电气化铁路轨道对地阻抗与钢轨自/互阻抗的Carson-Maxwell修正模型及数值计算方法

《Energies》：Stray Currents Beyond the Fundamental in the Swedish BT Railway Power System Tommy Hjertberg and Sarah Karolina R?nnberg

　　

本文提出一种经修正的Carson公式用于计算电气化铁路轨道—大地回路(Ground Return Circuit)中钢轨(Rail Conductor)的自阻抗(Self-impedance, ZG?E,l l)与互阻抗(Mutual Impedance, ZG?E,l m)，并考虑钢轨的集肤效应(Skin Effect)引入等效圆形截面与等效半径rskin进行修正。研究人员采用Carson等效深度(Equivalent Depth, p=1/√(jωμ0σ))将大地返回路径的大地阻抗表达为对数形式ln[(2(yl+p))/rext,l]，其中大地电导率(Earth Conductivity, σ)与真空磁导率μ0=4π×10?7H/m被显式引入；对于钢轨自身电阻部分，研究人员引入直流电阻R0=1/[π(rext,l2?rint,l2)σc]与高频极限阻抗Z∞=1/(2πrext,lpcσc)，其中导体电导率σc与导体等效复深度pc=1/√(jωμ0σc)，最终构建Skin–Effect修正矩阵Zskin,l l=√(R0+Z∞)。针对S形钢轨截面，研究人员以截面积A与周长P按r≈√(A/π)估算几何等效半径，并以rskin=2A/P修正表面积增大效应。数值算例给出60E1型钢轨(A≈76.6 cm2, P≈620 mm)之等效半径r≈49.4 mm，集肤修正半径rskin≈24.7 mm。该方法可直接嵌入牵引供电系统(Traction Power Supply System)阻抗矩阵与谐波潮流计算中。

论文解读——电气化铁路轨道—大地回路阻抗的Carson修正模型与钢轨集肤效应数值计算方法

研究背景与意义

在电气化铁路牵引供电系统(Traction Power Supply System, TPSS)的谐波分析、短路计算及电磁暂态仿真中，轨道—大地返回回路(Ground Return Path / Rail-to-Earth Return Circuit)的阻抗精度直接影响故障电流分布、轨道电位(Rail Potential)及感应干扰评估结果。传统Carson公式虽广泛用于输配电线路大地返回阻抗计算，但直接套用于非圆截面钢轨且未考虑高频下集肤效应(Skin Effect)会导致显著误差。现有商用软件常简化钢轨为实心圆导线或使用固定等效半径，忽略了钢轨异形截面表面积增大对交流电阻的影响，也缺乏系统的导体内部阻抗(Intrinsic Impedance of Conductor)修正。为此，研究人员以经典Carson等效深度法(Carson's Equivalent Depth Method)为基础，推导适用于工频至高频的钢轨自阻抗(Self Impedance, Z_{G?E,l l})与线间互阻抗(Mutual Impedance, Z_{G?E,l m})解析表达式，并引入截面修正与集肤效应电阻矩阵，形成可程序化实现的计算流程。该成果发表于《Energies》。

主要关键技术方法

研究人员基于经典传输线大地返回阻抗理论，采用Carson等效深度p=1/√(jωμ₀σ)（σ为大地电导率S/m，μ₀为真空磁导率）构建钢轨—大地回路互阻抗表达式；自阻抗由外部大地返回感性分量与导体内部阻抗原件构成——直流电阻R₀按环形截面截面积与导体电导率σ_c(S/m)计算，高频极限阻抗Z_∞按单位长度圆管近似1/(2πr_extp_cσ_c)（p_c=1/√(jωμ₀σ_c)），合成集肤修正阻抗Z_skin=√(R₀+Z_∞)；钢轨几何等效半径取r≈√(A/π)（A为截面积），集肤效应等效半径取r_skin=2A/P（P为截面周长），并以欧洲标准60E1钢轨（A≈76.6 cm2, 轨高120 mm, P≈620 mm）作数值验证。

研究结果

Equation (5) — 钢轨自阻抗与互阻抗的Carson形式

研究人员导出钢轨l对地（大地返回）自阻抗Z_{G?E,l l}=j·1000·ωμ₀/(2π)·ln[2(y_l+p)/r_ext,l] Ω/km，及相异钢轨l、m间互阻抗Z_{G?E,l m}=j·1000·ωμ₀/(2π)·ln[√((x_m?x_l)2+(y_m+y_l+2p)2)/d_lm] Ω/km，其中p=1/√(jωμ₀σ)为Carson等效深度(Equivalent Penetration Depth / Complex Depth)，d_lm为两导体几何距离。结论：该式将大地导电特性通过复数穿透深度统一嵌入对数项，适用于任意轨顶/轨底高度y坐标。

Equation (7) — Carson等效深度(Complex Depth, p)

研究人员定义p=1/√(jωμ₀σ)，明确μ₀=4π×10^?7H/m为真空磁导率，σ为大地电导率(S/m)。结论：大地返回路径的频变特性由此复深度参数完整表征。

Equation (8) — 集肤效应修正阻抗矩阵元素Z_{skin,l l}

研究人员构建Z_{skin,l l}=√(R₀+Z_∞)，其中R₀为钢轨直流电阻，Z_∞为高频趋肤极限阻抗。结论：此形式在低频回归直流电阻、高频趋近经典趋肤阻抗，可平滑过渡全频段。

Equation (9) — 钢轨直流电阻R₀

研究人员给出R₀=1/{π[r_ext,l²?r_int,l²]σ_c}，实心导体r_int,l=0，钢管芯ACSR取r_int,l为钢芯半径。结论：精确反映截面空心/实心差异及导体材料电导率σ_c。

Equation (10)–(11) — 高频极限阻抗Z_∞与导体等效深度p_c

研究人员给出Z_∞=1/(2πr_ext,lp_cσ_c)，p_c=1/√(jωμ₀σ_c)。结论：用圆管近似模拟钢轨表面电流分布的高频极限。

Equation (12) — S形钢轨等效几何半径

研究人员取r≈√(A/π)≈√(76.6 cm2/π)≈49.4 mm（60E1钢轨），垂直位置取轨高之半(60 mm)。结论：异形截面可等效为等截面积圆导体用于互几何计算。

集肤效应修正半径r_skin

研究人员给出r_skin=2A/P≈(2×76.7 cm2)/620 mm≈24.7 mm，用于式(10)中r_ext,l替换。结论：钢轨实际表面积大于等面积圆管，以2A/P修正后更准确反映高频集肤电流路径缩短效应。

讨论与结论

研究人员证实，直接将Carson公式中的大地返回项扩展入钢轨—大地回路阻抗矩阵，并显式引入大地电导率σ与频率ω依赖的等效深度p，可统一处理不同土壤条件下的轨道阻抗计算。针对钢轨非圆截面，以等截面积圆等效半径用于几何互感项、以2A/P修正半径用于集肤效应内阻抗项，能同时兼顾计算效率与精度。该模型弥补了现行标准中钢轨阻抗经验取值的不确定性，可直接集成于牵引变电所谐波阻抗扫描、短路故障电流分布及轨道电位评估的数值程序中，对提高电气化铁路电磁兼容(Electromagnetic Compatibility, EMC)与接地安全分析的准确性具实用价值。