基于混合欧拉-拉格朗日方法及Level-Set界面追踪的表面活性剂两相流数值模拟

《Mathematics》：An Improved Conservative Hybrid Method with Adaptive Mesh Refinement for Passive-Scalar Transport on Deforming Interfaces Yu Fan and Chunyan Liu

　　

研究人员提出了一种结合欧拉有限体积法与拉格朗日光滑粒子流体动力学(SPH, Smoothed Particle Hydrodynamics)的混合数值方法，用于模拟含表面活性剂(surfactant)可变表面张力系数的两相流动界面变形问题。该混合框架采用保守型界面法(Conservative Interface Method)通过Level-Set方法进行界面捕捉，并在零水平集(zero level-set)轮廓上布置单层SPH粒子以追踪界面表面活性剂的输运与表面浓度演化。可压缩Navier-Stokes(N-S)方程组由人工状态方程(EOS, Equation of State)封闭，表面张力源项由σ(C)=σ0(1?βC)线性本构关系描述，界面表面活性剂浓度C受表面对流-扩散方程控制。为提升计算效率与局部分辨率，研究人员引入块结构自适应网格加密(AMR, Block-structured Adaptive Mesh Refinement)技术。拉格朗日组分通过保质量的单层SPH粒子离散界面标量场，并设计了自适应重网格化(remeshing)算法以维持粒子均匀分布及质量守恒。数值实验验证了该方法在两相流含Marangoni效应界面变形问题中的精度与有效性。

本文发表于《Mathematics》，针对含表面活性剂导致可变表面张力（Marangoni效应）的两相流界面变形问题，现有纯欧拉或纯拉格朗日方法难以兼顾界面大变形捕捉精度、表面活性剂质量守恒及计算效率。传统Level-Set或VOF(Volume of Fluid)方法在界面标量（表面活性剂浓度）输运上易出现耗散或不守恒，而全域SPH代价过高且难以处理复杂边界。为此研究人员开发了欧拉-拉格朗日混合框架：欧拉组分用有限体积法(FVM, Finite Volume Method)解N-S方程组并Level-Set追踪界面，拉格朗日单层SPH粒子仅分布于界面上承载并演化表面活性剂浓度，二者通过插值交换速度、表面张力及Marangoni力信息，并辅以AMR加密近界面区域及粒子重网格化保持均匀性。该研究为含吸附/解吸表面活性剂的两相流界面科学计算提供了高精度、高效率的数值工具。

主要关键技术方法

研究人员采用笛卡尔网格上有限体积法求解含人工状态方程(EOS, p=B[(ρ/ρ₀)^γ?1]+p₀)的可压缩N-S方程组，黏性应力按牛顿流体计入；界面由Level-Set函数?=0定义，法向量n?=??/|??|与曲率κ=?·n?由Level-Set场求取，?经五阶WENO(Weighted Essentially Non-Oscillatory)离散并单步重初始化维持符号距离性质|??|=1；两相交互通量通过Riemann问题求解；表面张力系数σ由线性Marangoni本构σ(C)=σ₀(1?βC)给出并经σ←max(σ,0)截断防负；界面表面活性剂浓度C满足表面对流-扩散方程?C/?t+?_s·(C u?)=D?_s²C（?_s=(I?n?n?)·?为表面梯度，?_s²为Laplace-Beltrami算子）；单层SPH粒子初始化自切割单元(cut-cell)中心投影至?=0得r?_p=r??? n?，携带质量M_p=C_pV_p，经Fan等修正的界面粒子松弛与自适应重网格化维持分布均匀及质量守恒；块结构AMR按窄带内两相切包标记递归细化，细层粒子分辨率对齐最细欧拉网格。

研究结果

3. The Hybrid Method

研究人员将保守界面法与单层SPH耦合：欧拉求解器提供相邻单元速度插值给界面粒子以更新位置，粒子反馈表面张力与Marangoni力至Riemann求解过程；时间步进后若粒子分布不均则执行广义重网格化调整位置与被动标量，实现欧拉场与界面标量的协同推进。

3.1. The Eulerian Component

欧拉求解基于文献[1,21]，两相分别求解并通过Riemann问题耦合；Level-Set用WENO-5离散，单步重初始化保|??|=1；切单元(cut-cell)中表面张力与Marangoni力通过三步获取——将切单元中心投影至最近界面点（Level-Set场）、该点浓度及梯度由拉格朗日组分估算、代入式(6)得σ及Marangoni力——从而将界面物理准确嵌入欧拉切割单元。

3.2. AMR Technique

采用块结构AMR，每块含4×4单元包(2-D)，每包含4×4单元；最细层按Level-Set判断单元包是否含窄带内点标记为两相包，同相子包使父包同相否则标两相切包，含至少一两相切包的块递归细化，且受幽灵区影响邻块亦可被细化；块间通过缓冲区间交换同层数据，不同层间按文献[11]插值；各块线程独立分配实现自动负载均衡。

3.3. The Lagrangian Component

仅用单层SPH粒子沿界面分布并与最细欧拉网格对齐以降低开销。为避免聚集提出自适应重网格化保质量守恒与精度。

3.3.1. Particle Initialization

粒子初生于九点（四边中点+四角+中心）Level-Set变号的切割单元中心，按式(10) r?_p=r??? n?投影至?=0界面；随后用文献[9]界面粒子松弛迭代再投影确保贴附零等值面；初始粒子质量M_p=C_pV_p。

（3.3.2 Lagrangian Solver与3.3.3 Remeshing Method原文未展开详述，故不臆测补充）

讨论与结论（翻译浓缩）

研究人员开发并验证了一种欧拉-拉格rangian混合算法，将有限体积Level-Set两相流求解与界面单层SPH表面活性剂输运相结合，辅以AMR局部加密与粒子重网格化。该混合方法能有效模拟含表面活性剂引发可变表面张力及Marangoni效应的两相流界面大变形，既克服了欧拉方法对界面标量不守恒与耗散的缺陷，又避免了全域SPH的高计算成本。结果表明：通过保守界面法耦合欧拉与拉格朗日信息可准确计算切单元内表面张力及Marangoni源项；单层SPH粒子保质量地追踪界面表面活性剂浓度场并经自适应重网格化抑制粒子聚集；AMR策略显著提升界面附近分辨率且维持负载均衡。该混合框架为复杂界面现象（乳化、液滴 coalescence/separation 受表面活性剂调控等）的数值研究提供了可靠工具。