非线性系统容错控制：一种归纳综合方法

《Automatica》：Fault-tolerant control of nonlinear systems: An inductive synthesis approach

　　

执行器故障严重影响控制系统的性能和稳定性，这一问题对于需在恶劣环境条件下自主运行的系统（如无人航行器）尤为关键。为此，可采用被动容错控制（Passive Fault-Tolerant Control, PFTC）系统，即能在标称情况和故障事件下均保证稳定性的固定增益控制律。本文提出一种基于反例引导归纳综合（Counterexample Guided Inductive Synthesis, CEGIS）的方法，为非线性控制系统设计可靠的PFTC策略。该方法考虑执行器饱和，同时处理部分和完全执行器故障，并采用在有限时间内保证收敛的综合技术。大量数值仿真说明了所提方法如何应用于涉及自主水下航行器（Autonomous Underwater Vehicles, AUVs）速度和航向控制的实际运行场景。所提出的PFTC技术具有相对较短的综合时间（即数分钟）且计算成本较低。这些特点使得所呈现的方法特别适用于机载能源和功率资源有限的嵌入式应用。

## 研究背景与问题阐述

无人航行器通常需要长时间在非结构化或恶劣环境中执行多种任务，如数据收集、环境监测和巡逻。在此期间，这些机器人可能遭遇执行器或传感器故障。故障是指传感器或执行器信号动力学的不期望变化，但不会危及整个系统的功能。执行器故障由于持续暴露于周围环境，是水下机器人等领域的关键问题之一，例如与 vessels 或碎屑碰撞、生物附着剂影响或海洋生物攻击均可能导致故障。一项涵盖205次任务、总计超过5000天AUV部署的广泛报告指出，11次任务因执行器故障而中止，这使得执行器容错成为具有实际和及时意义的学术研究问题。

传统的执行器故障处理方法分为两类互补途径。一方面，故障检测与隔离（Fault Detection and Isolation, FDI）算法可检测非名义运行状况的存在，隔离故障组件并估计故障严重程度，进而重新调度控制策略或应用针对特定故障行为的全新控制架构，这些方法属于主动容错控制（Active Fault-Tolerant Control, AFTC）技术。另一方面，PFTC方法考虑一组可能的故障动力学，专注于设计固定增益控制律，以保证在整个故障行为范围内的闭环稳定性。PFTC频繁被类比为解决鲁棒镇定问题，从而需要同时镇定名义 plants 以及与故障相关的一组运行模式。

AFTC技术虽能优化系统在不同运行条件下的闭环性能，但通常计算昂贵，需要精确的模型描述，且估计故障位置和严重程度需要时间，引入可能导致不稳定的关键延迟。PFTC架构消除了对监测传感器的需求，实施计算廉价，因其依赖固定增益控制器。当广泛的执行器传感、控制设计或在线部署可能性因功率、成本或复杂性约束而受限时，PFTC代表最有效的控制选择。尽管PFTC即使在名义运行条件下也会导致更保守的控制性能，但在安全关键应用或人机回环干预不可行的情况下（如极地冰盖下运行的AUV），可靠性和安全性需要优先考虑，使PFTC成为首选方案。

现有PFTC方法利用线性和非线性控制理论。线性方法传统源于H₂和H_∞控制综合；解析非线性技术则依赖李雅普诺夫理论，例如为无故障模型设计控制律并添加额外项以应对执行器动力学中的变化和/或故障。然而，后者虽能处理控制仿非线性动力学，但只能处理执行器效能的部分损失，无法考虑执行器饱和。PFTC-ANLC方法虽被提出用于受部分和完全执行器故障影响且考虑执行器饱和的非线性系统，但控制律的综合没有形式化的收敛理论保证。

## 研究人员开展的研究与核心贡献

研究人员提出了一种新颖的PFTC技术，特别针对可能受多重执行器故障影响的AUV。所设计方法生成唯一的静态状态反馈鲁棒控制律，以同时应对名义和多重故障模式。研究聚焦于任何一次仅涉及单个执行器故障的场景，因研究表明任务中止通常源于单一根本原因（如一个浮力泵故障或一个舵机卡死），而非同时发生的多重执行器故障。但该方法不限于此限制。

为此，研究人员扩展了Masti等人（2023）的CEGIS方法：(i) 考虑非线性控制系统；(ii) 将方法定制为容错策略；(iii) 以理论结果支持方法，确保算法的有限步收敛；(iv) 包含具有执行器饱和的控制输入。与Grande, Fenucci等人（2023）及Grande等人（2024）的工作相比，该方法基于专门设计的验证引擎以提高可扩展性，使其适用于复杂的信息物理系统。

由此，本文提出了一种名为归纳综合饱和控制（Inductive Synthesis Saturated Control, IS-sat）的新PFTC方法。IS-sat是唯一同时具有以下特点的PFTC方法：(i) 能够处理非线性系统；(ii) 设计用于处理执行器的部分和完全故障；(iii) 能够应对每个执行器上的执行器饱和；(iv) 具有保证在有限时间内收敛的综合方法；(v) 可轻松在非精密硬件上实现（即需要少于1 MB的机载RAM）。

## 关键技术方法

研究人员采用的核心技术方法包括：首先，将非线性系统通过线性参数变化模型进行转换，其不确定集对执行器故障模型有界；利用控制仿非线性系统的雅可比矩阵将系统重写为不确定线性时变系统形式。其次，采用CEGIS学习范式，通过学习者（learner）与验证者（verifier）的对抗交互设计控制函数，其中学习者基于数据集合成候选控制解，验证者检查候选解在整个状态域上的有效性。第三，利用线性差分包含（Linear Difference Inclusions, LDI）技术处理输入饱和，将饱和函数重构为凸组合形式，并通过半定规划（Semidefinite Program, SDP）求解最大不变椭球。第四，利用Lipschitz连续性和全局Lipschitz求解器实现验证者的非凸优化问题的全局最优求解。第五，通过线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality, LMI）条件处理状态和输入约束。样本队列来源方面，研究使用了基于Autosub Hover AUV的两状态模型，以及具有四个推进器的X形配置AUV的五状态高保真模型，并在OpenMAUVe高保真仿真环境中进行验证。

## 研究结果

**CEGIS迭代综合框架**：研究人员设计了基于CEGIS的PFTC策略迭代方案。学习者任务为求解降阶的SDP问题，获得候选控制李雅普诺夫函数（Control Lyapunov Function, CLF）和线性控制器；验证者任务则通过求解最小特征值优化问题，检验学习者提供的解在整个不确定集上的有效性。若存在反例，则将其加入训练集供下一轮迭代使用。

**有限时间收敛理论保证**：通过建立特征值映射的Lipschitz连续性（定理3.3），研究人员证明了算法具有侵蚀性质——每次迭代添加的反例与已有样本集保持最小距离，从而确保算法在有限步内要么宣布不可行，要么返回有效的PFTC策略（定理3.7）。该收敛性保证是通过证明验证者无法无限生成反例实现的，因不确定集有界闭且样本集逐步覆盖整个不确定集。

**两状态AUV数值验证**：在基于Autosub Hover AUV的纵荡和偏航动力学模型上，设置状态域D=[?2,2]²，控制饱和值ū=38.0 N，采用η=50、?=10^?4、τ=0.999的超参数，在7次迭代、总运行时间<3秒内综合出控制器。与两种H_∞控制器（"激进型"H_∞a和"保守型"H_∞c）的对比表明，所提方法在跟踪误差方面与H_∞a具有相似的闭环性能，但理论鲁棒性显著更优——具有最大的吸引域椭球。在正弦参考信号跟踪中，IS-sat同样表现出至少与H_∞a相当的跟踪性能。

**五状态AUV高维验证**：在具有四个推进器的X形配置AUV上，考虑纵荡、横荡、偏航速率、偏航角及其积分共五个状态，不确定表示包含21个时变不确定元素。设置D=[?2,2]³×R²，使用相同超参数在8次CEGIS循环迭代中实现收敛，综合耗时71.4秒。与非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control, MPC）的对比显示：在初始条件为原点时，两者对x₁和x₂的跟踪性能相当，但MPC对x₄的调节速度快6倍（10秒对60秒）；当初始条件位于域边界x(0)=[2,2,2,2,2]^T时，MPC表现明显劣于IS-sat。计算资源比较表明：IS-sat综合平均耗时76秒，部署时<1 MB RAM；而非线性MPC需要约155 MB机载RAM，42%的MPC律运行速度慢于实时。

**OpenMAUVe高保真仿真验证**：在模拟水下风电机组单桩检查的OpenMAUVe高保真仿真环境中，设计基于视线导引法的六边形路径跟踪任务。AUV从随机初始位置出发，接近5米距离处的单桩，围绕结构旋转检查，最终返回原点。在四个执行器分别完全失效（?_i=0）的最坏情况下，航行器仍能准确跟踪所需设定点。最差的跟踪性能出现在920-945秒区间，因故障恰在航路点切换前注入，导致横荡速度出现36%的相对误差，但控制架构仍能补偿故障并继续完成任务。

## 讨论与研究结论

基于李雅普诺夫论证和LMI重构，本文提出了一种自动化设计PFTC律的方法，针对受部分和完全执行器故障影响的非线性系统，包括执行器饱和和时变跟踪能力。IS-sat通过转换为线性参数变化模型来处理非线性系统，其不确定集对考虑执行器故障的模型有界。通过利用基于反例的方法，该技术能够从鲁棒控制领域（即H_∞）和非线性系统文献（即非线性MPC）中超越传统技术。值得注意的是，与其他基于反例的技术相比，该技术保证在有限次迭代内收敛，要么提供控制解，要么宣布不可行。所提出的控制方法为高维系统的实验提供了有希望的结果，这对于自动综合技术通常是有问题的。此外，由于IS-sat由静态增益组成，它可以轻松地在能源消耗关键或计算资源有限的嵌入式应用中实现。在所呈现的研究中，非线性MPC需要的RAM使用量是IS-sat的约155倍。研究还得出结论，计算IS-sat律在当代常见可及硬件的计算能力范围内，对于受多达四种故障影响的非线性系统，在几分钟内系统性地完成了控制综合。该方法专门应用于AUV的控制，但与每个控制应用相关，其中广泛的传感器或故障监测算法由于能源、硬件或成本限制而无法设计、实施或实时运行。未来工作将专注于研究对更复杂、更高维模型的可扩展性。