针对Cahn-Hilliard方程的直接间断伽辽金方法及变体的统一理论框架

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A unified framework for the direct discontinuous Galerkin method and its variants for the Cahn-Hilliard equations

本文系统研究了Cahn-Hilliard (CH) 方程的三种全离散直接间断伽辽金 (DDG) 方法（非对称、对称和界面校正）的统一框架。作者通过凸-凹分解处理非线性项，引入稳定化项，在DG范数下建立了方案的稳定性与最优先验误差估计。数值实验验证了该方法在保持能量衰减和质（质）量守恒的同时，能精确模拟相分离和粗化等物理现象。

　　

亮点 (Highlights)

DDG 公式

在本节中，我们将介绍用于Cahn-Hilliard (CH) 方程的DDG方法及其变体。我们将展示对称、非对称和界面校正方案的全离散DDG公式。

稳定性分析

本节将在DG范数下，证明对称、非对称和界面校正DDG方案的稳定性结果。非线性项的凸-凹分解以及离散版本的Gronwall不等式在推导这些估计中起着关键作用。

引理 3.1

(Gronwall不等式，[39]) 对于任意固定的 T > 0，令 N 表示一个正整数，且 Nτ = T。假设 {aⁿ}_n=0^N, {bⁿ}_n=0^N和 {cⁿ}_n=0^N-1是非负序列，且满足 τ Σ_n=0^N-1cⁿ≤ K₁，其中 K₁是与网格尺寸 h 和时间步长 τ 无关的常数。

误差分析

本节的主要目的是推导全离散DDG方案 (2.23)–(2.24) 的最优误差估计。为了进行误差分析，我们做出以下假设：

• •
  A1: 函数 F₊和 F_-的一阶导数满足Lipschitz连续条件，即存在与网格尺寸 h 和时间步长 τ 无关的常数 C_lip> 0，使得对于所有 n ≥ 0，有
  ∥ F₊'(uⁿ) - F₊'(u_hⁿ) ∥_DG≤ C_lip∥ uⁿ- u_hⁿ∥_DG,
  ∥ F_-'(uⁿ) - F_-'(u_hⁿ) ∥_DG≤ C_lip∥ uⁿ- u_hⁿ∥_DG。
  此外，我们假设 F_-'' 和 F_-''' 是全局有界的。

数值验证

本节将通过几个数值测试，来探索DDG技术对非线性四阶时间相关问题 (1.1)–(1.3) 的收敛性能和分析DDG解的行为。测试算例使用FreeFem++[40]实现。我们使用不动点方法来处理非线性。实际结果表明，稳定项 J(δ_τu_hⁿ, φ) 并非必需，因此在计算中被省略并设为零。

结论 (Conclusion)

在这项工作中，我们引入了DDG方法及其变体来求解CH方程 (1.1)–(1.3)。我们为三种类型的DDG方法（对称、非对称和界面校正）建立了稳定性分析。为所有三种全离散DDG方法建立了最优的DG范数误差估计。椭圆投影算子和化学能密度的凸-凹分解是分析中使用的关键技术工具。通过假设全局Lipschitz条件，我们确保了误差估计的严谨性。数值结果与理论分析高度吻合，证实了该方法在模拟相分离和粗化动力学方面的准确性、能量衰减和质（质）量守恒特性。这项工作为高阶非线性相场模型（如Cahn-Hilliard方程）提供了首个系统的、全离散的多变体DDG方法误差分析框架，扩展了DDG方法在此类问题中的应用。