解析L-函数的重数为1及其应用

《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》：Multiplicity one for analytic L -functions and applications

　　摘要：我们给出了在满足某个函数方程且系数不是太大、彼此差异也不太大的情况下，两个欧拉乘积相等的条件。此外，我们还证明了与L函数相关的数论对象的一些重数为一的结果。这些结果是基于我们的主要结果得出的，该结果的假设比之前关于L函数的重数为一的定理要宽松。当已知L函数是自守的时，可以获得更强的结果。

脚注：
? 本工作得到了AIM SQuaRE的支持。
? A. Pitale和R. Schmidt得到了美国国家科学基金会（National Science Foundation）的资助，项目编号为DMS 1100541。

参考文献：
[1] Andrianov, A. 与Siegel模形式相关的欧拉乘积（第二类）。Russian Math. Surveys 29 (1974), 45–116.
[2] Apostol, T. 分析数论导论。Undergraduate Texts in Math. (Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976), pp. xii+338.
[3] Arthur, J. 表示的内窥镜分类：正交群和辛群。Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 61 (American Mathematical Society, Providence, RI, 2013), pp. xviii+590.
[4] Avdispahi?, M. 和 Smajlovi?, L. 关于自守L函数的Selberg正交性。Arch. Math. (Basel) 94 (2010), 147–154.
[5] Booker, A. L函数作为分布。Math. Ann. 363(1–2) (2015), 423–454.10.1007/s00208-015-1178-z
[6] Barthel, L. 和 Ramakrishnan, D. 关于GL(n)的L函数扭曲的非消失结果。Duke Math. J. 74(3) (1994), 681–700.10.1215/S0012-7094-94-07425-5
[7] Belt, D. 关于外部平方L函数的全纯性，博士论文。Purdue University (2012).
[8] Blomer, V. 和 Brumley, F. Ramanujan猜想在分析数论中的作用。Bull. Amer. Math. Soc. 50 (2013), 267–320.
[9] Bump, D. 和 Ginzburg, D. GL(r)上的对称平方L函数。Ann. of Math. 136 (1992), 137–205 10.2307/2946548
[10] Barnet-Lamb, T., Geraghty, D., Harris, M. 和 Taylor, R. 一类Calabi-Yau多样性与潜在的自守性，II。Publ. Res. Inst. Math. Sci. 47(1) (2011), 29–98. doi:10.2977/PRIMS/31
[11] Cai, Y., Friedberg, S. 和 Kaplan, E. 双倍构造：非通用尖点表示的全局函子性。Ann. of Math. (2) 200(3) (2024), 893–966.
[12] ?i?ek, F., Davidoff, G., Dijols, S., Hammonds, T., Pollack, A. 和 Roy, M. $G_2$上模形式的完备标准L函数。Math. Z. 302(1) (2022), 483–517.
[13] Clozel, L. 与GL(n)的自守自对偶表示相关的伽罗瓦表示。Inst. Hautes études Sci. Publ. Math. 73 (1991), 97–c145.10.1007/BF02699257
[14] Deligne, P. Weil猜想。I。Publ. Math. Inst. Hautes études Sci. 43 (1974), 273–307.
[15] Eichler, M. 和 Zagier, D. Jacobi形式理论。Progr. Math. 55 (1985).
[16] Farmer, D. W., Pitale, A., Ryan, N. C. 和 Schmidt, R. 分析L函数：定义、定理及其联系。Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 56(2) (2019), 261–280.
[17] Farmer, M. Selberg类的强重数为一。可访问于：https://arxiv.org/abs/2101.02771
[18] Fulton, W., Harris, J. 表示论。Grad. Texts in Math. 129. Readings in Mathematics (Springer-Verlag, New York, 1991).
[19] Ginzburg, D. $G_2$的标准L函数。Duke Math. J. 72(1) (1993), 315–333.
[20] Harris, M., Shepherd-Barron, N. 和 Taylor, R. 一类Calabi-Yau多样性与潜在的自守性。Ann. of Math. 171(2) (2010), 779–813.10.4007/annals.2010.171.779
[21] Harris, M. 和 Taylor, R. 一些简单Shimura多样形的几何与上同调，附录由V. Berkovich撰写。Ann. of Math. Stud. 151 (2001).
[22] Kaczorowski, J. 关于欧拉totient函数的一个推广。Monatsh. Math. 170(1) (2013), 27–48.
[23] Kaczorowski, J. 和 Perelli, A. Selberg类的强重数为一。C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 332 (2001), 963–968.10.1016/S0764-4442(01)01984-X
[24] Kim, H. 关于$\textrm{GL}_n$上尖点形式的傅里叶系数。Forum Math. 18 (2006), 115–119.
[25] Kurokawa, N. Siegel尖点形式上Hecke算子的特征值示例。Invent. Math. 49 (1978), 149–165.
[26] Li, W.-C. W. Ramanujan猜想及其应用。Phil. Trans. R. Soc. A 378 (2019). doi:10.1098/rsta.2018.0441
[27] Liu, J., Wang, Y. 和 Ye, Y. 自守L函数的Selberg正交性证明。Manuscripta Math. 118 (2005), 135–149.10.1007/s00229-005-0563-4
[28] Luo, W., Rudnick, Z. 和 Sarnak, P. 关于GL(n)的广义Ramanujan猜想。Automorphic forms, automorphic representations, and arithmetic (Fort Worth, TX, 1996). 301–310, Proc. Sympos. Pure Math. 66, part 2 (Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999), 301–310.
[29] Macdonald, I. G. 对称函数和Hall多项式。Oxford Math. Monogr. (The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995).
[30] Murty, M. R. Selberg类的更强重数为一。Harmonic analysis and number theory (Montreal, PQ, 1996). CMS Conf. Proc. 21 (Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997), 133–142.
[31] Murty, M. R. 和 Murty, V. K. Selberg类的强重数为一。C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 319(4) (1994), 315–320.
[32] Newton, J. 和 Thorne, J. A. 全纯模形式的对称幂函子性，II。Publ. Math. Inst. Hautes études Sci. 134 (2021), 117–152.
[33] Piatetski-Shapiro, I. I. 重数为一定理。In Borel, Armand; Casselman., W., Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), part 1. Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979), 209–212.10.1090/pspum/033.1/546599
[34] Piatetski-Shapiro, I., Rallis, S. 和 Schiffmann, G. $G_2$群的Rankin-Selberg积分。Amer. J. Math. 114 (1992), 1269–1315.
[35] Pitale, A. Siegel模形式：经典与表示论方法。Springer Lecture Notes in Math. vol. 2240 (2019).
[36] Pitale, A., Saha, A. 和 Schmidt, R. 二阶Siegel尖点形式的转移。即将发表于：Mem. Amer. Math. Soc. 232(1090)(2014).
[37] Ramakrishnan, D. GL(2)的强重数为一定理的改进。Invent. Math. 116(1–3) (1994), 645–649.
[38] Rajan, C. S. GL(n)的自守表示的强重数为一定理的改进。Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 691–700.
[39] Roberts, B., Schmidt, R. $\textrm{GSp}(4)$的局部新形式。Lecture Notes in Math. vol. 1918 (Springer Verlag, Berlin, 2007).
[40] Rudnick, Z. 和 Sarnak, P. 主L函数的零点与随机矩阵理论。Duke Math. J. 81 (1996), 269–322.10.1215/S0012-7094-96-08115-6
[41] Saha, A. 重数为一与B?cherer猜想之间的关系。Ramanujan J. 33 (2014), 263–268.10.1007/s11139-013-9489-8
[42] Sarnak, P. 关于广义Ramanujan猜想。Harmonic analysis, the trace formula, and Shimura varieties, Clay Math. Proc. 4 (Amer. Math. Soc., 2005), 659–685.
[43] Schmidt, R. 数据包结构与参数模形式。Trans. Amer. Math. Soc. 370 (2018), 3085–3112.
[44] Selberg, A. 关于一类Dirichlet序列的旧猜想与新结果。Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989) (Univ. Salerno, Salerno, 1992), 367–385.
[45] Serre, J.-P. 关于$N_X(p)$的讲座。Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics, 11. CRC Press, Boca Raton, FL, 2012.
[46] Shahidi, F. 关于某些L函数。Amer. J. Math. 103(2) (1981), 297–355.10.2307/2374219
[47] Shahidi, F. 关于Ramanujan猜想和某些L函数的极点有限性。Ann. of Math. (2) 127(3) (1988), 547–584.10.2307/2007005
[48] Soundararajan, K. Selberg类的强重数为一。Canad. Math. Bull. 47 (2004), 468–474.
[49] Weissauer, R. $\textrm{GSp}(4)$的内窥镜与Siegel模三折体的上同调。Volume 1968, Lecture Notes in Math. vol. 1968 (Springer Verlag, Berlin, 2009).