算子谱稳定性理论与切比雪夫谱配置方法在时变双边四元数动力系统中的应用 向思，周建文

《Symmetry》：Operator Spectral Stability Theory and Chebyshev Spectral Collocation Method for Time-Varying Bilateral Quaternion Dynamical Systems Xiang Si and Jianwen Zhou

本研究提出双 quaternion 微分方程的谱稳定性分析框架及数值方法，通过精确实表示和Kronecker积矩阵揭示张量结构，建立标量-向量稳定性分离原理，证明实部主导能量演化且与虚部无关。推导出稳定性阈值与谱间隙的三次方关系，嵌入 quaternion Chebyshev 谱配位方法保证对称性，离散能量估计验证谱精度。实验表明低维下该方法在时间效率和数值鲁棒性上优于Legendre基线及显式隐式对称Runge-Kutta方法，尤其处理刚性非线性Riccati振荡器时优势显著。

　　

摘要

本文为形式如下的时变双边四元数微分方程的谱稳定性开发了一个结构化的分析框架和一种稳健的数值方法：˙?? =???(??)??? +??????(??)。通过将经典的实矩阵理论系统地扩展到非交换动力系统，并利用精确的等距实表示法，本研究利用实伴随矩阵的克罗内克积严格阐明了双边演化算子的张量结构。这种基于张量的重新表述证明了双边耦合系统的Floquet乘子可以严格分解为左右单边子系统对应的谱的乘积。其次，提出了一种基于对数范数的“标量-向量稳定性分离原理”，表明系统的瞬态能量演化完全由系数矩阵的厄米特实部决定，与反厄米特虚部（旋转项）无关。此外，对于系数恒定和变化缓慢的系统，引入了来自全纯泛函计算的Riesz投影，以建立指数分叉的代数判据，从而揭示了一个立方比例定律，该定律将鲁棒性阈值与谱间隙相关联：??0 ∝??3。在数值上，将四元数切比雪夫谱配置方法（Q-CSCM）嵌入到这个精确的向量化框架中，以确保通过等距映射严格保持双边系统的代数对称性。通过通过精确的实向量化同构显式构造完全离散的克罗内克积矩阵，利用离散能量估计严格证明数值方案成功继承了切比雪夫近似的固有谱精度。全面的数值实验表明，在低维范围内，与另一种勒让德谱基线方法以及传统的显式和最先进的隐式辛龙格-库塔方法相比，该方法在时间近似效率和数值稳健性方面具有显著优势，特别是在解决刚性且临界稳定的问题（如非线性Riccati振荡器）时。