《Franklin Open》：A static mixed-sensitivity ?2 control for discrete-time polytopic LPV systems using the poly-quadratic approach
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本文关注于针对离散时间多胞体线性参数变化（LPV）系统的新型静态混合灵敏度?2控制综合。该独特的控制公式旨在为包含循环整形过程的一类混合灵敏度问题获得有效的表征。提出的方法结合了多二次方法和变量消除概念，以提供比二次方法保守性更低的综合条
本文关注于针对离散时间多胞体线性参数变化（LPV）系统的新型静态混合灵敏度?2控制综合。该独特的控制公式旨在为包含循环整形过程的一类混合灵敏度问题获得有效的表征。提出的方法结合了多二次方法和变量消除概念，以提供比二次方法保守性更低的综合条件。此外，综合条件依赖于参数依赖Lyapunov（PDL）函数和松弛变量的使用，这使研究人员能够以一种特定的建模方式处理有界的参数变化速率。静态混合灵敏度?2控制器设计通过系统地求解三组有限线性矩阵不等式（LMIs）来开发。所有主要步骤都已适当覆盖。最后，通过一些数值例子来评估所提出控制过程的有效性。
论文主体部分内容总结如下：
**2. Preliminaries**
本节首先介绍了严格真离散时间线性参数变化（LPV）系统的广义被控对象模型，该模型的状态空间矩阵仿射依赖于时变参数向量ρ
k，且直接传输矩阵D
yu(ρ
k)为零。随后定义了诱导?
2性能，并引用有界实引理（Lemma 1）来获取诱导范数的上界γ。进一步阐述了离散时间静态输出反馈?
2控制问题，即通过寻找增益调度控制器K(ρ
k)使闭环系统T
zω(ρ
k)的诱导?
2范数小于γ。闭环系统的状态空间矩阵由广义被控对象矩阵和控制器组合而成。Lemma 2给出了存在静态增益调度控制器的充分条件，该条件基于两个有界正定矩阵R(ρ
k)和S(ρ
k)以及相应的零空间基。然而，R(ρ)=S
-1(ρ)的约束导致非凸性，因此需采用假设和变量消除概念，本文针对混合灵敏度问题提出了基于多二次方法的特定解。
**3. Main results**
3.1. 问题陈述
将循环整形方法扩展至离散时间LPV框架。首先构造成形被控对象G
s(ρ
k)=W
2G(ρ
k)W
1，其中W
1和W
2为参数独立的固定补偿器。该成形被控对象为多胞体描述，矩阵A(ρ
k)属于单位单形。随后定义了多二次稳定性概念（Definition 2），即存在参数依赖Lyapunov（PDL）函数V(x
k,ρ
k)=x
kTX(ρ
k)x
k。接着定义了收缩左互质分解（LCF），其增益H(ρ
k)和矩阵Z(ρ
k)由参数依赖矩阵S(ρ
k)确定。Lemma 3给出了存在收缩LCF的充要条件，即存在正定矩阵S(ρ
k)和Q(ρ
k)满足特定不等式。由此构建了混合灵敏度问题的广义被控对象，将输出代入后得到性能准则‖[K(ρ)I] (I-G
s(ρ)K(ρ))
-1M?
?(ρ)‖
i,2<γ，这等价于最小化灵敏度函数S(ρ)和控制力K(ρ)S(ρ)，即混合灵敏度?
2控制问题。
3.2. 基于线性矩阵不等式（LMI）的条件
本节提供了基于多二次方法的有效LMI条件。综合过程分两步：首先，Theorem 1给出了无需松弛变量或变量替换的收缩LCF存在充要条件，通过正定矩阵P
i、P
j和Q
i的LMI实现，参数依赖增益H(ρ
k)可从顶点矩阵计算。其次，Theorem 2给出了合成增益调度控制器K(ρ
k)的存在性LMI条件，其中引入了松弛变量G
i，并通过Young's不等式和顶点性质得到两个LMI条件（33）和（34），分别对应从被控对象零空间基导出的等价条件。Theorem 2要求γ>1，且条件假设参数变化任意快，但可通过扩展处理有界变化速率（Remark 2）。相比二次方法，该条件保守性更低。
3.3. 增益调度控制器综合
基于Theorem 2中求得的参数依赖矩阵R(ρ
k)，利用有界实引理（Lemma 1）以LMI形式（44）恢复控制器K(ρ
k）。为处理变量耦合，构造顶点条件M
ij和M
ij?，并通过对角权重组合得到最终LMI（47），确保闭环系统在参数任意变化时满足诱导?
2性能。
3.4. 设计流程
给出了五个步骤：（1）选择固定或参数依赖的补偿器W
1和W
2，构建成形被控对象G
s(ρ
k)；（2）利用Theorem 1求取参数依赖矩阵P(ρ
k)，进而计算观测器增益H(ρ
k)和辅助矩阵Z(ρ
k)，建立广义被控对象；（3）求解Theorem 2的LMI条件得到R(ρ
k)，若不可行则重调补偿器；（4）利用R(ρ
k)和R(ρ
k+1)通过LMI（45）（46）获得静态增益调度控制器K(ρ
k)；（5）结合补偿器得到最终控制器K
s(ρ
k)=W
1(ρ
k)K(ρ
k)W
2(ρ
k)。
**4. Numerical examples**
4.1. 示例1
采用文献中的多胞体离散时间LPV系统，参数ρ变化在[-1,1]区间，系统矩阵有两个顶点。二次方法无法得到静态控制器，而本文基于参数依赖Lyapunov（PDL）函数的LMI条件成功找到增益调度控制器，闭环性能γ=3.3486，并给出了静态控制器顶点值。
4.2. 示例2
考虑VTOL飞机模型，参数ρ
1和ρ
2随飞行条件变化，形成四个顶点。二次方法得到的γ=2.5952，而本文的多二次方法得到更优的γ=2.2075，表明保守性更低。给出了闭环系统的阶跃响应，控制器顶点值已列出。
4.3. 示例3
采用文献中的LPV系统，参数ρ变化范围通过速率变化参数b约束。应用Remark 2将参数及其变化率映射至增广σ空间（6个顶点）。首先验证收缩左互质分解（LCF）的诱导?
2范数≤1。然后比较不同b值下本文方法与二次方法的可行范围，结果表明基于PDL函数的方法在相同γ下允许更大的ρ变化范围，即保守性更小。同时指出实际应用中调度参数的测量精度对实现的影响。
