利用机器学习技术预测二维过渡金属硫族化合物合金的电子带边形状和性质

《Materials Advances》：Machine learning-enabled prediction of the electronic band-edge shapes and properties of 2D transition metal dichalcogenide alloys

　　基于密度泛函理论（DFT）的传统从头算计算虽然精确，但计算成本高且耗时，这为数据驱动模型的出现铺平了道路。尽管大多数现有工作仅限于标量电子性质的估计，如带隙或稳定性，但整个能带结构的预测仍然相对未被探索。在这里，我们从由钨（W）、钼（Mo）和硫属元素（X）原子（即硫（S）、硒（Se）和碲（Te）组成的单层过渡金属硫属化合物（TMD）的DFT计算中提取了一个数据集，并开发了一个基于决策树的模型——extra trees，用于预测二元和三元TMD的导带和价带结构。该模型展示了能带结构对关键参数（如成分比例）的依赖性。我们分别为导带和价带训练了独立的模型，以捕捉非线性的特征-目标关系。我们注意到对不同类型的机器学习模型进行了比较分析，发现extra trees模型的表现最佳。对于数据集中的所有TMD合金，其与DFT模拟的带能量的平均平方误差（MSE）低（<0.001）且相关性值高（皮尔逊相关系数?0.99），这验证了该模型的出色预测能力。此外，该模型对训练数据集之外的成分也能做出优异的预测，显示出其作为计算密集型DFT模拟替代方案的稳健性。我们强调，所提出的整个能带模型比现有的仅基于带隙的模型更具信息量，因为它不仅提供了带隙，还能够通过曲线拟合得出次要电子性质，如有效载流子质量。因此，我们认为本研究的工作将通过提供一种更快、更具洞察力的框架，有利于纳米科学领域的材料研究。

1 引言

二维过渡金属硫属化合物（TMDs）已成为纳米科学中一类关键材料，它们的性质补充并克服了石墨烯和其他纳米材料的局限性。铂是燃料电池中氢生产的基准催化剂；然而，TMDs提供了一种有前景的、低成本且地球上丰富的替代品。TMD研究的另一个活跃应用是在传感器领域，目标是利用其高表面灵敏度和可调的电学性质来检测气体、化学物质和生物分子。有趣的是，2D TMDs可以用作纳米医学中的靶向药物递送载体。这些通常被称为MX2化合物（其中M是过渡金属，X是硫属元素）的材料，由共价键合的原子平面通过弱的范德华力堆叠而成，可以剥离成原子级薄的层。如今，使用纳米结构和少层TMDs来提高电极的容量、速率性能和循环稳定性正在出现新的机会。与石墨烯不同，许多半导体TMDs在可见光到红外范围内表现出较大的带隙。值得注意的是，单层TMDs如MoS2、MoSe2、WS2和WSe2在单层极限下会发生从间接带隙到直接带隙的转变，产生强烈的光-物质耦合和稳健的光致发光。这些性质使得一系列纳米电子和光子器件成为可能：例如，TMD单层已被用于制造高性能场效应晶体管、光电探测器、太阳能电池和激光器。特别是VI族TMDs（M = Mo、W和X = S、Se、Te）结合了直接带隙行为和高载流子迁移率以及高效的开关特性，解决了石墨烯缺乏内在带隙的问题。在2H相半导体TMDs中，基于Mo和W的硫属化合物尤为突出。这些材料在单层形式下的光学带隙大约为1–2 eV，位于可见光和近红外光谱范围内。

层状过渡金属硫属化合物展示了取决于其金属和硫属元素组成的可调电子性质。特别是，混合不同的金属和硫属元素可以产生带隙可连续调节的三元和四元TMD合金。Susarla等人报告称，四元Mo–W–S–Se单层可以实现大约1.60至2.03 eV的可调带隙。这类复杂的合金对电子学和光电子学非常感兴趣；然而，要准确预测电子传输和光学行为，必须知道它们的完整电子能带结构。传统上，使用密度泛函理论（DFT）以高精度计算TMD能带结构，但这种方法计算成本高昂。完整的DFT能带结构计算需要在对密集的k点网格上求解Kohn–Sham方程（通常包括重金属的自旋-轨道耦合），导致非常大的计算工作量。在大规模研究中，这一点尤为明显；例如，Muller等人对672种三元TMD组合进行了平面波DFT松弛（超过50,000个单独的松弛步骤）以建立电子结构数据集。一般来说，在没有大规模计算资源的情况下，对广泛的TMD成分空间进行高通量DFT筛选是不可行的。

由于基于计算机的第一性原理计算成本高昂，特别是在多元合金的情况下，越来越多地倾向于使用数据驱动的机器学习（ML）模型，这些模型可以通过从少量样本中学习结构-性质关系来加速性质预测。之前的研究将基于计算机的模拟和机器学习结合在一起，探索了广泛的应用，并在不同材料类别中取得了成功。Yuan等人预测了石墨烯-半导体系统中的带隙开合，而Nguyen等人估计了多环芳烃（PAHs）的带隙、电子亲和力和电离势。Yi-Hsuan Liu等人对无序相关电子系统的局部电子性质（如现场电子数和双占据）进行了建模，Di Liu等人结合了极端梯度提升（XGBoost）和卷积神经网络来预测MoB/Si3N4超晶格异质结的态密度。类似的数据驱动方法也被应用于研究γ-Al2O3的稳定性以及ABX3和A2BB′X6等钙钛矿的形成能和带隙。

尽管在电子性质预测方面取得了这些进展，但很少有研究探索了TMD合金中的ML应用。Wang等人使用ML预测了二元TMD的层依赖性电子性质，如带隙，而Xu等人使用图晶体神经网络预测了TMD/2D-LHP异质结构中的带隙和带对齐类型。Siddiqui等人应用等变神经网络预测了形式为Mo1?xWxS2?2ySe2y的四元TMD合金的振动性质。其他值得注意的研究包括Gao等人使用DFT生成的数据训练神经网络进行带隙预测，作为密集DFT模拟的更快替代方案；Kumar等人开发了决策树和支持向量机（SVM）模型来分类TMD的相稳定性（2H vs. 1T）；Jia等人专注于应用基于决策树的模型（如随机森林和SVM）研究过渡金属掺杂TMD中的结合能和电荷转移。Wang等人使用迁移学习方法预测了单层材料的带隙。这涉及应用基于类似任务的预训练模型的知识。尽管深度神经网络（DNNs）显示出潜力，但它们需要大量的训练数据才能有效泛化。虽然这些研究展示了机器学习在电子性质预测中的潜力，但它们主要局限于标量量，如带隙和相稳定性。据我们所知，没有以前的研究尝试从数据驱动模型中显式预测整个能带结构形状或提取次要性质，如有效载流子质量。在本文中，我们构建了一个从DFT计算中提取的数据集，该数据集捕获了不同二元和三元TMD合金的结构和电子描述符。我们扩展了机器学习的应用范围，通过学习多个k点的导带和价带能量来高保真地预测电子能带结构。在我们的实验中，我们发现基于决策树的extra trees模型取得了最佳性能。该模型被用来预测训练数据集之外的成分的能带结构形状。我们的模型不仅能够重建能带结构，还能推导出其他关键电子性质，如有效质量和带隙。例如，有效质量可以直接通过带边的曲线拟合得出，而带隙仅使用导带最小值和价带最大值即可计算。因此，与仅基于带隙的模型相比，预测带隙更具多功能性，为快速探索适用于多种电子、光电子和自旋电子应用的合金成分提供了更深入的见解。

2 计算细节

在本节中，我们描述了数据集生成过程、所使用的机器学习模型以及评估指标。本研究的整体工作流程在图1中展示。图1表示了数据集生成和本研究中的ML方法论的工作流程图。使用DFT模拟计算了不同成分的晶格常数和带能量，从而生成了机器学习模型的训练/测试数据集。使用平均平方误差和相关性分析等指标评估了不同ML模型的性能。然后应用表现最佳的模型extra trees来预测不同成分的导带和价带结构，即使是在训练过程中未见过的成分也是如此。

2.1 密度泛函理论计算

第一性原理计算是使用QUANTUM ESPRESSO模拟包进行的。交换-相关泛函采用Perdew–Burke–Ernzerhof（GGA-PBE）的广义梯度近似处理。由于混合泛函（如HSE、GW和PBE+U）计算成本更高且不会改变带形状，我们专注于GGA-PBE泛函。对于W、Mo、S、Se和Te，使用了标量相对论投影增强波（PAW）赝势。平面波基组的动能截止设置为500 eV，电荷密度截止设置为5000 eV。使用了宽度为0.05 eV的高斯模糊处理来处理部分电子占据。所有计算都在非自旋极化模式下进行。

2.1.1 超胞构建和合金化

为了模拟Mo和W原子之间的可控合金化，我们构建了一个（4 × 4 × 1）的超胞，如图2所示。在这种方案中，一个硫属元素原子（S、Se或Te）是固定的，而Mo:W原子的比例在过渡金属层中系统地变化。在这项工作中采用（4 × 4 × 1）超胞（原始单元的16倍重复），主要是为了在单一一致的计算设置内系统地构建和计数涉及W、Mo、S、Se和Te的不同二元和三元合金配置。图2展示了W0.125Mo0.875S2的（a）侧视图，（b）顶视图，（c）W0.125Mo0.875S2的从头算能带结构，（d）W0.375Mo0.625Se2的侧视图，（e）W0.375Mo0.625Se2的顶视图，以及（f）W0.375Mo0.625Se2的从头算能带结构。我们首先构建了原始的超胞Mo16X32。然后随机用W原子替换16y（其中y是特定原子的一个分数，最小值为0.0625，最大值为1）个Mo原子，以达到所需的成分。例如，通过用W替换Mo16S32中的两个Mo位点得到了W2Mo14S32。类似地，通过一次只替换一个子晶格来生成二元合金，同时保持TMD的化学计量比。合金成分y通过以下公式评估：

(1)

其中

Ntotal = Nunit-cell × Nx × Ny × Nz。

(2)

这里，Nspecified是指超胞中选定元素的原子数量，Nunit-cell是指原始单元中的过渡金属原子数量。整数Nx、Ny和Nz分别表示沿晶格向量a1、a2和a3的原始单元的重复次数，因此超胞的大小为（Nx × Ny × Nz），总重复因子为NxNyNz。对于单层计算，Nz = 1，因此Ntotal = Nunit-cell × Nx × Ny。对于单层计算，Nz = 1，因此超胞为 (Nx × Ny × 1)。

2.1.2 结构松弛

平衡结构是使用Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno（BFGS）拟牛顿算法获得的。离子位置和平面内单元向量都根据以下收敛阈值进行了优化：电子自洽性为1.0 × 10?8 eV，原子力为1.0 × 10?3 eV ??1，残余压力为0.5 kbar，以及连续步骤之间的离子总能量阈值设为5.3 × 10?7 eV。优化过程中允许最多进行100次离子步骤。电荷密度混合使用0.4的混合因子进行，每次离子步骤最多进行200次电子迭代。为了消除虚假的层间相互作用，在垂直于平面方向上添加了至少18–20 ?的真空层。

2.1.3 布里渊区采样

由于较大的实空间超胞对应于较小的倒易空间布里渊区，我们在自洽计算中使用了(2 × 2 × 1)的Monkhorst–Pack网格，并且没有进行位移。通常，较少的k点网格就足够了，因为较大的实空间超胞对应于较小的倒易空间布里渊区。因此，所提到的k点密度确保了总能量和力的充分收敛，同时保持了计算成本的合理性（参见补充信息（SI）的第S5节）。

2.1.4 带结构计算

电子带结构是使用从松弛结构中获得的自洽电荷密度计算的。Kohn–Sham特征值是沿着六角形布里渊区的对称路径Γ → M → K → Γ进行评估的。路径的每个部分使用了10个等间隔的k点进行采样，总共得到了40个k点。所得到的带色散直接揭示了Mo–W合金化和硫族元素替代对材料电子性质的影响。

2.2 机器学习模型

机器学习模型依赖于两个关键组成部分：算法和材料描述符（或特征）集，它们定义了模型的性能。一个好的特征集必须能够表征材料的独特性，对目标属性敏感，并最小化特征之间的冗余。我们使用了S/Se/Te的存在、W和Mo的百分比以及k点作为预测导带和价带能量的特征。数据集可以在这里的GitHub仓库中找到（https://github.com/ahmedzubair003/ML_Based_Bands_Prediction）。由于目标属性（即导带和价带能量）是连续值，我们考虑了回归模型。我们首先从线性模型开始，然后研究了基于决策树的集成模型。我们注意到，特征和目标变量之间的复杂非线性关系在非线性模型中得到了更好的捕捉。

2.2.1 线性模型

线性回归假设输入特征和目标值之间存在线性关系：

z = wTx + b，

（3）

通过最小化成本函数：

（4）

这里，z是目标值，x是输入特征向量，w是模型学习的权重（参数）向量，b是模型的偏置项（截距）。岭回归引入了一个额外的L2权重正则化惩罚项来最小化过拟合：

（5）

其中λ是正则化参数。λ = 0表示未经正则化的线性回归。这两种模型都利用了普通最小二乘（OLS）解：

? = (XTX + λI)?1XTz，

（6）

该解最小化了输入数据集中观测到的因变量与自变量（线性）函数的输出之间的平方差异之和。尽管效率很高，但线性和岭回归的问题在于它们假设了线性关系，这可能无法捕捉到复杂的材料-属性关系。

2.2.2 基于树的集成模型

为了处理非线性依赖性，我们使用了基于决策树的回归器；实际上，决策树是处理各种机器学习任务的一种流行方法，特别是当数据以表格格式存在时。我们使用了三种不同版本的决策树：随机森林回归器（RFR）、梯度提升回归器（GBR）和额外树（ET）。随机森林，也称为随机决策森林，是一种集成学习方法，用于分类、回归和其他问题，在训练过程中生成大量决策树。对于回归问题，随机森林的输出是所有树的预测平均值。在随机森林算法中，通过自助法抽取训练数据集的一个子样本，并选择最优分割（阈值）以最大化纯度减少，例如对于回归来说是均方误差（MSE）的减少。

梯度提升模型利用了决策树的基本思想；然而，它是顺序的，即树木是依次构建的，每棵树都使用梯度下降来纠正前一棵树的错误。在每次迭代m时，集成模型更新为：

Fm(x) = Fm?1(x) + ρmhm(x)。

这里，Fm(x)表示第m次提升阶段的集成预测函数，ρm是通过在迭代m时最小化损失函数来确定的最优步长，hm(x)表示拟合到损失负梯度的弱学习器。

重要的是，我们可以对这些基于树的模型对特征的重要性进行排名，从而识别出对预测最有影响力的特征。

2.2.3 模型评估

对于我们模型的评估，我们主要使用了在训练和测试数据集上计算的MSE。

这里，ML模型的预测值为?，DFT模拟值为z，后者被认为是真实值。为了进一步评估模型的性能，我们测量了?和z之间的相关性。相关性分析量化了两个变量之间的线性相关程度。常用的皮尔逊相关系数r定义为：

r ≈ +1：强正相关（预测值与真实值非常接近），r ≈ 0：几乎没有相关性，r ≈ ?1：强负相关。高的正相关系数表明模型能够有效地捕捉DFT数据的特性。

3 结果与讨论

3.1 从DFT计算得到的带结构

我们考虑了由钨（W）、钼（Mo）和硫族元素（X）原子组成的三元TMDs，具体来说是硫（S）、硒（Se）和碲（Te）。两个过渡金属原子和一个硫族元素原子结合构成了三元TMD配置。W0.125Mo0.875S2的从头算带结构显示在图2(c)中，而W0.375Mo0.625Se2的带结构显示在图2(f)中。从DFT计算中得到W2Mo14S32和W6Mo10Se32的电子带隙分别为1.75 eV和1.51 eV。由于使用了(4 × 4 × 1)超胞，带结构图中观察到了更高的带密度。在这两种情况下，带隙都出现在对称路径Γ → M → K → Γ上的k点处。

3.2 特征统计和目标值

使用DFT计算单层TMD合金（WyMo1?yX2）生成的数据集包含了总共51种独特的合金组合，包括二元和三元系统。对于每种组合，在31个k点上计算了导带和价带能量。每个数据样本包括以下输入特征：（i）硫族元素种类（S、Se和Te）的一次性编码指示器，（ii）Mo和W的分数组成，以及（iii）采样的k点。这些描述符被选用来捕捉化学身份和结构/电子特性。相应的目标值是在指定k点处的导带（CB）能量和价带（VB）能量。从图3可以看出，不同特征的值范围差异很大。因此，在模型训练之前，我们使用了scikit-learn库对特征进行了标准化，以确保特征之间的权重平衡。数据集被随机分为训练集和测试集，除非另有说明，否则70%的样本用于训练。

图3显示了用于训练机器学习模型的输入特征（以任意单位）的箱形图。这些图表说明了每个特征的自然分布和变异性，包括一次性编码的硫族元素存在（S、Se和Te）、W和Mo的百分比组成以及k点。箱形图提供了建模之前原始数据集特征的见解。特征之间的范围差异凸显了标准化的必要性。

3.3 训练-测试协议

数据集使用70:30的比例分为训练集和测试集。如图4所示，选择这个比例是为了在模型效率和泛化能力之间保持平衡：较小的训练比例会导致性能显著下降；另一方面，较大的训练比例可能会使模型过拟合训练数据。为了确保结果的稳健性，结果是在5次随机分割上取平均值的，每次分割都使用固定的种子以实现可重复性。

3.4 模型架构

我们使用了从简单的线性回归方法到基于树的集成模型的多种ML模型，重点关注架构和超参数如何影响目标值的预测。线性回归是一个基线模型，它尝试使用直线（方程式（3）来预测输出，而岭回归则在损失函数（5）中添加了L2正则化（α = 0.01）来提高稳定性，通过保持权重规范化来减少训练数据的过拟合。为了捕捉非线性关系，我们使用了集成决策树模型。随机森林使用了100棵浅层树（深度=2），这里的深度指的是每棵树的层数。浅层树不太可能过拟合，从而在变化性和泛化能力之间取得了平衡。梯度提升模型使用了100棵顺序树（深度=2），并采用了平方误差损失。在这种顺序方法中，每棵树都被训练来纠正前一棵树的错误，使模型能够捕捉到微妙的残差模式。最后，额外树模型也使用了100棵树，但分割是随机的，没有深度限制，利用随机性来提高鲁棒性。这些设置在表1中进行了总结。

3.5 机器学习模型验证

为了验证不同机器学习模型的性能，我们分别训练了用于导带和价带能量预测的模型。训练和测试误差使用均方误差（MSE）来计算，不同回归模型的结果总结在表2中。不同模型预测的带结构显示在图6和图7中，同时还有从DFT计算得到的结构。表2

不同模型对于导带和价带预测的性能

3.5 机器学习模型验证

为了验证不同机器学习模型的性能，我们分别训练了用于导带和价带能量预测的模型。训练和测试误差使用均方误差（MSE）来计算，不同回归模型的结果总结在表2中。图6和图7展示了不同模型预测的带结构与DFT计算得到的结构进行了比较。表2在所有方法中，基于树的集成模型始终优于线性模型，这验证了特征和目标之间存在非线性依赖性。Extra Trees模型在CB（导带）和VB（价带）预测中均实现了最低的均方误差（MSE），使其成为最佳模型，其次是梯度提升（gradient boosting）模型。相比之下，线性回归和岭回归（ridge regression）显示出相对较高的误差，表明了它们在捕捉数据集中的非线性依赖性方面的局限性。如图6(a)所示，岭回归预测了CB和VB的线性带结构，而实际上这些结构根本不是线性的。尽管随机森林（random forest）预测的结构与原始结构非常相似（见图6(b)），但未能准确捕捉到曲率，导致CB和VB的MSE都很高。梯度提升模型的结果略好于随机森林，但在准确预测曲率方面仍存在困难，特别是在CB的最小值和VB的最大值附近，如图7(a)所示。未能准确预测曲率，尤其是在CB的最小值和VB的最大值附近，可能会导致从带结构计算出带隙和有效载流子质量时出现显著误差。相比之下，Extra Trees模型提供了最准确的预测，尤其是在CB的最小值和VB的最大值附近（见图7(b)），使其成为所有模型中的佼佼者。使用5折交叉验证（5-fold cross-validation）计算了导带和价带能量的MSE，结果显示偏差很小（见表3），表明模型的稳定性。图8展示了Extra Trees模型预测的带结构与DFT（密度泛函理论，Density Functional Theory）模拟的带结构之间的定性比较，涵盖了6种不同的合金组成。最佳模型预测的带结构几乎与DFT模拟的结果完全重合。这表明机器学习（ML）模型，特别是Extra Trees模型，不仅能够获得数值上准确的结果，还能捕捉到k空间中带结构的物理形状，这对于成功计算有效载流子质量和带隙等二级性质非常有益。

图8展示了Extra Trees模型与DFT模拟的六个不同原子组成的带结构比较。这些组成分别是：(a) y = 0.625, X = Te；(b) y = 0.1875, X = Te；(c) y = 1, X = Se；(d) y = 0.9375, X = Se；(e) y = 0.125, X = S；(f) y = 1, X = S。实线和虚线分别代表DFT的基准结果和ML模型的预测结果。

图9和图10分别分析了导带能量和价带能量的特征重要性。对于CB能量预测，图9(a)显示了随机森林模型的特征重要性，其中最重要的特征是S的存在以及W和Mo的元素百分比。图9(b)显示了梯度提升模型的特征重要性排名略有不同，但W和Mo的百分比仍然具有重要意义。图9(c)表明，与其他两种模型不同，Extra Trees模型在特征之间的重要性分配更为均衡。这种平衡的特征重要性可能是Extra Trees模型误差较低且泛化能力强的原因之一。

图9和图10还分析了导带预测中特征重要性与树木数量之间的关系。图10(a-c)显示了随机森林、梯度提升和Extra Trees模型的特征重要性，以及训练数据MSE（蓝色线条）和测试数据MSE（橙色线条）与树木数量之间的关系。在图10(a-c)中，我们看到W和Mo的百分比对VB能量预测的影响较小，而硫属元素（chalcogens）的存在对VB能量的影响显著较大。这种模式在物理上是合理的：TMD（transition metal doped alloys）合金中的价带最大值对硫属元素的替代敏感，而过渡金属的组成对导带的影响更大。因此，模型学习到的特征重要性与现有的理论理解一致。

图3.7展示了使用Extra Trees模型对导带和价带能量进行5折交叉验证得到的MSE。

图3.8进一步评估了Extra Trees模型的鲁棒性，研究了预测误差与合金组成的关系。尽管Extra Trees回归在大多数合金上的误差都非常低，但某些组成由于在训练集中的代表性有限，导致MSE略有升高。然而，误差幅度仍保持在10^-3 eV^2以下，显示出很强的泛化能力。

图12展示了Extra Trees模型对训练数据之外合金组成的预测结果。表4报告了这些未见过的组成的预测误差，这些误差虽然高于模型在所有组成上训练时的误差，但仍在相同的数量级范围内，证实了模型即使对于未见过的合金组合也保持了其预测能力。

图13显示了Extra Trees模型对训练数据之外的合金组成的预测结果。连续线和虚线分别代表基准结果（ground truth）和ML模型预测的结构。这一结果表明，Extra Trees回归器能够捕捉到影响TMD合金带结构的潜在物理关系，证明了模型对新组成的泛化能力，这对于材料发现非常重要，因为新的合金组合在不断被发现。通过仅在硫化物（sulfides）和硒化物（selenides）合金上训练模型，然后在碲化物（tellurides）合金上进行测试，进行了严格的泛化测试。为了进行这项测试，我们将硫属元素的独热编码（one-hot encoding）替换为它们的原子序数。这种改变是必要的，因为如果使用独热编码，模型在训练过程中永远不会遇到Te，从而无法学习到碲存在的依赖性。在这种分离的训练-测试协议下，模型成功近似了整体带曲率，相关系数（大于0.9）证明了这一点。对于导带能量，皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）为r = 0.9984，对于价带能量为r = 0.9994。这些结果表明，ML框架不仅进行了插值，而且还有效地概括了不同合金组成和k点之间的物理趋势。结合表2中报告的低均方误差，相关性分析验证了模型可以作为带结构预测的首原理计算（first-principles calculations）的可靠替代方法。

图3.8展示了Extra Trees模型在训练数据之外的泛化能力。通过从训练数据中完全排除两种合金组成，我们对模型的泛化能力进行了测试。模型在剩余的组成上进行训练，然后在这些未见过的组成上进行测试。表4报告了这些未见过的组成的预测误差，虽然这些误差略高，但仍在之前报告的测试集误差的同一数量级范围内，证实了模型即使在未见过的合金配置下也保留了其预测能力。

图3.9通过比较Extra Trees模型预测的带结构与DFT模拟的带结构之间的相关性，进一步评估了模型的泛化能力。相关性分析包括了ML模型预测的带结构与基准带结构之间的相似性，这对于正确评估模型的预测保真度至关重要。首先，对于特定组成W0.0625Mo0.9375Se2，我们生成了ML预测的带能量与DFT计算的带能量之间的相关性图（见图11(b)和(c)），获得了接近单位的相关性。然后，为整个测试数据集生成了相关性图（见图11(d)和(e)）。Extra Trees模型在测试集上与DFT参考值的对齐度非常完美。研究结果表明，通过对预测的能带结构进行分析，我们可以相当准确地推导出材料的次要性质（带隙和有效质量）。这验证了该模型在精确捕捉能带结构关键特征方面的可靠性。有关其他拓扑磁性材料（TMD）合金的对比结果，请参见补充信息（SI）的第S3节。表5展示了通过密度泛函理论（DFT）模拟和额外树（ET）预测的电子能带结构所得到的带隙和有效质量的比较结果（能带结构见图8）。

**材料组成与性能参数对比**
| 组成 | 带隙（eV） | 电子有效质量（m0） | 空穴有效质量（m0） |
|-------|---------|-----------|-----------|
| W0.625Mo0.375Te2 | 1.1039 | 1.1046 | 0.06 |
| W0.1875Mo0.8125Te2 | 1.1330 | 1.1280 | 0.44 |
| WSe2 | 1.5641 | 1.5667 | 0.16 |
| W0.9375Mo0.0625Se2 | 1.5519 | 1.5569 | 0.32 |
| W0.125Mo0.875S2 | 1.7535 | 1.7543 | 0.05 |
| WS2 | 1.8281 | 1.8297 | 0.09 |
| W2 | 1.8281 | 1.8297 | 0.09 |

**结论**

本文通过密度泛函理论（DFT）模拟，分析了不同W、Mo和硫属元素（S/Se/Te）组成的单层拓扑磁性材料（TMD）合金的导电带和价带能量。对每种合金在多个k点处的能带能量进行了计算。目前尚未有研究报告如此全面的对能带结构的分析。为了实现机器学习（ML）模型的训练，为51种不同的合金推导出了组成描述符。通过将原子配置表示为W和Mo的比例，这些描述符为类似类型的材料提供了一个简单而通用的特征表示框架。基于该特征集训练的模型能够预测TMD合金在任何k点处的能带能量。我们对从线性回归到基于决策树的集成方法等多种ML模型进行了彻底的研究，以确定最适用于导电带和价带结构估计的模型。结果表明，额外树（ET）算法表现最佳，其预测结果与DFT计算值的均方误差（MSE）低且相关性高：导电带的MSE为0.0005，相关性为0.9984；价带的MSE为0.0009，相关性为0.9994，显示出其出色的预测能力。随后，我们将该模型应用于预测训练数据集之外的合金的导带（CB）和价带（VB），最小的误差验证了模型的稳健性。这是首次展示仅凭结构特征就能预测任何材料完整能带结构的ML模型。与传统的仅预测带隙的模型不同，我们的模型提供了更丰富的信息：我们可以通过导带最小值和价带最大值来确定带隙，还可以通过能带曲率拟合得到有效质量。DFT模拟值与额外树模型预测值之间的良好一致性表明，使用我们的模型可以大大节省计算资源。训练导带和价带模型各需约1秒，预测所有51种材料组成的导带和价带所需的时间约为0.22秒，而DFT计算单一成分的自洽场计算至少需要1小时。尽管如此，电子结构预测的准确性受到算法学习能力和用于生成训练数据集的密度泛函理论近似方法的固有限制的影响。尽管存在这些限制，我们的模型在准确性和计算效率之间取得了良好的平衡。这一总体框架可以扩展到预测除导电带和价带之外的其他能带结构，并应用于其他光学和电子性质预测任务。

**作者贡献**

Tarvir Anjum Aditto：负责正式分析、方法论设计、数据可视化、研究、验证及初稿撰写。
Vivek Chowdhury：负责正式分析、方法论设计、软件开发、研究、验证及初稿撰写。
Hafiz Imtiaz：负责概念构思、方法论设计、数据可视化、资金筹集、初稿撰写以及后续的审阅和编辑工作。
Ahmed Zubair：负责概念构思、方法论设计、数据可视化、资金筹集、初稿撰写以及后续的审阅和编辑工作。

**利益冲突**

本研究不存在需要声明的利益冲突。

**数据获取**

本文的数据可在GitHub上获取：[https://github.com/ahmedzubair003/ML_Based_Bands_Prediction.git](https://github.com/ahmedzubair003/ML_Based_Bands_Prediction.git)。补充信息包括完整的ML模型和额外结果，请参见DOI：[https://doi.org/10.1039/d5ma01485a](https://doi.org/10.1039/d5ma01485a)。

**致谢**

T. A. A.、V. C.、H. I. 和 A. Z. 感谢孟买理工大学（BUET）科学与工程研究中心（RISE）通过内部研究基金（项目编号：2023-02-022）提供的财政支持。