表面张力源于流体和/或固体边界之间的界面能，可以显著影响可变形体的形状和内部应力分布，尤其是在其结构尺寸变得更薄更细长的情况下。在流体流动中，表面张力控制着流体之间或流体与固体边界之间的界面行为，从而影响流动模式、稳定性和界面动力学。此外，由表面张力引起的毛细力在确定液体桥的平衡形状方面起着核心作用，这可以通过求解作为曲线界面控制关系的杨-拉普拉斯方程来描述。
除了流体系统之外，表面张力在固体变形中也起着重要作用，尤其是在凝胶和弹性体等软固体中。在这些材料中，表面张力可以引起与体弹性应力相当的应力，导致明显的变形、表面驱动的不稳定性和尺寸依赖的机械响应（Bico等人，2018年；Style等人，2017年）。在这种情况下，表面效应不仅限于界面，还直接影响固体的整体变形和力平衡。
在微观和纳米级结构系统中，表面张力效应更加明显（Dai等人，2019年；Long等人，2018年；Zheng等人，2022年），即使对于在宏观尺度上机械强度较高的材料也是如此。随着结构特征长度尺度的减小，表面积与体积的比值增加，表面能成为整体机械响应中不可忽视的贡献。这种现象在纳米级系统中被广泛观察到；例如，在半导体制造的湿法和干燥步骤中，毛细力可以引起二氧化硅纳米结构的显著弯曲、塌陷或粘附（Fan等人，2020年；Kim等人，2016年；Wang和Wang，2025年）。同样，在微机电系统（MEMS）中，表面张力引起的粘附可能导致失效，从而导致显著的屈服损失（Kim等人，2016年；Mastrangelo，1997年）。这种由毛细力驱动的变形直接影响生产产量，并对进一步的小型化设定了基本限制，同时保持结构稳定性。这些观察结果突显了将表面张力效应纳入结构分析的必要性。
在流体动力学的背景下，已经开发了许多数值方法来考虑表面张力效应，主要侧重于捕捉和演变流体-流体或流体-固体界面。代表性的方法包括连续表面力（CSF）模型（Brackbill等人，1992年）、水平集方法（Sussman，1994年）和等几何分析（Hughes等人，2005年），这些方法通常在有限元（FE）或有限体积框架内实现（Jiang和Povinelli，1990年；Nagrath等人，2005年；Wu等人，1998年；Yan等人，2019年）。在这些方法中，速度和压力场是从控制方程的变分公式中获得的，表面张力效应通过界面相关项纳入其中。为了进一步增强界面表示和拓扑灵活性，这些技术使用了混合拉格朗日-欧拉（ALE）公式（Hughes等人，1981年；Navti等人，1997年）和扩展有限元方法（XFEM）（Fahsi和Soula?mani，2017年；Gro?和Reusken，2007年；Yvonnet等人，2008年）。虽然这些方法对于以流体流动和演变界面为主的问题非常有效，但它们主要是为流体主导系统的界面跟踪设计的，并不适合结构分析，其中固体连续体的力平衡和变形是主要关注点。
为了在连续介质力学框架内考虑表面张力，也开发了将表面张力效应明确纳入力平衡方程的有限元公式。例如，已经为无粘性液体流动提出了FE公式（Olson和Kock，1994年），并且使用变分方法实现了三维自由表面流动（Baer等人，2000年；Cairncross等人，2000年）。此外，还为轴对称元素推导了准静态和动态问题的变分公式（Ding等人，2025年；Saksono等人，2006a，2006b；Zhu等人，2019年）。在这些研究中，通过增强传统的力平衡方程，纳入了表面张力和接触角效应，从而能够基于连续介质理论准确预测粘性液滴的形状变化。
最近，基于边界势公式的FE框架也被开发用于涉及表面张力的3D问题（Javili和Steinmann，2011年，2010年，2009年）。在这些方法中，包括各向异性表面张力的组合边界势模型通过数值示例（如圆柱体的变形）进行了验证。这些公式是在完全拉格朗日描述中推导出来的，指的是初始配置。此外，还提出了一种使用两个2D元素的隐式框架来处理弹-毛细效应，成功捕捉了软弹性体中的Rayleigh-Plateau不稳定性（Henann和Bertoldi，2014年）。在那项工作中，采用了用户元素（UEL）方法，有效地利用了商业FE软件的内置子程序。为轴对称和平面应变元素推导出了与表面张力相关的力向量和刚度矩阵的封闭形式表达式。
尽管取得了这些进展，但在将表面张力公式扩展到通用3D有限元方面仍存在一个关键限制。到目前为止，大多数现有公式依赖于表面张力贡献的封闭形式表达式，这些表达式仅适用于具有正交基向量的平面应变或轴对称元素（Henann和Bertoldi，2014年；Saksono等人，2006a，2006b；Zhang等人，2023年）。相比之下，涉及表面张力的通用三维问题需要在曲线坐标系内准确表示曲面，这阻碍了适用于任意元素类型的封闭形式公式的开发。即使对于一阶元素，除了四面体元素外，标准八节点砖元素的表面也需要引入曲线表面坐标，以便在有限元公式中准确评估三维表面的曲率。
为了克服这一限制，本文提出了一种新的有限元公式，该公式明确将表面张力效应纳入通用三维元素。所有公式都是在变形配置中推导出来的，能够准确处理大变形和复杂的表面几何形状。在隐式分析框架内提供了四个验证示例，以展示所提出公式及其数值实现的能力。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了包含表面能量贡献的力平衡的弱形式。第3节描述了使用空间表示的元素表面上的表面张力公式。第4节介绍了在静态隐式有限元软件ABAQUS中实现的用户元素框架，该框架旨在高效利用内置求解器的能力，同时专注于特定于表面张力的元素开发。第5节提出了四个验证示例：（1）超弹性材料中的拉普拉斯压力，（2）液滴振荡及其相关固有模式，（3）长方体液滴的润湿行为，（4）弹性杆的毛细变形。仿真结果与解析解进行了比较，以验证所提出的有限元公式和数值实现。
