通过计价单位变换方法进行保证最低收入给付估值

《ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA》：Guaranteed minimum income benefit valuation via a?numéraire transformation approach

　　

因其创新的保障特征，可变年金（variable annuities，VAs）作为合适的退休产品近年来获得了显著的增长势头。在这些保障中，保证最低收入给付（guaranteed minimum income benefit，GMIB）作为一种有吸引力的附加条款脱颖而出，可以整合到可变年金合同中。在本研究中，研究人员构建了一个全面的建模框架，涵盖三个不确定性来源，即利率风险、死亡率风险和投资风险，旨在对GMIB进行估值。这些风险因素以随机方式建模，同时考虑了利率与死亡率之间的相互依赖关系。研究人员的方法利用了计价单位变换技术（numéraire transformation technique），基于远期测度（forward measure）和 endowment-risk-adjusted 测度（endowment-risk-adjusted measure）的概念。通过考虑两种不同的利益基础（Benefit Base）函数设定，研究人员推导出了GMIB的解析解。数值结果表明，与作为基准的标准蒙特卡洛模拟相比，研究人员提出的方法在计算精度和效率方面具有优越性，平均计算时间减少了99%。此外，研究人员进行了广泛的敏感性分析，以探讨各种模型参数对GMIB价值的影响程度。

**论文解读：基于计价单位变换的保证最低收入给付估值研究**

**研究背景与问题**

可变年金（Variable annuities，VAs）作为一种结合投资增长与退休收入保障的金融产品，近年来在全球市场持续升温。其中，保证最低收入给付（Guaranteed minimum income benefit，GMIB）附加条款因其特有的长寿风险转移、市场下行保护以及透明度高等优势，成为保单持有人青睐的选择。然而，GMIB的准确估值面临多重挑战：它同时暴露于利率风险、死亡率风险与投资风险，且这些风险并非相互独立。现有文献在评估GMIB时，或假设利率与死亡率独立（如Bauer et al., 2010），或完全忽略死亡率风险（如Marshall et al., 2010），或仅采用确定性死亡率表（如Deelstra and Rayée, 2013）。考虑到GMIB通常涉及长期（≥10年）的生命年金转换，死亡率的不确定性及其与利率的动态关联必须被纳入模型。因此，有必要建立一个能够同时捕获三源风险及其相关性的随机框架，并提供高效、可实现的估值方案。

**研究概述与主要结论**

针对上述问题，研究人员构建了一个综合随机模型，涵盖利率风险、死亡率风险与投资风险，其中利率和死亡率均采用Hull-White（1990）规范，并通过布朗运动相关性刻画二者的依赖关系；投资基金服从几何布朗运动。研究者创新性地运用计价单位变换（numéraire transformation）技术：首先以零息债券为计价单位引入远期测度，推导出纯捐赠（pure endowment）的解析形式；再以该纯捐赠为计价单位引入 endowment-risk-adjusted 测度，从而在两种常用的利益基础（Benefit Base）函数设定下，获得了GMIB的闭合解。数值实验对比了标准蒙特卡洛模拟，结果表明所提方法在计算精度相当的前提下，平均计算时间降低了约99%，效率显著提升。敏感性分析揭示，利率-死亡率相关性对GMIB价值具有实质性影响，忽略该相关性可能导致显著错误定价。实证性分析（采用Li et al., 2023的美欧市场校准数据）进一步确认了这一结论。该研究发表于《ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA》。

**关键技术方法**

1. **建模框架**：利率 _t 采用Hull-White模型：d _t = a(θ(t)? _t)dt + σ?dX_t；死亡率强度 μ_x,t 采用Hull-White（基于Zeddouk & Devolder, 2020）：dμ_x,t = c(ξ(t)?μ_x,t)dt + σ?dY_t，其中 ξ(t) 服从Gompertz函数 pe^ht；投资基金 S_t 遵循几何布朗运动 dS_t = r_tS_tdt + σ?S_tdZ_t。利率与死亡率的相关性由 dX_tdY_t = ρdt 刻画，投资风险独立于前两者（但扩展分析中纳入股票-利率相关性 ρ^*）。

2. **计价单位变换**：第一步，以零息债券价格 B(t,T^*) 为计价单位，引入远期测度，推导出纯捐赠 M(t,T^*) 的闭式表达式；第二步，以 M(t,T) 为计价单位引入 endowment-risk-adjusted 测度，将GMIB的估值转化为在该测度下的期望，并利用条件多元正态性质得到解析估值公式（定理4.1和4.2）。

3. **基准方法**：采用标准蒙特卡洛模拟（Euler-Maruyama离散化，梯形法则积分）作为基准对比，生成了20万条样本路径。

4. **参数校准**：死亡率模型参数基于Zeddouk & Devolder（2020）的比利时人口数据；利率-死亡率相关性参考Li et al.（2023）基于美国2017–2022年数据的瞬时相关性估计（ρ=?0.322，剔除疫情时期为?0.153）；股票-利率相关性参考van Haastrecht et al.（2010）的美欧市场校准（0.1464和0.3465）。

**研究结果**

**5.1 基准方法**：作为对比的标准蒙特卡洛模拟采用Euler离散化与梯形规则近似，计算GMIB值。

**5.2 提出的方法**：利用定理4.1（利益基础I）和定理4.2（利益基础II）的解析公式，直接从多元正态分布抽样进行计算。

**5.3 数值结果**：在N=200,000样本下，所提方法的GMIB值与蒙特卡洛基准吻合，且标准误更低。平均计算时间仅为基准的0.07%（利益基础I）和0.08%（利益基础II），效率提升约99%。

**5.4 敏感性分析**：研究了利率参数（θ, σ?）、死亡率参数（p, h, σ?）、基金波动σ?、累积率δ、保证年金化率g、到期期限T、初始利率r?和初始死亡率μ?的影响。发现：GMIB值与θ、p、h、r?、μ?呈负相关；与σ?、σ?、σ?、δ、g呈正相关；相对于死亡率，初始利率对GMIB的影响更显著；g是最敏感的参数。

**5.5 死亡率风险的影响**：与忽略死亡率风险的模型（附录B）对比，纳入死亡率风险后GMIB值大幅下降（20年期限时仅为无死亡率风险值的55.04%），且30年后趋于稳定，突出了死亡率在长期估值中的非线性作用。

**5.6 股票-利率相关性的影响**：放松基线独立性假设，引入ρ^*（0.1464和0.3465）后，GMIB价值分别增加7.09%和16.24%（利益基础I），5.43%和13.38%（利益基础II）。该影响与ρ的影响量级相当，但性质不同（ρ为内生核心风险，ρ^*为外生市场风险），验证了基线独立假设的合理性。

**5.7 退保风险的影响**：采用恒定年退保率（2%和5%）模型，退保风险显著降低GMIB值（2%退保率下减少81.71%，5%退保率下减少59.87%）。同时指出恒定退保率假设可能低估实际价值，未来需引入状态依赖退保模型。

**讨论与结论**

讨论部分强调，定期的敏感性分析为保险公司设定保证年金化率、管理准备金提供了关键依据；死亡率风险是GMIB估值不可忽略的核心因素；股票-利率相关性的影响虽显著但次于利率-死亡率相关性的内生重要性；退保风险对价值的影响高度依赖行为假设。研究结论（Section 6）指出：本文提出了一个纳入利率与死亡率相依结构的新颖随机建模框架，利用计价单位变换技术导出了GMIB的闭合估价公式。数值实验表明所提方法在精度与效率上优于蒙特卡洛模拟。敏感性分析揭示了各模型参数对GMIB价值的影响，为保险公司的商业决策提供了宝贵指导。未来方向包括：采用更复杂的死亡率模型（如Cairns et al.的多因子模型）、引入随机波动率（如Heston模型）、纳入状态依赖退保行为，以及将方法拓展至其他保证附加条款（如GMAB、GMWB等）。