连接拟周期与周期解：非线性动力学系统两步骤离散化新方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A Two-step Discretization Framework Bridging Quasi-Periodic and Periodic Solutions in Nonlinear Dynamics

本文提出了一种创新的两步骤离散化框架，以解决非线性系统中拟周期(QP)解的求解与稳定性分析难题。该方法基于变量分离思想，在第一步通过傅里叶或差分离散化方案，将原拟周期问题转化为离散化系统的周期性问题；第二步则利用打靶法高效求解该周期系统，并可直接应用Floquet理论进行稳定性分析。此框架有效弥补了拟周期与成熟周期解分析工具之间的鸿沟，并通过Duffing振子等算例验证了其有效性与计算优势。

　　

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引言

非线性动力学系统展现出三种基本的稳态响应形式[1], [2], [3]：平衡点、周期解和拟周期解。这些运动形式由其所涉及基本频率的数量来区分[4]。具体而言，平衡点不涉及振荡频率，周期解具有单一的基本频率，而拟周期运动则以多个不可公度(无简单整数比)的基本频率为特征。平衡点分析相对直接，而求解周期和拟周期响应则需要先进技术，将微分方程转化为代数系统，常常建立于平衡点分析框架(如用于求解非线性代数方程的牛顿迭代法)之上[5]。

周期解，即系统运动在固定时间间隔T内重复，通常用截断的傅里叶级数来近似[6]。这构成了频域方法(如谐波平衡法)的基础[7], [8]，该方法将非线性常微分方程转化为傅里叶系数的代数方程。时域配点法[9], [10]虽然实现方式不同，也同样利用了傅里叶基函数进行数值平衡。比较研究[11], [12]已广泛讨论了这些方法的优缺点。

近年来，非线性振动系统中的拟周期运动因其在各种工程问题(如转子动力学[13]、能量采集器[14]和气动弹性结构[15])中的普遍存在而受到广泛关注。与周期解不同，拟周期解的轨迹在时域中并不重复。为此，许多求解方法[16], [17], [18]被提出。鉴于拟周期响应的复杂性，采用傅里叶级数作为基函数的数值技术已成为研究焦点。由于涉及多个基本频率，这些技术一般可分为以下两类：

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  一步离散化：多谐波平衡法[19], [20]和结合多时间尺度的增量谐波平衡法[21]直接使用多维傅里叶级数来近似拟周期响应，单个离散化步骤即将原始微分方程转化为一组代数方程。
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  多步骤离散化：该方法的最初思想可追溯到Schilder等人[22]的工作，后来Zhou等人[23]受此启发提出了变系数谐波平衡法。在这类方法中，解被假设为具有时变系数(而非恒定系数)的傅里叶级数。微分方程经过多个阶段的离散化后才转化为代数方程。

关于这两类方法的详细对比，请参阅Wu等人的工作[24]。

简单对比，一步离散化法在计算效率上优于多步骤离散化法。这是因为多步骤离散化过程通常涉及复杂的符号计算和数学推导。然而，多步骤方法具有将拟周期问题转化为周期问题的优势，从而能够应用现有的周期解方法并简化稳定性分析。Floquet理论[25]是分析非线性系统中周期解稳定性最常用的方法。通过应用摄动理论，将非线性方程转化为线性摄动方程。然后通过考察具有时变系数的线性方程的单值矩阵(monodromy matrix)的特征值来分析周期解的稳定性。然而，将Floquet理论直接应用于拟周期解是不可行的。尽管如此，由于其清晰的理论框架和易于实现，许多研究者已尝试将该方法扩展到拟周期解。例如，Liao等人[26]和Chen等人[27]的工作就专注于此类扩展，通常是将拟周期解视为具有恰当定义的长周期的近似周期解，但这在计算上代价高昂且可能不可靠。

基于变量分离的思想，本文提出了一种用于求解非线性系统拟周期解的新颖的两步骤离散化方法。与前述局限于傅里叶级数展开原方程的多步骤离散化方法不同，本文方法有两个关键创新。首先，它引入了通过时域信号对傅里叶信号的离散化，这有效避免了谐波平衡过程中固有的符号运算和复杂积分。其次，它将非傅里叶离散化方案(如有限差分方案)纳入离散化框架，形成了一种新的两步求解策略。

具体来说，第一步采用傅里叶或差分离散化，得到一个离散化的周期系统。第二步利用打靶法快速求解这个离散化的周期系统。值得注意的是，Floquet理论可以直接应用于评估离散化周期系统的稳定性，无需任何进一步修改，从而有效且间接地提供了原始拟周期响应的稳定性结果。因此，两步骤离散化方法能够实现对非线性系统中拟周期解的快速计算和稳定性分析。值得强调的是，两步骤离散化法并不局限于任一特定步骤中使用的技术。其核心思想在于将复杂的拟周期问题转化为周期问题，并考察不同离散化方案下这种转换的有效性。

拟周期解的数学基础

在本节中，将介绍拟周期解的定义以及Bauerle等人[28]提出的一步离散化框架。在此基础上，我们将进一步发展两步骤离散化方法。

对于一个具有N个自由度的非线性动力学系统，其数学表达式如下：

dx/ dt = f(x, t) = A x + G(x) + F(ω t)，x: R¹→ R^N,

其中A表示线性系数矩阵，G是x的非线性函数，F表示外部激励，ω = [ω₁]。

将拟周期问题转化为离散化周期问题的第一步离散化

本节详细阐述了将拟周期问题转化为离散化周期问题的第一步。为简单起见，假设拟周期运动具有两个基本频率ω = [ω₁, ω₂]，其中ω₁是已知的外部激励频率，ω₂是未知的自激频率。然后，基于前文的理论框架，给出拟周期问题的控制方程、边界条件和补充相位条件。

用于离散化系统的周期解与稳定性分析的第二步离散化

本节将采用打靶法求解离散化的周期常微分方程系统，并利用Floquet理论进行快速稳定性分析。为简洁方便，将方程(22)和(30)中的常微分方程写为统一形式：

d ξ / d θ₂= g(ξ, ω₂)，

其中对于差分离散化，有ξ = X?₁, g(·,·) = g_d(·,·)；对于傅里叶离散化，有ξ = μ, g(·,·) = g_f(·,·)。注意方程(32)是一个自治系统，应引入相位条件?X_z/?θ₂(0,0) = 0。

双周期激励Duffing振子

双周期激励Duffing振子[30]是研究拟周期解稳定性的典型算例。其运动方程如下：

? + 2 ζ ? + x + γ x³= f₁sin(ω₁t) + f₂sin(ω₂t),

其中ζ和γ是系统参数，ω₁和ω₂是两个不可公度的外部激励频率，满足ω₁/ ω₂= √2。f₁和f₂是相应于两个频率的外部激励振幅。在本系统中，参数设定为ζ = 0.1, γ = 0.2, f₁= f₂= 5。

结论

本文提出了一种用于分析非线性动力学系统中拟周期响应的新颖两步骤离散化方法。通过变量分离将原系统的拟周期解转化为离散化系统的周期解，弥补了拟周期动力学与成熟的周期解分析框架之间的差距。系统地提出了用于第一步离散化的两种不同方案——傅里叶方案和有限差分方案。