近场动力学对应模型弹塑性分析的罚力稳定化方法

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Penalty force stabilization method for elasto-plastic correspondence models in peridynamics

　　

在近场动力学（PD）的非常态型基态（NOSB）对应模型中，零能模式是造成数值不稳定性的核心挑战。研究人员将该模型扩展至弹塑性对应模型，通过直接惩罚非均匀变形来实现稳定化。该方法采用基于切线模量的修正，使其能够随材料状态的演化自适应调整。为评估其性能，研究人员提出了两种新型零能模式度量指标——节点非均匀应变（NMNS）和全局非均匀应变（GMNS），并将该方法与一阶和二阶键关联（BA）公式在有限变形和塑性条件下进行了系统比较，同时评估了幂律、高斯和均匀权重函数的影响。

在小变形弹性测试中，惩罚力方法实现了低于10^?9的位移误差，零能模式度量可忽略不计。在有限变形塑性条件下，该方法能够稳定收敛，准确复现有限元（FE）和实验测量的应力-应变响应，并保持全局位移误差低于10^?4。此外，该方法对近场动力学权重函数的选择表现出较低的敏感性。

该惩罚力方法仅需在每个节点处计算一次变形梯度，无需调节参数，且能将零能现象抑制到可忽略的水平。研究结果表明，该方法为各种变形条件下的基于对应关系的近场动力学模拟提供了一种稳定且高效的替代方案。

近场动力学（Peridynamics, PD）作为一种非局部连续介质理论，基于运动积分方程而非偏微分方程，无需位移场的空间梯度即可保持有效性，因此在处理不连续性问题方面具有天然优势。非常态型基态（Non-Ordinary State-Based, NOSB）近场动力学通过对应模型（correspondence model）将传统连续介质力学（Continuum Mechanics, CM）的本构模型引入PD框架，但零能模式（zero-energy modes）问题严重制约了其工程应用。这类非物理性的非均匀变形模式源于节点关联变形梯度在径向对称邻域下的过约束特性，尤其在弹塑性大变条件下更为显著。现有的一阶和二阶键关联变形梯度（Bond-Associated Deformation Gradient, BA-DG）方法虽能部分抑制零能模式，但存在计算成本高、高阶矩阵求逆负担重、有限应变下仍失效及权重函数敏感性等局限。为此，研究人员在《European Journal of Mechanics - A/Solids》发表了关于罚力稳定化方法在弹塑性对应模型中应用的研究成果，旨在开发一种计算高效、参数无关且适应性强的稳定化方案。

研究人员采用的核心技术方法包括：基于材料切线模量的自适应罚力稳定化项、区域分解边界处理策略、新颖的零能模式定量度量指标，以及与有限元的耦合实现。具体而言，研究人员将Wan等人近场动力学罚力（Peridynamic Penalty Force, PPF）方法拓展至弹塑性本构，以切线模量张量替代弹性刚度张量构造罚力项；将计算域划分为边界（B）、外域（O）和内域（I）三个子区域，在边界区采用弱形式面力边界条件，在外域和内域施加罚力稳定化；开发了节点平均非均匀应变（Nodal Mean Nonuniform Strain, NMNS）和全局平均非均匀应变（Global Mean Nonuniform Strain, GMNS）作为零能模式的定量评估指标；在开源有限元框架MOOSE上实现了PPF、一阶键关联（BA1）和二阶键关联（BA2）三种方法，采用预处理的雅可比自由牛顿-克雷洛夫（PJFNK）求解器，并构建了有限元-近场动力学（FE-PD）耦合模型，其中PD区域嵌入两个FE区域之间。

研究结果部分，研究人员首先通过小变形弹性分析验证了方法的基准性能。在26,569节点的二维单位正方形模型上，施加±500MPa的面力载荷，采用近乎无约束的边界条件以促进零能模式的出现。结果显示：PPF方法在所有权重函数类型和参数（n=1~10）下均保持全局相对误差在10^?12至10^?9量级，GMNS低于10^?13，而BA1和BA2的最低误差仍高于10^?4；BA方法表现出对权重函数常数n的显著敏感性，需较大n值才能通过强调短程键来抑制不稳定，但PPF无需此类调参。NMNS的空间分布显示，PPF的节点非均匀应变低于1×10^?13且分布均匀，BA1的零能模式集中于距边缘三倍视界范围内的外域节点，BA2则在内部区域呈现最高的非均匀应变值。

在有限变形塑性分析中，研究人员采用EUROFER 97钢的von Mises等向强化模型，在60mm×40mm的耦合FE-PD域上进行拉伸模拟至5%工程应变。结果表明：PPF方法的应力-应变曲线与有限元结果高度一致，0.2%偏移屈服应力为550.38 MPa，与有限元结果（550.24 MPa）相差不足0.03%，与实验值（555.27 MPa）偏差仅-0.8%；全局相对误差在塑性流动稳定后低于10^?4，仅在屈服点附近（0.002~0.004应变）因切线模量突变而出现峰值；节点相对误差显示有效塑性应变、von Mises应力和y向位移的差异分别低于0.08%、0.012%和0.072%，x向位移在边界约束节点附近出现±0.54%的局部峰值。相比之下，BA1仅在n≥7时完成全模拟，BA2仅在n≥6时完成，低n值下因零能模式导致的时间步长自适应崩溃而提前失效。GMNS演化显示PPF始终维持在10^?7以下，而BA方法在低n值时可达10^?1量级。

关于讨论与结论，研究人员指出该研究仅针对规则离散、各向同性材料及损伤前变形条件，各向异性、多相系统、非规则离散及损伤断裂将是未来研究方向。研究结论主要包括：PPF方法通过切线模量自适应调整罚力强度，在弹性及塑性阶段均能稳定抑制零能模式；仅需每节点一次变形梯度计算，避免了BA方法每键多次计算的计算开销；消除了经验参数调节需求，且对权重函数选择不敏感；定量度量指标NMNS和GMNS为客观评估零能模式提供了有效工具；该方法为后续损伤与断裂模拟奠定了基础，因零能模式的抑制将直接改善损伤起始和裂纹路径预测的可靠性。具体而言，在小变形弹性条件下，PPF实现了低于10^?9的精度；在有限变形塑性条件下，全局误差低于10^?4，屈服应力预测与实验偏差小于1%，且BA方法在n<6时普遍失效而PPF始终稳健收敛。这些特征使PPF成为对应模型近场动力学中替代键关联方法的优选稳定化策略。