基于MSG方法的Tioshenko模型用于分析具有展向异质性的细长结构

《Composite Structures》：MSG-based Timoshenko modeling of slender structures with spanwise heterogeneity

　　刘思晨 | 彭波 | 余文斌
普渡大学航空航天学院，美国印第安纳州西拉法叶市47907

摘要
在现实世界的应用中，许多细长结构（如桁架和固定机翼）要么没有明确的截面形状，要么截面形状变化突然。这些结构无法通过二维（2D）截面分析来准确评估。相反，需要使用三维（3D）结构基因（SG）来计算一维（1D）梁的有效属性。本文重点研究了沿梁方向具有周期性异质性的细长结构，可以通过在3D SG的两端截面表面上强制应用波动函数来对其进行严格建模。结构基因力学（MSG）被用来构建能够模拟具有普遍各向异性和异质性的跨度方向周期性细长结构的Timoshenko模型。所提出的方法可以通过均匀化3D SG来计算Timoshenko模型的充分填充的6 × 6刚度矩阵的有效梁属性，1D梁分析的结果也可以通过非均匀化来恢复3D位移、应变和应力场。使用3D有限元分析（FEA）对原始异质细长结构进行直接数值模拟，以验证整体梁行为和3D局部场。

引言
细长结构（如桁架和固定机翼）在许多工程应用中至关重要。然而，它们有时缺乏明确的截面形状，或者在跨度方向上存在突然的变化，这使得使用截面分析来分析它们变得困难。为了解决这些挑战，已经提出了诸如渐近均匀化（AH）方法、代表体积元素（RVE）分析和结构基因力学（MSG）等方法来模拟具有周期性跨度方向异质性的细长结构。文献表明，Euler–Bernoulli梁模型通常被用作该问题的宏观梁模型。特别是AH方法，它是基于对由微观尺度与宏观尺度比值定义的小参数的3D位移场的渐近展开，并假设在单位胞元的每个阶上都有周期性的位移分量。Kolpakov首次使用AH方法解决了这个问题[1]，并通过变分原理获得了有效刚度的上下限[2]。后来该方法被扩展到跨度方向周期性薄壁细长结构[3]。Buannic和Cartraud[4],[5]将AH方法重新表述为适用于有限元实现的变分形式，从而能够数值求解具有更复杂几何形状的梁单元问题。Cartraud和Messager将该方法应用于周期性细长结构，例如波纹Z字形梁和正弦波形梁[6]以及螺旋梁[7]。Cheng等人直接使用有限元方法（FEM）通过变分陈述重新表述了渐近均匀化方程，从而允许使用标准有限元软件解决单元问题[8]。他们后来通过引入跨度方向的周期性位移函数来表述单元问题，用于恢复3D位移、应变和应力场[9]。Xing、Gao和Huang[10]将位移的渐近展开直接应用于Euler–Bernoulli梁模型的控制方程，以推导有效弯曲刚度。Dizy等人[11]使用具有周期性边界条件（PBCs）的RVE分析获得了完全耦合的Euler–Bernoulli梁刚度矩阵。Lee和Yu[12]使用变分渐近方法（VAM）推导出完全耦合的Euler–Bernoulli梁刚度矩阵并恢复了3D位移、应变和应力[13]，该方法后来被推广为MSG。Gélébart[14]从宏观应变（包括轴应变、两个弯曲曲率和一个扭转率）构建了微观应变场，并通过应用轴应变、两个弯曲曲率和扭转率以及使用基于快速傅里叶变换（FFT）的求解器求解平衡方程来计算有效的Euler–Bernoulli梁刚度矩阵。由于宏观梁应变是预先规定的，因此允许的变形模式仅限于基于这种应变公式的Euler–Bernoulli梁运动学。

对于剪切效应显著的梁，文献中也研究了捕捉剪切变形的方法。Sankar和Marrey[15]使用剪切应变能等效性在纯剪切变形下计算了横向剪切刚度。然而，他们仅考虑了轴向伸长、一个方向的弯曲以及相应的横向剪切刚度，忽略了扭转和另一轴方向的弯曲。Cheng等人[16]提出了一种基于AH的方法来计算Euler–Bernoulli梁刚度矩阵，然后通过施加两种线性-曲率状态来计算两个剪切刚度项，在这些状态下，剪切和弯曲相关的位移场被叠加以强制相邻单元之间的连续性和平衡，每个剪切刚度是从其产生的应变能中提取的。然而，忽略了剪切与其他梁变形模式之间可能的耦合。Xing、Gao和Huang[17]采用了一种基于AH的位移展开方法，其中假设一阶项主要由轴向伸长和弯曲主导，然后确定伸长、弯曲、扭转、剪切和剪切-扭转耦合刚度项，假设其余耦合项为零。通过叠加六个对应于广义梁应变状态的应力场来恢复3D应力场[18]。在相关工作中，Xing、Gao和Huang利用宏观梁模型与单元之间的能量等效性和内力等效性推导出了完全耦合的Timoshenko梁刚度矩阵[19]。Yeoh等人使用直接FE2方法在单元上强制宏观Timoshenko梁运动学，在单次分析中解决了宏观和微观问题，并使用得到的切线刚度更新解决方案[20]。需要注意的是，直接FE2方法不计算有效的Timoshenko刚度矩阵，因此每次分析仍然与微观尺度耦合，并且计算成本高于提取显式有效梁刚度的方法。Han等人提出了一种辛传递矩阵方法，将高维双变量传递矩阵简化为适用于梁的规范12 × 12形式[21]，后来通过对节点翘曲值施加周期性并将局部和整体平衡强制均匀化来考虑剪切效应[22]。该方法将局部位移场表示为由平衡方程隐含的刚体、恒定应变和线性应变模式的叠加，这导致翘曲函数和顺应矩阵的奇异系统必须通过零空间处理来解决。

应当注意的是，在RVE分析中，必须仔细选择Timoshenko梁模型的边界条件以达到最佳精度。Klarmann[23]研究了位移边界条件（DBCs）和PBCs，并表明要获得尺寸独立的剪切刚度需要通过添加刚体旋转约束和线动量约束来修改PBCs。Dong等人[24]提出了基于相邻单元之间平衡的物理一致边界条件（PCBCs），使用叠加和虚拟自由度来强制Timoshenko梁模型的此类边界条件。

在这项工作中，我们介绍了基于MSG的方法[25],[26],[27]，该方法基于VAM，提供了一个统一的框架来建模所有类型的结构，而无需引入RVE基方法中使用的精心设计的应力结果或位移/旋转边界条件或虚拟自由度。对于周期性细长结构，3D弹性问题被分解为微观尺度的3D SG分析和宏观尺度的1D梁分析。3D SG类似于RVE或单元，通过计算SG的有效梁属性来模拟详细的异质几何形状。在运动学中使用波动函数来捕捉所有可能的变形，而无需特殊假设。然后对波动函数施加约束，并通过在相应边界上使波动函数相等来轻松实现PBCs。使用梁应变和波动函数确定3D位移和应变场，并使用胡克定律恢复3D应力场。通过对Timoshenko梁应变重新表述应变能来推导Timoshenko梁模型的公式，得到了考虑所有可能耦合的6 × 6有效刚度矩阵。这使用[12]中描述的Euler–Bernoulli模型扩展了MSG框架。均匀化和非均匀化过程在SwiftComp[28]中实现。可以使用SwiftComp一次运行获得SG的有效刚度矩阵，然后使用宏观梁分析的结果来恢复3D位移、应变和应力场。

本文第2节描述了使用MSG的梁模型的运动学。第3节介绍了有效Timoshenko刚度矩阵的推导，第4节概述了非均匀化过程。第5节提出了基准问题，通过将有效刚度、宏观梁变形和恢复的应力分布与3D FEA和其他方法进行比较来评估所提理论的准确性。第6节得出结论，所提理论可以有效地模拟具有周期性跨度方向异质性的细长结构。

**部分代码片段**
使用MSG的梁模型
如图1所示，可以使用带有使用MSG获得的相应本构关系的一维梁模型来分析细长结构。对于沿梁参考线具有恒定截面的情况，MSG应使用2D SG（即截面）进行本构建模。尽管也可以在这种情况下使用具有均匀轴向尺寸的3D SG，但这是一种不必要的计算资源浪费。如果细长结构具有跨度方向的异质性（见右图），则应使用2D SG进行本构建模。

**转换为Timoshenko梁模型**
由于方程（46）中的ω?导数没有明确的物理意义，因此方程（46）中的应变能难以在实践中应用。为了解决这个问题，我们建议将方程（46）中的能量公式转换为常用的工程模型，例如Timoshenko模型。对于Timoshenko模型，SG的两倍应变能可以表示为：
$2\Pi_1=\omega?_t X_t\epsilon?_t + 2\epsilon?_t Y\gamma + \gamma_T G_s\gamma$
其中$X$、$Y$和$G_s$表示Timoshenko梁模型中定义的与应变相关的刚度矩阵。

**使用Timoshenko梁模型的非均匀化**
在基于方程（51）的1D梁分析之后，我们需要使用宏观梁模型的应变测量来确定3D位移、应变和应力。首先，通过在方程（4）中减去方程（1）来获得在bi基底中的3D位移$u_i$：
$u_i(x_1,y_1,y_2,y_3) = u?_i(x_1) + \epsilon\sum_{α=2}^3 y_α C_α I_t b_x(x_1) - \delta_{αi} + \epsilon\sum_{j=1}^3 C_{ji} T_b(x_1,y_1,y_2,y_3)$
其中$u_i$表示局部3D位移，$u?_i$是宏观梁位移，$\delta_{ij}$是...

**非对称波纹条带芯夹层梁**
使用[16]中的非对称波纹条带芯夹层梁来评估使用当前理论获得的均匀化结果。SG的几何形状如图4所示，尺寸为$l=2m$、$s=0.5m$、$h=2m$和$t=0.1m$。$y_2$方向的宽度为2m。材料是各向同性的，杨氏模量$E=206\ GPa$，泊松比$\nu=0.3$（见图5）。

**3D SG的网格划分**
3D SG使用了总计21,120个元素进行网格划分，所有这些元素都是二次六面体元素（20节点砖元素）。

**结论**
在本文中，我们使用3D SG为具有周期性跨度方向异质性的细长结构开发了一种基于MSG的Timoshenko梁模型。通过引入具有周期性边界条件的波动函数，并将应变能的表达式从Euler–Bernoulli模型转换为Timoshenko模型，我们获得了一个6 × 6的有效刚度矩阵，该矩阵捕获了所有耦合项，而无需针对多种加载情况运行模拟或进行特殊假设。

**作者贡献声明**
刘思晨：撰写——原始草稿、可视化、验证、调查、正式分析、数据管理、撰写——审阅与编辑。
彭波：撰写——原始草稿、验证、软件、方法论、调查、正式分析。
余文斌：撰写——审阅与编辑、监督、软件、资源管理、项目管理、方法论、资金获取、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能的财务利益/个人关系可能被视为潜在的利益冲突：余文斌是AnalySwift的联合创始人兼首席技术官，该公司可能会许可与本文中介绍的工作相关的SwiftComp版本。本文中提出的理论是通用的，不特定于SwiftComp，数值示例可以使用Abaqus或Ansys及其Abaqus-SwiftComp或Ansys-SwiftComp插件（免费下载）来复现。

**致谢**
作者们想要感谢Dr.感谢韩仕雷（Shilei Han）和肖彦泽（Yanzhe Xiao）提供周期性异质机翼的3D模型。