考虑时间延迟效应的煤炭供应链中低碳技术联合动态协调策略：一种两阶段微分博弈方法

《Expert Systems with Applications》：Joint dynamic coordination strategies for low-carbon technologies in coal supply chains considering time-delay effects: a two-stage differential game approach

　　江凌伟|贾明伟|郭冰|李道良|陈涛
英国萨里大学化学与化学工程学院，吉尔福德GU2 7XH

**摘要**
在水产养殖领域，数据驱动建模至关重要，尤其是在那些内部环境条件及反应机制难以精确描述的复杂系统中。然而，传统数据驱动模型具有黑箱特性且高度依赖数据，这限制了其实际应用效果。为解决这些问题，我们提出了一种基于物理信息的空间自注意力门控循环单元模型（PSAG），该模型将过程数据与领域特定的物理约束相结合。空间自注意力模块通过由注意力分数加权的卷积操作从过程数据中提取关键特征，随后将这些特征传递给门控循环单元以进行空间预测。该模型通过水产养殖生物过滤系统的数据进行了验证，结果表明，在数据有限且分布发生显著变化的条件下，空间自注意力GRU框架仍能表现出良好性能，而引入物理约束则可进一步提升预测精度。

**引言**
水产养殖是全球食品生产中发展最快的领域之一，其对解决人类食物来源问题起到了重要作用（Godfray等人，2010年）。水产养殖可定义为在人为干预下的可控环境条件下，以最高效、最经济的方式生产可销售产品（Verdegem等人，2023年）。在现代工厂化水产养殖系统中，由于饲料中的高蛋白含量以及较高的生产密度，水中亚硝酸盐氮及其他有毒代谢副产物的负荷不断增加。在生物过滤系统中，实时监测亚硝酸盐和硝酸盐氮的含量对于保障水产养殖的经济效益及高效管理至关重要。亚硝酸盐可通过硝化作用转化为危害性较低的硝酸盐（Ciji和Akhtar，2020年）。这一过程主要由亚硝酸盐氧化菌完成，而这些细菌的生长与活性会受到水温、溶解氧和pH值等水质因素的影响。这些因素的变化会间接影响系统中亚硝酸盐氮的浓度（Wongkiew等人，2017年）。目前，已有许多研究成功将软传感器技术应用于水产养殖领域，用于预测关键参数（dos Santosa等人，2022年；江等人，2025年；李等人，2021年；杨等人，2019年）。

软传感器利用易于测量的辅助变量作为输入，来估算那些难以直接测量的目标变量（Cao等人，2025年；李等人，2021年）。这种方法不仅能实现实时、可靠的预测，还能减少对那些需要频繁校准和维护的高成本传感器的依赖（李等人，2021年）。最新研究进一步指出，除了预测精度之外，工业用软传感器还应具备可解释性，并能在运行条件变化和测量噪声存在的情况下保持稳定，从而确保其可靠的应用与维护（Cao等人，2025年；Gallareta等人，2025年）。软传感器模型通常可分为两类：基于机理的方法和数据驱动的方法（Gallareta等人，2025年；Venkatasubramanian等人，2003年）。基于机理的方法依赖于对工艺过程的深入理解或专家知识，但由于工业系统的复杂性，构建准确的机理模型颇具挑战。相比之下，数据驱动模型属于黑箱方法，仅通过运行过程中收集的测量数据来学习输入与输出之间的关系（Sun和Ge，2021年）。深度学习模型凭借多层架构，在处理复杂的工业问题方面表现优异，近期还有研究探索了记忆自适应训练策略，以提高循环型软传感器在工艺条件变化时的稳健性（Shen等人，2024年；吴等人，2025年；周等人，2025年）。在水质建模领域，尤其是在循环水养殖系统及废水处理这类复杂系统中，工艺动态往往表现出强烈的非线性特征以及复杂的时空依赖关系。在各种建模方法中，循环神经网络（RNN）（Elman，1990年）及其两种常见变体——门控循环单元（GRU）（Cho等人，2014年）和长短期记忆网络（LSTM）（Hochreiter和Schmidhuber，1997年）——在捕捉时间依赖关系方面表现出了出色能力。例如，Fu等人（2016年）分别采用GRU和LSTM神经网络方法预测短期交通流量，实验结果表明，这两种模型均优于自回归积分滑动平均模型，其中GRU的性能略优于LSTM，且在训练过程中的收敛速度也更快。此外，还有研究表明，基于注意力的RNN模型在时间序列预测方面的性能优于传统基准模型（Aliabadi等人，2020年；Gandh等人，2024年；秦等人，2017年）。基于注意力的模型通过为不同输入赋予不同权重，使网络能够聚焦于最相关的信息，从而提升性能。Gandh等人（2024年）利用三年时间的数据对模型进行训练，并在LSTM和GRU架构中加入了注意力模块，他们的研究结果表明，注意力机制能够为不同输入分配权重，帮助网络专注于序列中最相关的部分。不过，深度学习模型的准确性往往取决于能否获取大量高质量数据，而其黑箱特性也使得生产人员难以理解模型并对其进行进一步调整。

为解决这一问题，Raissi等人（2019年）提出了物理信息神经网络这一概念，它为将数据驱动建模与物理定律的数学表达相结合以应用于实际场景提供了有效途径。物理信息神经网络也被称为物理引导神经网络或物理约束神经网络，是一类发展迅速的机器学习模型（Huang和Wang，2023年）。在训练过程中，物理信息神经网络会将数据损失函数与基于物理的损失函数结合起来，形成总损失函数，从而促使网络同时满足观测数据的要求以及潜在的物理约束。除了提升物理一致性之外，近期研究还越来越重视物理信息架构在计算层面的实用性，比如通过降低内存占用以及加快训练/推理速度，以便在资源有限的环境中部署该模型（Gao等人，2025年）。物理信息神经网络的潜在优势包括：（1）在某些应用中提升预测精度；（2）更具可解释性，且与物理原理更为一致；（3）泛化能力更强；（4）训练效率更高，收敛速度更快；（5）对大规模训练数据的依赖程度更低（Huang和Wang，2023年）。正是由于这些优势，物理信息神经网络已被广泛应用于各个领域的初步研究与探索中（Huang和Wang，2023年；贾等人，2025年；Koksal等人，2024年；Raissi等人，2019年）。Raissi等人（2019年）在该领域做出了开创性贡献，他们将非线性偏微分方程的残差作为软约束纳入神经网络的优化目标中，这一方法为数据驱动建模带来了新的视角，可用于解决正问题与反问题。受此启发，Misyris等人（2020年）将用于描述电力系统动态的二阶微分方程——摆动方程——纳入前馈神经网络中。他们的研究结果表明，物理信息神经网络模型能够准确估计转子角度与频率的动态变化，还能识别出惯性与阻尼等未知参数。同时，与传统数值方法相比，该模型所需的训练数据量更少，整体计算时间也更短。虽然为构建基于工艺过程的物理信息神经网络软传感器而建立完整的微分方程面临诸多挑战，但即便是不完整的微分方程，只要能够体现超出观测数据之外的先验知识，依然可以起到有效的约束作用（Koksal等人，2024年）。

在循环水养殖系统所使用的生物过滤系统中，由于硝化菌与反硝化菌的活跃作用，亚硝酸盐氮与硝酸盐氮的浓度会呈现出强烈的时间动态变化。与此同时，微生物的行为还会受到溶解氧、pH值以及底物浓度等多种环境因素的影响。这些因素对微生物活性的影响各不相同，且往往存在相互依赖与耦合效应，从而导致不同特征之间呈现结构化的关联关系。正因如此，相关数据既具有时间依赖性，也具有空间依赖性。在数据有限的条件下，充分利用这类依赖关系对于提升亚硝酸盐氮与硝酸盐氮预测的精度具有重要意义。基于此，我们开发了一种基于物理信息的空间自注意力GRU模型，用于在数据有限的条件下对水产养殖生物过滤系统中的关键变量进行软感知预测。此处所说的“空间”并非指物理空间（如坐标、空间网格或计算流体动力学网格），而是指潜在表示中各过程变量之间的相互关联关系。该模型将空间依赖性建模与时间动态学习相结合：首先，通过空间自注意力机制直接从历史数据中提取有用信息，从而使模型能够把握过程变量之间的关联关系；接着，将空间自注意力机制所学到的知识传递给GRU模块，用于模拟系统的时间演化过程；随后，对模型输出施加基于物理的约束，以提升模型的泛化能力，并确保其结果与已知的工艺行为一致；最后，对注意力机制进行可视化处理，以便了解模型内部的推理过程。本研究的主要贡献如下：
•空间自注意力模块通过注意力引导的卷积操作，筛选并突出输入数据中的重要模式，从而使GRU能够聚焦于对预测任务最为重要的时间演变特征。
•在空间自注意力GRU架构中引入了基于物理的约束，这有助于将模型输出控制在具有物理意义的范围内，进而提升其泛化能力。

本文的其余结构如下：第2节以循环水养殖系统作为案例进行研究介绍；第3节阐述了所提出的基于物理信息的空间自注意力GRU框架，包括网络架构以及物理约束的融入方式；第4节报告了在正常运行、增氧器故障以及温度异常三种情景下该模型与基准模型的对比测试结果；最后，第5节对全文内容进行总结，指出关键研究发现，并提出未来研究的潜在方向。

**案例应用：循环水养殖系统**
本研究利用Kamali等人（2022年）以及Patrón和Ricardez-Sandoval（2024年）所建立的基准循环水养殖系统产生的数据，对该模型进行了开发与验证。该平台模型由四个主要部分组成：生物量动态（包括生长与死亡）、生物反应过程、废物转化与去除过程以及充氧过程。该系统包含一个5.5立方米的鱼池、两个0.4立方米的生物过滤装置以及一个鼓式过滤器，具体结构如图1所示。

**研究方法**
本节详细介绍所提出的基于物理信息的空间自注意力GRU模型。为便于理解，我们首先概述该模型的设计理念与核心组成部分，然后再介绍其数学公式。PSAG模型的首要目标是将数据驱动学习与物理知识有机结合。它通过三个主要阶段来处理序列数据：（1）空间自注意力模块，该模块用于识别不同输入的重要性并为其分配权重。

**案例研究**
为评估所提出的PSAG模型的有效性，我们基于Kamali等人（2022年）以及Patrón和Ricardez-Sandoval（2024年）所设计的用于培育虹鳟鱼的基准循环水养殖系统，开展了仿真研究。仿真结果通过与Fernandes等人（2017年）报告的实验数据进行了对比验证。为了全面评估模型在正常运行条件以及受干扰条件下的性能，我们共设计了三种不同的测试情景。

**结论**
本研究分析了在物理约束不完备情况下数据驱动模型的性能，并进一步阐明了其背后的运作机制。鉴于现实世界中工业过程的极端复杂性，为每一个反应都构建详尽的第一性原理模型既不现实也不必要。因此，我们在具有空间注意力功能的GRU模型中，引入了基于ASM1框架推导出的两阶段硝化速率方程作为实用的物理约束。

**RediT作者贡献说明**
江凌伟：撰写——初稿，撰写——审阅与编辑，可视化，验证，软件，方法论，研究，形式分析，数据整理，概念构建。贾明伟：撰写——审阅与编辑，可视化，验证。郭冰：撰写——审阅与编辑，方法论，概念构建。李道良：撰写——审阅与编辑，监督，资金申请，概念构建。陈涛：撰写——审阅与编辑，监督，项目管理，资金支持。

**资金支持**
本研究得到了中国国家自然科学基金[项目编号：32373186]的支持，同时也获得了中国留学基金委与萨里大学合作提供的资助[项目编号：202106350010]。

**利益冲突声明**
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

**致谢**
本研究得到了中国国家自然科学基金[项目编号：32373186]的支持，同时也获得了中国留学基金委与萨里大学合作提供的资助[项目编号：202106350010]。作者们还要对滑铁卢大学的路易斯·里卡德兹-桑多瓦尔教授和加布里埃尔·帕顿博士表示衷心的感谢，感谢他们为本研究中所使用的RAS仿真平台所提供的帮助。