参数化重叠区域Stokes-Stokes耦合问题的PGD(Proper Generalized Decomposition)降阶界面求解方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：An overlapping domain decomposition method for parametric Stokes and Stokes-Darcy problems via proper generalized decomposition

　　

研究人员针对带物理参数μ的二维重叠区域Stokes-Stokes耦合问题，采用连续Galerkin有限元(FEM)进行空间离散，并将子域间速度连续性作为Lagrange乘子(λi,h)引入界面条件。通过静力凝聚将全域代数系统约化为仅含界面未知量的Schur补型系统，并利用PGD(Proper Generalized Decomposition)在离线阶段构造局部参数化解算子以替代在线迭代中昂贵的全阶Stokes求解，从而实现参数实时在线耦合。数值实验验证了该方法在典型二维网格下对速度场与压力场重构的可行性及计算加速效果。

一、研究背景与意义

传统全阶有限元(FEM)求解参数化偏微分方程(PDE)需在每次参数μ变更时重新组装并求解大规模稀疏线性系统，计算代价高昂，尤其对多子域耦合的Stokes问题，迭代求解器每步均需调用子域全阶Stokes求解器(S_u,i^FEM)，难以满足实时或多次查询需求。已有降阶模型(ROM)如POD依赖大量快照且难以自然嵌入参数维度，而PGD(Proper Generalized Decomposition)可将参数视为额外坐标直接进行分离变量近似。本文发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》，研究人员旨在建立一种基于PGD的离线-在线分裂框架，对重叠区域分解下的参数化Stokes-Stokes耦合问题进行高效降阶界面求解，填补参数化多域Stokes问题PGD-ROM耦合策略的空白。

二、关键技术方法

研究人员采用二维重叠区域分解(Ω=Ω₁∪Ω₂，Ω₁∩Ω₂≠?)，子域Ω_i具非重叠内部Γ_i^D（Dirichlet边界）及Neumann边界Γ_i^N，交界面为Γ_i。连续Galerkin FEM离散速度[u∈V_i^h]与压力[p∈W_i^h]，界面速度迹λ_i,h(μ)用子域内部基函数φ_i,hj(x)|_Γi展开。弱形式导出双线性型A_i(粘性项+稳定项)、B_i(散度约束)及右端F_i、G_i。全域系统经静力凝聚得仅含Λ_Γ1、Λ_Γ2的界面方程，用GMRES求解且每迭代需作用(A_IIⁱB_:Iⁱ; B_:IⁱC_::i)^-1。离线阶段对固定采样参数μˉ∈P，分别求解带体积力/Neumann数据的局部Stokes问题(对应u_i,FEM^f(μˉ)、p_i,FEM^f(μˉ))及带单位界面Dirichlet基e_Γik,j的齐次Stokes问题，并以PGD(Proper Generalized Decomposition)构造其参数化解——即u_i,PGD^0,f(μ)、u_i,PGD^k,j(μ)、p_i,PGD^f(μ)、p_i,PGD^k,j(μ)。在线阶段将全阶算子S_u,i^FEM替换为PGD线性组合算子S_u,i^PGD，右端直接用u_i,PGD^0,f(μˉ)赋值，用GMRES解降阶界面系统得Λ_Γi，再按(9)合成全域速度u_i,h(μ)=u_i,h⁰(μ)+λ_Ωi,h(μ)+g_Ωi^D(μ)。

三、研究结果

2.2. Finite element discretization of the two-domain Stokes problem with Lagrange multipliers

研究人员引入Lagrange乘子λ_i,h表征子域间速度连续性，将全域解拆为齐次零解u_i,h⁰(μ)（满足体积力与Neumann条件）、Dirichlet提升g_Ωi^D(μ)及界面贡献λ_Ωi,h(μ)=Σ_j=1^N_ΓiΛ_ik,j(μ) φ_i,hj(x)，给出Galerkin弱形式(11a–11d)及对应代数系统(12)。

2.3. Full-order interface system for the Stokes-Stokes problem

通过对(12)做静态缩合，得到仅含界面未知量Λ_Γ1、Λ_Γ2的Schur补系统(13/21)，其系数矩阵由I_ΓiΓi与限制矩阵R_Ωj→Γi及子域逆块(A_IIⁱB_:Iⁱ; B_:IⁱC_::i)^-1乘以边界耦合阵(-A_IΓi; -B_:Γi)构成。指出GMRES每迭代需两次子域全阶Stokes求解，参数变动时需重装矩阵，计算昂贵。

2.4. Reduced-order interface system for the Stokes-Stokes problem

研究人员提出离线-在线分裂：离线用PGD对局部参数化Stokes问题(带体积力与带单位界面Dirichlet条件)构造分离变量近似；在线将(21)中S_u,i^FEM替换为S_u,i^PGD=Σ_k,jΛ_ik,j(μ) u_i,PGD^k,j(μ)+E_Γi→ΩiΛ_Γi，右端用u_i,PGD^0,f(μˉ)替代u_i,FEM^f(μˉ)，解降阶界面系统(20)得Λ_Γi，再合成全域解。结论为该方法避免了在线阶段求解全阶子域Stokes问题，仅需PGD预存模态的参数化估值与线性组合，实现参数化重叠Stokes耦合问题的实时在线求解。

四、讨论与结论翻译

研究表明，所提基于PGD(Proper Generalized Decomposition)的降阶界面方法成功将参数化重叠区域分解Stokes-Stokes耦合问题的在线计算量降至仅含界面自由度的GMRES迭代与PGD模态线性组合，克服了传统全阶耦合随参数变化反复求解大规模系统的瓶颈。选取子域内部有限元基函数在界面上的限制作为λ_i,h的试函数空间，保证了与现有FEM代码的非侵入式兼容；数值实验证实二维典型网格下速度、压力场可获有效近似。未来工作将扩展至三维、端口约化(port-reduction)及间断Galerkin(DG)处理法向应力连续条件。

结论(翻译)：

研究人员提出了一种用于参数化重叠区域Stokes-Stokes耦合问题的降阶界面求解框架，基于Proper Generalized Decomposition(PGD)在离线阶段预计算局部参数化Stokes解算子，在线阶段以PGD线性组合替代全阶子域求解，结合静力凝聚的界面Schur补系统实现参数的实时评估。该方法为非侵入式，兼容标准连续Galerkin有限元离散，适用于需多参数快速查询的工程流动问题，并为后续三维扩展及混合边界条件处理奠定基础。