量子泰勒展开与最小二乘分数阶格子玻尔兹曼方法在非均匀网格不可压流模拟中的应用

《Chinese Journal of Aeronautics》：Quantum Taylor series expansion and least squares-based fractional-step LBM for incompressible flows on non-uniform meshes

本研究针对现有量子格子玻尔兹曼方法（LBM）在弛豫时间固定（τ=1）导致雷诺数单一、且流步（通常基于量子行走实现）受限于均匀网格的挑战，提出了基于量子泰勒级数展开与最小二乘的分数阶格子玻尔兹曼方法（TLFS-LBM）。该方法通过分数阶方法分解为预测步（量子电路实现）和校正步（经典求解扩散方程恢复正确粘度），并将流步重构为A·feq形式，利用奇异值分解（SVD）将矩阵A分解为酉矩阵以在量子电路实现。研究验证了该方法在二维不可压等温与热流模拟中具有与经典方法相当的精度，成功将量子LBM扩展至非均匀网格与曲线边界应用，具有重要理论意义与应用前景。

　　

在计算流体力学的广阔天地中，如何高效、精确地模拟复杂流动现象一直是研究者们孜孜以求的目标。格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method, LBM）作为一种基于动理学理论的介观数值方法，以其简单的代数运算、天然的并行性等优势，在磁流体力学、多相流、等温与热流体等多个领域展现出强大的应用潜力。然而，随着问题复杂度的提升和对计算效率的极致追求，传统LBM在内存消耗和计算规模上面临着瓶颈。量子计算的出现，以其独特的叠加原理和并行处理能力，为解决大规模复杂流动模拟问题带来了新的曙光。近年来，将LBM与量子计算相结合的量子格子玻尔兹曼方法（Quantum LBM）应运而生，但这条探索之路并非坦途，现有方法面临着两大核心挑战：首先，为了便于量子电路的实现，通常将弛豫时间τ固定为1，但这导致一个固定的网格分辨率只能对应一个单一的雷诺数（Reynolds number），模拟的灵活性大打折扣；其次，流步的实现通常依赖于量子行走（quantum walk）方法，而该方法被限制在均匀的矩形网格上，难以处理具有复杂几何边界或需要局部加密的实际工程流动问题。

为了突破这些限制，南京航空航天大学力学与控制国家重点实验室的Liming YANG、Yang XIAO、Chang SHU和Yinjie DU等研究人员，在《Chinese Journal of Aeronautics》上发表了一项创新性研究，提出了一种量子泰勒级数展开与最小二乘分数阶格子玻尔兹曼方法（Quantum Taylor series expansion and Least squares-based Fractional-step Lattice Boltzmann Method, TLFS-LBM）。该方法旨在同时解决可调粘度和网格均匀性限制这两个难题，将量子LBM的应用范围扩展至非均匀网格和曲线边界的不可压缩流动模拟。

研究人员为开展此项研究，主要运用了以下几项关键技术方法：首先，结合了经典的泰勒级数展开与最小二乘格子玻尔兹曼法（TL-LBM）和量子分数阶格子玻尔兹曼法（Quantum FS-LBM），构建了TLFS-LBM的理论框架。其次，采用分数阶方法（fractional-step method）将演化过程分解为预测步和校正步，预测步在量子电路上以固定τ=1实现，校正步则通过经典计算求解扩散方程来恢复正确的物理粘度。再者，利用泰勒级数展开和最小二乘近似，将流步重新表述为矩阵A与平衡态分布函数f^eq的乘积形式（A·f^eq）。最后，对矩阵A进行奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD），将其分解为酉矩阵（unitary matrices），以便在量子电路上实现。研究采用了D2Q9格子模型，并针对多电路实现方案进行了设计以降低资源需求。

研究结果

1. 方法构建与量子实现

研究首先从经典的不可压缩热流控制方程（弱可压N-S方程与能量方程）和单弛豫时间格子玻尔兹曼方程出发。通过将弛豫时间固定为1，演化方程简化为仅依赖于平衡态分布函数f^eq，从而避免了存储粒子分布函数（PDF）带来的巨大内存消耗，构成了分数阶LBM（FS-LBM）的基础。然而，由此推导出的宏观方程具有固定的“计算粘度”υ^*，导致单个网格分辨率仅对应一个雷诺数。为此，研究者采用了分数阶方法，将FS-LBM分解为预测步和校正步。预测步通过量子TL-LBM求解，其核心是利用泰勒展开和最小二乘近似，将非均匀网格上粒子沿离散速度方向运动后到达的位置（通常不是网格点）的分布函数，用周围网格点（如9点模板）的分布函数值进行逼近，最终将流步表达为A·f^eq的代数形式。由于矩阵A仅依赖于网格点坐标，因此该方法可适用于任意网格类型。在量子实现层面，研究详细阐述了编码、碰撞和流步三个核心步骤。宏观变量通过振幅编码（amplitude encoding）方式加载到量子线路中。非幺正的碰撞矩阵D和流步矩阵A分别通过线性组合酉算子（Linear Combination of Unitaries, LCU）方法和奇异值分解（SVD）结合LCU的方法，分解为一系列幺正操作，从而在量子线路上实现。研究还提出了单电路和多电路两种实现方案，其中多电路方案为每个离散速度方向α使用一个独立但结构相同的量子电路来演化f_α^eq，有效降低了单个电路对量子资源的需求。

2. 边界条件的量子电路集成

研究展示了如何将常见的周期性、Dirichlet和Neumann边界条件集成到量子TLFS-LBM框架中。关键是将这些边界条件的数学表述同样转化为A₁·f^eq的形式，从而可以将边界对应的矩阵A₁并入到整体的流步矩阵A中，在量子电路内统一实现。例如，周期性边界通过引入虚拟网格层并赋予对侧边界内的值来实现；Dirichlet边界（如给定壁面速度）部分方向采用反弹格式（bounce-back scheme），其表达式可整理为线性形式；Neumann边界（如充分发展、绝热条件）则通过将虚拟网格的值设为与相邻内点相同来实现。这证明了该方法处理复杂边界的能力。

3. 模拟验证

研究通过多个二维不可压缩等温和热流动的模拟算例，验证了所提出的量子TLFS-LBM的准确性和有效性。验证表明，该方法在非均匀网格上模拟不可压缩流动时，能达到与其经典对应方法相当的精度。更重要的是，它成功地将量子LBM的适用性从传统的均匀网格拓展到了非均匀网格以及曲线边界问题，解决了长期存在的网格灵活性限制。

结论与讨论

本研究的核心贡献在于，成功发展了一种新型的量子泰勒级数展开与最小二乘分数阶格子玻尔兹曼方法（TLFS-LBM），有效攻克了现有量子LBM面临的可调粘度与网格均匀性两大瓶颈。通过巧妙地将分数阶思想、泰勒展开/最小二乘近似、以及量子算法（LCU, SVD）相结合，研究者构建了一个既保持LBM算法简洁性与并行性本质，又充分利用量子计算潜力的混合（量子-经典）计算框架。

该方法的意义重大：在理论层面，它丰富了量子计算在计算流体力学领域的算法工具箱，为在非均匀网格上模拟具有复杂几何和物理特性的流动问题提供了系统的量子解决方案。在应用层面，该方法使得利用未来量子计算机高效模拟诸如翼型绕流、微通道换热、非规则域内的自然对流等实际工程问题成为可能。尽管目前该方法的完整实现仍依赖于量子模拟器，且大规模矩阵的奇异值分解存在经典计算成本，但研究所提出的多电路方案为在近期含噪声中等规模量子（Noisy Intermediate-Scale Quantum, NISQ）设备上实现部分功能提供了可行的路径。这项研究为量子计算在复杂流体系统高精度模拟中的实际应用迈出了关键一步，标志着量子计算流体力学从一个受限于简单模型和规则区域的探索阶段，向解决更贴近实际工程问题的实用化阶段演进的重要里程碑。