一种面向共形格点结构的角度约束优化新方法

《CMES - Computer Modeling in Engineering and Sciences》：A novel Angle-Constrained Optimization method of Conformal Lattice Structures

　　

本文提出了一种基于节点坐标全局调整的新型角度约束优化方法，以解决共形类桁架格点结构在增材制造（AM）中因悬垂角限制而面临的制造性难题。首先，通过选择构建方向以最小化违规杆件数量。随后，基于杆件方向向量构建角度约束矩阵，并推导相对于节点坐标的解析敏感性表达式，以支持非线性角度不等式约束下的高效约束优化。针对两个复杂曲表面格点结构的数值研究表明，该方法能够消除所有悬垂违规行为，同时仅对全局刚度和强度产生微小影响。具体而言，经优化后人机工程学鞋垫的最大位移变化仅为2.87%。研究结果证实了该方法的通用性与工程鲁棒性，为面向增材制造的格点结构设计提供了一种实用途径。研究人员首先通过构建方向预选策略减少初始违规杆件数量，为后续优化提供有利起点；进而计算所有杆件与构建方向之间的夹角并聚合为角度约束矩阵；在此基础上，将可动节点的坐标变化作为设计变量，推导解析敏感性表达式以提供梯度信息；最终建立并求解非线性不等式约束优化模型，在严格强制执行允许悬垂角区间的同时最小化全局节点扰动，从而实现制造性与几何保真度之间的协调平衡。该方法通过重新检验悬垂角合规性以及对比基线设计与优化设计的数值响应完成验证，其整体工作流程涵盖参数输入、构建方向预优化、可动节点识别、优化模型构建、数值求解及收敛性检验等关键步骤。

格点结构因其高比强度与多功能特性，已广泛应用于航空航天、生物医学工程等领域以实现轻量化设计与功能集成。随着增材制造技术的快速发展，格点设计已从传统规则单胞图案演进为能够适应复杂边界的共形构型，推动了从"几何驱动"到"性能驱动"设计范式的转变。然而，设计自由度的提升也带来了新的制造挑战，其中悬垂角限制显著影响打印质量与制造性。在共形格点结构中，大面积悬垂区域的形成显著增加了缺陷风险并削弱了制造稳定性。现有研究主要遵循两类策略应对悬垂角约束挑战：其一为引入支撑结构辅助打印，该方法虽对大型实体构件有效，但因格点结构内部支撑难以在后处理中完全去除而易导致残余材料问题；其二为将制造约束直接融入初始设计阶段，通过优化自支撑结构以最小化或完全避免不可制造几何，该策略在结构生成过程中同时平衡制造性与功能性能，已成为面向制造性优化的重要趋势。

尽管连续结构优化领域已取得显著进展，但针对具有杆件级悬垂角控制的显式参数化格点模型的研究仍相对有限。特别是缺乏直接调整共形格点节点坐标以强制执行悬垂角约束同时保持边界贴合性和内部连通性的算法。该困难在适应复杂曲表面边界或集成多个功能区域时更为突出，现有方法往往难以同时确保几何制造性和结构完整性。不同于依赖辅助支撑的传统打印策略以及主要调控边界倾角或材料分布而非显式处理各杆件悬垂角的连续体/表面级自支撑拓扑优化，本研究针对显式参数化共形类桁架格点，在杆件级别实施制造性控制，直接调整节点坐标以实现更精确自动化的悬垂角约束合规方案。

研究人员提出的角度约束优化方法针对共形格点结构中的超限悬垂角问题，基于有限元节点坐标调整建立优化框架。该方法首先确定构建方向以最小化初始违规杆件数量，随后计算所有杆件与构建方向之间的夹角并聚合为角度约束矩阵。可动节点的坐标变化作为设计变量，通过解析敏感性表达式为高效求解提供梯度信息。优化模型以最小化总节点扰动为目标函数，在严格强制执行允许悬垂角区间的同时，实现制造性与几何保真度的协调平衡。在节点筛选策略方面，研究区分了两种情形：当格点结构需要与外部蒙皮保持几何连续性或结构嵌合时，采用固定边界节点的几何贴合约束策略，仅将内部节点作为设计变量；对于无外部边界贴合要求的内部格点填充结构，则将所有节点均纳入优化变量空间，以获得更大的设计自由度和可行空间。

在优化模型构建方面，研究人员将杆件方向调整问题重构为具有非线性不等式约束的多变量优化问题。目标函数定义为所有有效节点移动模长平方和的最小化，以量化优化过程中的几何扰动。设计变量为所有可动节点的坐标变化向量，通过掩码策略排除边界节点以确保几何连续性或嵌入条件。约束条件包含悬垂角约束和节点移动上限约束：前者要求各杆件相对于构建方向的倾角落在预设可行区间内，采用连续不等式形式嵌入优化求解器；后者通过限制各可动节点的最大坐标变化增量防止过度局部几何畸变。值得注意的是，当杆件与构建方向夹角接近90°时，敏感性分析贡献趋于极小，可能导致迭代优化停滞甚至收敛失败，研究人员采用轻量化扰动策略对该奇异性进行稳定化处理。

数值求解方面，研究人员采用Python SciPy库中的约束优化器，包括信赖域方法（trust-constr）和序列最小二乘规划（SLSQP）。同时为提升优化效率引入角度敏感性因子以量化各杆件倾角对目标函数的影响，并以杆件角度违规比率和几何修改幅度两个指标评估优化性能。

在共形格点建模方面，研究人员采用网格驱动参数化工件流程。首先确定目标填充域并进行六面体有限元网格离散化，作为几何载体；继而通过映射程序将预定义的共形格点单胞模板嵌入各六面体单元，获取节点坐标与杆件连通性信息；最终全局组装形成完整格点结构。实践中使用Gmsh生成六面体网格，其余流程基于自主开发的共形格点填充工具完成。

案例一选取航空发动机涡轮叶片模型验证该方法在复杂边界条件和强曲率场下的适用性。该模型以体心立方（BCC）单胞为基本结构单元，通过等参数映射算法实现三维共形排布，共生成126个周期单胞、1008根杆件。在四种构建方向下，初始配置的违规杆件比例分别为31%、42%、49%和59%。经优化后，除构建方向（1.0, 0.0, 0.0）因角度约束严格性仍残留21.6%违规杆件外，其余三个方向均有效消除了初始超限区域。优化后的杆件角度分布显著集中于可制造范围内，展现了强角度压缩能力。构建方向沿最小违规向量（-1.0, 0.6, -0.1）表现最优，而Y轴和Z轴方向因初始违规比例较高，需更多迭代步数收敛。

案例二选取具有典型功能分区的人机工程学运动鞋垫，以验证该方法在多区域、多尺度生物结构中的适用性。该模型采用自主开发的体心立方改进型格点（BCCML）单胞，共部署220个周期单胞，形成含1722个节点和3800根杆件的共形格点结构。初始识别显示968根杆件违规，占比25.47%。优化过程中约束737个表面节点固定，优化985个内部节点，共2955个优化变量和8800个角度约束，采用trust-constr算法求解。最终所有杆件方向成功调整至可制造角域，违规杆件由968根降至零，同时确保格点与蒙皮的完全贴合。

为量化优化效果，研究人员以鞋垫为对象进行结构响应一致性分析。所有有限元仿真在Abaqus/Standard 2017中完成：内部格点杆件采用B31梁单元（圆形截面，半径r_b = 0.5），外部蒙皮采用S4壳单元（厚度t = 4），两者通过Tie约束耦合；材料选用TPU，密度ρ = 1.1 × 10^-9，杨氏模量E = 15，泊松比υ = 0.48。在脚跟区域中心定义参考点，施加竖直向下集中载荷，底面完全固定。优化前后全局变形模式总体一致，脚跟区域向下挠度伴随足弓和前足区域的平滑过渡，蒙皮与格点核心的协同变形基本保持不变。初始格点最大竖向位移u_max^pre = 1.709 mm，优化后为u_max^post = 1.758 mm，相对变化Δu/u_pre = 2.87%，确认角度约束几何调整对全局刚度和宏观变形响应影响甚微。von Mises应力分布方面，高应力区仍主要位于载荷引入的脚跟区域，优化设计显示降低的应力峰值和更平滑的应力梯度；内部格点峰值应力由0.793降至0.677，相对变化14.6%。

研究结论部分，研究人员指出所提基于节点坐标调整的角度约束优化方法能够有效应对增材制造中格点结构的制造性挑战。数值案例研究揭示了若干重要发现：共形格点的制造性对构建方向高度敏感，不同取向导致显著差异的违规杆件比例，进而强烈影响优化效率与收敛行为；自由边界与表面约束场景存在明显区分，自由边界设计算法适应性强且可实现完全合规，而表面贴合约束缩减了可行设计空间、提高与外部蒙皮几何一致性的同时增加了对初始违规比例的敏感性并延长收敛时间；尽管大多数构建方向下成功消除了所有违规杆件，但某些不利取向仍存在残余违规，表明部分固有几何局限性无法仅通过优化完全解决。除几何合规性外，研究还定量评估了优化前后结构响应的一致性：整体最大竖向位移增加2.87%，内部格点峰值von Mises应力降低14.6%，整体应力与位移分布基本保持一致。这些结果证实角度约束调整方法对刚度影响极小但对强度影响更为显著，同时满足增材制造要求。总体而言，该方法在多种几何构型和约束场景下表现鲁棒，有效平衡了制造性、几何保真度和计算效率，其对 incoming adaptation to both free and constrained boundary conditions highlights its applicability to highly complex engineering problems such as curved surfaces, graded lattice layouts, and multi-functional regions. Future work will focus on physical printing validation and post-processing assessment, and extending the framework toward multi-objective optimization jointly considering manufacturability constraints, mechanical performance, and actual printing cost factors.