《Computers and Geotechnics》：Nonlinear unsaturated seepage analysis via Picard iteration and level-set method within the scaled boundary finite element framework
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这篇研究提出了一种创新的数值框架，它将比例边界有限元法（SBFEM）的降维优势、Picard迭代的线性化能力与水平集法（LSM）的隐式界面捕捉功能相结合，旨在高效、精确地求解稳态非饱和渗流中的强非线性（由饱和依赖的水力传导系数K(Θ)引起）和自由水面（潜水面）定位难题。该方法通过仅在边界离散显著降低了计算维度，并通过参数化研究量化了渗流场对上游水位、Gardner孔隙分布参数α和饱和水力传导系数Ks的敏感性，为非饱和土中的水力耦合机制提供了定量见解，为相关工程问题的模拟提供了一种稳健、灵活且高效的替代方案。
Highlight
文章介绍了一种结合比例边界有限元法（SBFEM）、Picard迭代和水平集法（LSM）的新颖半解析框架，用以攻克稳态非饱和渗流数值模拟中的两大核心挑战：强非线性和自由表面的精确定位。
引言
多孔介质中的非饱和渗流行为从根本上控制着地表水与地下水的相互作用、土壤的力学响应以及各种环境过程，因此对水资源管理、岩土安全和环境保护具有至关重要的意义。在实际工程中，非饱和渗流控制着堤坝中的孔隙水压力分布，影响着边坡和滑坡中的水力应力和安全系数，并决定了隧道及地下工程施工期间围岩中的含水量和孔隙压力演化，直接影响支护设计和施工安全。准确高效地模拟此类渗流场对于可靠的工程风险评估和优化设计至关重要。一个关键的挑战源于渗流区水力传导系数对基质吸力的强烈非线性依赖，这导致控制偏微分方程高度耦合且呈拟非线性。为描述这一复杂过程，已发展出多种非饱和渗流模型，包括Gardner模型、Brooks–Corey模型、van Genuchten–Mualem模型和Fredlund–Xing模型，这些模型均将水力传导系数与基质吸力或有效饱和度联系起来，但它们在函数形式、参数定义和适用范围上有所不同；这些模型共同为非线性渗流的理论和数值研究提供了全面的理论框架。
问题描述
分析聚焦于非饱和多孔介质中的稳态流动。流动由质量守恒定律控制，结合达西定律，得到微分方程：? ? (K(Θ)?H) = 0 in Ω。其中?是梯度算子；H是总水头，可表示为压力头(Θ)和位置头(y)之和。K(Θ)是非饱和水力传导函数。流速表达式为q = -K(Θ)?H。系统的非线性源于水力传导系数K(Θ)对压力头Θ的依赖关系。
SBFEM基础
在所提出的公式中，引入了坐标变换，用比例边界坐标重新表述物理域。如图2所示，通过选择合适的比例中心，域几何被表示为其边界的连续缩放，而边界被独立离散。这种变换分离了场变量的径向和圆周变化，为比例边界有限元法固有的半解析处理提供了一个便捷的框架。
Picard迭代的SBFEM控制方程
稳态非饱和渗流方程的固有非线性源于水力传导系数对压力头的函数依赖。为解决此问题，采用Picard迭代方案（也称为逐次代入法）作为线性化求解器。该方案的基本原理是将状态相关的系数视为从前一迭代步骤导出的已知变量，从而将复杂的非线性问题转化为一系列线性问题。
水平集法的数学公式
为了精确捕捉无压渗流问题中潜水位（自由水面）的位置，需要一种能够自然处理自由边界而无需显式追踪的高效方法。水平集法提供了运动界面的隐式表示，允许在计算域内平滑稳定地确定潜水面。它基于一个有符号距离函数，其中界面被定义为该函数的零等值面。
基准算例
算例1 单层和双层矩形域入渗
考虑一个矩形域中的基准非饱和渗流问题，以验证所提方法在均质和非均质（分层）土条件下的准确性，如图6所示。在同一计算框架下检验两个模型：均质单层土模型和非均质双层土模型。计算域长度为12米，宽度为1米。在均质模型中...
结论
本文开发了一个新颖的半解析数值框架，将SBFEM与Picard迭代方案和水平集法相结合，以解决稳态非饱和渗流分析中的强非线性和自由表面演化挑战。基于严格的理论推导和全面的数值研究，得出以下结论：
· 与已发表基准解的数值比较证实，本方法实现了高精度和显著提高的计算效率，这通过与传统方法相比减少的自由度和非线性迭代次数得以证明。参数化研究表明，渗流场对上游水位、Gardner孔隙分布参数α和饱和水力传导系数Ks敏感，为非饱和土中的水力耦合机制提供了定量见解。结果表明，所开发的方法为解决稳态非饱和渗流问题固有的强非线性提供了一个稳健、灵活且高效的替代方案。
