《Applied Mathematical Modelling》：Hydrodynamics of a deformed axisymmetric swimmer
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本文提出一种半解析方法，用于研究具有预设切向表面滑移的变形游泳者的流体动力学。通过特征函数展开和数值计算，分析不同形变模式（?）对迁移速度（U）的影响，发现拉者（β>0）在?=3时速度最高，推者（β<0）则最低，且存在临界滑移模式导致推者反向。研究表明形状和游泳者类型显著影响推进效率，为微流体力设计提供依据。
希巴·比斯瓦斯（Shiba Biswas）|P.S. 布拉达（P.S. Burada）|G.P. 拉贾·塞卡尔（G.P. Raja Sekhar）
印度理工学院卡尔拉格普尔分校数学系，卡尔拉格普尔，721302，西孟加拉邦，印度
摘要
在这项工作中，我们开发了一种半解析方法来研究具有预设切向轴对称表面滑移的变形游泳者的流体动力学特性。游泳者的形状用变形系数α_?表示，其中?对应于特定的模式。流场是使用Shankar提出的特征函数展开方法构建的（Proc. R. Soc. A, vol. 461(2059), 2005, pp. 2121-2133）。在这种方法中，流场用特征函数展开表示，而未知的展开系数则是通过数值方法确定的。根据表面滑移的第二模式的符号，游泳者被分为推进型、拉动型和中性型。我们计算了所有类型游泳者的迁移速度U。研究发现，U强烈依赖于?，当?=3时，拉动型的速度达到最大，而推进型的速度最小。由于几何对称性，相同的变形模式下，不同类型的游泳者具有相同的速度。观察发现，在?=3时，拉动型游泳者的速度比其他模式快32%以上。而在?=2时，推进型的性能显著下降，速度慢了54.7%。存在一个临界表面活性滑移模式，超过该模式后，推进型会改变游泳方向。这个临界值随着变形幅度α_?的增加而减小，表明在更高变形下更容易发生趋流性反转。这些发现突显了推进效率对形状和游泳者类型的敏感性，为微游泳者的设计和控制提供了见解。
引言
近年来，对微游泳者的研究（如通过粘性流体自我推进的微生物或合成颗粒）受到了广泛关注，因为这在微生物学、软物质物理学和仿生推进系统设计方面具有重要意义[1]、[2]、[3]、[4]。这些游泳者工作在低雷诺数环境中，在这种环境中，粘性力远大于惯性力[5]。在这种情况下，游泳者必须不断将内部或环境自由能转化为机械功，以产生能够克服主导粘性阻力的非往复表面运动[6]、[7]。从流体动力学的角度来看，它们的推进机制可以概念性地分为两部分：（i）内部问题，涉及产生推力的物理过程[2]、[8]、[9]；（ii）外部问题，涉及由此产生的运动扰动及其与周围流体的相互作用[10]、[11]。Lighthill[12]和Blake[13]引入的球形Squirmer模型已成为微观尺度游泳理论研究的核心。Squirmer是一个具有预设轴对称切向表面滑移的球形体，用于模拟纤毛或不同趋动效应的影响。这些游泳者可以大致分为三类：推进型、拉动型和中性型[14]、[15]。在无力和无扭矩的约束下，这种分类源于游泳者在远场极限下产生的流场，该流场可以用由应力子（stresslet）主导的多极展开来表征。应力子的符号和大小决定了游泳者的类型：正应力子表示拉动型，推进发生在前端并且流体沿游泳轴被吸入（例如Chlamydomonas reinhardtii）；负应力子表示推进型，通过从后端排出流体来推进自身（例如Escherichia coli）；零应力子表示中性型，在偶极近似下不会产生净远场流动（例如Volvox）[1]、[16]、[17]、[18]。
具有不同游泳策略（推进型、拉动型和中性型）的球形微游泳者的流体动力学在文献中已有成熟的研究[14]、[19]、[20]。从球形到固定形状变形微游泳者的转变是由于需要模拟那些在推进过程中保持稳定非球形几何形状的游泳者。虽然球形模型提供了有价值的理论简洁性和洞察力，但它不能充分代表许多通过变形表面产生推进力的微生物和合成游泳者。例如，即使表面滑移速度分布相同，长椭球形或扁球形物体与流体的相互作用也会因局部曲率和表面方向的不同而不同[21]、[22]。在这种情况下，游泳者形状的固定变形显著影响周围的流场，导致形状诱导的流体动力学效应，从而改变游泳速度、推进效率以及与附近边界或其他游泳者的相互作用。
研究固定形状的变形微游泳者为许多生物体的运动建模提供了更现实的表示。与球形游泳者不同，固定变形引入了几何不对称性，显著影响了推进特性。然而，将这种变形纳入理论模型会增加复杂性。Keller和Wu[23]将经典的Squirmer模型扩展到了长椭球形几何体，从而更接近地表示了某些生物微游泳者，包括Tetrahymena pyriformis、Spirostomum ambiguum和Paramecium multimicronucleatum。他们在Stokes流动范围内采用了奇异性方法来构建相关流场。在此基础上，Theers等人[24]提出了适用于推进型、拉动型或中性型长椭球形游泳者的解析公式。除了完全解析的处理方法外，还开发了半解析技术，如微扰方法和渐近展开方法，用于近似球形的Squirmer和活性液滴[25]、[26]。当形状偏离球形非常小时，这些方法是有效的。然而，为了捕捉强烈变形的活性游泳者的流体动力学特性，数值方法（特别是边界积分方法）更为合适，因为它们能够解决复杂的几何形状和非线性表面相互作用[27]、[28]。
传统解析方法的一个根本局限性在于无法在不规则形状的域上定义精确的特征函数。为了解决这一挑战，Shankar[29]提出了一种优雅的策略，利用已知在规则域上定义的特征函数来包围感兴趣的域，并在不规则区域内构建解。然后通过在实际游泳者表面施加适当的边界条件来数值确定这些公式中的未知系数。这种方法保留了解析技术的许多可解释性，同时扩展了它们在复杂几何形状上的适用性。在此基础上，Radha等人[30]、[31]开发了一种解决方法，用于模拟Stokes流经过轴对称和非轴对称刚体的流动。随后，Choudhuri等人[32]将这种方法扩展到处理具有预设滑移-粘附边界条件的任意形状刚体的流动。尽管在使用纯数值方法对不规则微游泳者形状进行建模方面取得了进展，但这些方法往往难以理解物理直觉，并且在探索广泛的参数空间时计算量较大。此外，传统的微扰或渐近方法仅限于非常轻微的形状偏离，从而限制了它们在 moderate 变形下预测流体动力学行为的能力。因此，显然需要一个在通用性、可解释性和计算效率之间取得平衡的框架，以处理具有预设表面驱动的非球形几何形状。受这些发展的启发，我们提出了一种半解析方法来研究具有活性滑移速度的变形轴对称刚体游泳者的流体动力学，其中游泳者的形状用勒让德多项式表示，即用变形系数α_?表示，其中?对应于特定的模式。尽管所提出的框架原则上适用于具有任意轴对称几何形状的游泳者，但本研究特别关注形状偏离球形适度的游泳者，以探索几何变形的流体动力学后果。
本文的结构如下。第2节我们建立了描述变形微游泳者的数学模型以及相关的边界条件。第3节详细介绍了本研究中使用的半解析方法。第4节分析了形状变形对游泳者速度的影响。我们研究了游泳者的几何形状如何影响不同推进类型（即推进型、拉动型和中性型）周围的流场。最后，第5节总结了本研究的主要发现和意义。
节选
数学模型
我们考虑一个刚性的变形球形轴对称游泳者，其特征是表面活性滑移速度v_s，在静态粘性流体中以恒定的平移速度U_ez运动，该流体的动态粘度为μ，处于低雷诺数范围内。这里，e_z表示与z轴重合的对称轴方向上的单位向量。游泳者的表面S用轴对称球极坐标（r, θ, ?）描述，其中径向位置由r = f(θ)参数化。
解决方法
不可压缩的稳态Stokes方程在游泳者的几何形状指定的边界条件下，只有当游泳者是球形时，才能为游泳者产生的速度和压力场提供解析解。在这种情况下，Lamb的一般解已被广泛用于解决涉及球形几何的问题[33]。另一种广泛采用的球形游泳者的解析方法是双旋度方法。
结果与讨论
游泳者表面的活性特征由模式幅度B_1和B_2表示。我们定义一个参数β = B_2/B_1，为了方便起见，我们固定β = -1。现在，参数β的值根据B_2的选择而改变。因此，当β=0时，游泳者被归类为中性型；当β<0时，游泳者被归类为推进型；当β>0时，游泳者被归类为拉动型。图2展示了在固定变形系数α_?=0.05的情况下，游泳速度U随形状变形模式?的变化。它表明
结论
本研究探讨了由预设切向表面活性滑移驱动的轴对称变形微游泳者的流体动力学特性。游泳者的表面几何形状由单一变形模式?调节，其形状变形系数为α_?，表面的活性由表面活性滑移模式B_1和B_2表征，游泳者类型通过β = B_2/B_1进行分类。使用特征函数展开，我们计算了迁移速度U，分析了它对?和α_?的依赖性。
CRediT作者贡献声明
希巴·比斯瓦斯（Shiba Biswas）：写作——审阅与编辑、原始草稿撰写、验证、软件开发、方法论研究、形式分析、概念化。
P.S. 布拉达（P.S. Burada）：写作——审阅与编辑、可视化、验证、监督、研究、形式分析、概念化。
G.P. 拉贾·塞卡尔（G.P. Raja Sekhar）：写作——审阅与编辑、可视化、验证、监督、研究、形式分析、概念化。
