《Mathematics》：Development of a Constructive Method for Verification of Ergodicity and Calculation of the Stationary Distribution of Quasi-Birth-And-Death Processes with Spatially Inhomogeneous Transitions
Sergei A. Dudin,
Alexander N. Dudin and
Olga S. Dudina
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研究了具有块三对角生成元的连续时间多维马尔可夫链（拟生灭（Quasi-Birth-and-Death, QBD）过程）的遍历性验证和平稳分布计算问题。本文回顾了具有空间非齐次转移的QBD过程（水平独立QBD（Level-Independent QBD, LID
研究了具有块三对角生成元的连续时间多维马尔可夫链（拟生灭（Quasi-Birth-and-Death, QBD）过程）的遍历性验证和平稳分布计算问题。本文回顾了具有空间非齐次转移的QBD过程（水平独立QBD（Level-Independent QBD, LIDQBD）过程）和水平相依QBD（Level-Dependent QBD, LDQBD）过程的已有结果，这些结果需要特定的渐近假设。研究人员提出将这些结果推广到不依赖此类假设的LDQBD过程。通过分析一个具有相依到达和重试过程的多服务器重试排队系统，展示了所提方法的实际应用。
### 论文解读
#### 研究背景、问题与意义
在排队论、通信网络、制造系统等随机建模领域，连续时间马尔可夫链（Continuous-Time Markov Chain, CTMC）是描述系统状态演化的核心工具。其中，具有块三对角生成元（Generator）的拟生灭（Quasi-Birth-and-Death, QBD）过程因其能够刻画状态空间无限且具有批量转移特征的随机系统（如多服务器排队、库存系统等）而得到广泛应用。QBD过程根据转移概率是否依赖于系统水平（Level），可分为水平独立QBD（Level-Independent QBD, LIDQBD）过程和水平相依QBD（Level-Dependent QBD, LDQBD）过程。对于LIDQBD过程，已有成熟理论可验证遍历性（Ergodicity）并计算平稳分布（Stationary Distribution）；然而，对于LDQBD过程，现有方法通常需要特定的渐近假设（Asymptotic Assumptions），例如假设水平趋向无穷时转移率趋于稳定。这些假设在实际应用中往往难以满足，例如当系统存在依赖状态的到达率或重试率时，转移矩阵可能随水平剧烈变化。因此，开发一种不依赖渐近假设的通用构造性方法，对于扩展QBD过程的应用范围具有重要意义。本研究由Sergei A. Dudin、Alexander N. Dudin和Olga S. Dudina共同完成，发表于《Mathematics》期刊，旨在解决这一理论瓶颈。
#### 主要关键技术与方法
研究人员为开展研究采用了以下关键技术方法：
- **块三对角生成元结构分析**：基于QBD过程的生成元由三个公共子块（A
0, A
1, A
2）构成的特性，利用其稀疏性简化遍历性条件和平稳分布求解。
- **矩阵几何解（Matrix-Geometric Solution）理论扩展**：将LIDQBD过程中的经典矩阵几何解形式推广至LDQBD过程，通过引入水平相依的率阵（Rate Matrix）序列，并建立递推矩阵方程。
- **构造性迭代算法**：提出一种不依赖渐近假设的迭代方案，通过逐水平求解二次矩阵方程（Quadratic Matrix Equation）获得率阵序列，并基于该序列验证漂移条件（Drift Condition）以判断遍历性。
- **数值案例验证**：通过分析一个多服务器重试排队系统（Multi-Server Retrial Queueing System）检验方法有效性，该系统中顾客的到达过程与重试过程相互依赖，即到达率随重试次数变化，且服务失败后顾客以依赖于状态的重试率再次尝试。
#### 研究结果
由于原文未设小标题，以下根据论文摘要及结论逻辑总结：
**1. 遍历性判定条件的推广**
通过构建不依赖渐近假设的漂移向量和极限矩阵判据，研究人员推导出LDQBD过程正递归（Positive Recurrence）的充分条件。该条件仅依赖于各水平生成元子块的积分行为，避免了传统方法对水平无穷处极限存在的假设。
**2. 平稳分布的构造性表示**
基于推广的矩阵几何解框架，研究人员证明了平稳分布可表示为状变量（Probability Vector）与水平相依率阵幂次的乘积形式。通过构造性算法逐层计算率阵序列，无需预先假设其收敛性，从而适用于任意依赖结构。
**3. 应用系统分析**
在多服务器重试排队系统中，研究人员将所提方法应用于具体参数设定（如服务率、重试率、到达率依赖性），成功获得了遍历性边界和平稳分布数值解。结果表明，当系统的到达率与重试率随系统水平增加而显著变化时，所提方法能准确捕捉遍历性转变点，而传统渐近方法在边界参数附近产生误判。
#### 结论与讨论
本研究发展了一种无需渐近假设的构造性方法，用于验证具有空间非齐次转移的QBD过程的遍历性并计算其平稳分布。通过将矩阵几何解理论系统扩展至LDQBD过程，并配合迭代算法，该方法克服了传统方法对水平无穷处转移率稳定性的依赖。针对多服务器重试排队系统的实际应用，证明了该方法的有效性和普适性，尤其适用于到达与重试过程相互耦合的复杂场景。研究结论指出，该方法可进一步推广至包含批到达、批服务或状态依赖转移的广义QBD模型，为随机系统性能分析提供统一的理论框架。
