基于变阶分数阶导数方法定义的Zener模型及其在预测竹木复合材料压缩蠕变应变中的应用

《Materials》：A Variable-Order Fractional Derivative Approach-Defined Zener Model and Its Application in Predicting the Compressive Creep Strain of Bamboo Scrimber Wenzijun Xiao, Songsong Sun, Xiaolin Gong and Jiahong Fu

　　

竹材料在外部荷载作用下通常表现出蠕变行为。本研究对一种常见的天然纤维增强复合材料——竹木复合材料进行了压缩蠕变性能研究。首先，在四步压缩荷载的基础上，记录了不同应力幅值下的压缩蠕变应变数据。其次，采用不同的Zener模型对所记录的压缩蠕变过程进行分析。最后，借助经过验证的模型和与应力水平相关的经验方程，提出了一种蠕变应变预测方法。主要结论如下：对于竹木复合材料，基于变阶Caputo分数阶导数（Caputo fractional derivative）的改进Zener模型（Zener model）在分析材料在压缩荷载下的蠕变性能时，比传统Zener模型能提供更精确的表达，并且能够以相对较短的实验周期预测其他应力水平下的蠕变应变增长特性。因此，该方法在现代工业中具有推广价值。

**研究背景与问题**
目前，竹木复合材料等各类竹材已广泛应用于工程领域。与原竹相比，竹木复合材料在应用过程中具有更好的力学性能和稳定性，这促进了其广泛应用。因此，必须评估其力学性能以指导其在现代工业中的应用。近年来，专家们开展了大量研究。研究人员采用各种梁模型来检验竹木复合材料的强度性能，建立了基本的力学参数；在不同条件下进行拉伸压缩实验，以考察其力学本构关系，并开发了能精确表征特定加载条件下应力-应变关系的模型；研究了竹木复合材料的高周疲劳性能，建立了高周疲劳寿命的数值阈值；考察了热处理对材料强度的影响；研究了竹木复合材料强度受微观结构方面、纤维-基体界面性能和生产工艺影响的效应；考虑了纤维和基体的贡献，分析了竹木复合材料的疲劳寿命；使用热油作为热处理介质研究了其对竹木复合材料强度性能的影响。

目前最常用的竹木复合材料制造方法是粘合和压制（冷压和热压）的组合。粘弹性力学理论认为，由此过程形成的复合材料在服役过程中往往具有明显的蠕变行为。因此，在应用前应评估其蠕变性能。在此领域，多位专家基于选定的粘弹性模型研究了竹材的蠕变性能。结果表明，应力水平对蠕变行为的影响显著，温度影响也很明显。此外，加速蠕变实验也是研究该主题的有效选择。

上述研究清楚地表明，相应的蠕变实验是研究这些竹材蠕变的有效工具。这类测试可以根据给定的标准准确评估所选材料的蠕变性能，但成本相对较高，测试周期较长，尤其是对于长期测试。然而，在实验过程中，荷载幅值应根据给定的应力水平进行控制。因此，任何中断都会导致实验失败，这给实验带来了额外的风险。因此，快速确定竹材的蠕变对于其应用非常重要。

本文提出了一种针对竹木复合材料的加速蠕变试验方法。基于变阶分数阶导数方法构建了一种新型的Zener模型。通过预测蠕变应变的增长趋势，缩短了蠕变测试过程。这样，由于周期更短，蠕变测试的风险和成本可以显著降低。结果表明，所提出的方法仅用一半的实验时间就能提供相似的蠕变应变数据；这使其对于为竹木复合材料的安全可靠应用设计提供一些理论指导具有价值。

**主要关键技术方法**
本研究主要采用以下关键技术方法：一是基于变阶Caputo分数阶导数理论定义粘壶元件，构建了改进的Zener粘弹性力学模型；二是通过设计时变压缩荷载谱对单个试样进行多级应力蠕变试验，并利用Levenberg-Marquardt算法对模型参数进行拟合；三是建立了模型参数与应力水平之间的幂函数或指数函数关系，用于预测较低应力水平下的蠕变行为。样本队列为中国益阳桃花江公司制造的毛竹（约4-5年）基竹木复合材料。

**研究结果**
**压缩蠕变结果**
根据上述研究方法，加速蠕变实验的第一步是分析不同应力水平下压缩蠕变应变的演化。选取一个试样作为主要研究对象，按照图4所示的荷载历史进行蠕变实验。该实验为后续分析提供了基础数据。详细的蠕变应变演化过程如图6所示。实验过程中，试样未发现明显裂缝或变形。
图6显示了主要试样在所有荷载阶段的蠕变应变演化记录。最低应力水平下的应变曲线斜率也最低，该应力水平下的应变演化总体稳定。在相对较高的应力条件下（第二应力水平），在应变演化过程的初始阶段，蠕变应变的增长速度很快。此外，该应力水平下的加速明显大于前一应力水平。大约100分钟后，应变的增加减速，曲线趋于平缓。对于该试样的第三个实验条件（抗压强度的30%），随着应力水平的增加，应变的增加显著加速。此外，应变增加在实验进行到约460分钟时开始减速。在最高应力水平下，蠕变应变的增加也最大（相对增加近90%）。此外，应变增长率的减速点几乎出现在整个过程的最后阶段。比较该试样在所有四个应力水平下的应变演化，得出两个主要结论：蠕变实验期间施加的应力大小与蠕变应变的增加以及应变增加持续时间（即减速开始时间）直接相关。这可以从竹木复合材料的微观结构和结构特性来解释。根据上述试样的生产工艺，竹木复合材料主要由竹纤维和酚醛树脂组成。这两种因素的蠕变对其性质有很大影响。通常，在相同的应力水平和其他力学性能参数（如杨氏模量）下，蠕变应变的增长和减少速率可能存在很大差异，这将使两种材料的界面在材料存在差异时容易受到剪切应力。在第一阶段的蠕变测试中，纤维和基体在初始变形阶段可以抵抗蠕变变形。此外，它们的间隙孔隙不会被破坏。相对于较高的位移和孔隙破坏的应变积累与实验时间有关；时间越长，由于纤维和基体之间的不均匀性，破坏可能越多。这个过程反过来重新组合了试样，形成了一种新类型；因此，应变的增长特性发生了改变。

**模型分析结果**
所提出模型在蠕变性能研究领域的实用性可以基于前一节记录的应变演化进行分析。为了进一步加强本研究的结论，同时选择了传统Zener模型和新提出的Zener模型来拟合试样在所有四个应力水平下的时间-应变历史。拟合过程选择了Levenberg-Marquardt算法。根据该方法和不同的Zener模型对实验数据的分析结果如图7所示。
如图7a所示，在第一应力水平条件下的压缩蠕变测试结果中，当选择经典Zener模型研究增长规律时，拟合结果与原始实验数据存在显著差异。根据所提出的分数阶导数模型定义的改进Zener模型，其拟合结果与实验数据几乎相同。对于图7b所示的基于第二应力水平的分析结果，可以发现类似的情况，即改进的Zener模型在分析此条件下的蠕变应变时也显示出更高的准确性。对于从其他两个应力水平获得的拟合结果，尽管传统Zener模型提供的拟合结果的准确性在一定程度上有所提高，但改进的Zener模型也能够提供令人满意的结果。
表2显示了所有情况下基于传统Zener模型和变阶Caputo分数阶导数定义的Zener模型的分析结果的拟合优度（R2）。与基于传统Zener模型的拟合结果相比，变阶Caputo分数阶导数定义的Zener模型在所有情况下都能提供更高的拟合准确性（超过99%），特别是在施加的应力水平相对较低时。此外，改进模型在其他应力水平下提供的准确性仍然很高。总的来说，该模型更适合分析该领域的压缩蠕变。

**应力水平对参数的影响**
为了对由应力幅值引起的效应进行深入分析，必须对拟合结果进行定量分析。应力水平对竹木复合材料弹性性能的影响已在先前的研究中进行了详细研究。因此，本研究分析了应力水平对材料粘弹性性能的影响。根据Zener模型的主要构件，Kelvin体也用于定义模型的粘弹性。此外，分数函数的阶也影响模型的粘弹性性能。
本研究选择了两种常见的函数来分析应力水平对模型参数的影响：幂函数和指数函数。这两种模型的详细信息见表3。
如表3所示，其中P是模型参数的值，一旦试样未改变，A、B、C和D可视为常数，σ是蠕变测试荷载条件提供的应力幅值。基于这两种函数，可以分析应力水平对所提出模型参数的影响。分析结论如图8所示。
如图8所示，符号+代表原始实验数据点。对于应力幅值对主要模型参数的影响，指数函数可以准确反映其对分数阶导数阶数以及Kelvin体弹性模量的影响。此外，幂函数更适合分析其对粘性系数的影响。

**预测结果**
这些关系可以用来描述试样在其他应力水平下的蠕变应变演化，并有助于在不同应力条件下设计材料。为了进一步分析竹木复合材料在不同应力水平下的蠕变应变增长特性，采用了相对蠕变应变增量进行更详细的评估。该参数可定义如下：ξ=|ε(t)-ε0|/ε0×100%，其中ξ是相对增量，ε(t)是蠕变应变演化，ε0是记录的蠕变应变起始值。表4显示了所有四个应力水平在不同时间节点的相对增量值，这表明应力水平与应变增长率直接相关。对于较低的应力水平（抗压强度的10%和20%），蠕变应变相对增量的最终值不超过30%。对于较高的应力水平，这一程度的相对增加仅占整个蠕变过程的大约四分之一。
在此基础上，本文提出的预测方法步骤如下：首先，基于相对较高的应力水平（抗压强度的30%和40%）创建一个较短周期的两步荷载谱，并应用于试样，以记录这些荷载条件下的应变演化过程。其次，通过拟合记录的数据确定模型参数值。最后，基于图8中已验证的应力水平函数，确定其他较低应力水平（抗压强度的10%和20%）下的模型参数值。此外，选择了三组试样作为预测对象，以确保所提出方法的普遍性。第一步的研究结果如图9所示。
从图9提供的信息可以清楚地看出，当选择改进的Zener模型分析所有三个试样在这两个应力水平下的蠕变应变时，所有情况下的准确性都足够高（每个时间点拟合结果与原始实验数据之间的相对差异小于1%）。此外，每个荷载谱持续150分钟。因此，拟合结果可以作为进一步预测研究的基础。结果见表5。
表6显示了通过上述拟合方法确定的模型参数值，以及基于已确定参数的函数；这样，可以确定任何指定应力水平下的模型参数估计值。
如上所述，选择应力水平为10%和20%的试样压缩蠕变应变行为作为预测对象。相应的两步荷载谱用于验证工作。所有三个试样的预测结果如图10所示，图10显示了所有这三个试样在这两个应力水平下的预测应变与通过实验获得的实际结果相似。此外，这两个应力水平下的短期压缩蠕变实验总共持续300分钟（每个应力水平150分钟）。对于预测案例，过程持续了600分钟。换言之，预测方法仅用一半的实验时间就能提供几乎相同的实验数据；这种加速减少了相应的时间和成本，以及测试失败的风险。同时，尽管从不同试样获得的模型参数估计值明显是随机的，但数据的分散性并不影响预测精度。这可以解释为，在每个预测案例中，相同的预测对象只是通过较高应力水平实验提供的训练数据的提供者。基于此，可以消除材料本身分散性的影响。

**结论与讨论**
蠕变是指导竹木复合材料等天然纤维增强材料安全可靠设计的关键因素。本研究对该材料的压缩性能进行了相应研究。对试样施加了根据不同应力水平定义的时变压缩荷载。随后，选择了不同的Zener模型对该主题进行比较研究。结果表明，当压缩荷载作用于竹木复合材料时，压缩蠕变应变的增长速率明显受到施加在其上的应力幅值的影响。在给定的四个应力水平下，蠕变在初始快速增长阶段后逐渐减慢；施加的应力水平越高，该拐点出现得越晚，这可以归因于材料的微观结构特征。
由于分数阶导数方法的作用，新开发的Zener模型可以精确地表达竹木复合材料的蠕变行为。本文提出的预测方法可以准确预测后续过程中的蠕变应变增长趋势。这使得有可能用实际试验替代长时间试验来降低成本和风险，因此可以应用于现代工业。
本文的加速效应是通过预测蠕变应变增长特性实现的。时变荷载有时可能导致应变测试结果的数据波动。另一方面，根据先前的研究，温度是影响竹材蠕变性能的重要因素。因此，本文提出的加速蠕变测试方法在高温条件下是否仍然有效仍未知。