基于动态与依赖树理论方法评估最小割集与部件重要性的Fussell-Vesely测度

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Evaluating Minimal Cut Sets and the Fussell-Vesely Measure of Component Importance Using the Dynamic and Dependant Tree Theory Methodology

　　

动态与依赖树理论（D2T2）是故障树分析（FTA）领域的一项最新进展，它增强了表征现代工业系统中常见特征的能力。这些进展是通过整合二元决策图（BDD）、随机Petri网（SPN）和马尔可夫模型的功能来实现的，从而为评估的每个部分选用最合适的建模技术。目前，D2T2框架可以预测系统失效概率和失效频率，以及部件重要性的Birnbaum测度、关键性测度、风险增长值（RAW）和风险减少值（RRW）。
本文的重点是扩展D2T2方法，以计算部件重要性的Fussell-Vesely（FV）测度。该重要性测度是根据故障树最小割集的概率来定义的。在传统FTA中，最小割集是在分析的中间阶段产生的，但在D2T2方法中并不计算它们。如果需要，必须执行额外的处理。本文将证明，D2T2中采用的模块化方法，即每个基本事件仅出现在一个相互独立的模块中，使得这一扩展非常高效。FV测度可以直接利用最小割集，通过一个快速、准确的近似方法进行计算。
对于倾向于获得最小割集总数及各阶次数量汇总信息，而非完整列表的情况，本文提出了一种基于多项式公式的方法。

**研究背景与意义**
故障树分析（FTA）作为现代风险评估方法的基石，自20世纪60年代诞生以来，在航空航天和核工业等领域发挥了重要作用。然而，随着工业系统因新技术发展和持续改善财务绩效的压力而发生巨大变化，传统FTA在表征现代系统特征方面面临挑战。这些挑战包括：安全系统中常见的模块化设计、备用冗余和共因故障等引入的事件间依赖性；现代维护实践（如机会性维护、基于状态/年龄/使用情况的预防性更换）导致的事件间复杂交互；以及非恒定失效率/修复率等。传统FTA假设基本事件相互独立，难以有效处理这些依赖性和复杂性。虽然随机Petri网（SPN）或马尔可夫模型等替代技术可以处理部分依赖，但对于大型系统，这些方法可能面临计算量爆炸或仿真时间过长的问题，导致实际应用受限。
为了克服这些限制，研究人员开发了动态故障树（DFT）和多种混合方法（如HCL、BDMP），但它们在处理故障树中不同位置事件间的依赖关系（特别是由维护流程引入的）方面仍存在不足。在此背景下，动态与依赖树理论（D2T2）作为一种新的混合方法被提出，旨在有效处理由故障树定义失效逻辑的系统中存在的依赖性和复杂性。
D2T2框架结合了二元决策图（BDD）、马尔可夫模型和SPN，以最合适的方法解决系统评估的各个部分。它能够建模基本事件间的依赖性、非恒定失效率/修复率以及复杂的系统维护策略，克服了传统FTA中基本事件独立的假设限制。然而，当前的D2T2方法主要专注于计算顶事件失效概率、频率以及Birnbaum、Criticality、RAW和RRW等重要性测度，尚缺少对最小割集和Fussell-Vesely（FV）部件重要性测度的计算能力。FV测度因其能综合考虑部件在系统结构中的位置、失效频率及处于失效状态的时间，成为识别系统薄弱环节最常用的指标之一。因此，为使D2T2成为传统FTA的可行替代方案，扩展其功能以计算最小割集和FV测度至关重要。本研究旨在填补这一空白，相关成果发表在《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》期刊上。

**关键技术方法概述**
本研究扩展了D2T2框架，主要引入了三个关键技术方法：1) 基于D2T2模块化结构的改进MOCUS算法，用于高效推导最小割集。该算法利用D2T2生成的相互独立模块，避免了传统MOCUS算法中因事件重复而需频繁应用幂等律和吸收律的耗时比较操作，从而实现了快速计算。2) 计算FV部件重要性测度的两种途径：一是基于最小割集的稀有事件近似法（使用包含-排除级数的首项）；二是直接利用D2T2模块化模型进行精确计算，无需先生成完整最小割集列表。后者通过识别并量化包含特定基本事件的最小割集子集来实现。3) 基于多项式公式的汇总统计方法，用于在不生成完整最小割集列表的情况下，快速确定各阶最小割集的数量。该方法为每个模块（复杂因子或BDD）分配一个多项式，通过多项式运算（OR对应求和，AND对应求积）最终得到顶事件的多项式，其系数即对应各阶最小割集的数量。研究以压力容器冷却系统（案例系统示意图及故障树结构见原文图1、图2，基本事件定义见表1）为案例，验证了所提方法的有效性。该系统包含多个引入依赖性和复杂性的特征组（详见表2），如泵P1和P2的负载共享依赖（D1）、换热器Hx1和Hx2的机会性维护依赖（D2）、泵P3的启动失效与运行失效模式依赖（D3），以及电机Motor的非恒定失效/修复时间分布（C1，威布尔分布和对数正态分布）。

**研究结果**
**4. 最小割集**
研究人员开发了适用于D2T2的改进MOCUS算法。该算法首先确定各独立模块（复杂因子和BDD）的“最小割集”（以其输入元素表示）。对于复杂因子，其“最小割集”可根据其是AND或OR组合直接推导；对于BDD模块，则通过转换为零抑制BDD（ZBDD）来获取编码最小割集的路径。然后，算法从顶事件开始，在二维数组中自上而下地展开模块，用其“最小割集”替换模块标签。由于D2T2模块相互独立，基本事件无重复，因此该过程无需执行耗时的幂等律和吸收律应用，从而实现了高效计算。将所提方法应用于压力容器冷却系统故障树（图2），该树经D2T2模块化后得到6个复杂因子（Cf1-Cf6）和2个BDD模块（图9）。通过执行改进的MOCUS算法（展开过程见图10a-c），最终得到了31个最小割集（完整列表见图11），包括：1个1阶、18个2阶、11个3阶和1个4阶最小割集。这验证了所提算法在利用D2T2模块化结构高效推导最小割集方面的有效性。

**5. 部件重要性的Fussell-Vesely测度**
FV测度I_i^FV(t)定义为：在系统于时刻t失效的条件下，至少一个包含部件i的最小割集在时刻t失效的概率。其精确计算涉及对包含部件i的所有最小割集求并集的概率，通常需要计算复杂的包含-排除级数（公式7）。一种常见的实用近似是采用稀有事件近似，即仅保留级数第一项（公式8），但这会丢失包含同一依赖组中基本事件的不同最小割集间的交互信息。
研究人员首先使用近似法（公式8）计算了案例系统中各基本事件的FV测度（表5中“方法1”）。结果显示，作为唯一1阶最小割集的PoW事件贡献度最高（0.6456），具有强依赖性的泵P1和P2次之（均为0.3525）。值得注意的是，由于换热器Hx1在失效后系统会立即停机维修，在系统运行时间内其失效状态不会贡献于系统安全失效概率，因此其FV测度为0。

**6. 基于D2T2的Fussell-Vesely部件重要性测度**
为克服近似法的不足（需生成最小割集且丢失高阶交互信息），研究人员提出直接利用D2T2框架计算FV测度（对应公式6）。该方法无需先生成完整最小割集列表，其核心步骤包括：
1. **识别包含部件i的最小割集子集**：利用D2T2模块化层次结构（图4），从部件i的唯一入口点出发，沿路径向上遍历至顶事件。在遍历过程中，剔除所有不包含部件i贡献的分支。例如，对于基本事件S1，通过修改沿途模块的逻辑表达式（图12），最终推导出仅包含S1的最小割集子集逻辑函数（公式13-16），与图11中的结果一致。图13给出了该过程的通用算法。
2. **计算包含部件i的最小割集并集的概率**：对上述步骤得到的简化逻辑函数（仅包含与部件i相关的模块），执行标准的D2T2顶事件概率量化过程，即可得到公式6中的分子P(∪_i∈CjC_j(t))。对于BDD模块，量化时结合使用BDD和ZBDD：ZBDD用于识别包含i的路径，BDD用于概率计算（以公式17-19的通用示例说明了该过程）。
将这一精确方法应用于案例研究，得到了各基本事件的FV测度（表5中“方法2”）。对比发现，两种方法给出的部件重要性排序相同，但数值上存在差异。对于大多数部件，差异微小。然而，对于具有强依赖性的泵P1和P2，近似法高估了约11.5%；对于在9个2阶最小割集中出现的T1，近似法也高估了约12%。这些差异正是由于近似法忽略了包含同一依赖组（D1）基本事件的割集间高阶交互作用所致。正如预期，近似法给出了上界估计值。

**7. 最小割集汇总统计**
针对分析者可能只需要了解各阶最小割集数量汇总信息的情况，研究人员提出了一种基于多项式公式的高效方法，无需生成完整最小割集列表。该方法为每个基本事件分配变量u，为每个逻辑模块（复杂因子或BDD）构建多项式∑a_iuⁱ，其中a_i是i阶最小割集的数量。通过多项式运算规则（OR对应求和，AND对应求积）自底向上组合各模块的多项式，最终得到顶事件的多项式。
将该方法应用于压力容器冷却系统案例（各模块多项式见表6），计算得到顶事件多项式为u⁴+11u³+18u²+u。由此解读出：存在1个1阶、18个2阶、11个3阶和1个4阶最小割集，总计31个。该结果与第4节中通过完整算法得到的结果完全一致，验证了该汇总统计方法的正确性和高效性。

**讨论与结论**
本研究成功地将基本D2T2 FTA框架扩展到能够计算最小割集、Fussell-Vesely基本事件重要性测度，并提供各阶最小割集数量的汇总信息。主要结论如下：
* 由于D2T2方法的故障树输入与传统FTA相同，因此在利用D2T2量化故障树时，仍可使用传统算法来确定最小割集。
* D2T2方法将原始故障树逻辑结构模块化为相互独立的模块，这为高效确定最小割集提供了极佳的结构基础。
* 一旦获得最小割集，可以使用稀有事件近似法来确定基本事件的Fussell-Vesely重要性测度。该近似法仅保留计算过程中的一阶项，这会丢失那些包含同一依赖组中基本事件的最小割集间的某些依赖交互信息。同时，它还需要确定最小割集，而这在D2T2方法中并非必需。
* 若需要更精确的Fussell-Vesely测度，则可以利D2T2量化过程来避免近似计算和确定完整最小割集列表的需要。
* 通过组合表达各模块各阶最小割集数量的多项式方程，可以快速确定故障树各阶最小割集数量的汇总信息。