基于拟插值方法的自适应等几何分析结合截断分层B样条（THB-splines）对二维和三维Cahn–Hilliard方程的高效相场建模

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Effective phase-field modeling of the Cahn–Hilliard equation in 2D and 3D using a quasi-interpolation approach to adaptive isogeometric analysis with THB-splines

　　

本研究针对相分离问题发展了一种多维高阶自适应等几何分析（IGA）框架，采用Cahn–Hilliard方程的相场表述。研究人员采用截断分层B样条（THB-splines）作为基函数，该基函数构成单位分解并支持局部网格细化与粗化。自适应网格方案在界面处细化网格、在体相区域粗化网格，网格分辨率随解的演进而动态调整。单元标记由解场（solution field）引导以识别界面位置，连续网格间的解传递通过拟插值算子（quasi-interpolation operator）实现，该算子具有天然可并行性并可有效降低计算成本。框架性能通过空间收敛性研究以及一系列二维和三维数值示例得到验证，结果表明局部自适应网格能够精确追踪演化界面，同时相比均匀张量积离散化可显著降低每次迭代的计算量。

相分离现象在自然界中普遍存在，广泛出现于金属合金、聚合物共混物及生物膜等多种系统中。这类过程涉及均相混合物自发分离为不同相态，其驱动力为系统自由能的最小化。Cahn–Hilliard方程为相分离现象提供了经典的数学框架，该方程通过四阶偏微分方程描述守恒序参量（通常为浓度场）的演化，其控制动力学将扩散与界面能贡献相耦合，从而自然捕捉界面的演化。该方程的四阶特性要求数值离散至少在弱形式中达到C1连续性，而经典有限元方法通常仅具C0连续性，无法直接满足此要求，因此常采用混合格式引入辅助变量求解耦合的二阶偏微分方程组，但这增加了未知量数目和系统复杂度。有限差分格式虽可在均匀网格上简单高效地实现，但受限于结构化网格而难以处理复杂几何或曲面边界。间断Galerkin（DG）方法允许高阶间断近似离散四阶问题，但引入额外自由度且需要稳定化策略。

等几何分析（IGA）为解决上述四阶问题的连续性需求与复杂几何挑战提供了替代途径。该方法采用计算机辅助设计（CAD）中使用的相同基函数，即B样条和非均匀有理B样条（NURBS），同时表示几何和求解空间，在保持CAD几何表示的同时提供高阶全局连续性。这一特性对薄板壳理论、相场表述以及流动输运模拟等涉及高阶微分算子的高阶模型尤为重要。相场方法将锐利界面替换为序参量光滑过渡的薄过渡区域，界面宽度由长度尺度参数控制；随着该参数减小，弥散界面趋近于锐利界面描述，但随之产生的陡峭梯度需要高空间分辨率。均匀全局h细化虽可解决此问题，但计算代价极高，因此自适应方法成为更高效的替代方案。

现有自适应相场模拟研究多限于二维问题，且效率评估通常仅关注自由度数目的减少。本研究旨在开发一种在二维和三维均具计算速度优势的框架，评估THB样条结合自适应细化与拟插值进行解场投影能否在实际相场模拟中实现整体加速。研究开发了适用于二维和三维相分离相场建模的自适应等几何分析框架，利用Cahn–Hilliard方程的四阶微分算子，采用p次B样条自然离散，提供跨节跨的C^p-1全局连续性。THB样条作为HB样条构造的自然扩展，通过局部截断粗层基函数恢复单位分解，减小不同细化层级基函数间的重叠，增强离散化的数值稳定性，同时继承线性独立性和非负性等优良特性，为自适应等几何分析提供高效稳健的基函数。

研究人员采用求解–估计–标记–细化/粗化的自适应典型循环，针对Cahn–Hilliard方程解的有界性u∈[-1,1]，发展了基于解场的阈值标记策略：界面区域（|u|远离1）需要网格细化，而平衡相区域（u≈±1）可粗化。具体地，对每个单元 Theory cell Q∈Q，定义基于解的指标?_Q:=1-|∫_Qudx/∫_Qdx|，当?_Q>Θ时标记细化，?_Q≤Θ时标记粗化。该策略通过解场本身而非传统后验误差估计器来识别界面位置。

在基函数构造方面，THB样条定义于嵌套参数域序列Ω⁰?Ω¹???Ω^N-1上，通过递归截断操作trunc<sub>?+1（βi^?）移除完全支撑于细化区域Ω^?+1内的细层基函数的贡献，最终形成满足单位分解的层级基。 admissibility class m的约束确保每个网格活动单元上的非零THB样条至多来自m个连续层级，从而控制局部网格分级。

网格自适应中的解传递采用两种策略：L²投影提供最优逼近但需全局求解；基于局部插值的拟插值（QI）则利用THB样条的系数保持性质，在每个基函数支撑内的元素上通过张量积高斯点处的局部插值问题确定系数，该过程天然可并行且计算高效。具体实现中，对每个基函数βi^?，在其支撑与元素Q相交处选取q=p+1个高斯点，建立小规模的局部线性系统求解系数λi^?(f)。

收敛性分析采用制造解（manufactured solution）方法，构造径向对称、时间相关的浓度场?(x,t)=tanh[k(r²(t)-∑i=1^d(xi-xci)²)]，其中半径r(t)=r0+Acos(πt/T)作谐波变化。该解在±1处饱和，形成被光滑界面分隔的大块体相区域，便于界面处局部细化而其余区域粗化。在二维（d=2）和三维（d=3）情况下，对p=2,3,4次B样条基函数进行空间收敛研究，时间步长取Δt=0.001s以最小化时间积分误差。结果显示在均匀张量积网格上获得了理论最优收敛率；THB网格在二次基（p=2）时以约半量级的自由度达到与TP网格相当的精度，但在三次和四次基时于细网格上出现最优收敛率的损失，这归因于相变区域内层级间过渡区的局部误差以及制造解在边界条件处理上的固有限制。

数值实验部分在G+Smo库中实现，采用Intel Xeon Silver 4410Y CPU和40线程共享内存并行。二维和三维的成核驱动相分离（u?=0.4）及旋节分解（u?=0.0）案例表明：自适应方案自由度减少约50%（二维）至70%（三维），总能量演化和质量守恒与均匀解一致；拟插值相比L²投影减少约65%的投影时间；基于能量显著变化的精炼触发策略可进一步降低总计算时间（L²投影约18%，拟插值约12%）。三维情况下求解器时间降低约90%，尽管组装时间因维护多层级结构的开销而相对较高。

研究发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》。论文的主体技术方法包括：（1）THB样条层级自适应基函数构造与admissible网格生成，确保最多m个连续层级基函数作用于任一元，通过递归细化邻域和扩展粗化邻域维持网格正则性；（2）基于解场阈值的单元标记策略，利用浓度场识别界面位置指导自适应细化与粗化；（3）广义-α方法进行时间离散，通过参数ρ∞控制高频数值耗散，采用Newton–Raphson迭代求解非线性方程组；（4）拟插值算子进行网格间解传递，基于局部Gauss点插值实现系数并行计算，替代传统的全局L²投影。

研究结果方面，"基于制造解的收敛分析"表明：在均匀TP网格上，p=2,3,4的基函数在L²-、H¹-和H²-范数下均达到理论最优收敛率；THB自适应网格在p=2时以显著减少的自由度达到相当精度，但高次基在细网格上呈现收敛率损失，这与层级间过渡区误差及制造解边界处理有关。三维THB网格同样以较少自由度实现与TP网格相当的精度。"二维数值示例——成核驱动相分离"显示：自适应方案减少约50%自由度，拟插值投影时间降低65%（相对于L²投影），能量基精炼触发策略使L²投影和拟插值总时间分别减少18%和12%。"二维数值示例——旋节分解"取得类似结果，自适应网格准确捕捉双连续形态演化，质量偏差可忽略。"三维数值示例——成核驱动相分离"表明：自适应方案在模拟结束时减少约70%自由度，求解器时间降低约90%，但组装时间因层级开销相对较高。"三维数值示例——旋节分解"同样验证自适应方案在大幅减少自由度的同时保持解的精度。

讨论与结论部分，研究人员发展了二维和三维高阶相场问题的自适应建模框架，利用Cahn–Hilliard方程表征不可混溶流体的相分离。通过THB样条结合自适应细化与粗化策略，界面处的局部自适应方案在精确追踪界面演化的同时显著降低自由度数目。等几何分析自然提供C1连续基函数，使Cahn–Hilliard方程可在原始变分形式中直接离散。拟插值在网格传递历史变量、自由度演化及计算时间影响方面展现出高效性。据研究人员所知，该工作首次对二维和三维高阶自适应等几何相场模型进行了全面的效率分析。研究结论指出该方法可扩展至相场断裂、肿瘤生长等界面数目更少的应用领域，预期可获得更显著的计算时间优势；未来发展方向包括结合和分解与加权求积等高级组装技术、层次多重网格等可扩展求解器，以解决三维问题中求解器时间占主导的挑战。</sub>