Approach to the Delamination Characterization of Solid Structures Using Impact Response—Part I Yousef Sardahi, Asad Salem, Isaac W. Wait, Gang S. Chen, Kirk McCormick, Killian Blake, Tanner Samples and Luke Lanham

　　摘要：冲击回波/冲击响应测试被广泛用于检测裂纹、空洞和分层现象，但瞬态信号和复杂的光谱可能会使诊断变得复杂。本研究提出了一种基于非线性的谐波框架，通过分析无冲击响应中的高阶谐波来表征分层，而不是依赖于振幅的共振频率偏移。分层区域被建模为一个具有多项式材料特性和几何非线性的局部振动非线性板/振子，其谐波成分的水平取决于冲击强度和非线性参数。该方法在含有人工分层缺陷的混凝土板上进行了验证，通过重复冲击并使用加速度计进行测量。频域分析显示，完好区域呈现出明显的光谱特征，而分层区域则产生一个明显的基本谐波成分；随着冲击强度的适度增加，第二个谐波成分变得强烈，成为缺陷的标志；时间序列指标也证实了非线性现象。结果表明，这种无损检测技术可以在不使试样受到损伤性应变的情况下定位和表征分层现象。展望未来，同样的谐波特征原理可以扩展到锂离子电池的振动声学/冲击监测中，以识别可能引发内部短路并增加热失控风险的机械诱导缺陷（例如隔膜/电极分层），从而提高质量控制和在役安全性。

1. 引言
裂纹、空洞和分层等缺陷在决定工程固体的机械响应中起着重要作用。分层和裂纹会降低结构的有效刚度和承载能力，重新分配应力，并可能在循环载荷下加速疲劳损伤的积累。这种现象不仅出现在航空航天和汽车结构中，也出现在桥梁甲板和建筑楼板等土木工程结构中。一个更典型的问题是，严重损伤往往在初期是“隐藏”的，只有在达到晚期阶段时才会通过整体变化显现出来。分层还可能在没有预警的情况下扩散，并逐渐减少界面处的载荷传递，这可能导致刚度或使用性能的下降；在钢筋混凝土甲板中，分层可能先于或伴随剥落现象发生；更一般地说，界面裂纹在载荷作用下会传播和合并[1,2,3,4]。
分层现象发生在许多材料系统和制造过程中。金属制品在加工或连接过程中，由于疲劳或其他循环损伤的传播，可能会在粘合或层压部分发生分层，从而降低抗冲击或抗疲劳能力。在水泥基材料中，分层是由于腐蚀和/或顶层结合不良导致顶层与结构其他部分分离。分层通常发生在剥落或失去使用性能之前。在层状电化学系统中，分层指的是两层活性材料之间的粘附或接触失效，可能导致性能不佳或危险情况。这些跨领域的例子激发了对可以应用于现场或服役中的地下界面损伤的诊断方法的研究。
尽管本研究聚焦于混凝土，但其基本原理——界面分离导致局部柔顺性变化以及表现为高阶谐波的接触非线性——可以推广到其他层状系统。例如，在电化学电池中，内部界面缺陷（如接触损失或分层）也可能类似地改变振动声学/冲击响应特征。为了清晰和聚焦，详细的电化学背景信息被推迟到第5节讨论。
基于振动的无损检测（NDE）和结构健康监测（SHM）方法长期以来一直用于通过分析结构的动态行为来评估结构损伤。过去十年中关于基于振动的SHM的现有文献综述包括模态参数跟踪、频域特征提取和数据驱动分类的全局趋势[5,6,7,8]。模态测试的原理是，损伤会诱导系统刚度、质量和/或阻尼特性的变化，这些变化可以从系统的测量动态响应中检测、定位和量化[9,10]。冲击激励方法具有吸引力，因为它易于实施、定位性强，并且能够产生宽带信号以探测多个系统模式。这些优势使得冲击响应技术成为需要快速筛查且位于难以到达区域的板和甲板现场检测的主要方法。
在基于冲击的技术中，冲击回波（IE）可以说是应用于混凝土结构最常用的技术，因为它可以通过简单的机械冲击和表面安装的传感器来测量厚度、定位垂直分层和检测地下缺陷[11,12,13,14,15,16]。在经典（线性）解释中，缺陷检测基于与结构内部波反射和干涉相关的共振峰的检测。实际上，由于非稳态行为、多次反射、大的表面波成分和整体结构振动，瞬态响应会产生多个或竞争性的光谱峰，导致峰的归属或缺陷分类不确定。这种情况通常发生在线性光谱中较浅、分散、部分封闭或表达微弱或弱的缺陷上。

历史上的冲击回波分析利用了线性峰跟踪或瞬态光谱的频率偏移，这两种方法都容易受到竞争峰或干扰成分的影响。

假设1：如果一个分层区域引入了局部接触非线性，那么冲击激励后的自由衰减响应将显示出在分层处比在未受损混凝土处更高的第二谐波，从而可以利用谐波作为直接指示分层存在与否的实际手段。
该假设通过将分层区域建模为一个非线性板，并然后在已知有地下分层的混凝土板上（在低冲击能量下）测量完整区域和分层区域的谐波响应来进行验证。
在这项工作中，我们明确指出了确定复杂多峰光谱中哪些峰是真实缺陷峰，哪些是由于表面波、全局模式或重叠反射引起的干扰峰的难度。这不仅仅是一个小的共振频率偏移问题，而是一个峰归属问题，如果有多个可能的峰，则会妨碍有效的缺陷分类。因此，我们还研究了自由衰减响应谐波生成的进一步特征，其中局部非线性动力学（缺陷特性）会产生高阶谐波（例如第二谐波），这可以在适度的驱动幅度下提供物理结构上的区分依据。
为了减少上述峰归属的不确定性和线性解释的局限性，提出了基于非线性的振动声学/超声测试方法，这些方法寻找除了主导光谱峰之外的其他光谱特征，并且这些特征依赖于振幅。在非线性光谱学中，即使在线性参数受到微弱扰动的情况下也能检测到的最广泛研究的是微裂纹、接触非线性和界面损伤。对NEWS和NRAS的广泛研究表明，非线性参数能够识别线性波速或线性共振参数无法识别的损伤状态[17,18,19]。非线性IE的一种常见方法是测量随着激励水平增加而变化的振幅依赖性共振频率偏移和共振峰宽化[20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37]。原则上，这实现了一种振幅依赖的软化/硬化机制，并将损伤效应转化为系统有效共振的偏移。
尽管频率偏移模型是最常研究的非线性效应，但它只是冲击响应中可能存在的几种非线性类型之一。谐波生成、互调、波形失真或其他时频响应都是在中等激励水平下可能出现的非线性现象的一部分。此外，当涉及非线性谐波时，冲击响应中的一些光谱成分可以被视为局部缺陷特征的指示性标志，而不仅仅是线性IE的不需要的伪影。理论上，在基于非线性的冲击中可以实现更敏感的缺陷标志，这允许使用比传统的基于振幅偏移的实现更通用的非线性模型[38]。这激发了寻找其他非破坏性（即不需要将结构驱动到损伤性应变范围内）且对变化强烈的瞬态敏感的非线性标志的兴趣。
为此，本文开发并验证了一种基于非线性的谐波方法，用于通过冲击激励来表征分层现象。与使用依赖于振幅的共振频率偏移作为分层的特征不同，本文利用冲击激励后分层区域的自由振动衰减响应中的高阶谐波。因此，分层区域的局部弯曲振动的理论模型被定义为一个具有通用多项式（材料和几何）非线性的非线性板/振子，从而得到了作为激励幅度和非线性参数函数的基本频率和谐波光谱的封闭形式解。实验设置包括一个具有受控板状人工分层的混凝土板、一个加速度计以及重复冲击以生成测试数据。完好区域产生窄带光谱。分层区域在中等高冲击载荷水平下产生一个基本谐波成分和一个大的二阶谐波成分。这一缺陷特征是独特且可解释的，支持了先前非线性IE研究的结论，并为具有多个峰的冲击光谱提供了新的区分方法。
除了土木和机械工程之外，谐波特征概念还可以应用于锂离子电池的层状电化学电池结构。空洞和分层会导致有效面积减小和局部电阻增加，这可能会局部升高温度，从而进一步加速过程，直到发生内部短路[39]。操作成像显示，一旦启动了关键的失效机制，失控和失效可能会迅速进展[40]，这激发了对预诊断方法的需求。基于振动的电池诊断状态感知方法[41]同样表明，非线性谐波生成应对多层结构中的接触损失和界面缺陷特别敏感。因此，本文提出的基于谐波的分层检测方法也为电池的振动声学或基于冲击响应的健康监测提供了机械和信号处理基础，这对于制造质量保证和在役安全筛查电气系统非常重要。
本文的其余部分组织如下。第2节提出了分层区域局部弯曲振动的非线性公式，并推导了自由响应的谐波内容表达式。第3节描述了实验设置、试样设计和冲击测试程序。第4节和第5节报告了测量的谐波特征，并讨论了它们的可解释性和缺陷表征的稳健性。第6节总结了关键发现，并概述了将基于谐波的诊断方法扩展到其他层状结构（包括电化学电池）的潜力。

2. 方法论：固体中分层表征的非线性公式
本节通过将局部分离区域建模为一个嵌入在其他连续固体中的非线性矩形板来发展一个理论框架来表征分层现象。基本前提是，分层区域在冲击激励下会发生局部弯曲运动，这种运动可能在冲击响应中表现出可测量的非线性特征。这些非线性特征，特别是高阶谐波，随后被用作缺陷敏感的指标。
浅层分层会将近表面层与周围固体局部分离，因此分离区域在冲击下可以发生局部弯曲振动；这种板状解释在混凝土板构件的冲击回波文献中被广泛使用，并得到了数值和受控缺陷实验研究的支持[42,43]。在本工作中，我们采用了嵌入式矩形板的理想化模型，因为基准缺陷是有意设计的矩形且靠近表面，这使得板状抽象与试样几何形状和缺陷上方的局部响应一致。这种简化模型旨在捕捉缺陷局部的自由衰减动力学及其相关的谐波生成，而不是完整的三维应力波传播。因此，其范围限于在非破坏性的低至中等冲击范围内（弱至中等非线性）激发的浅层板状分层；它不适用于深层缺陷、多个相互作用的分层或具有强摩擦摩擦/拍击接触的大幅度开合，对于这些情况，显式的接触/界面模型和/或完整的3D模拟更为合适[44]。
为了描述板的运动学，采用了冯·卡门非线性应变-位移关系[45,46,47,48,49,50,51,52]：
???????=??????+1/2?(??????)2????2?????2, (1)
???????=1/2?(??????+1/2?(??????)2????2?????2, (2)
???????=1/2?(??????+??????+?????????????)?2/2????2????????. (3)
这里，???????和???????分别表示x和y方向上的非线性平面应变；u和v是相应的平面位移；w是横向位移。这些关系通过横向斜率中的二次项捕捉了几何非线性，当分层区域的局部弯曲引入中等程度的旋转时，这种非线性变得相关。除了几何非线性之外，材料响应还通过多项式弹性本构关系来表示：??=??1???+??2???2+??3???3+??4???4+?（4）。这种本构形式超越了线性应力-应变关系，允许更高阶的项来捕捉局部应力-应变曲线的非线性特征。这样的多项式描述已被用于模拟各种工程材料，其中必须以紧凑的解析形式表示曲率、饱和度或更复杂的弹性行为，包括层状和复合介质、聚合物和弹性体、金属材料以及脆性固体[31,53,54,55,56,57,58,59,60]。在建立了冯·卡门运动学和方程（4）中的多项式本构律之后，局部板场使用伽辽金展开来近似。特别是，横向位移表示为???(??,??,??)≈??∑??=1?????(??)??????(??,??）（5），平面内的位移u和v也以相同的方式展开。将这些近似值代入非线性板控制方程中，对每个允许的函数????形成加权残差，并在补丁区域上积分，得到一个有限维的模态系统，在该系统中，线性项贡献与????成比例的成分，而几何/材料非线性产生与?????????和??????????????成比例的二次和三次模态交互项。因此，得到的简化阶模型表示为¨????+??∑??=1???????????+??∑??=1??∑??=1???????????????????+??∑??=1??∑??=1??∑??=1???????????????????????????=0，??=1,…,??（6），其中系数???????、??????????和?????????????来自伽辽金投影，并取决于选定的允许函数和板属性，包括负责产生谐波的非线性贡献。为了在（6）中的非线性模态动力学和冲击无衰减中观察到的谐波内容之间获得一个解析上可行的联系，我们对局部分层补丁应用单模截断，将??设置为1并仅保留主导的弯曲模式。使用允许的函数（方程（7）–（9）：???(??,??,??)=???(??)?cos?(??????????)?sin?(??????????）（7），???(??,??,??)=???(??)?sin?(??????????)?cos?(??????????）（8），???(??,??,??)=???(??)?sin?(??????????)?sin?(??????????）（9），伽辽金系统（6）简化了，因为只有一个广义坐标??1?(??) ≡???(??)，所有模态求和都简化为标量系数。因此，动力学可以表示为单个非线性振子，???¨??+?????+?????2+?????3+?????4+?=0（10），其中M和K是从伽辽金投影获得的模态质量和线性刚度，??、??、??等收集了由非线性应变-位移关系和多项式本构律在空间积分后产生的有效高阶刚度项。通过除以M并引入标准化参数??20=????、??=????、??=????、??=????（11），并（为了符号简便）将单个模态坐标???(??)重新标记为???(??），直接得到方程（12）：¨??+??20???+?????2+?????3+?????4+?=0（12）。最后，应用方程（12）中的谐波展开使谐波产生机制明确化：二次项?????2产生偶次谐波（特别是第二次），而三次项?????3产生奇次谐波（特别是第三次），随着非线性的增加，更高阶的项提供额外的修正。对于具有二次和三次非线性的振子，冲击后的自由响应可以用包括基频成分和高阶谐波的谐波展开来表示。一个代表性的形式是???(??)=??0??? ? ? ? ????2?(??20?1)+3???20???4??20?(??2?1)?? ? ? ???cos?(?????)+{??20???2???20?(4???2?1)}?cos?(2??????)+{??30???4???20?(9???2?1)}?cos?(3??????)+?（13）。这个表达式明确指出，控制振子响应的非线性系数直接与高阶谐波的幅度相关。在分层检测的背景下，这种关系提供了使用谐波内容作为缺陷特征的基础。具体来说，相对于基频成分的谐波的出现和增长可以用来区分分层区域，并支持与缺陷相关的局部非线性的定量表征。除了基于谐波的指标外，还应评估测量的无冲击振动响应的非线性特征，以确保与理论假设一致。非线性时间序列分析为此目的提供了工具，其中李雅普诺夫指数是最常用的表征动态行为的指标之一。在这项研究中，李雅普诺夫指数被用作非线性的支持指标：正值表示附近轨迹的发散，与测量响应中的非线性动力学一致[61,62]。第i个一维李雅普诺夫指数是根据椭球主轴?????(??)的增长来定义的：????=lim??→∞?1???log2?(?????(??)?????(0))（14）。索引i按从大到小的顺序排列。在当前框架中，李雅普诺夫分析通过提供额外的、基于动态的评估来补充谐波解释，以确定记录的自由响应是否表现出与所提出的公式一致的非线性特征。3. 实验为了对提出的基于谐波的非线性方法进行基准测试，在含有人工分层的混凝土板试样上进行了实验室实验。众所周知，混凝土在振动下表现出非线性动态行为，即使在相对较低的响应水平下也是如此。这种非线性可能导致软化型效应和测量振动特性的幅度依赖性变化。在这项研究中，通过受控冲击测试检查了与幅度相关的行为和谐波产生现象。主要的诊断目标是确定从冲击后的自由衰减响应中提取的高阶谐波是否提供了一个一致且可解释的分层指标。因此，记录的时间历史在频域中进行分析，以确定随着激励水平的变化，谐波成分的发生和演变。然后评估了基于基频、谐波幅度和非线性响应特性的分层指标。使用在分层区域获得的谐波内容，可以为缺陷表征制定非线性指数。分层是混凝土结构中常见的缺陷，可能是由于施工相关问题（如固结不足和其他放置错误）引起的。膨胀聚苯乙烯（EPS）泡沫已被广泛用于表示人工分层或空洞，因为其介电常数（1.02–1.04）接近空气的介电常数[63,64,65,66]。此外，EPS的低密度以类似于空气填充分离的方式促进振动波的反射。基于这些考虑，测试试样设计了一个矩形EPS插入物，以模拟位于顶部表面附近的分层板。混凝土板试样的整体尺寸为812.8毫米（长）× 406.4毫米（宽）×152.4毫米（高）。人工分层由一个尺寸为304.8毫米（长）× 304.8毫米（宽）×3.175毫米（高）的EPS矩形棱柱组成，放置方式是泡沫的顶面位于板顶面下方25.4毫米处。使用运输中的混合器制备的预拌混凝土来浇筑试样，然后在实验室条件下进行固化。试样由抗压强度为27 MPa的普通混凝土制成。试样配置和测试位置如图1a所示。图1b显示了在浇筑剩余混凝土之前混凝土的放置和EPS泡沫的安装。图1c展示了本研究中使用的商业测量系统。加速度主要使用ICP?压电传感器测量；灵敏度为10 mV/g（≈1.0197 mV/(m/s2)；范围±500 gpk（≈±4903 m/s2（峰值）；指定频率范围15–4500 Hz，±5%；内部低通滤波器角频率为10 kHz，具有12 dB/八度滚降）[67]。传感器由四通道ICP?信号调节器（PCB Piezotronics, Inc.（美国纽约州迪普威）；型号482A22；恒流激励可调2–20 mA；激励电压至传感器25–27 VDC；高频响应>1000 kHz；电压增益1:1）供电和调节[68]。主要结果和报告的频谱基于校准的PCB 352B30链。信号使用Audacity记录并存储为未压缩的.wav文件，并导入MATLAB R2025b进行分析；采样率????从文件头读取（通常???? =44.1 kHz）。为了确保频谱解释保持在校准的传感器范围内，FFT图和谐波跟踪报告在0–5 kHz范围内，这涵盖了感兴趣的基频和高阶谐波，同时避免了超出352B30指定平坦响应（15–4500 Hz，±5%）的频率[67]。对于分层的测量，加速度计安装在EPS插入物正上方的中心位置（如图1a所示）。冲击激励点放置得非常接近这个中心传感器位置，以促进强烈的局部响应并提高测量自由衰减的可重复性。为了与完整区域进行比较，在试样的右侧中心也安装了加速度计进行了额外测试。在这两种情况下，应用了相同的测试和分析程序，以便将测量的谐波内容差异归因于分层的有无。图1. 含有人工分层的混凝土板试样和实验设置。（a）试样的示意侧视图，显示了人工分层和测试位置；（b）使用和安装EPS泡沫之前的混凝土板部分。（c）商业测试设置：加速度计、放大器和笔记本电脑。4. 测试结果混凝土板的冲击响应本质上是瞬态的，并且通常表现出随时间和频率变化的特性。在目前的实验中，加速度时间历史在两个位置记录：（i）试样的完整（固体）区域和（ii）人工分层正上方的区域。对于分层位置，在两个低激励水平下重复测量，这里分别称为非常小和小的冲击。这种逐步增加的冲击水平是为了研究从主要是线性的局部振动到弱非线性状态的转变，这预计会通过除了基频成分之外还出现高阶谐波来表现。图2、图3和图4总结了应用于三个冲击响应的相同信号处理流程（时间波形、FFT频谱、功率谱、频谱图和小波谱图）：（i）完整位置（图2），（ii）在非常小冲击下的分层位置（图3），以及（iii）在小冲击下的同一分层位置（图4）。图2. 完整位置的冲击振动：（a）信号（波形），（b）频谱图—FFT频谱，（c）功率谱，（d）频谱图，（e）谱图—每个小波系数的能量百分比。图3. 在非常小冲击激励下的分层位置的冲击振动：（a）信号（波形），（b）频谱图—FFT频谱，（c）功率谱，（d）频谱图，（e）谱图—每个小波系数的能量百分比。图4. 在小冲击激励下的分层位置的冲击振动：（a）信号（波形），（b）频谱图—FFT频谱，（c）功率谱，（d）频谱图，（e）谱图—每个小波系数的能量百分比。对于完整区域，图2a中的波形显示了一个干净的瞬态，随后是一个平滑的衰减，而图2b中的FFT包含多个窄带峰值，其中5 kHz附近有一个主导成分。相应的功率谱（图2c）将能量集中在完整/全局响应带中，频谱图（图2d）显示出能量主要呈单调衰减，时间变化结构有限。谱图（图2e）相对分散，表明能量内容广泛分布在时间-尺度上，这是由应力波反射、表面波内容和全局振动成分主导的典型线性冲击回声响应[43,69]。将加速度计放置在分层上方改变了主导物理现象，从全局冲击回声响应变为近表面层的局部板状振动。在非常小的冲击下，图3a仍然显示出一个瞬态衰减，但波形失真比完整情况更严重，而图3b中的FFT显示出一个在1 kHz附近明显的主导成分，解释为分层补丁的第一个局部弯曲模式[42,69]。伴随的功率谱（图3c）强调了这种低频主导性，而频谱图和谱图（图3d,e）显示了比完整基线更局部的时间-频率/时间-尺度能量集中，与缺陷上的局部动力学一致[70]。将激励增加到小冲击保留了接近1 kHz的基频（图4b），但引入了一个在2 kHz附近的明显额外峰值，这与由弱非线性（例如，二次/三次刚度或间歇性界面相互作用）产生的二次谐波一致。这种谐波的出现是所提出方法实验观察到的关键非线性特征，并且与方程（13）和经典非线性振动理论描述的谐波产生机制一致[71]。在这种情况下，功率谱（图4c）和频谱图（图4d）显示出比完整情况更强的光谱富集和更明显的非平稳性，而标度图（图4e）则显示出一个更强烈且更紧凑的高能区域，这反映了小波标度图旨在揭示的振幅依赖的能量重新分布[70]。接近5 kHz的完整光谱峰值与接近1 kHz的剥离基频之间的对比反映了主导物理机制的变化。在完整区域中，响应受到全局瞬态冲击回声行为（应力波反射、表面波和全局振动）的控制，这可以产生多个竞争性的光谱峰值[43,69]。浅层剥离局部解耦了近表面层，因此缺陷上方的区域表现为类似板的局部弯曲振动，从而产生较低的基本频率[42,69]。因此，我们的数据显示在5 kHz附近有一个主要的完整峰值（图2b），而在1 kHz附近有一个剥离基频（图3b），这被解释为剥离区域上方的第一个局部弯曲模式[42]。最后，从小的冲击剥离响应中估计出的最大正李雅普诺夫指数（图5）为时间序列数据中的非线性/混沌特性提供了一个确定的动态指标，支持了在小激励下剥离响应表现出可测量非线性行为的结论[72,73]。图5. 在小冲击激励下剥离位置的响应数据李雅普诺夫指数（图4a）。

讨论
方程（13）中的分析表达式表明，剥离上方局部板状区域的自由响应可以包含基频成分以及更高阶的谐波，这些谐波的幅度取决于响应水平和非线性系数。当振动幅度非常小时，非线性项的贡献较弱，响应预计主要由基频成分主导。这一预期与测量结果一致。在剥离位置受到非常小的冲击激励时，响应显示出一个与基本自然频率相关的单一主导峰值。当冲击水平增加到小激励时，响应除了基频成分外还显示出明显的二阶谐波，表明弱非线性振动的开始。从这个意义上说，方程（13）中嵌入的非线性参数为观察到的转变提供了直接的物理解释：随着冲击幅度的增加，非线性项的贡献增加，导致可测量的谐波生成。因此，实验趋势与公式预测的随着振动幅度增加而单调增加的谐波含量一致。尽管方程（13）允许多个谐波——包括二阶、三阶和更高阶的项——但在小冲击激励下剥离位置的FFT结果显示出基频和二阶谐波的显著峰值，而没有明显的三阶谐波峰值。这种差异可以通过比较用于开发方程（13）（通过方程（4））的一般固体材料属性模型与实验中使用的混凝土的实际本构行为来理解。混凝土的非线性应力-应变响应已经被广泛量化[74,75,76,77,78]。在结构分析中常用的本构表示是传统的Hognestad模型，它由一个上升到峰值应力后的线性下降分支组成，如图6所示。图6. 混凝土的一般机械属性。在抛物线上升部分，Hognestad模型的特点是二阶多项式（二次）非线性：????=??′???[2?(??????0)?(??????0)2],0≤????≤??0。（15）这种二次形式意味着，在峰值前的应变范围内，材料非线性是二阶的。相应地，如果只保留方程（4）中的一般材料属性的前两项并忽略三次和更高阶的项，那么方程（12）中的简化形式将不包括三次或更高阶的贡献。在这些条件下，方程（13）中的响应预计不会包含明显的三阶谐波，二阶谐波成为主要的非线性光谱特征。实验观察与这种解释一致。在测试中施加的小冲击激励仅引起了弱非线性振动，试样的变形保持在图6中的拉伸强度点以下的小应变-应力范围内。如果施加更大的冲击，应力范围可能会接近或超过图6中的峰值；在这种情况下，需要更高阶的多项式项来表示更广泛的本构响应，可能需要分段多项式模型来描述加载和卸载行为。在目前的测试中，基频成分和二阶谐波的存在，以及没有明显的三阶谐波，表明响应保持在强度峰值以下的非线性弹性范围内，支持了该方法的无损性质。

从信号解释的角度来看，冲击回声响应是瞬态的、非线性的，通常是非平稳的。多次反射以及高能表面波和全局结构振动的存在可能导致傅里叶谱中出现涟漪和多个峰值，这使得诊断变得复杂，并可能掩盖与缺陷相关的特征。在完整响应中，可能会出现多个窄带峰值。所提出的方法通过关注一个局部化的、物理上可解释的特征——剥离区域的基本频率及其二阶谐波来缓解这一困难，正如方程（13）所预测的，并由方程（15）中的二次非线性所支持。除了基于FFT的解释外，先进的光谱工具还可以提供补充的洞察。例如，基于小波的表示可以帮助识别时间局部化的成分，并能够直接从小波标度图中观察到与表面波贡献相关的时间跨度和频率范围，这可能减少由涟漪状伪影和重叠峰值引起的歧义。总体而言，结果支持基于自由衰减响应中谐波生成的剥离特征化策略。该方法识别了与混凝土甲板剥离相关的非线性特性，而不会达到图6中的拉伸强度峰值，因此真正保持了无损性。特别是，图3b捕捉到了在非常低冲击激励下剥离上方局部板的第一自然频率的基本峰值，代表了一个主要是线性的响应。相比之下，图4b在低冲击激励下显示了基本峰值和二阶谐波，代表了一个与方程（13）一致的弱非线性响应。图3b和图4b中基本频率峰值之间的小分离表明，在测试的激励水平下，基本成分的非线性是有限的。这一观察还突出了相对于主要依赖于振幅依赖频率变化的传统非线性冲击回声方法的实际优势；因为所提出的方法利用了在适度增加激励下出现的谐波特征，它可以在减少将结构驱动到可能增加额外损伤风险的高振动幅度的同时提供与缺陷相关的信息。

虽然方程（13）允许多个谐波——包括二阶、三阶和更高阶的项——但在小冲击激励下剥离位置的FFT结果显示出基频和二阶谐波的显著峰值，而没有明显的三阶谐波峰值。这种差异可以通过比较用于开发方程（13）（通过方程（4））的一般固体材料属性模型与实验中使用的混凝土的实际本构行为来理解。混凝土的非线性应力-应变响应已经被广泛量化[74,75,76,77,78]。在结构分析中常用的本构表示是传统的Hognestad模型，它由一个上升到峰值应力的抛物线上升分支和一个线性下降分支组成，如图6所示。图6. 混凝土的一般机械属性。在抛物线上升部分，Hognestad模型的特点是二阶多项式（二次）非线性：????=??′???[2?(??????0)?(??????0)2],0≤????≤??0。（15）这种二次形式意味着，在峰值前的应变范围内，材料非线性是二阶的。相应地，如果只保留方程（4）中的一般材料属性的前两项并忽略三次和更高阶的项，那么方程（12）中的简化形式将不包括三次或更高阶的贡献。在这些条件下，方程（13）中的响应预计不会包含明显的三阶谐波，二阶谐波成为主要的非线性光谱特征。实验观察与这种解释一致。在测试中施加的小冲击激励仅引起了弱非线性振动，试样的变形保持在图6中的拉伸强度点以下的小应变-应力范围内。如果施加更大的冲击，应力范围可能会接近或超过图6中的峰值；在这种情况下，需要更高阶的多项式项来表示更广泛的本构响应，可能需要分段多项式模型来描述加载和卸载行为。在目前的测试中，基本成分和二阶谐波的存在，以及没有明显的三阶谐波，表明响应保持在强度峰值以下的非线性弹性范围内，支持了该方法的无损性质。

从信号解释的角度来看，冲击回声响应是瞬态的、非线性的，通常是非平稳的。多次反射以及高能表面波和全局结构振动的存在可能导致傅里叶谱中出现涟漪和多个峰值，这使得诊断变得复杂，并可能掩盖与缺陷相关的特征。这种挑战在完整响应中很明显，其中可能出现多个窄带峰值。所提出的方法通过关注一个局部化的、物理上可解释的特征——剥离区域的基本频率及其二阶谐波来缓解这一困难，正如方程（13）所预测的，并由方程（15）中的二次非线性所支持。除了基于FFT的解释外，先进的光谱工具还可以提供补充的洞察。例如，基于小波的表示可以帮助识别时间局部化的成分，并能够直接从小波标度图中观察到与表面波贡献相关的时间跨度和频率范围，这可能减少由涟漪状伪影和重叠峰值引起的歧义。总体而言，结果支持基于自由衰减响应中谐波生成的剥离特征化策略。该方法识别了与混凝土甲板剥离相关的非线性特性，而不会达到图6中的拉伸强度峰值，因此保持了真正的无损性。特别是，图3b捕捉到了在非常低冲击激励下剥离上方局部板的第一自然频率的基本峰值，代表了一个主要是线性的响应。相比之下，图4b在低冲击激励下显示了基本峰值和二阶谐波，代表了一个与方程（13）一致的弱非线性响应。图3b和图4b中基本频率峰值之间的小分离表明，在测试的激励水平下，基本成分的非线性是有限的。这一观察还强调了相对于主要依赖于振幅依赖频率变化的传统非线性冲击回声方法的实际优势；因为所提出的方法利用了在适度增加激励下出现的谐波特征，它可以在减少将结构驱动到可能增加额外损伤风险的高振动幅度的同时提供与缺陷相关的信息。

虽然我们关注的是混凝土板中的剥离，但非线性振动声学响应可以用来推断界面损伤的基本思想也适用于其他分层系统，包括现代锂离子电池。在这里，扩散和反应驱动的应力导致插入电极的断裂和非弹性变形，显著减少了粒子间的接触，从而损害了电化学性能并危及安全性[79,80]。此外，锂-固体聚合物（以及更一般的锂-固体电解质）界面处的机械变形和接触条件可以直接影响沉积动力学和界面稳定性[81]。对于固态和锂金属架构，界面接触损失和电子介导的纤维-树枝状路径被认为是可能导致短路的关键故障途径[82]。一旦内部机械损伤开始，它可能在外部仍然不明显，但会增加内部短路情景和热失控的概率，这一点通过耦合建模和操作中成像研究得到了支持[39,40]。从应用的角度来看，这些风险由于苛刻的负载循环（例如，快速充电/高功率需求）和延长老化（包括第二次使用寿命）而加剧，这激发了无损筛查和状态感知方法[83]。在这方面，最近的研究表明，振动测量可以为锂离子电池提供无损的“状态感知”信号，进一步支持了机械信息振动声学特征在分层系统中具有诊断用途的更广泛前提[41]。

结论
本文提出了一个基于谐波的非线性冲击响应框架，用于检测和表征固体结构中的剥离。核心思想是将剥离上方的局部分离区域建模为一个板状子结构，其弯曲自由响应可以从接近线性的行为转变为弱非线性行为，随着激励水平的增加。开发了一个理论公式，将局部振动响应与多项式非线性联系起来，表明自由衰减可能包含基本自然频率以及更高阶的谐波成分。通过具有受控平台人工剥离的混凝土板进行了实验研究。通过这种方式，证明了在非常小的冲击激励下，剥离上方的响应仍然主要是基本的，而对于小冲击激励，剥离上方的响应由基本模式和可见的二阶谐波组成。这一观察与推导出的谐波表示一致，并表明谐波特征可能是缺陷敏感的指标。这些结果还对冲击响应数据的一般解释具有影响，因为冲击回声数据是短的、非平稳的，通常包含多次反射、涟漪和多个光谱峰值，以及表面波和结构振动内容，这些有时会使光谱解释变得困难。这种方法的有用之处在于它直接使用了来自局部非线性动力学的谐波贡献，并提供了一种物理上直观的方式来从复杂的光谱中分离缺陷特征。在低冲击水平下观察到的谐波特征，而没有将试样推入峰值强度范围，支持了该方法在混凝土甲板上的实际应用中的无损性质。此外，这里呈现的结果为基于谐波的剥离检测建立了一个受控的基线，并自然地指出了几个高价值的扩展。首先，实验验证是在具有已知几何形状的明确定义的浅层剥离上进行的，这是隔离缺陷局部非线性特征的适当起点；未来的研究将扩展测试矩阵到其他缺陷大小、形状和深度，以进一步绘制该方法的操作范围。其次，因为冲击回声光谱可能受到支撑和边界条件的影响，我们将在不同的、有良好记录的支撑配置中进行基准测试，以量化在不同条件下的谐波指标的可重复性和鲁棒性。第三，虽然目前的工作强调了频域谐波的出现以便于清晰和解释，但未来的发展将结合补充的时间-频率分析和自动化特征度量（例如，带有不确定性界限的谐波比率）来提高在噪声或变化场条件下的性能。这些扩展旨在在保持本文证明的中心结论的同时推广该框架：自由衰减响应中的更高阶谐波提供了实用的、对缺陷敏感的特征，当基于线性的峰值解释不明确时。

在第二部分中，我们将把这个框架扩展到分层电化学系统，特别是锂离子电池。电极/隔膜剥离、界面接触损失和空洞形成引入了局部合规性变化和接触非线性，这些可以改变振动声学和冲击响应特征。将目前的基于谐波的方法适应于电池形状因子可以实现制造质量控制和服务中的内部机械缺陷的机械信息检测。早期识别这些缺陷尤其重要，因为机械驱动的内部损伤可能先于内部短路并增加热失控的风险；因此，将谐波特征诊断转移到电池上可以改善电气运输系统的安全筛查和可靠性评估以及第二次使用寿命的电池部署。