半导体晶圆制造中带质量传播与返工回路的光刻产线稳态性能马尔可夫评估方法

《JOURNAL OF MANUFACTURING SYSTEMS》：An approximate analytical method for the performance evaluation of semiconductor front-end fabrication with model-based inspection and rework policies in process control

　　

研究人员提出一种基于连续时间马尔可夫链(Continuous-Time Markov Chain, CTMC)与两级分解(Two-Level Decomposition)的系统级分析方法，用于评估半导体晶圆制造中带有在线检测(Inline Inspection)、缺陷报废(Scrap)及返工(Rework Loop)的多层光刻产线(Lithography Thread)的稳态吞吐量(Throughput)、良品率(Good Wafer Rate)及未检出缺陷(Non-detected Defect, BND)传播情况。该方法将光刻—检测(L{k})、工序间(Inter-operational Stage, O{k})及返工(R{k})各阶段分别建模为含良品(Good)、可检缺陷(BDS)、不可检缺陷(BN D)及故障延时(D)的局部状态机，通过引入饥饿(Starvation)、阻塞(Blocking)与非质量(Non-Quality, NQ)等系统级极限状态构造集成机器(Integrated Machine M[k])，并借助建筑块(Building Block, BB)缓冲区模型迭代求解稳态概率Π与产出率μ，最终量化系统产出THsys、报废量THBD、返工量THRW及未检缺陷通量THNQ。针对返工回路导致并行上游机台聚合问题，研究人员给出基于Kronecker积的状态聚合与边缘概率加权约简法以保证数值可行性。

论文解读：半导体光刻产线带质量传播与返工回路的稳态性能马尔可夫评估方法

研究背景与动机

在半导体晶圆制造中，光刻(Lithography)常成为产能瓶颈，且在线检测会判定良品(G)、可检缺陷(Bad Detected Scrapped, BDS——需报废)与不可检缺陷(Bad Not Detected, BND——流入下道工序)，后者影响最终产品质量但无法被传统产能模型捕捉。此外，检出缺陷晶圆可经返工(Rework——去层重做)后回流至主生产线。现有解析或仿真方法难以同时兼顾：(1)多层光刻—工序间—返工回路的物料流；(2)质量状态(良/可检缺陷/不可检缺陷)在级联工序中的传播；(3)饥饿、阻塞及周期时变导致的吞吐波动。为在系统设计或排程前快速评估不同检测配置、周期时间与缺陷率下的稳态产能与质量指标，研究人员开展了此项结合质量动态与产能交互的马尔可夫建模研究。

主要技术方法

研究人员将每层k的光刻&检测L{k}、工序间O{k}及返工R{k}独立建模为含U_G(加工良品)、U_BDS(加工即检出的缺陷层)、U_BDR/U_{BN D}(不可检缺陷去向)及辅助故障态D_G/D_BDS(用于膨胀随机周期时间)的CTMC，转移率q由P(BDS)、P(BDR)、确定加工时间CT及缓存交互导出。系统分解为3K个集成机器Mk与3K?1个建筑块BB(k)(上下游伪机台围绕缓冲区)，通过两级迭代分解求稳态联合概率Π^BB(k)与概率流G^BB(k)，反推集成机器各态稳态概率Π^L[k]、Π^O[k]、Π^R[k]及产出率μ，进而计算系统吞吐TH_sys、报废TH_BD、返工TH_RW、良品TH_good与未检缺陷通量TH_NQ。对连接L{k}与L{k+1}处含并行上游O^u(k)与R^u(k+1)的建筑块BB2(k)，采用Kronecker积合成聚合伪机台OR^u(k)，解其平衡方程后按边缘概率重新分配各原始机台加权产出率以控制状态空间膨胀。

研究结果

2.1. Photolithography & Inspection stage in isolation

L{k}孤立建模含四种局部状态U_G^L{k}、U_BDS^L{k}、U_BDR^L{k}、U_{BN D}^L{k}，转移率q_UG→UBDS=P(BDS^L{k})/CT^L{k}，q_反向=1/CT^L{k}，其余互迁同理，局部生成元矩阵Q_LL^L{k}为4×4行和为零矩阵。

2.2. Inter-operational stage in isolation

O{k}简化为两工作态U_G^O{k}、U_BDS^O{k}加两延时故障态D_G^O{k}、D_BDS^O{k}(后者可忽略)，均值周期匹配L{k}，转移率形式同L{k}仅替换P(BDS^O{k})与CT^O{k}，生成Q_LL^O{k}。

2.3. Rework stage in isolation

R{k}局部状态集与O{k}相同(U_G^R{k}、U_BDS^R{k}、D_G^R{k}、D_BDS^R{k})，转移率代入P(BDS^R{k})与CT^R{k}，建立Q_LL^R{k}。

2.4. System-level representation and performance evaluation

为每个集成机器M[k]扩展饥饿态S(区分G/BDS/BDR/BN D以追踪质量路由)、阻塞态B(仅G与BN D，BDS因离线条路避阻塞不计)及非质量态NQ(上游传入BND但本机产出良品)。系统吞吐TH_sys=Σμ·Π over U_G、S_G、B_G、NQ_Gof last O[K]；未检缺陷TH_NQ=μ·Π(NQ_G^O{K})；报废TH_BD=Σ各机台U_BDS与S_BDS态μ·Π跨L、O、R。

2.5. Solution method

系统分解为3K个集成机器与3K?1个建筑块BB1(k)(L{k}→O{k}缓冲)、BB2(k)(O{k}→L{k+1}，含并行上游O^u(k)//R^u(k+1))、BB3(k)(R{k}→O{k}缓冲)。BB用[38]法解稳态与概率流供集成机器边界转移率。

2.5.1. Parallel upstream machines aggregation

BB2(k)上游两伪机台状态空间作Kronecker积S^ORu(k)=S^Ou(k)?S^Ru(k+1)，聚合机台产出率μ(s_ij)=μ^Ou(k)(s_i)+μ^Ru(k+1)(s_j)，转移率继承各自原矩阵。解聚合CTMC得Π^ORu(k)后，按边缘和条件概率重新分配为与原机台同维的O_new^u(k)与R_new^u(k+1)，产出率分别为Σ_jΠ(s_ij)·μ(s_ij)与Σ_iΠ(s_ij)·μ(s_ij)，实现状态空间约简且保矩。

2.5.2. From buffer-level to machine-level: lumping

集成机器生成元矩阵Q^L[k]、Q^O[k]、Q^R[k]按局部(L)、饥饿(S)、阻塞(B)、非质量(NQ)分块组装，子块Q_LS、Q_SL、Q_LB、Q_BL等由相邻BB的概率流与驻留时间导出，对角块Q_SS、Q_BB、Q_NQNQ反映极限态间迁移，确保每行代数和为零。

讨论与结论

研究人员建立的集成机器-建筑块分解CTMC框架能统一刻画带返工回路的多层光刻产线中物料阻塞/饥饿传播与质量状态(良品、可检缺陷、不可检缺陷)传播，并通过并行上游Kronecker聚合与边缘概率再分配克服返工回流带来的状态爆炸。该模型可在给定检测概率P(BDS)、P(BDR)、各站确定周期CT及缓存容量下，解析求出稳态吞吐、良品率、报废率、返工率及隐性缺陷泄漏率，较纯产能模型更贴合半导体fab实际决策需求。研究表明该方法在平衡产能与质量指标评估上具有解析可处理性与工程实用性，适用于光刻线程稳态性能与检测策略的前期设计与优化分析。