用于斜拉悬吊梁非线性自由与受迫振动分析的多模态方法

《Scientific African》：A Multimode Approach for the Nonlinear Free and Forced Vibration Analysis of a Cable-Stayed Beam

　　

本研究考察了对称悬吊梁在大振幅振动条件下的几何非线性。分析首先从运动方程的推导入手，随后施加边界条件与连续性条件，以建立齐次判定系统。之后采用 Newton-Raphson 方法对该系统进行数值求解，从而获得固有频率与线性位移模态。位移场被展开为空间级数与时间级数，并代入系统总动能与总势能表达式。通过应用 Hamilton 原理，系统被转换为非线性表述，随后采用 Benamar 方法求解。研究对梁的非线性动力响应进行了系统分析，展示了载荷分布、振动幅值与几何非线性所产生的影响。所得结果表明，最大振动幅值、集中载荷以及分布载荷等参数均会显著影响悬吊梁的几何非线性特征。

本文发表于《Scientific African》，研究对象为由弹性斜拉索支承的悬吊梁体系，核心问题是大振幅条件下结构几何非线性对自由振动与受迫振动响应的影响。斜拉桥及其简化梁-索体系因跨径大、承载高、动力环境复杂而广泛应用于现代工程结构，但这类结构在较大位移和较强激励下往往偏离经典线性振动假设，导致频率、振型及响应峰值出现明显非线性特征。既有研究虽然已围绕斜拉桥模态识别、有限元建模、索-梁耦合、风致振动及减振控制等问题开展了大量工作，但专门针对几何非线性如何改变斜拉梁振动特性的研究仍相对有限。基于这一背景，研究人员建立了对称双索悬吊梁模型，旨在系统考察材料力学参数、边界约束形式、索布置方式以及外载形式对非线性动力学行为的影响，并为类似索支承结构的设计分析提供理论依据。

在方法上，研究人员首先依据 Hamilton 原理建立梁-索耦合体系的控制方程，并引入无量纲变量实现方程标准化；随后结合边界条件与连续条件，通过变量分离法得到线性自由振动问题的解析表达，并用 Newton-Raphson 方法求取固有频率及线性模态；在非线性分析中，将位移表示为空间模态函数与时间广义坐标的级数形式，在 von Kármán 几何非线性框架下构造动能、弯曲应变能、轴向几何非线性能及弹性支承势能，进而离散得到质量矩阵、线性刚度矩阵和非线性刚度张量；最终利用 Benamar 及 Kadiri-Benamar 改进的第二公式（second formulation）近似求解自由与受迫非线性响应。本文未涉及外部样本队列，属于理论与数值建模研究。

在数学建模部分，研究人员将悬吊梁视为两端由平动弹簧与转动弹簧弹性约束的 Euler–Bernoulli 梁，并考虑单根斜索连接点处的位移协调与内力连续条件，随后推广到对称双索情形。通过引入无量纲坐标、位移、频率参数以及索力、刚度和惯性相关参数，原始控制方程被改写为更具普适性的无量纲形式。在线性化处理中，研究人员忽略高阶项以及索均匀动态伸长中的平方非线性项，从而得到梁与索的线性自由振动方程。再通过变量分离法，梁段横向位移与索位移被表示为谐振形式，进一步导出梁的三角-双曲函数解和索的三角函数解，为后续特征值分析奠定基础。

在“Solution Methodology”部分，论文明确给出了非线性模态问题的总体求解流程。首先完成初始线性分析，得到线性固有频率和模态函数；这些线性模态随后作为非线性离散基底。其次，在能量表述中引入 von Kármán 几何非线性，以反映大变形导致的中面伸长效应。再次，通过解析离散建立系统的质量矩阵、线性刚度矩阵和非线性刚度矩阵或张量。然后利用 Hamilton 原理构造非线性微分方程。最后，在自由振动问题中采用第二公式求解非线性模态，在受迫振动问题中采用多模态近似分析频率随幅值变化的响应规律。该方法在 MATLAB 中实现，用于系统考察悬吊梁的非线性振动行为。

在“Analysis of free nonlinear vibrations”部分，研究人员从 Hamilton 原理出发，建立了悬吊梁自由非线性振动的能量表达。动能由梁的横向速度积分给出，势能则包括梁弯曲应变能、由轴向正应力诱发的几何非线性能，以及平动与转动弹簧的储能。位移函数采用模态叠加形式表示，即空间模态函数与谐波时间函数相乘。经离散化后，系统被转化为包含质量项、线性刚度项和三阶非线性刚度项的非线性代数方程组。为提高求解效率，研究人员采用第二公式，假定第一主模态贡献占主导，其他模态贡献为相对较小的修正量，从而将问题近似转化为更易求解的矩阵方程。该处理体现了多模态近似与主模态主导假设相结合的思想。

在“Analysis of forced nonlinear vibrations”部分，论文将外部激励分为两类：作用于梁某一点的集中简谐载荷，以及作用于一定区间上的均布简谐载荷。通过将物理载荷投影到各线性模态上，得到广义力表达式。随后基于 Hamilton 原理，建立受迫非线性动力学方程。与自由振动处理类似，研究人员继续使用第二公式对非线性项进行近似，并分别对集中激励和分布激励得到相应的近似线性代数系统。由此，可研究不同激励位置、激励范围和激励强度对悬吊梁非线性频率响应曲线的影响。

在“Analysis of the numerical results of linear vibrations”部分，研究人员首先验证了线性模型与求解方法的可靠性。数值计算采用文献中的材料与几何参数，分别考察两端简支（S-S）和两端固支（C-C）两种边界条件。结果显示，本文所得前六阶线性固有频率与参考文献结果高度一致，偏差极小，说明所建立的解析-数值求解框架具有良好的准确性。文中进一步给出了双端固支悬吊梁前六阶线性振型，可见随着模态阶次升高，梁上节点数目逐渐增加，振型分布具有典型梁结构模态特征。

在“Analysis of the numerical results of free nonlinear vibrations”部分，研究重点转向两端固支、索分别位于梁长 ¹/₃ 与 ²/₃ 位置的对称悬吊梁。研究人员以无量纲最大振幅与非线性/线性频率比（ω_NL/ω_L）之间的关系为主要指标，分析大振幅自由振动下的几何非线性效应。结果表明，随着最大无量纲振幅增大，频率比持续上升，说明结构表现出明显的硬化型（stiffening-type）非线性特征。进一步比较线性与非线性模态可发现，在相同中跨最大位移幅值条件下，非线性模态形状已偏离线性模态；而且振幅越大，这种偏离越显著。文中对曲率分布的比较也表明，几何非线性的影响在梁端部和跨中位置尤为突出，这些区域的无量纲曲率变化最为明显，反映出大振幅振动对弯曲内力分布具有显著调制作用。

在“Analysis of nonlinear behaviour in forced vibration”部分，研究人员分析了受迫振动条件下的非线性频率响应。对于集中简谐载荷和全跨均布简谐载荷两类激励，结果均显示：随着激励幅值 F^* 增大，系统的非线性/线性频率比上升，进一步验证了该悬吊梁体系在受迫情形下同样具有硬化型非线性。文中分别给出了不同激励幅值下的非线性频率响应曲线，说明激励强度不仅影响响应峰值，还影响频响曲线的非线性偏移程度。进一步地，研究设置了三种谐波分布载荷工况：其一为沿全梁长度均布，其二为作用于第一跨，其三为作用于第二跨。比较结果显示，载荷作用区域对频响幅值和曲线形态有明确影响：全梁均布载荷对应更显著的整体响应和更高的振幅峰值，而局部分布载荷则产生不同的响应模式，表明载荷定位效应在梁-索耦合非线性系统中不可忽视。

从讨论意义上看，本文结果证明，悬吊梁的非线性动力行为并非仅由材料或边界条件决定，振动幅值、激励方式与载荷空间分布同样是主导因素。线性分析虽然能提供模态基底和基本频率信息，但当结构进入大振幅工作区间时，几何非线性将改变模态形状、频率水平及曲率分布，进而影响结构动力响应评估。尤其是受迫振动中，不同载荷布置导致的频率响应差异提示，工程分析中必须考虑激励位置与激励覆盖范围，否则可能低估峰值响应或误判系统刚化程度。文中也指出，该研究尚未纳入温度、湿度等环境因素，而这些因素可能改变材料弹性性质、刚度与疲劳性能，因此后续研究仍有进一步拓展空间。

研究结论部分可译为：本研究聚焦于斜拉悬吊梁的几何非线性振动分析。研究首先求解了控制系统振动行为的微分方程，并综合考虑边界条件与连续性条件。通过这些步骤，确定了固有频率与线性位移，它们构成后续非线性分析的基本函数基础。为处理系统动力学问题，研究人员应用 Hamilton 原理建立了动能与势能表达式，从而形成相应的线性系统，该系统为研究非线性效应提供了参考框架。最后，研究人员采用单模态方法考察了系统的非线性行为，从而评估不同载荷与激励条件下的振动响应。结果突出表明，载荷位置与激励强度会显著影响梁的动力响应，这为类似结构体系的设计与分析提供了有价值的认识。