《European Journal of Operational Research》：The Parallel Stack Loading Problem: Polynomial Solvability in the Unlimited-Capacity Case and Exact Approaches for the Finite-Capacity Case
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绿色债券为低碳倡议提供资金支持，并促进向绿色经济转型。绿色溢价（greenium）效应指的是债券持有人投资绿色证券时，与具有相似特征（如到期期限、票面利率和发行人信用状况）的投资相比，愿意放弃的潜在溢价。尽管近期文献对此主题感兴趣，但绿色溢价效应的决定因素和动
绿色债券为低碳倡议提供资金支持，并促进向绿色经济转型。绿色溢价（greenium）效应指的是债券持有人投资绿色证券时，与具有相似特征（如到期期限、票面利率和发行人信用状况）的投资相比，愿意放弃的潜在溢价。尽管近期文献对此主题感兴趣，但绿色溢价效应的决定因素和动态变化，特别是其期限结构和地理依赖性，仍未得到充分理解。本文提出一个数学框架，通过采用利率的仿射广义自回归条件异方差（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH）模型来定义绿色溢价的期限结构。然后，研究人员计算了用于模型参数似然估计的半解析债券价格公式。使用德国和丹麦双胞胎债券的实证分析表明，绿色溢价具有期限特异性。具体而言，对于短期期限，绿色溢价动态的波动与旨在加速可再生能源采用的欧洲指令的实施相一致。
### 研究背景与现存问题
为实现《巴黎气候协定》设定的目标，到2050年向净零排放和气候适应性经济转型需要大量的经济投入。在此背景下，政府通过绿色债券融资对于实现这些目标至关重要。这些工具能够为各种环境可持续项目提供资金，欧盟委员会通过提出最终于2019年5月定稿的“欧洲人清洁能源”（Clean Energy for All Europeans, CEP）一揽子立法计划，强调了绿色债券市场的潜力和运作方式，旨在促进有助于欧盟实现其2030年气候和能源目标的监管框架。绿色溢价效应指的是债券持有人投资绿色证券时，与具有相似特征的投资相比，愿意支付的潜在溢价。与现有研究一致，研究人员假设绿色溢价是投资者为资助绿色项目而愿意放弃的溢价。现有文献指出，绿色资产的回报低于传统资产，并随着环境关注度的变化而波动。对公司债券和市政债券市场中绿色溢价的估计差异很大。此外，尽管近期文献对此主题感兴趣，但绿色溢价效应的决定因素和动态变化，特别是其期限结构，仍未得到充分理解。最近的相关研究声称，对于到期日较近的德国政府债券发行，绿色溢价更大，而绿色溢价期限结构的斜率可用于把握向低碳经济过渡的感知时间线。后者进一步提出，绿色溢价期限结构可能受到立法干预和/或政治事件的影响。
在关注外生变量的绿色债券定价理论框架方面，文献贡献有限。有的模型将票面利率视为基于碳价格的障碍期权，有的则假设跳跃扩散模型可用于描述债券发行人的公司价值，其中跳跃取决于气候政策的突然变化。然而，近期事件表明，公司价值的跳跃应包括其他因素，且其影响可能并非严格单调递减。绿色债券对银行的定价很重要，因为筹集的资金会投资于绿色抵押贷款等领域，其适用利率低于传统抵押贷款。绿色抵押贷款的较低回报反映了抵押贷款违约风险较低。另有研究通过纳入能源和绿色债券市场的供需不确定性，基于其对能源价格的依赖性来定义绿色债券价格。上述论文没有直接对利率建模，也没有处理在利率中观察到的均值回归等典型事实。最近，有研究引入了一个绿色债券价格的仿射模型，该模型不仅考虑了利率动态，还假设与利率正交的绿色溢价动态。具体而言，利率通过Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 模型描述，而绿色债券溢价则被简单地假设为均值回归。虽然仿射模型在金融市场中应用广泛，但所提出的双因子模型估计起来并不简单。参数是使用卡尔曼滤波器应用于彭博固定收益指数进行估计的，数据覆盖了低利率时期（2014-2020年）。
为了克服文献中关于绿色溢价决定因素和上述估计问题的空白，本文提出了一个采用短期利率的仿射广义自回归条件异方差（Affine GARCH）模型的数学框架。该模型旨在描述每种债券期限的有效短期利率（棕色和绿色），其隐含地将基础短期无风险利率与额外的债券特定因素（如期限、流动性和优先级）结合起来。仿射GARCH模型主要用于期权定价，最近的应用分别涉及方差互换、VIX（波动率指数）和VIX期货的定价。研究人员考虑采用类似的结构来检测双胞胎债券的可能收益率溢价。
### 研究目的与意义
本研究旨在提出一个数学框架，通过采用仿射GARCH模型来定义和估计绿色溢价的期限结构，从而更深入地理解其决定因素和动态变化，特别是其期限特异性以及受政策干预影响的情况。这项研究对于理解绿色债券市场的定价机制、评估政策有效性以及引导资本流向绿色转型具有重要意义。论文发表在《European Journal of Operational Research》。
### 关键技术方法
研究人员主要采用了以下关键技术方法：首先，提出并应用了一个基于仿射GARCH模型的短期利率动态模型，该模型能够捕捉金融时间序列中观察到的非对称和尖峰厚尾条件分布、均值回归行为以及时变方差过程。其次，推导了零息债券价格的半解析公式，这为构建最大似然估计程序提供了基础。第三，开发了基于历史债券报价（包括零息债券和附息债券）的最大似然估计程序，用于估计模型参数。第四，提出了一种基于双胞胎债券对（来自德国和丹麦主权债券样本队列）构建绿色溢价期限结构的框架，该框架类似于利率多曲线的概念，针对期限结构的每个节点使用期限接近的债券价格。
### 研究结果
#### 2. 绿色溢价的定义与建模
研究人员假设在每个观察日期t和每个到期日T，都有来自同一机构发行的双胞胎债券（绿色和棕色）的市场报价。绿色溢价gr(t, T)被定义为两种到期收益率的差值。在鞅测度Q下，零息债券价格通过短期利率的期望折现来计算。研究人员考虑了一个仿射GARCH模型来描述短期利率的动态，该模型提供了零息债券价格的半解析公式，从而可以从一对债券的历史价格中推断绿色溢价。
#### 2.1. 短期利率的仿射模型
短期利率被建模为一个带有仿射GARCH新息的离散时间自回归过程。该模型可以表示为一个由异方差误差驱动的向量自回归（VAR(1)）模型。在创新项的条件矩母函数具有特定形式的假设下，研究人员证明了利率和的条件矩母函数具有对数仿射形式，并给出了时间依赖系数的递推方程。对于条件Gamma分布和条件逆高斯分布两种创新项设定，分别推导了具体的债券定价公式系数。
#### 2.2. 向Vasicek债券定价公式的收敛
研究表明，在适当的参数选择下，本文提出的仿射GARCH模型定价公式可以收敛到经典的Vasicek债券定价公式，这为模型结构提供了理论验证，并将其与既有的利率期限结构文献联系起来。
#### 3. 估计
研究人员提出了基于零息债券和附息债券报价的最大似然估计程序。对于零息债券，通过对数价格与状态变量的线性关系，可以从创新项的条件密度推导出对数价格的条件密度，进而构建似然函数。对于附息债券，其价格是各期零息债券价格之和，需要通过数值方法（如牛顿-拉夫森法）从市场价格中过滤出创新项，再进行似然估计。
#### 3.3. 隐含的绿色溢价期限结构
由于市场上通常没有与期限结构节点期限完全匹配的债券，研究人员提出了一种分步程序来估计特定到期日T的绿色溢价。该程序包括：选择期限接近T的双胞胎债券对；分别对绿色和棕色债券进行最大似然估计，得到参数估计和过滤后的状态变量；使用定价公式计算人工零息债券在期限T的理论价格；最后根据定义计算绿色溢价。
#### 4. 实证分析
研究人员对德国和丹麦发行的主权双胞胎债券进行了实证分析。数据涵盖2022年6月1日至2024年5月21日。通过AIC和BIC准则比较，条件Gamma分布在模型拟合上系统性地优于逆高斯分布，因此在提取绿色溢价期限结构时采用了Gamma分布设定。
**德国债券分析结果**：
* 描述性统计显示，绿色和棕色债券的日对数收益率具有相似的矩特征。
* 不同期限双胞胎债券的到期收益率差值图直观显示了绿色溢价的期限特异性和随机动态。
* 参数估计表明，短期利率自回归系数的平稳性条件（|a| < 1）始终满足，但波动率过程的平稳性条件（0 < c
2 + d < 1）偶尔被违反。参数自举分析表明，即使在该条件被违反的情况下，估计量的经验分布也集中在原始估计值附近。
* 基于估计参数构建的德国绿色溢价期限结构显示，前三个节点（较短期限）的绿色溢价显著为正，而对于较长期限，绿色溢价消失。这解释了文献中关于绿色溢价是否存在缺乏共识的现象，因为许多研究包含了不同期限的债券。
* 研究发现，德国绿色债券新发行量的增加并未导致绿色溢价动态的显著跳跃。导致绿色债券价格显著跳跃的主要原因是欧盟旨在加速可再生能源发展的指令（如(EU) 2022/2577和(EU) 2024/223号条例）的出台。这些指令显著影响了1年和2年期债券的价格，对更长期限债券的影响则较弱。
* 模拟价格轨迹与市场价格对比显示，模型能够较好地捕捉价格动态，短期债券模拟价格波动较大，与观测到的政策引发的跳跃一致。
**丹麦债券分析结果**：
* 对丹麦双胞胎债券的分析得出了类似的结论。由于丹麦债券期限超过了欧盟短期政策干预的最后期限，在2023年12月22日并未观察到如德国债券那样的到期收益率差值跳跃。
* 参数估计和构建的绿色溢价期限结构显示，丹麦债券的绿色溢价也随时间递减，并随着时间范围的增加而趋于平缓，证实了绿色溢价的时变性。
* 模拟价格轨迹与观测价格吻合良好，表明模型参数拟合充分。
### 讨论与结论
**讨论部分总结**：
本研究通过采用利率的自回归模型重建了绿色溢价。一个简单的数学框架提供了半解析的债券价格。然后，使用拟合参数计算的人工债券价格的到期收益率差值，得到具有期限特异性的绿色溢价。模型结构允许定义用于拟合模型参数（包括零息和附息债券）的优化程序。根据初始假设，即期限结构的初始输入集应具有期限特异性，研究人员考虑了多种债券对来构建期限接近待定价债券期限的节点。实证分析证实，绿色溢价非负、时变，并且随着债券期限的延长而趋于减小，至少对于高信用评级的欧洲主权债务是如此。
这些发现解释了文献中关于绿色溢价存在性缺乏共识的原因。事实上，大多数现有关于此主题的论文都涉及包含不同期限债券的面板回归分析，这可能会产生误导性结果。所提出的建模框架能够捕捉具有相似特征但受特定立法创新或货币政策干预影响的债券对之间出现的差异。
尽管研究人员观察到德国政府新发行债券导致绿色债券数量增加，但未检测到显著的价格波动。这些跳跃的主要原因可归因于旨在加速可再生能源开发的欧洲指令，这些指令显然改变了投资者对这些工具回报的预期。
**研究结论翻译**：
在本文中，研究人员利用利率动态的自回归模型重建了绿色溢价。具体而言，采用了一个简单的数学框架，该框架提供了半解析的债券价格。然后，通过使用拟合参数计算的人工债券价格的到期收益率差值，获得了具有期限特异性的绿色溢价。模型的结构允许定义用于拟合模型参数（包括零息债券和附息债券）的优化程序。根据我们的初始假设，即期限结构的初始输入集应具有期限特异性，研究人员考虑了多种债券对，用于期限接近待定价债券期限的节点。实证分析证实，绿色溢价是非负的、时变的，并且随着债券期限的延长而趋于减小，至少对于具有高信用评级的欧洲主权债务是如此。
这些发现为文献中关于绿色溢价存在性的共识缺乏提供了解释。事实上，大多数关于此主题的现有论文都考虑了涉及不同期限债券的面板回归分析，这可能产生误导性结果。所提出的建模框架能够捕捉在具有相似特征但受特定立法创新或货币政策干预影响的债券对案例中出现的差异。
事实上，尽管研究人员观察到由于德国政府新发行债券导致绿色债券数量增加，但未检测到显著的价格波动。这些跳跃的主要原因是旨在加速可再生能源开发的欧洲指令，这些指令显然改变了投资者对这些工具回报的预期。
