铣削颤振是高性能加工中最关键的瓶颈之一。这种自激振动不仅会降低工件表面质量并加速刀具磨损，还会迫使工艺规划者采用保守的切削参数，从而严重限制加工效率并增加制造成本[1]、[2]。稳定性瓣图（SLD）划定了主轴转速-切削深度参数空间中稳定状态与不稳定状态之间的边界，是避免颤振的基本工具[3]、[4]。因此，开发能够准确高效预测稳定性瓣图的方法对于实现颤振抑制和推进高速高精度加工至关重要[5]、[6]。
在过去几十年中，已经开发了多种铣削稳定性预测方法，这些方法大致可以分为分析方法和基于离散化的方法[7]。分析方法历史最为悠久，其中零阶近似（ZOA）方法由于其简单性和计算效率而被最广泛使用[8]。然而，ZOA忽略了方向系数的高阶谐波（这些谐波来源于切削力建模和啮合几何），使其仅适用于较低的径向浸入深度，无法捕捉由周期加倍（PD）分叉引起的稳定性瓣图（SLD-PD）[9]、[10]。为了克服这些限制，引入了多频率方法（MFM），在其中明确纳入了方向系数的高阶谐波[11]。这显著提高了SLD预测的准确性，特别是在高轴向深度和多齿啮合的情况下。然而，高阶谐波的引入大大增加了稳定性矩阵的规模，导致计算成本增加和效率降低[12]、[13]。为了进一步提高预测能力，最近提出了一种半分析方法，该方法结合了使用ZOA构建的SLD和对应于PD分叉的解析导出的SLD，从而得到更准确的SLD[12]。然而，这种方法仍然忽略了方向系数中的高阶谐波对Neimark–Sacker（NS）分叉引起的SLD（SLD-NS）的影响，这不可避免地引入了误差。
基于离散化的方法，如全离散化方法（FDM）[14]、半离散化方法（SDM）[15]、[16]及其众多变体，由于其在分析时延系统方面的通用性和鲁棒性而受到了广泛关注[17]、[18]。这些方法通常将时延微分方程（DDE）转换为状态空间表示，并将铣削周期划分为一系列小时间间隔。在每个间隔内，使用适当的数值方案近似或插值积分形式中的状态项、时延项和周期性变化的系数矩阵。然后组装这些递归关系并转置，以构建一个铣削周期内的状态转换矩阵。根据Floquet理论，通过将此矩阵的谱半径与单位值进行比较来确定稳定性。由于这种严格的公式化，基于离散化的方法在包括变螺距刀具[19]、[20]、多重延迟[21]、[22]、非线性动力学[23]、[24]以及复杂的多轴或几何变化铣削过程[25]在内的广泛铣削条件下，能够提供准确且多用途的稳定性预测。然而，它们的准确性强烈依赖于离散化分辨率：通常需要足够细的步长以确保收敛，这导致大规模矩阵计算和相当大的计算成本[12]、[26]。这种精度与效率之间的固有权衡不仅限制了它们的实际应用性，而且由于缺乏解析表达式，也阻碍了参数优化和更深入的物理解释。
受这些限制的启发，最近的研究试图在保持基于离散化框架的通用性的同时提高数值效率和收敛性。提出了更高阶的SDM公式和各种高效FDM变体，以加速收敛并减少计算工作量[27]、[28]、[29]。数值积分方法（NIM）[30]及其改进的变体UNIM[31]采用Hermite插值来实现更优的数值稳定性和更快的收敛速度，而基于Lagrange插值的高阶FDM方案则通过更少的离散化点进一步提高准确性。除了传统时域方案外，Chebyshev谱方法和配置方法利用正交多项式基来实现周期性DDE的快速收敛[32]、[33]。同时，基于同伦的延续策略使得系统地追踪分叉边界成为可能[34]，Elías的广泛贡献将这些计算框架扩展到了更现实的机床动力学、变螺距刀具几何形状和更先进的建模假设[35]。尽管有这些显著的进步，然而大多数现代发展仍然基于纯数值计算。因此，它们仍然缺乏分析可行性和明确的函数结构，这些结构可以提供更深入的物理洞察并允许高效探索加工参数空间——这是经典分析方法自然具备的能力，但在现有数值方案中大多缺失。
总之，现有研究在分析和数值稳定性预测方法方面都取得了进展，但一个关键缺陷仍然存在：目前没有任何方法能够提供一个同时考虑高阶方向系数影响并捕捉NS和PD分叉引起的稳定性边界的解析或近似分析模型。这一差距尤为重要，因为这两种分叉类型都对实际铣削SLD的结构有贡献，忽略其中任何一种都会影响预测的准确性。
为了解决这一未解决的问题，本研究开发了一种近似分析方法（AAM），该方法提供了铣削稳定性边界的隐式分析表达式。与从分析方法[8]和半分析方法[12]导出的稳定性边界的显式分析表达式相比，所导出的隐式分析表达式考虑了方向系数中的高阶谐波对NS和PD分叉引起的稳定性边界的影响，从而提高了预测准确性。与基于离散化的方法[14]、[15]不同，AAM采用数值延续方法直接求解稳定性边界的隐式分析表达式，从而在无需穷举扫描主轴转速和切削深度的情况下实现高效计算。本工作的主要贡献可以总结如下：
(1)基于非线性动力学理论，开发了一种新颖的近似分析方法用于铣削稳定性预测，其中推导出了铣削稳定性边界的隐式分析表达式。
(2)采用数值延续方法求解所导出的隐式分析表达式，从而能够在不穷举扫描主轴转速和切削深度的情况下准确高效地确定稳定性边界。
(3)提出了针对数值延续挑战的具体策略，包括选择适当的初始延续点、管理单个瓣内由分叉引起的稳定性边界之间的转换以及处理不同瓣之间的转换。
为了进一步明确方法的新颖性，所提出的AAM在三个方法层面不同于现有方法：(i) 建模假设：周期性方向系数由截断的傅里叶级数表示，稳态响应在谐波子空间中近似，从而以受控方式保留高阶谐波效应。与ZOA相比，AAM因此提供了超越零阶近似的周期性方向系数的改进表示。(ii) 稳定性边界构建：AAM不是通过在主轴转速-切削深度空间中进行穷举扫描并随后定位边界来确定稳定性，而是通过解析导出的隐式稳定性条件并使用数值延续来追踪其解，从而避免了二维参数扫描。(iii) 可描述的分叉类型：所提出的公式在同一框架内统一处理了与Neimark–Sacker和周期加倍机制相关的稳定性极限。
总之，所提出的AAM建立了一个全面的铣削稳定性预测框架，有效兼顾了准确性和计算效率。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了所提出方法的理论公式和推导过程。第3节提供了方法验证并讨论了其预测性能。最后，第4节总结了研究并概述了未来研究的潜在方向。
