感染龄结构SIS流行病模型中的双稳性与振荡动力学：延迟积分方程与常微分方程近似方法

《Mathematical Biosciences》：Genuine and spurious bistability in a simple epidemic model with waning immunity

　　

研究人员建立了一个以感染龄（infection-age）a结构化的易感–感染–易感（SIS）型流行病模型，其中新感染个体以感染龄a = 0进入受染仓室，沿特征线依危险率（hazard rate）h(a)=K(a)/[1?∫0aK(s)ds]返回易感类，感染期内个体传染力β(a)与返回易感类的速率解耦，允许存在无传染性但仍具免疫保护（即未返易感）的阶段。力 of infection（Λ(t)）由Λ(t)=∫0∞β(a)i(t,a)da给出，总易感比例S(t)=1?∫0∞i(t,a)da。该偏积分微分方程（integro-partial differential equation, iPDE）沿特征线化为非线性感染龄 renewal equation（RE）：i(t,0)=(1?∫0∞i(t?a,0)F(a)da)∫0∞β(a)F(a)i(t?a,0)da，其中F(a)=1?∫0aK(s)ds为感染仓室内生存概率。基本再生数R0=∫0∞β(a)F(a)da，疾病消除平衡点（DFE）局部稳定当且仅当R0<1。若R0>1则存在地方病平衡点（EE），其稳定性由含F(a)与β(a)F(a)拉普拉斯变换的特征方程决定。研究人员推导了描述I(t)=∫i(t,a)da与Λ(t)的分布时滞微分方程组，并分别通过Erlang近似（线性链技巧）、hypoexponential近似（匹配前两阶矩）及针对一般核的伪谱（pseudospectral / spectral collocation）离散化将其化为常微分方程组（ODE）。数值分岔分析表明，纳入感染力随感染龄指数衰减β(a)=β0e?kda及Gamma分布感染持续时间可致使EE经Hopf分岔失稳并产生稳定周期解；次临界Hopf分岔可在一定参数域内导致EE与极限环共存之真正双稳态（genuine bistability）。标准Erlang近似因须将Gamma形状参数j取整可能跨过Hopf曲线而产生虚假双稳态（spurious bistability），而hypoexponential近似与伪谱方法可正确复现RE的分岔结构。研究强调感染持续时间分布的二阶矩（方差）对SIS模型平衡点与振荡动力学有关键影响，且结构化模型降维近似需谨慎选取以避免动力学误判。

论文解读：感染龄结构SIS流行病模型中的双稳性与振荡动力学——延迟积分方程与常微分方程近似方法（《Mathematical Biosciences》）

研究背景与意义

传统易感–感染–易感（Susceptible–Infected–Susceptible, SIS）常微分方程（ODE）模型假设感染期固定且恢复即返易感，无法区分传染期与免疫保护期，亦无法刻画感染力随感染时间（感染龄, infection-age a）的变化及感染持续时间的异质性。现实中感染者传染力β(a)常在感染后先升后降甚至归零，而免疫保护（未返易感）可能延续至不具传染性之后；感染持续时间通常服从偏态分布（如 Gamma 分布）而非指数分布。忽略这些结构会掩盖周期流行（endemic oscillations）与双稳态（bistability）等复杂动力学。本文旨在在最小 SIS 框架下引入感染龄结构，解耦传染力 β(a) 与返回易感速率 h(a)，分析其对地方病平衡点（Endemic Equilibrium, EE）稳定性、Hopf 分岔及双稳态的影响，并比较不同 ODE 近似方法对原 renewal equation（RE）/ integro-PDE 动力学保真度的影响。

主要技术方法

研究人员采用三类降维途径将感染龄结构 SIS 模型的 renewal equation（RE, Eq.(7)）或等价分布时滞微分方程（DDE, Eqs.(11)(16)）化为有限维 ODE 以便数值分岔分析：(1) Erlang 近似——将 Gamma(形状 j, 尺度 b=j/τ) 分布四舍五入为整数形状 [j] 的 Erlang 分布，通过线性链技巧（Linear Chain Trick）将感染期拆分为 [j] 个串联指数阶段得精确（当 j∈?）或近似 ODE；(2) Hypoexponential 近似——用 n=max(?j?,2) 个独立指数变量拼接成 hypoexponential 分布，使其前两阶矩（均值 τ、方差 τ2/j）与原 Gamma 分布严格一致，再导相应线性链 ODE；(3) 伪谱（pseudospectral / spectral collocation）近似——对 RE 的历史状态空间做指数加权多项式插值，在 Laguerre 节点上离散化无限维抽象 Cauchy 问题为 d 维 ODE（d 为可设数值参数，文中取 d=30），该近似对任意 β(a)、K(a) 适用且收敛于 RE 特征根。数值延拓与 Hopf 分岔追踪用 MatCont (v7p6, MATLAB)。感染力取 β(a)=β₀e^?k_da，感染期 PDF K 取 Gamma(形状 j>0, 均值 τ=5 月)，R₀作控制参数并由其他量反算 β₀。

研究结果

2.3 An SIS model with infection-age dependence: the generational perspective

沿 iPDE 特征线得 i(t,a)=i(t?a,0)F(a)，代入边界条件导出非线性 renewal equation（RE）。线性化 RE 于 DFE 得 Euler–Lotka 方程 1=∫₀^∞e^?λaβ(a)F(a)da，Malthus 参数 r 满足 sign(r)=sign(R₀?1)。R₀>1 时存在 EE：S=1/R₀，i(t,0)=(1?1/R₀)/∫F(a)da。EE 稳定性取决于含 F(a) 与 β(a)F(a) 拉普拉斯变换的特征方程，可经 Hopf 分岔失稳。

3. Ordinary differential equation approximations of the epidemic dynamics

对 I(t) 与 Λ(t) 用 Leibniz 法则导出分布时滞积分微分方程（DDE）。取指数衰减感染力 β(a)=β₀e^?k_da，感染期 K 为 Gamma 分布，给出两类卷积 DDE（Eqs.(11),(16)）。

3.1. Erlang approximation

将 Gamma 形状参数 j 舍入至最近整数 [j]，用 [j]-阶段 Erlang(K=b) 替代，定义 I_n,E(t)、L_n,E(t) 辅助变量得 [j]-维线性链 ODE（Eqs.(20),(22)），当原 j∈? 时与 DDE 数学等价。

3.2. Hypoexponential approximation

构造 n=max(?j?,2) 个指数阶段之 hypoexponential 分布严格匹配原 Gamma 均值与方差，前 n?2 阶段率 λ=n/τ，末两阶段率 ν、μ 由 Theorem 3.1 给出，导出相应链 ODE（Eqs.(24),(26)），维度同 n，可连续变 j 之效果优于 Erlang 近似。

3.3. The pseudospectral approximation for bifurcation analysis with general kernels

将 RE 写成抽象发展方程 v′(t)=Av(t)+F(v(t))，在指数加权 Banach 空间取 d 个 Laguerre 型配置节点 θ₁<…< />_d<0，用加权多项式插值离散为 d 维 ODE（dV/dt=A_dV+F_d(V)），配 Gauss–Radau 求积。该方法适用于任意 β、K，可连续扫描 j，且平衡点与特征根指数收敛到 RE 真值，适于分岔分析。

4.1. Bifurcation structure

以伪谱近似作 R₀、k_d（感染力衰减率）、j（Gamma 形状）、τ（平均感染期）之二参数分岔图，EE 失稳均为 Hopf 分岔。增大 R₀或减小 k_d（延长高传染性阶段）促进失稳；增大 j（减小感染期方差、趋均一感染时长）促进同步返易感从而促振荡；存在 Generalized Hopf (GH) 点分隔超临界（稳定极限环）与次临界（不稳定极限环）Hopf 分支。

4.2. Genuine bistability

单参数 R₀分岔示 EE 在 R₀=1 处前向跨临界分岔后，可先经超临界 Hopf 失稳产生稳定周期解，再经亚临界 Hopf 重获稳定——介于两 Hopf 间 EE 与稳定周期轨共存（真正双稳态），初值决定终态，系感染龄结构 + 感染力衰减所致，非外加季节或免疫增强机制。

4.3. Spurious bistability

Erlang 近似须将连续 j 取整，若真 Hopf 位于 j*≈8.31 而取整 j=8 或 9 可误跨 Hopf 曲线，时程模拟错误收敛至 EE（本应极限环）——产生虚假双稳态；hypoexponential 近似维持原方差故正确捕获振荡，无虚假双稳。

讨论与结论总结

研究人员在最小 SIS 框架引入感染龄依赖传染力 β(a) 与 Gamma 分布感染期危险率 h(a)，解耦传染性丧失与免疫衰减（返易感），推得等价 renewal equation 与分布时滞 DDE。分析表明：① R₀>1 时地方病平衡点可通过 Hopf 分岔失稳产生流行波浪；② 亚临界 Hopf 致 EE 与稳定周期解共存之真正双稳态，为无外力 SIS 模型首例；③ 感染期分布方差（由 Gamma 形状 j 控制）调控 EE 稳定性——低方差（大 j）促同步返易感促振荡，高方差阻尼振荡；④ Erlang/线性链技巧近似须整型形状参数，取整误差可致虚假双稳或误判 Hopf 位置，hypoexponential 近似（匹配前两矩）与伪谱方法可规避该问题并忠实还原 RE 动力学。结论：在 SIS 流行病模型中纳入感染力随感染龄变化及感染持续时间异质性可诱发振荡与双稳态，而降维 ODE 近似方法之选取显著影响动力学推断，研究者推荐使用 hypoexponential 近似进行时效仿真或用伪谱方法直接分析 renewal equation 以获可靠分岔结论。