三尺度广义有限元方法用于模拟三维裂纹扩展

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A three-scale generalized finite element method for the simulation of three-dimensional crack propagation

　　

研究人员提出了一种三尺度广义有限元方法（GFEM3），用于模拟特征裂纹尺寸远小于结构尺寸的域中的三维裂纹扩展。该方法将广义有限元方法（GFEM）与全局-局部富集（GFEMgl）以及经典子模型技术相结合。在此框架内，GFEMgl将问题分解为两个尺度，并为沿裂纹前沿创建的一组子模型提供边界条件。这些子模型并行求解，以恢复高保真位移场，从而能够精确计算应力强度因子（SIF）。沿裂纹前沿获得的SIF被组装成连续分布曲线，驱动裂纹扩展。三个复杂度逐渐增加的数值研究表明，GFEM3实现了与单尺度GFEM相当的SIF精度，相对于两尺度GFEMgl分析降低了计算成本，并能够模拟单尺度GFEM和两尺度GFEMgl在实际中无法企及的三维裂纹扩展问题。总体而言，该方法为三维断裂的多尺度建模提供了一个稳健且可扩展的框架，其中裂纹特征相对于整体结构较小。

本文提出了一种三尺度广义有限元方法（Generalized Finite Element Method，GFEM）用于模拟三维裂纹扩展，旨在解决工程结构中裂纹特征尺寸远小于整体结构尺寸时的数值建模难题。在工程实际中，疲劳载荷引起的裂纹扩展常是结构失效的主因，但传统单尺度有限元方法（Finite Element Method，FEM）和广义有限元方法（GFEM）在处理微小或细长裂纹时，由于需要在裂纹前沿附近使用极细网格，导致系统矩阵病态、计算成本激增，甚至无法求解。现有的两尺度全局-局部富集GFEM（GFEMgl）虽能有效缩小局部问题域，但当裂纹高度极小或长度极大时，局部问题仍因尺寸悬殊而变得庞大且低效。因此，研究人员开发了GFEM3，通过引入第三尺度子模型（submodeling）来进一步分解局部问题，从而实现更精确的应力强度因子（Stress Intensity Factor，SIF）提取和裂纹扩展模拟，且保持计算的可行性与可扩展性。该论文发表在《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》上。

研究人员为开展研究采用了以下主要关键技术方法：首先，建立不包含裂纹的粗网格全局问题，采用p-分层有限元法（p-hierarchical FEM，pFEM）求解；其次，在包含裂纹的局部问题域内，使用精细网格和pFEM-GFEM空间（包含Heaviside函数和奇异性富集函数，如OD-6或OD-9），边界条件来自全局解并采用弹簧边界条件；然后，沿裂纹前沿创建多个子模型，每个子模型从局部网格中提取并进一步细化（确保h_max^SM/a ≤ 5×10^?2），采用局部三次多项式富集和更多层奇异性富集（n_? = 4），边界条件由局部解提供；最后，通过位移相关法（Displacement Correlation Method，DCM）从子模型解中提取SIF，并利用移动最小二乘（Moving Least Squares，MLS）拟合形成连续分布以驱动裂纹扩展。全程执行一次全局-局部迭代（i_gl = 1）以确保边界条件准确性，所有子模型并行求解。所有算例均未涉及样本队列。

研究结果分为三个部分，每个部分对应一个数值算例，验证了GFEM3在不同场景下的性能。

**5.1 含半圆形表面裂纹的棱柱体域**：该算例将GFEM3与高保真度单尺度直接广义有限元分析（DGFEA）参考解对比。通过参数研究（全局-局部迭代次数、子模型缓冲层大小、局部网格细化程度）证明：当局部问题采用一次迭代（i_gl = 1）、子模型采用位移边界条件且缓冲层为两层时，GFEM3提取的SIF与参考解之间的离散L²范数误差低至0.22%，显著优于直接从局部解提取的2.42%误差。增加迭代次数至两次仅带来微小改善，表明一次迭代已足够。子模型缓冲层增大能有效过滤边界条件不精确的影响。裂纹传播模拟表明，初始半圆形裂纹在非均匀SIF驱动下逐渐演变为半椭圆形状，且SIF轮廓始终保持光滑。

**5.2 带环向表面裂纹的沟槽圆柱棒**：该算例考察GFEM3处理极小裂纹（a = 0.02 mm）的能力。与GFEMgl参考模拟（采用最细局部网格h_max^L/a = 4.87×10^?2）对比，GFEM3在局部网格较粗时（h_max^L/a = 3.97）即能获得平均SIF误差小于1%的结果，而计算时间仅为GFEMgl参考模拟的50%–60%。当子模型采用两层缓冲层且局部网格适中时，误差可进一步降低至0.13%–0.25%。裂纹传播模拟在三次步骤中保持圆形裂纹前沿，SIF轮廓几乎恒定，验证了方法对高长细比裂纹的稳健性。

**5.3 沥青覆盖混凝土机场道面中的反射裂纹**：该算例展示了GFEM3在实际大尺度问题中的应用。裂纹高度仅为13 mm，小于道面总尺寸（6 m）六个数星级。全局模型使用线性FEM（408,879自由度），局部问题采用较细网格（2,612,685自由度）且仅含一层奇异性富集（n_? = 1），十个子模型沿裂纹前沿并行求解（每个约900,000自由度），最终在30个传播步骤中成功模拟了从初始平面裂纹到非平面裂纹的复杂混合模式（Mode I/II/III）扩展，SIF轮廓光滑，并捕捉到裂纹与道面表面的交互作用以及裂纹表面扭转（kinking）现象。该算例凸显了GFEM3在解决传统单尺度或两尺度方法无法企及问题上的实际价值。

讨论部分：研究人员指出GFEM3框架的多项优势：GFEMgl的双向耦合确保了子模型边界条件的准确性，克服了经典单向子模型技术中边界条件不精确的问题；全局和局部尺度采用相对粗的网格，保持了良好的数值条件性和计算效率，同时为子模型提供了足够高质量的边界条件；自适应网格与非均匀多项式富集相结合，避免了均匀细化带来的巨大系统规模；子模型在裂纹传播过程中自动生成，实现了全自动化多尺度流程；DCM方法即使在裂纹前沿靠近域边界时也能准确提取SIF，允许模拟裂纹前沿与外部表面的复杂交互。总体而言，GFEM3为实现大型结构域中三维断裂的多尺度模拟提供了稳健且可扩展的框架。

研究结论部分翻译如下：本工作引入了一种三尺度广义有限元方法（GFEM3），用于模拟特征裂纹尺寸显著小于结构尺寸的三维裂纹扩展。该框架利用广义有限元方法与全局-局部富集（GFEMgl）的双向耦合，将裂纹对结构响应的整体影响纳入考虑。采用经典子模型技术，沿裂纹前沿生成独立子模型并并行求解，以捕获精确的位移场。这些位移场用于提取驱动裂纹扩展的应力强度因子（SIF）。复杂度递增的数值算例验证了所提多尺度框架，并展示了其解决实际感兴趣问题的能力。结果表明，该方法实现了与单尺度GFEM模拟相当的高精度SIF，相对于类似精度的GFEMgl分析降低了计算成本，并稳健地处理了复杂混合模式裂纹扩展，包括裂纹前沿与域边界的交互。从实用角度，GFEMgl与GFEM3的选择应由几何和计算因素引导。特别是，当裂纹相对于全局域非常小，或裂纹前沿长度与裂纹深度之比很大时，GFEM3可能更具优势，因为这些情况在GFEMgl中会导致非常细的局部网格和增加的积分成本。所提出的GFEM3框架整合了若干关键组成部分，使其具准确性、高效性和可扩展性。全局与局部问题之间的双向耦合确保了子模型的准确边界条件，这是单向耦合即使在高度细化局部网格的情况下也无法实现的。全局和局部尺度所采用的离散化水平保持了数值条件性和计算效率，同时为子模型提供足够高质量的边界条件以恢复精确的SIF。自适应网格与非均匀多项式富集相结合，实现了计算资源的高效利用，避免了均匀细化GFEM离散化所导致的系统规模过大。在裂纹传播每个步骤中，子模型沿裂纹前沿自动生成，确保了多尺度过程的完全自动化。最后，该框架使用位移相关法（DCM）处理精确的SIF计算，即使在裂纹前沿靠近域边界时也是如此，从而允许模拟裂纹前沿与外部表面的复杂交互。总体而言，GFEM3为大型结构域中三维断裂的多尺度模拟提供了一个稳健且可扩展的框架。其自动化、双向耦合、自适应细化和精确SIF计算的组合使其非常适合分析复杂的裂纹扩展场景。