《COMPOSITE STRUCTURES》：A beam–solid embedded mortar coupling approach for nonlinear modeling of fiber-reinforced composites
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本研究提出嵌入式灰泥-梁-实体耦合有限元方法，用于高效模拟纤维增强复合材料大变形非线性响应。通过梁单元直接嵌入实体矩阵实现独立离散化，采用拉格朗日乘子法保证位移连续，段基数值积分策略提升精度。实验验证该方法在多方向纤维复合结构中能有效捕捉纤维-基体相互作用，为复杂材料建模提供新框架。
张文博|李艳|王浩瑞|张顺顺|布梅迪娜·内贾尔|冯志强
中国西南交通大学机械与航空航天工程学院，成都
摘要
本研究提出了一种基于嵌入式砂浆的梁-固体耦合有限元方法，用于模拟纤维增强复合材料的非线性力学响应。利用纤维的细长几何特性，将纤维建模为梁单元，从而可以直接嵌入到固体基体中，更真实地捕捉纤维-基体的增强效应。该方法允许梁和固体完全独立离散化，不受网格一致性、单元类型或材料限制的影响，从而提高了建模的灵活性。通过拉格朗日乘数方法强制实现梁-固体界面处的位移连续性，并应用乘数凝聚技术避免额外的自由度。为了解决嵌入式界面处形状函数可能存在的连续性不足问题，引入了一种基于段的数值积分策略，确保积分域始终位于单个固体单元内，从而提高计算稳定性和准确性。该方法应用于在不同拉伸和弯曲载荷下的复合结构，数值结果证明了其准确捕捉纤维-基体相互作用效应的能力，为复杂纤维增强材料的有效建模和分析提供了可靠的框架。
引言
在现代工程结构中，由于纤维增强复合材料具有优异的比强度、比刚度和良好的设计性，它们被广泛应用于航空航天[1]、汽车制造[2][3]和土木工程[4][5][6]领域。鉴于这些材料的广泛应用，使用数值模拟方法对它们进行建模和分析不仅有助于在生产前评估其力学响应，还能有效降低实验成本和开发周期。然而，由于纤维增强复合材料固有的多尺度结构特性以及材料属性与几何形状之间的高度不匹配，对这些材料进行准确高效的数值建模仍然是一个重大挑战。
为了正确模拟纤维对整体结构的增强效应，一种方法是均质化纤维和基体的刚度贡献，以获得复合材料的各向异性本构模型行为[7][8][9][10][11]。例如，McAvoy[12]假设了纤维增强材料的非线性约束Cosserat模型，而Hoang等人[13]提出了一种用于带跨度穿孔梁的新型多尺度均质化方法。均质化方法的最大难点在于精确地均质化纤维和基体材料，这需要大量的理论推导，因此通常仅适用于特定材料。在传统的有限元分析中，增强材料通常通过将纤维和基体区域明确表示为独立的固体域来建模。然而，由于纤维和基体通常具有不同的材料属性和结构特性，在实际建模过程中必须解决它们界面处的网格连接问题。一种简单直接的方法是在纤维-基体界面处强制节点共享，使两个域在界面处具有相同的网格节点。虽然这种方法直观易行，但它未能准确反映实际物理结构中嵌入基体中的纤维的自然状态。为了解决这个问题，另一种方法是使用网格拼接或非相干网格耦合技术，允许纤维和基体在界面处保持网格一致性，从而提高建模的灵活性和适应性。常见的方法包括接触力学中的节点到段方法[14]、段到段方法[15][16]，以及广泛应用的砂浆有限元方法[17][18][19]。此外，扩展有限元方法（X-FEM）[20][21]允许在不连续性相交的单元的位移场中引入富集函数，这种方法不需要材料界面处的网格一致性，也可以用来解决纤维-基体表面连接问题。然而，随着纤维数量的增加，为了保持计算精度所需的网格数量急剧增加，导致计算规模显著扩大。这不仅大大增加了建模和网格生成的复杂性，还使得数值解的计算成本变得非常高昂，难以满足大规模复合材料分析的需求。总之，均质化方法和显式建模方法存在理论实现困难和较高的计算成本。因此，考虑一种简化的纤维增强材料建模方法至关重要。
在有限元分析中，长度远大于其他两个维度的细长结构可以使用梁单元进行高效建模。这种几何特性与纤维的形态非常吻合，为建模和分析纤维增强复合材料提供了一种自然的方法。近几十年来，三维梁理论已经得到了显著的发展。例如，Simo-Reissner几何精确梁理论[22][23][24][26]能够准确计算大的弯曲和扭转变形，而基于Kirchhoff梁理论[27][28]的客观三维大变形公式为纤维提供了准确高效的数值模型。与传统的梁理论相比，几何精确梁包含了精确的应变-位移关系，从而能够更好地捕捉大变形下的几何非线性效应。由于梁的体积相对较小，可以将其沿中心线近似为一条线。因此，在建模过程中无需将纤维体积从周围的固体基体中明确排除；相反，可以直接将纤维嵌入固体域中，且体积重叠可以忽略不计。此外，用梁单元离散化纤维网络可以大幅减少网格尺寸和计算成本。
早期的嵌入式梁方法首先应用于钢筋混凝土结构[29][30][31]。Kang等人[32]提出的半离散模型允许纤维在计算域内任意定位，而不会引入额外的梁自由度（DOFs）。尽管计算效率高，但这种策略有明显的局限性：它无法直接跟踪沿纤维中心线的变形，因此在捕捉大变形和复杂载荷下的局部响应时不够准确，也无法充分利用几何精确梁公式的精度优势。相比之下，保留梁自由度可以直接表示沿纤维中心线的运动状态，从而提高结构响应预测的准确性，尽管增加了实现梁-固体耦合约束的复杂性。在这种情况下提出了几种耦合策略：Durville[33]引入了一个弹性矩阵来模拟固体基体的力学贡献；Kerfriden等人[34]开发了一种使用背景固体网格的迹来表示纤维变量的规则化剪切有限元公式；Sadek等人[35]提出了一种能够偏离固体单元节点位置的三维嵌入式梁单元，从而实现更灵活的建模。由于其连接不同单元类型的优越性能，砂浆方法已被广泛用于梁-固体耦合[37]。与其他方法相比，砂浆方法避免了局部梁响应数据的丢失，并在后处理纤维特定量时提供了更大的灵活性，同时保持了非匹配界面处的位移连续性。此外，嵌入式耦合概念也在计算生物力学中找到了应用，例如在[38]中提出了一种高斯点到段（GPTS）方法来模拟嵌入肌肉组织中的血管结构，展示了这种方法的跨学科潜力。
本研究提出了一种基于砂浆方法的嵌入式梁-固体耦合方法，用于高效分析纤维增强复合材料。在这种方法中，梁域和固体域分别使用几何精确梁单元和八节点六面体固体单元进行离散化。通过弱变分框架中的拉格朗日乘数引入了耦合条件，该条件强制梁与周围固体之间的位移相等。通过静态凝聚可以消除乘数空间，因此不会引入额外的自由度。考虑到梁的细长几何特性，耦合区域定义为梁中心线和相邻的固体域，从而形成线到固体的耦合约束。这种约束通过与梁和固体单元的形状函数相关的界面耦合矩阵来表示。为了准确评估界面耦合矩阵，采用了一种基于段的数值积分方案，其中耦合区域根据梁节点和梁与固体之间的交点进行细分。这种策略避免了积分域内形状函数的弱不连续性。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了理论框架，包括几何精确梁理论、三维有限应变理论、超弹性本构模型和提出的耦合公式。第3节描述了耦合模型的空间离散化，概述了所得非线性系统的求解过程，并提供了界面耦合矩阵的推导和评估。最后，第4节展示了所提算法的验证和应用。
节选内容
梁-固体耦合模型和本构律
本节介绍了三维大变形框架下的几何精确梁理论和连续介质理论，以及与梁和连续介质相关的虚拟功贡献。此外，还介绍了两种超弹性本构模型。在梁-固体耦合问题中，系统的总虚拟功由三个部分组成：来自梁的贡献、来自固体的贡献以及耦合项。
梁-固体耦合砂浆有限元方法
对于本研究中使用的梁-固体耦合砂浆方法，需要分别离散化梁区域和固体区域。系统虚拟功方程的最终形式可以表示为：
梁区域使用三维两节点Simo-Reissner梁单元进行离散化，每个节点具有六个自由度，包括三个平移自由度和三个旋转自由度。固体区域也进行了离散化。数值结果
基于所提出的梁-固体耦合算法，使用C++开发了相应的三维计算程序。进行了以下数值测试以验证所开发算法和程序的有效性和多功能性。
结论
基于传统的砂浆方法，本文提出了一种用于梁和固体元素之间嵌入式耦合的扩展有限元方法。虽然传统的砂浆方法解决了两个具有不匹配网格的子域之间的耦合问题，但使用梁单元对纤维进行建模涉及将梁直接嵌入固体中，这使得难以精确定义两个子域之间的界面。本研究重点解决了嵌入式
CRediT作者贡献声明
张文博：撰写——原始草案、软件开发、形式分析。李艳：撰写——审稿与编辑、资金获取、概念构思。王浩瑞：撰写——审稿与编辑。张顺顺：撰写——审稿与编辑。布梅迪娜·内贾尔：撰写——审稿与编辑。冯志强：撰写——审稿与编辑、方法论研究、资金获取。
资助
本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号：12572232, 12372142）的支持。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文所述的工作。
