一种基于自适应加密混合四叉树网格的全离散比例边界有限元方法用于模拟裂纹扩展问题

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A fully discrete scaled boundary approach to simulate crack propagation problems on adaptively refined hybrid quadtree meshes

　　

断裂力学分析在构件设计中对于预测裂纹的起始与扩展至关重要。裂纹尖端的奇异应力场使得数值模拟具有相当高的挑战性，因此精确的裂纹建模需要审慎考虑其背后的物理现象。四分之一节点单元为模拟裂纹尖端附近复杂应力场提供了一种高效途径，且能够直接从位移场准确获取应力强度因子（SIFs）等关键断裂参数，无需任何应力恢复程序。本研究为裂纹尖端单元引入了一种结合比例边界有限元法（SBFEM）缩放策略的四分之一节点技术。剩余网格由多边形单元组成，这些单元基于SBFEM方程构建的新型形函数组采用等参概念进行离散化，从而在径向获得更高阶的插值精度。通过在缩放方向与环向使用不同的插值函数，裂纹尖端单元可与其周围线性相邻边实现高效耦合，无需繁琐的耦合方法。与经典SBFEM裂纹尖端单元相比，该方法无需求解特征值问题，从而提升了计算效率。多边形形状的任意性使得混合四叉树网格可直接应用，无需处理悬挂节点。为提升近尖端网格分辨率，研究人员采用了自动加密程序，显著缩短了计算时间。本研究将完全离散化的SBFEM公式重新发展，通过在两个比例边界坐标方向赋予不同的插值函数来构建非凸裂纹尖端单元。研究表明，将中点向裂纹尖端移动的四分之一节点技术能够在径向捕捉应力奇异性。一般情况下，这类单元在尖锐V型缺口问题、疲劳裂纹扩展轨迹估算以及非平面多裂纹模拟等领域均有应用，但通常要求整个区域采用二次插值。本工作中，单元边界引入线性插值函数以实现与周围线性相邻单元的直接耦合。由于这种灵活性，多种现有自适应加密技术可应用于裂纹轨迹模拟，实现感兴趣区域单元尺寸的动态调整，同时保持外围网格的稀疏性。

断裂力学数值模拟是工程结构安全评估的核心课题。裂纹尖端存在的应力奇异性给有限元分析带来根本性挑战：常规有限元方法（FEM）需要极其细密的近尖端网格才能获得可接受的精度，而经典比例边界有限元法（SBFEM）虽能解析处理奇异性，但每个单元均需在线求解哈密顿矩阵的特征值问题，计算负担沉重。此外，非线性材料行为和复杂几何形貌进一步加剧了模拟难度。现有方法如扩展有限元法（XFEM）通过富集奇异函数规避网格重划分，却面临积分困难、自由度增加和矩阵病态等数值问题；相场模型虽能自动处理复杂裂纹萌生与分叉，但对长度尺度参数敏感且计算成本高昂。因此，开发兼具计算效率与精度的裂纹尖端建模技术，并实现与自适应网格策略的有机结合，成为当前亟需解决的关键科学问题。

研究人员发展了基于SBFEM的完全离散化裂纹尖端单元，提出SBQp（Scaled Boundary Quarter-point）方法。该方法创新性地在径向采用四分之一节点几何配合二次插值捕捉应力奇异性，同时在环向保持线性插值以确保与邻近低阶单元的无缝兼容。通过构建基于SBFEM方程的等参多边形单元族，避免了在线求解特征值问题，显著降低了计算开销。结合自适应混合四叉树网格技术，实现了裂纹尖端区域的动态局部加密，研究结果发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》。

研究采用的关键技术方法包括：基于SBFEM方程构建等参多边形单元形函数，通过预先求解拉普拉斯方程的SBFEM解建立父单元参数空间，实现任意多边形向参数空间的仿射映射；裂纹尖端单元采用径向二次插值（节点向裂纹尖端偏移至1/4位置）与环向线性插值的组合插值方案；利用节点相对位移直接计算应力强度因子，采用四分之一节点位移技术（QDPT）评估断裂参数；混合四叉树网格自适应加密策略，通过2:1规则控制网格尺寸过渡，自动调整裂纹尖端附近网格密度；所有单元刚度矩阵基于高斯积分方案组装，裂纹尖端三角形单元仅需2个积分点即可精确积分；样本队列来源方面，数值验证涵盖混合模式剪切试验、X型域、三孔梁及旋转L型等经典基准问题。

在混合模式剪切试验中，通过矩形板双边裂纹在远场剪力作用下的分析，验证了SBQp单元的精度。研究结果表明，随着网格加密，SBQp单元对I型应力强度因子K_I的误差收敛趋势与细化SBFEM单元相当；对II型应力强度因子K_II的误差略高但保持相同收敛斜率。四分之一节点位置的参数敏感性分析证实，当径向中节点位于距裂纹尖端1/4位置（ξ=ξ_QP=0.25）时，应力强度因子计算最为精确，偏离该位置将导致结果振荡或失稳。初始裂纹扩展角计算显示，五三角形剖分的SBQp单元与解析解偏差仅1.8%，优于未加密FEM-SBFEM网格的4.6%偏差，证明该单元可作为纯SBFEM裂纹尖端单元的有效替代。

X型域裂纹扩展分析展示了自适应混合网格处理复杂几何的能力。该算例施加45度方向位移边界条件，采用自动重网格程序：根据裂纹扩展角θ_c和预设增量Δa更新裂纹尖端位置，对新裂尖区域实施局部加密，将旧裂尖单元合并为凸与非凸多边形单元，所有被裂纹路径切割的边均插入节点对。结果表明SBQp轨迹与FEM-SBFEM混合方法及参考相场解吻合良好，且显著减少细网格区域范围。

三孔梁裂纹路径模拟验证了自适应加密相对于预设加密网格的优越性。研究包含两个初始裂纹位置案例：案例1中裂纹先被首孔吸引最终终止于第二孔，自适应网格准确复现实验结果，而预设加密网格未能到达第二孔；案例2两种网格均与实验一致，但自适应网格自由度显著减少。自适应网格最终配置仅1620个单元，相比预设网格的27130个单元，计算时间降低约94倍，加密步骤本身引入的计算开销可忽略不计。与等几何边界元法（IGABEM）和二次三角形四分之一节点法的对比表明，SBQp方法获得与IGABEM一致的裂纹轨迹，且避免了NURBS基函数的数学复杂性。

旋转L型角点奇异性分析考察了非凸角点处的应力场特性。研究对含3π/2内角的域施加对应解析解的位移边界条件，进行七步网格加密。收敛研究显示，在粗网格阶段SBQp单元具有最小的相对L₂位移误差范数，SBFEM单元因开边界节点数较少导致特征值精度不足而误差较大，但所有方法在最细网格达到相同精度，说明SBQp单元可策略性部署于角点奇异性问题。

研究结论指出，所发展的完全离散化SBQp裂纹尖端单元基于SBFEM框架，通过四分之一节点几何与径向二次插值的结合，能够有效考虑断裂力学中的奇异应力场，并实现应力强度因子的直接提取。该方法因环向线性插值而易于嵌入混合网格，为弹塑性材料、大变形等非线性断裂问题的研究开辟了途径。结合等参多边形单元公式与自适应四叉树加密技术，无需预估裂纹轨迹即可动态调整网格，显著减少单元数量并保证计算精度。数值实例充分证明了该公式在裂纹扩展模拟中的有效性与可靠性。未来可拓展至三维八面体网格，以处理板壳结构及非平面裂纹问题。