一种结合多分辨率和Hermite策略的新型限制器：提升RKDG方法在可压缩流动模拟中的精度与稳定性

《Computers & Fluids》：A hierarchical multi-resolution WENO limiter for Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods

本文是一篇计算流体力学（CFD）领域的原创性研究，提出了一种用于龙格-库塔间断伽辽金（RKDG）方法的层次化多分辨率加权本质无振荡（MR-WENO）限制器。该方案创造性地整合了Hermite WENO (HWENO) 和 MR-WENO 两种策略的优势，通过构建目标单元与邻近单元解多项式的凸组合，实现了在光滑区达到设计精度，同时在间断处自适应降阶以保持稳定。相比于原MR-WENO格式，新方案数值耗散更低，能更锐利地捕捉激波等不连续结构，尤其在高阶精度下对小尺度涡结构的解析能力显著增强，为解决高精度CFD方法中精度与稳定性的矛盾提供了新思路。

　　

亮点

本文提出了一种用于求解双曲型守恒律的龙格-库塔间断伽辽金（RKDG）方法的新型层次化多分辨率加权本质无振荡（MR-WENO）限制器。针对原始MR-WENO方案因丢弃邻近单元信息而无法达到最优精度的问题，所提出的层次化MR-WENO方案融合了HWENO和MR-WENO策略。它采用目标单元及其紧邻单元DG解的凸组合来构建层次化的多项式，并通过一种自适应机制增强：只要任一相关单元能根据HWENO策略提供高精度的光滑多项式，数值精度就能得以保留。同时，通过MR-WENO组件中的层次化精度降级机制，数值稳定性得以维持。一维和二维的全面验证表明，该方案能在光滑区域达到其设计精度，同时能以最小的耗散捕捉不连续结构。与原始MR-WENO方案相比，层次化MR-WENO方案产生了更低的数值耗散、更锐利的激波过渡，并增强了对小尺度涡旋结构的分辨率，尤其是在高阶情况下，同时保持了方法的紧致性。值得注意的是，在Sod问题中，不连续附近的数值误差降低了一到两个数量级。

引言

近年来，高精度方法因其在分辨多尺度流动现象方面具有更低的数值耗散和色散的优秀能力，在计算流体动力学（CFD）中备受关注[1]。这一优势源于其更高的分辨率，使其能够精确捕捉复杂物理系统中的小尺度湍流结构和大尺度流动特征。然而，这些高精度方法面临的一个持续挑战是，随着数值精度的提高，它们在间断附近产生虚假振荡的趋势。为解决这一问题，有限体积（FV）和有限差分（FD）框架内的加权本质无振荡（WENO）方案也已被尝试[[2], [3], [4]]。

然而，在FV和FD框架内构建WENO方案[5,6]通常需要宽大的重构模板来实现高精度。这一要求本质上增加了对更多相邻单元或节点的数据依赖性。随之而来的对紧凑性的追求导致了高昂的计算和通信成本。在使用非结构网格的随机存取存储实现中，提高紧凑性总是伴随着巨大的挑战，例如模板点识别。为了弥合提高精度与紧凑性之间的差距，Wang等人[7]提出了在界面处进行跳跃积分，以测量每个单元界面上重构多项式及其空间导数的跳跃。所得方程是在一个仅涉及当前单元及其直接面邻居的紧凑模板上定义的重构多项式系数之间的隐式关系。因此，紧凑性得到了显著改善。

除了传统的高精度FV和FD方法之外，高精度有限元方法，如谱差分（SD）方法[8]、谱体积（SV）方法[9]、间断伽辽金（DG）方法[10]、通量重构（FR）方法[11]和流线上风/Petrov-Galerkin（SUPG）方法[12]，已成为强有力的替代方案。与FV和FD方法不同，这些方法通过直接增加单元内的自由度来提高精度，同时天生具有紧致性。

其中，DG方法由Reed和Hill[13]于1973年首次提出，用于求解中子输运方程。Chavent和Salzano[14]将Godunov数值通量引入DG方法以求解非线性双曲问题。Cockburn等人[15,16]开创了龙格-库塔间断伽辽金（RKDG）方法，这是一个用局部多项式和龙格-库塔时间离散化来逼近解空间的框架，在保持紧致性的同时实现了任意高阶精度。随后，Cockburn和Shu[10]进一步将DG方法扩展到求解二维欧拉方程。因其紧凑性、守恒性、稳定性、收敛性以及并行算法的高度兼容性[17]，它已成为求解双曲型守恒律的重要工具。

然而，DG方法仍然受到严重的限制。一个关键挑战是如何在强间断附近抑制虚假振荡，同时在光滑区域保持低耗散。因此，人们提出了在DG框架内消除不连续附近非物理振荡的方法。例如，Cockburn和Shu[18]提出了minmod型全变差有界（TVB）方案，这是一种斜率限制方法，通过限制多项式的斜率来抑制非物理振荡。然而，它带来了两个显著的缺点。一方面，它引入了一个与问题相关的常数M，需要进行复杂的参数调整。另一方面，当扩展到高阶多项式（k ≥ 2，其中k表示多项式次数）时，限制器采用了过度限制的方法：一旦在线性部分检测到振荡，它就会砍掉多项式的高阶项，将解简化为线性解，这引入了额外的耗散并显著降低了数值精度。

Ghostine等人[19]修改了TVB方案以消除参数M。Suresh和Huynh[20]提出了保单调性（MP）方案，以区分光滑极值点和间断，从而在光滑区域保持精度。Rider和Margolin[21]将MP方案改进为修正的保单调性（MMP）方案，通过放宽保单调性的约束，转而提供保号性或替代的有界值。此外，Biswas、Devine和Flaherty[22]提出了BDF方案。这个基于矩的限制器采用了一种层次化的限制策略，从高阶到低阶逐步限制多项式系数。遵循这一策略，Burbeau、Sagaut和Bruneau[23]提出了BSB方案，该方案根据解的局部光滑性动态调整模板。这种适应减少了对邻近单元不必要的依赖，并降低了计算成本。然而，实际应用证实，尽管此类限制器能有效控制间断附近的虚假数值振荡，但它们在光滑区域的不当应用往往会污染解的精度。

此外，大量的研究工作集中于将WENO族方案应用于DG框架，将WENO方法学从FV框架延伸开来。Qiu和Shu[24]通过使用目标单元及其相邻单元的单元平均值在高斯点重构点值，开启了这一方法。然后利用这些重构矩和原始单元平均值得到目标单元的多项式解。与FV框架中的WENO方案类似，该方法需要一个扩大的模板（超出直接相邻单元）以获得高阶信息。这种模板扩展给多维问题，特别是在非结构网格上[25]的实现带来了显著的复杂性。此外，这种重构策略总是破坏DG方法的数据局部性，进一步损害了并行效率。

为此，Qiu和Shu[26,27]进一步构建了一类基于Hermite多项式的WENO方案，称为Hermite WENO（HWENO）方案。在重构过程中不仅使用单元平均值，还使用低阶矩。因此，对于相同的精度阶数，HWENO方案比WENO方案具有更紧凑的模板。然而，在任意网格上，特别是在三维中，HWENO方案的实现仍然很复杂。模板宽度也随着精度阶数的增加而扩大。

随后，Luo等人[28]基于仅从目标单元及其紧邻单元（例如，用三阶矩实现五阶精度）推导出的高阶矩，构建了一个紧凑的HWENO子空间。通过利用DG框架中现成的导数，该方法显著降低了实现的复杂性。然而，该方案对间断很敏感，因为相邻单元中的高阶矩可能会产生虚假振荡，可能破坏重构。Jiang等人[29]通过使用一种简单高效的技术来增强单侧模板的光滑性，从而提高了鲁棒性并简化了重构过程，从而改进了HWENO方案。然而，处理多个单侧模板可能会引入额外的计算成本。

最近，Zhong和Shu[30]通过从目标单元及其紧邻单元重构DG解多项式，而非分别重构点值或矩，开发了一种更简单的HWENO方案。该方案的主要优点是实现简单，尤其是在多维网格上。此外，该方案在所有精度阶数上均保持紧凑的模板宽度。然而，当目标单元及其紧邻单元的高阶信息在强间断附近同时失效时，限制器无法在重构过程中激活降阶，这表明缺乏显式的降阶机制。在间断附近这种被迫的高阶重构可能诱发数值振荡，可能由于不恰当的加权导致稳定性问题甚至解崩溃。

另一方面，Zhu等人[31]通过递归过程提出了多分辨率WENO（MR-WENO）方案，该方案构建了从零阶到DG方法最高次数的L²投影多项式的层次序列。当遇到不连续时，该限制器在目标单元内逐渐退化到低次多项式。值得注意的是，它仅利用目标单元本身的DG解多项式，而紧邻单元的一阶导数项仅用于确定零次多项式的光滑指示器。它也被扩展到四面体网格[32]、三角形网格[33]和并行自适应笛卡尔网格[34]。

然而，当目标单元中的高阶信息包含间断时，用MR-WENO方案重构的多项式会发生急剧降阶。由于MR-WENO方案丢弃了邻近单元的所有高阶信息，它无法达到理论上的最优精度。这种不足与[35]中详述的FV框架内的MR-WENO方案中观察到的问题相同。为了克服这一点，我们之前为FV方法设计了一种层次化MR-WENO方案。它可以被视为MR-WENO和中心WENO（CWENO）策略的层次组合，可以同时继承两者的优点。设计精度得以实现，其优越性在模拟中得到了验证。类似地，DG框架内目标单元的重构中也可以利用邻近单元的高阶信息。

总而言之，HWENO方案利用了MR-WENO方案没有使用的邻近单元的高阶信息。另一方面，MR-WENO方案提供了一种自适应的精度降级机制，可以保证数值稳定性。两种方案都利用了DG解多项式，并展现出优异的紧凑性。受我们先前在[35]中研究的启发，本研究提出了一种DG框架内的层次化多分辨率WENO方案。考虑到DG方法固有的紧凑性要求，引入了几个新颖的思路来解决上述问题：

1. 1.
   总体框架与MR-WENO方案类似。为了在保持紧凑性的同时实现高精度，应利用紧邻单元的高阶信息。在实践中，递归过程中的初始多项式根据HWENO策略，用目标单元和邻近单元的多项式的凸组合替换目标单元的解多项式。因此，该层次化策略可被视为MR-WENO和HWENO方案的结合，本方法可同时继承两者的优点。
2. 2.
   基于上述层次化MR-WENO方案，只要目标单元或其邻近单元的高阶信息可用，即使目标单元的高阶信息无效，层次化MR-WENO方案也能达到设计精度。当目标单元及其邻近单元的高阶信息同时被不连续占据时，精度降级机制将被触发，从而维持数值稳定性。
3. 3.
   针对标量方程和欧拉方程进行了全面的验证和讨论。验证了数值精度，同时也确认了激波捕捉能力。精确解析了激波和接触间断等不连续结构。结果表明，随着设计精度的提高，不连续的分辨率逐步改善。此外，在二维情况下，本方案能够以增强的清晰度和改进的物理保真度捕捉更精细的流动结构，如小尺度涡和激波相互作用。

本文的其余部分安排如下。第2节介绍了层次化多分辨率WENO方案。第3节报告了一维标量和可压缩欧拉方程的数值实验。第4节报告了二维欧拉方程的数值实验。第5节给出了结论。

示例 3.1. 线性对流方程

为验证当前层次化MR-WENO方案的数值精度，模拟了一维对流方程（17），并与原始MR-WENO方案[31]进行了比较。

?u/?t + ?u/?x = 0.

计算域为[-1, 1]，采用周期性边界条件。考虑两种不同的初始条件 u₀(x) = sin(πx) 和 u₀(x) = sin(πx - sin(πx)/π)。此问题的精确解为 u(x, t) = u₀(x - t)。时间推进过程在 t = 2.0 停止。模拟过程中...

结论

本文提出了一种通过自适应选择策略的新型层次化MR-WENO方案。递归过程的初始多项式在HWENO框架内重构，而主要的递归重构遵循MR-WENO方法学。总体而言，它可以被视为MR-WENO和HWENO方案的层次组合，本方法可同时继承两者的优势。与MR-WENO方案类似，该方法...