低推力端到端轨迹设计：采用分段式双曲线超速控制方法

《Aerospace Science and Technology》：Low-Thrust End-to-End Trajectory with Patched Hyperbolic Excess Velocity

低推力端到端轨道优化方法基于双曲剩余速度修补技术，将 heliocentric 转移与火星捕获相位整体优化，通过匹配进入火星引力场的双曲剩余速度与末态速度，建立多体边界值问题（MPBVP），并利用分阶段优化结果作为初始猜测进行联合优化。研究推导了最优控制的一阶必要条件，分析了不同推力加速度下的最大剩余速度极限，并给出适用于任意中心天体的拟合公式。数值仿真验证了方法相对于 GPOPS 的有效性，优化了地球至火星的低推力转移轨迹。

　　

郭翔|王海毅|吴迪|罗亚中

国防科技大学，长沙，410073，中国

摘要

本文提出了一种基于双曲过余速度修整的低推力端到端轨迹优化方法。整个轨迹，包括日心转移阶段和行星捕获阶段，被作为一个整体进行优化。当航天器进入行星影响范围时，其双曲过余速度需要与日心阶段结束时的相对行星速度相匹配。首先在不同边界条件下分析这两个阶段的分段优化结果。然后，将两次单独优化的结果作为联合优化的初始猜测，从而得到整体的最优转移轨迹。此外，还分析了航天器进入行星影响范围时的最大允许双曲过余速度，并通过曲线拟合给出了适用于任何中心天体的解析估计公式。通过低推力地球到火星转移的数值模拟证明了所提方法的有效性。

引言

目前，对行星及其卫星的探索任务是国际关注的焦点，推动了广泛的研究工作[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]。与化学推进（CP）相比，电推进（EP）具有更高的比冲，显著减少了星际旅行的推进剂需求，并已应用于多个深空任务[8]、[9]、[10]、[11]、[12]。为了近距离观测行星及其卫星，当航天器接近行星时需要进行捕获机动，将其转移到行星轨道上[13]。CP可以提供较高的推力，使航天器以较大的双曲过余速度进入行星影响范围，并在近拱点完成捕获机动[14]、[15]。相比之下，EP提供的推力较低，使得捕获过程更具挑战性[16]、[17]、[18]。如果双曲过余速度过高，航天器可能无法充分减速而留在影响范围内，从而导致捕获失败。然而，同时携带CP和EP系统分别处理星际转移和行星捕获将显著增加航天器的干质量。因此，研究适用于星际转移和捕获阶段的最优EP转移策略至关重要。

低推力轨迹优化方法主要包括直接方法和间接方法，这些方法可以处理诸如星际转移[19]、重力辅助[20]和多圈行星捕获[21]、[22]等问题。然而，关于捕获轨迹优化的研究相对较少。捕获问题的主要挑战在于航天器必须从双曲轨迹过渡到高度偏心的椭圆轨道，这涉及显著的轨道变化和强非线性。

在现有的关于最优低推力捕获轨迹的研究中，不同的学者采用了各种初始边界条件。Kluever[23]和Gao[24]规定了固定的位置和速度作为初始状态，将捕获过程分为两个阶段。在第一阶段，航天器持续减速以达到由向内螺旋路径定义的目标状态。在第二阶段，航天器沿着螺旋轨迹运行数百圈，最终到达所需的低地球轨道。Gao[25]考虑了逃逸、星际飞行和捕获轨迹的联合优化。他假设逃逸和捕获阶段的双曲过余速度为零。这种假设在低推力星际轨迹优化中很常见[26]、[27]。实际上，航天器总是以一定的双曲过余速度进入行星影响范围[28]、[29]、[30]。Casalino[31]在进入行星影响范围时设置了一个固定的双曲过余速度，同时将进入时的位置和速度方向作为优化变量。通过调整进入状态，可以实现更省燃料的转移轨迹。

在真实的星际任务[14]、[15]中，通常使用大型运载火箭将航天器直接送入双曲逃逸轨道。以地球到火星的转移为例，离开地球影响范围时的双曲过余速度受到运载火箭的C₃参数的限制。在星际转移和捕获阶段，采用低推力机动，航天器以非零的双曲过余速度进入火星影响范围，然后减速进行捕获。由于星际转移和捕获阶段在动力学和规模上的差异，它们通常分两个阶段进行优化。在两段分段优化中，必须提前设置每个阶段的时间和连接处的双曲过余速度，这可能导致整体最优性的损失[32]。

本文研究了从地球发射到火星捕获的端到端轨迹优化。在初始阶段，航天器从地球逃逸，然后进行星际转移至火星，最后在火星影响范围内被捕获。首先，考虑到发射时的双曲过余速度约束，整个轨迹（包括日心阶段和捕获阶段）作为一个整体进行优化，要求航天器进入火星影响范围时的双曲过余速度与日心阶段结束时的相对火星速度相匹配。使用间接方法推导出一阶必要条件，为整个轨迹构建了一个多点边界值问题（MPBVP）。然后，在指定转移时间和火星处的双曲过余速度后，分别优化日心转移和火星捕获轨迹。在不同边界条件下分析两个阶段的最佳结果。最后，将两次单独优化的结果作为联合优化的初始猜测，得到整体的最优转移轨迹。对于理想电推进器和反射太阳帆的情况，已经研究过的增强型霍曼转移的最优结果可以用来验证本研究的发现，并为后续涉及两个行星阶段的联合优化提供准确的初步任务参数估计[33]、[34]。此外，本文还分析了捕获阶段的最大允许双曲过余速度，确保航天器在捕获阶段保持在火星影响范围内。研究了影响最大双曲过余速度的因素，并提供了一个适用于任何中心天体的近似拟合公式。通过将结果与使用GPOPS（一种用于解决多阶段最优控制问题的通用Matlab软件程序）获得的结果进行比较，证明了所提方法的有效性，GPOPS采用Legendre-Gauss-Radau正交配置方法将连续时间问题转换为大规模稀疏非线性规划问题[35]。

本文的其余部分组织如下。第2节将从地球发射到火星捕获的端到端轨迹优化构建为一个MPBVP。第3节分析了航天器进入火星影响范围时的最大允许双曲过余速度。第4节提出了分别优化日心阶段和火星阶段最优轨迹的分段优化方法。然后将分段优化的结果作为联合优化的初始猜测。第5节展示了仿真结果，第5.2节得出了结论。

节选

端到端轨迹优化问题

本文研究了一个典型的从地球到火星的星际转移场景，其中航天器从地球发射，具有受限的双曲过余速度幅度，并执行一个端到端的轨迹到达近心轨道。为了实现航天器被火星成功捕获，航天器需要在最终时间$t_f^A$达到固定的半长轴$a_{}$_tar，并且使用该约束确保航天器的能量小于或等于

火星捕获的最大双曲过余速度分析

如果ATS的双曲过余速度幅度$v_{\infty ,M}$过大，那么由低推力EP推进的航天器可能在第一次绕行期间无法留在火星影响范围内并会逃逸。为了评估火星捕获的条件，首先建立了最大化双曲过余速度幅度的最优控制问题。然后，提出了一种数值估计方法来高效确定最大值

具有修整双曲过余速度的轨迹优化

在端到端轨迹优化问题中，HTS和ATS在空间和时间尺度上存在显著差异，直接求解射击方程（22）具有挑战性。因此，遵循参考文献[32]中概述的方法，我们首先分别解决每个阶段的轨迹优化问题。然后将分段优化的结果作为联合优化的初始猜测。

数值模拟

使用所提出的方法解决了低推力端到端轨迹优化问题。在第一小节中获得了不同飞行时间和双曲过余速度的分段优化结果。然后进行联合优化，并通过与GPOPS获得的解进行比较来验证结果。在仿真中，参数进行了无量纲化；具体来说，长度和时间单位根据第3.2节为ATS设置，而地球

结论

本笔记建立了一个从地球到火星捕获的端到端轨迹优化模型，分析了最优控制的一阶必要条件，并构建了一个多点边界值问题。考虑到EP的推力有限，获得了允许火星捕获的最大双曲过余速度，并通过曲线拟合为任何中心天体提供了一个解析的快速估计方法。

CRediT作者贡献声明

郭翔：方法论、数据整理、概念化。王海毅：验证、数据整理。吴迪：调查、资金获取、正式分析。罗亚中：资源、方法论、调查。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的财务利益或个人关系。